中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第04講 一次方程及方程組（23個考點(diǎn)）（知識精講）（解析版）

第04講一次方程及方程組（23個考點(diǎn)）【考綱要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會解一元一次方程；2.了解二元一次方程組的定義，會用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會方程思想和轉(zhuǎn)化思想.【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】一、一元一次方程1.等式性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為零），結(jié)果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化成1；⑥檢驗(yàn)(檢驗(yàn)步驟可以不寫出來).要點(diǎn)詮釋：解一元一次方程的一般步驟步驟名稱方法依據(jù)注意事項(xiàng)1去分母在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項(xiàng)式的一定要先用括號括起來.2去括號去括號法則（可先分配再去括號）乘法分配律注意正確的去掉括號前帶負(fù)數(shù)的括號3移項(xiàng)把未知項(xiàng)移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項(xiàng)移到另一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項(xiàng)一定要改變符號4合并同類項(xiàng)分別將未知項(xiàng)的系數(shù)相加、常數(shù)項(xiàng)相加1、整式的加減；2、有理數(shù)的加法法則單獨(dú)的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計(jì)算出結(jié)果.①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解.注：當(dāng)題目要求時，此步驟必須表達(dá)出來.說明：（1）上表僅說明了在解一元一次方程時經(jīng)常用到的幾個步驟，但并不是說，解每一個方程都必須經(jīng)過六個步驟；（2）解方程時，一定要先認(rèn)真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對于形式較復(fù)雜的方程，可依據(jù)有效的數(shù)學(xué)知識將其轉(zhuǎn)化或變形成我們常見的形式，再依照一般方法解.二、二元一次方程組1.二元一次方程組的定義兩個含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：判斷一個方程組是不是二元一次方程組應(yīng)從方程組的整體上看，若一個方程組內(nèi)含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．2.二元一次方程組的一般形式要點(diǎn)詮釋：a1、a2不同時為0，b1、b2不同時為0，a1、b1不同時為0，a2、b2不同時為0.3.二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.要點(diǎn)詮釋：（1）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解．教材中主要是研究有唯一解的情況，對于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予滲透．（2）一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系：當(dāng)二元一次方程中的一個未知數(shù)的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數(shù)的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝0時，求x的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的值.三、一次方程（組）的應(yīng)用列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2.設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接或間接設(shè)元)，注意單位的統(tǒng)一和語言完整；3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系，正確列出代數(shù)式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗(yàn):(有三次檢驗(yàn)①是否是所列方程(組)的解；②是否使代數(shù)式有意義；③是否滿足實(shí)際意義)；6.答:注意單位和語言完整.要點(diǎn)詮釋：列方程應(yīng)注意：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊單位一定要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.【典型例題】一．方程的定義（共1小題）1．（2022?南京模擬）下列四個式子中，是方程的是（）A．3+2＝5 B．x＝1 C．2x﹣1＜0 D．a(chǎn)+b【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式是方程）解決此題．【解答】解：A．根據(jù)方程的定義，3+2＝5中不含有未知數(shù)，那么3+2＝5不是方程，故A不符合題意．B．根據(jù)方程的定義，x＝1是含有未知數(shù)的等式，那么x＝1是方程，故B符合題意．C．根據(jù)方程的定義，2x﹣1＜0不是等式，那么2x﹣1＜0不是方程，故C不符合題意．D．根據(jù)方程的定義，a+b不是等式，那么D不是方程，那么D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查方程，熟練掌握方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．二．方程的解（共2小題）2．（2022?江陰市模擬）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)方程解的定義，將方程的解代入方程可得關(guān)于字母系數(shù)a的一元一次方程，從而可求出a的值．【解答】解：把x＝1代入方程，得：1+2a＝﹣1，解得：a＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評】已知條件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母系數(shù)的方程進(jìn)行求解．可把它叫做“有解就代入”．3．（2022?香洲區(qū)校級一模）關(guān)于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b為實(shí)數(shù)且a≠0），a恰好是該方程的根，則a+b的值為﹣2．【分析】根據(jù)方程的解的概念，將x＝a代入原方程，然后利用等式的性質(zhì)求解．【解答】解：由題意可得x＝a（a≠0），把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，等式左右兩邊同時除以a，可得：a+b+2＝0，即a+b＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查方程的解的概念及等式的性質(zhì)，理解方程的解的定義，掌握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三．等式的性質(zhì)（共2小題）4．（2022?宜興市校級二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，則x﹣4y的值為（）A．15 B．﹣5 C．5 D．3【分析】利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形就可得到結(jié)果．【解答】解：x+y＝5①，2x﹣3y＝10②，②﹣①得x﹣4y＝5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等式的性質(zhì)，做題關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)．5．（2022?景縣校級模擬）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示，則在■，●，▲中，質(zhì)量最小的是（）A．■ B．● C．▲ D．無法確定【分析】設(shè)■，●，▲的質(zhì)量分別為a，b，c，由天平可知①2a＞a+c，②3b＜2c，根據(jù)①求出2a＞2c，求出2a＞2c＞3b，求出a＞c＞b，再得出選項(xiàng)即可．【解答】解：設(shè)■，●，▲的質(zhì)量分別為a，b，c，由天平可知：①2a＞a+c，②3b＜2c，由①，得a＞c，所以2a＞2c，∴2a＞2c＞3b，即a＞c＞b，質(zhì)量最小的是“●”，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，能根據(jù)圖形得出2a＞a+c和3b＜2c是解此題的關(guān)鍵．四．一元一次方程的定義（共2小題）6．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是關(guān)于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0 B．7 C．8 D．10【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．【解答】解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是關(guān)于x的一元一次方程，∴7﹣a＝0且a≠0，解得：a＝7，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程，叫一元一次方程．7．（2022?宛城區(qū)一模）例如44x+64＝328，等，像這樣的方程叫做一元一次方程．請寫出一元一次方程的共同特點(diǎn)：只含有一個未知數(shù)，含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1．【分析】利用一元一次方程的定義解答即可．【解答】解：∵只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次為1的整式方程是一元一次方程，∴一元一次方程的共同特點(diǎn)有：只含有一個未知數(shù)，含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，故答案為：只含有一個未知數(shù)，含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．五．一元一次方程的解（共2小題）8．（2022?石家莊二模）x＝1是下列哪個方程的解（）A．6＝5﹣x B．2x+2＝3x+3 C． D．x2＝x【分析】把x＝1分別代入各個方程判斷即可．【解答】解：A、把x＝1代入方程得：左邊＝6，右邊＝4，∵左邊≠右邊，∴x＝1不是方程的解；B、把x＝1代入方程得：左邊＝2+2＝4，右邊＝3+3＝6，∵左邊≠右邊，∴x＝1不是方程的解；C、把x＝1代入方程，分母為0，∴x＝1不是方程的解；D、把x＝1代入方程得：左邊＝1，右邊＝1，∵左邊＝右邊，∴x＝1是方程的解．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．9．（2022?青縣一模）已知關(guān)于x的方程的解為x＝﹣10，則a的值為2；嘉琪在解該方程去分母時等式右邊的﹣1忘記乘6，則嘉琪解得方程的解為x＝﹣5．【分析】把x＝﹣10代入方程即可得出a的值；根據(jù)題意結(jié)合解一元一次方程的步驟即可得出嘉琪解得方程的解．【解答】解：把x＝﹣10代入關(guān)于x的方程，得：，解得a＝2；故原方程為，嘉琪的解題過程為：2（2x﹣1）＝3（x﹣2）﹣1，4x﹣2＝3x﹣6﹣1，4x﹣3x＝2﹣6﹣1，x＝﹣5．故答案為：2；﹣5．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1．注意移項(xiàng)要變號．六．解一元一次方程（共3小題）10．（2022?鐘山縣模擬）解方程：＝1．【分析】方程去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1即可．【解答】解：去分母，得3x+2（x﹣1）＝6，去括號，得3x+2x﹣2＝6，移項(xiàng)，得3x+2x＝6+2，合并同類項(xiàng)，得5x＝8，系數(shù)化為1，得x＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022?西安模擬）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x．【分析】方程去括號，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：去括號得：3x﹣3＝2﹣2x，移項(xiàng)得：3x+2x＝2+3，合并得：5x＝5，系數(shù)化為1得：x＝1．【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的方法是解本題的關(guān)鍵．12．（2022?昭化區(qū)模擬）解方程：．【分析】方程去分母，去括號，移項(xiàng)，合并把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：去分母，得：3（3x﹣1）﹣24＝8（5x﹣7），去括號，得：9x﹣3﹣24＝40x﹣56，移項(xiàng)，得：9x﹣40x＝﹣56+3+24，合并同類項(xiàng)，得：﹣31x＝﹣29，系數(shù)化為1，得：x＝．【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．七．含絕對值符號的一元一次方程（共2小題）13．（2021?江陰市校級模擬）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三個實(shí)數(shù)根，則k＝．【分析】先將方程化為|1﹣|x+1||＝kx﹣k，方程有三個實(shí)數(shù)根可以看作是函數(shù)y＝|1﹣|x+1||和函數(shù)y＝kx﹣k的圖象有三個交點(diǎn)，畫圖分析即可求解．【解答】解：將方程化為|1﹣|x+1||＝kx﹣k，∴方程有三個實(shí)數(shù)根可以看作是函數(shù)y＝|1﹣|x+1||和函數(shù)y＝kx﹣k的圖象有三個交點(diǎn)，∵化簡絕對值可得函數(shù)y＝，且函數(shù)y＝kx﹣k的圖象過定點(diǎn)（1，0），∴函數(shù)圖象如下：由圖可知，只有當(dāng)y＝kx﹣k過點(diǎn)（﹣1，1）時，才有三個交點(diǎn)，∴﹣k﹣k＝1，∴k＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)來做，涉及到絕對值的化簡，畫出分段函數(shù)的圖象，最后利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)分析即可解決．14．（2012?鳳陽縣校級模擬）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|x|＝|x﹣0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1，x2對應(yīng)點(diǎn)之間的距離；在解題中，我們會常常運(yùn)用絕對值的幾何意義：例1：解方程|x|＝2．容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為±2，即該方程的x＝±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如圖，在數(shù)軸上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣1，3，則|x﹣1|＞2的解為x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和﹣2的距離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，1和﹣2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或﹣2的左邊．若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，如圖可以看出x＝2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在﹣2的左邊，可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x+3|＝4的解為1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍．【分析】仔細(xì)閱讀材料，根據(jù)絕對值的意義，畫出圖形，來解答．【解答】解：（1）根據(jù)絕對值得意義，方程|x+3|＝4表示求在數(shù)軸上與﹣3的距離為4的點(diǎn)對應(yīng)的x的值為1或﹣7．（2）∵3和﹣4的距離為7，因此，滿足不等式的解對應(yīng)的點(diǎn)3與﹣4的兩側(cè)．當(dāng)x在3的右邊時，如圖，易知x≥4．當(dāng)x在﹣4的左邊時，如圖，易知x≤﹣5．∴原不等式的解為x≥4或x≤﹣5（3）原問題轉(zhuǎn)化為：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．∵當(dāng)x≥3時，|x﹣3|﹣|x+4|應(yīng)該恒等于﹣7，當(dāng)﹣4＜x＜3，|x﹣3|﹣|x+4|＝﹣2x﹣1隨x的增大而減小，∴﹣7＜|x﹣3|﹣|x+4|＜7，∵當(dāng)x≤﹣4時，|x﹣3|﹣|x+4|＝7，∴|x﹣3|﹣|x+4|的最大值為7．故a≥7．【點(diǎn)評】本題是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)深刻理解絕對值得幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，通過數(shù)形結(jié)合對材料進(jìn)行分析來解答題目．由于信息量較大，同學(xué)們不要產(chǎn)生畏懼心理．八．同解方程（共3小題）15．（2022?南山區(qū)模擬）若關(guān)于y的方程ay﹣2＝6+y與方程y+4＝2的解相同，則a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4【分析】先求方程y+4＝2的解，再將所求的解代入方程ay﹣2＝6+y，求出a的值即可．【解答】解：∵y+4＝2，∴y＝﹣2，∵方程ay﹣2＝6+y與方程y+4＝2的解相同，∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，∴﹣2a﹣2＝6﹣2，∴a＝﹣3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2020?邯山區(qū)校級二模）已知關(guān)于x的方程5x﹣2＝3x+16的解與方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，則a＝7；若[m]表示不大于m的最大整數(shù)，那么[﹣1]＝2．【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，將x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，將x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，得a＝7，所以．故答案為：7；2．【點(diǎn)評】本題考查了同解方程，本題的關(guān)鍵是正確解一元一次方程．理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．17．（2021?邵陽模擬）已知方程x+3＝0與關(guān)于x的方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12的解相同（1）求k的值；（2）若|m+5|+（n﹣1）k＝0求m+n的值．【分析】（1）解方程x+3＝0，得x的值，把x的值代入方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12，求出k的值；（2）把k的值代入，根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，先求出m、n的值，再求m+n．【解答】解：（1）由x+3＝0，得x＝﹣3，把x＝﹣3代入6x﹣3（x+k）＝x﹣12，得6×（﹣3）﹣3（﹣3+k）＝﹣3﹣12，整理，得3k＝6，解得k＝2．（2）∵k＝2，∴|m+5|+（n﹣1）2＝0∵|m+5|≥0，（n﹣1）2≥0∴m+5＝0，n﹣1＝0．∴m＝﹣5，n＝1．m+n＝﹣5+1＝﹣4．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程及解法，非負(fù)數(shù)的和為0等知識點(diǎn)．求出k的值是解決本題的關(guān)鍵．九．由實(shí)際問題抽象出一元一次方程（共2小題）18．（2022?蕭山區(qū)校級二模）在車間原計(jì)劃用15小時生產(chǎn)一批零件，實(shí)際每小時多生產(chǎn)了10件，用了13小時不但完成了任務(wù)，而且還多生產(chǎn)了80件，設(shè)原計(jì)劃每小時生產(chǎn)x個零件，那么下列方程正確的是（）A．x＝（x+10）+80 B．＝x+80 C．15x＝13（x+10）+80 D．13（x+10）＝15x+80【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系用了13小時不但完成了任務(wù)，而且還多生產(chǎn)了80件列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每小時生產(chǎn)x個零件，可得：13（x+10）＝15x+80，故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，然后再列出方程．19．（2022?政和縣模擬）中國一本著名數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《九章算術(shù)》，書中出現(xiàn)了一個“共買雞問題”，原文是：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？其題意是：有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多出11文錢；如果每人出6文錢，就相差16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價(jià)錢各是多少？設(shè)買雞的人數(shù)為x，則下面符合題意的方程是（）A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11 C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16【分析】設(shè)買雞的人數(shù)為x，則雞的價(jià)錢是（9x﹣11）文錢或（6x+16）文錢，根據(jù)雞的價(jià)格不變可得9x﹣11＝6x+16，此題得解．【解答】解：若設(shè)買雞的人數(shù)為x，則雞的價(jià)錢是（9x﹣11）文錢或（6x+16）文錢，根據(jù)題意得：9x﹣11＝6x+16，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程．一十．一元一次方程的應(yīng)用（共7小題）20．（2022?沂水縣一模）如圖，用一塊長7.5cm、寬3cm的長方形紙板，和一塊長6cm、寬1.5cm的長方形紙板，與一塊小正方形紙板以及另兩塊長方形紙板，恰好拼成一個大正方形，則小正方形的邊長是4.5cm，拼成的大正方形的面積是81cm2．【分析】設(shè)小正方形的邊長為xcm，然后表示出大正方形的邊長，利用正方形的面積相等列出方程求得小正方形的邊長，然后求得大正方形的邊長，即可求得拼成的大正方形的面積．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則大正方形的邊長為[6+（7.5﹣x）]cm或（x+1.5+3）cm，根據(jù)題意得：6+（7.5﹣x）＝x+1.5+3，解得：x＝4.5，∴6+（7.5﹣x）＝9，9×9＝81（cm2）．答：小正方形的邊長是4.5cm，拼成的大正方形的面積是81cm2．故答案為：4.5，81．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，設(shè)出小正方形的邊長并表示出大正方形的邊長．21．（2022?溫州校級模擬）在端午節(jié)來臨之際，某超市李老板花1600元購進(jìn)了A、B、C三種類型的粽子，其中A粽子40盒，B粽子35盒，C粽子10盒，A粽子每盒的進(jìn)價(jià)比B粽子低5元，C粽子進(jìn)價(jià)30元/盒．（1）求A粽子和B粽子每盒的進(jìn)價(jià)；（2）第一批粽子全部售出后，李老板又去采購，這次采購A粽子的數(shù)量和B粽子相同，但是A粽子的進(jìn)價(jià)每盒降低了m%，B粽子的進(jìn)價(jià)每盒提高了m%，當(dāng)A粽子花費(fèi)960元進(jìn)貨時，B粽子需要花費(fèi)1920元進(jìn)貨，①求m的值；②進(jìn)價(jià)調(diào)整后，李老板采購這三種粽子用了3000元，且A、B、C三種類型的粽子的售價(jià)分別為20元/盒，30元/盒，40元/盒，設(shè)出售完第二批粽子所得利潤為W元，求W的最大值．【分析】（1）設(shè)A粽子的進(jìn)價(jià)為x元/盒，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；（2）①根據(jù)采購A粽子的數(shù)量和B粽子相同列出方程，解方程即可；②設(shè)A粽子的數(shù)量為a盒，C粽子的數(shù)量為c盒，則B粽子的數(shù)量為a盒，根據(jù)采購這三種粽子用了3000元求出c＝100﹣a，然后根據(jù)總利潤＝三種粽子利潤之和列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．【解答】（1）解：設(shè)A粽子的進(jìn)價(jià)為x元/盒，根據(jù)題意得：40x+35（x+5）+30×10＝1600，解得：x＝15，∴x+5＝20，∴A粽子的進(jìn)價(jià)為15元/盒，B粽子的進(jìn)價(jià)為20元/盒；（2）①由題意得：＝，解得m＝20，經(jīng)檢驗(yàn)m＝20是原方程的解，∴m的值為20；②設(shè)A粽子的數(shù)量為a盒，C粽子的數(shù)量為c盒，則B粽子的數(shù)量為a盒，A進(jìn)價(jià)為15（1﹣20%）＝12（元），B進(jìn)價(jià)為20（1+20%）＝24，根據(jù)題意得：12a+24a+30c＝3000，∴c＝100﹣a，W＝（20﹣12）a+（30﹣24）a+（40﹣30）c＝14a+10（100﹣a）＝2a+1000，∵c＞0，∴100﹣a＞0，解得a＜，∵a，c都是整數(shù)，∴a＝80時，W有最大值，W＝2×80+1000＝1160，∴當(dāng)a＝80時，最大利潤是1160元．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和分式方程．22．（2022?埇橋區(qū)校級模擬）寒假期間，小亮同學(xué)想跟著父母一起從合肥乘坐高鐵去宣城，已知普通快車從合肥站到宣城站全程的平均速度為70km/h，剛開通的高鐵從合肥站到宣城站全程的平均速度為140km/h，行完全程高鐵比普通快車節(jié)省了90min．求合肥站到宣城站的距離為多少千米？【分析】設(shè)合肥站到宣城站的距離為x千米，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合行完全程高鐵比普通快車節(jié)省了90min，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)合肥站到宣城站的距離為x千米，依題意得：﹣＝，解得：x＝210．答：合肥站到宣城站的距離為210千米．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．23．（2022?馬鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分為線上和線下兩種銷售模式，消費(fèi)者從線上下單，每次可使用“滿30減28”消費(fèi)券一張（線下下單沒有該消費(fèi)券），同規(guī)格的一杯奶茶，線上價(jià)格比線下高20%，外賣配送費(fèi)為4元/次，訂單顯示用券后線上一次性購買6杯實(shí)際支付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，求該款奶茶線下銷售價(jià)格．【分析】設(shè)該款奶茶線下銷售價(jià)格為x元/杯，則線上銷售價(jià)格為（1+20%）x元/杯，根據(jù)用券后線上一次性購買6杯實(shí)際支付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該款奶茶線下銷售價(jià)格為x元/杯，則線上銷售價(jià)格為（1+20%）x元/杯，依題意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，解得：x＝20．答：該款奶茶線下銷售價(jià)格為20元/杯．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．24．（2022?新城區(qū)模擬）為引導(dǎo)廣大青少年樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，傳承紅色基因，某校組織學(xué)生去紅色革命圣地﹣延安開展研學(xué)旅行，若單獨(dú)租用30座客車若干輛，則恰好坐滿：若單獨(dú)租用40座客車，則可少租一輛．且余20個座位，求參加此次研學(xué)旅行的總?cè)藬?shù)．【分析】設(shè)租用30座客車x輛，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程30x＝40（x﹣1）﹣20，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)租用30座客車x輛，則：30x＝40（x﹣1）﹣20，解得：x＝6，∴30×6＝180（人），答：參加此次研學(xué)旅行的總?cè)藬?shù)為180人．【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程．25．（2022?運(yùn)城一模）在落實(shí)國家“精準(zhǔn)扶貧”政策的過程中，政府為某村修建一條長為400米的公路，由甲、乙兩個工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．甲工程隊(duì)獨(dú)立施工2天后乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)聯(lián)合施工4天后，還剩70米的工程．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多施工5米，求甲，乙工程隊(duì)每天各施工多少米？【分析】設(shè)乙工程隊(duì)每天施工x米，則甲工程隊(duì)每天施工（x+5）米，利用工作總量＝工作效率×工作時間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出乙工程隊(duì)每天施工的長度，再將其代入（x+5）中即可求出甲工程隊(duì)每天施工長度．【解答】解：設(shè)乙工程隊(duì)每天施工x米，則甲工程隊(duì)每天施工（x+5）米，依題意得：（2+4）（x+5）+4x＝400﹣70，解得：x＝30，∴x+5＝30+5＝35．答：甲工程隊(duì)每天施工35米，乙工程隊(duì)每天施工30米．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．26．（2022?石家莊一模）某社區(qū)打算購買一批垃圾分類提示牌和垃圾箱，計(jì)劃提示牌比垃圾箱多購買6個，且提示牌與垃圾箱的個數(shù)之和恰好為100個．（1）求計(jì)劃購買提示牌多少個？（2）為提升居民垃圾分類意識，實(shí)際購買時增加了提示牌的購買數(shù)量，且提示牌與垃圾箱的購買數(shù)量之和不變．已知提示牌的單價(jià)為每個60元，垃圾箱的單價(jià)為每個150元，若預(yù)算費(fèi)用不超過9800元，請求出實(shí)際購買提示牌的數(shù)量至少增加了多少個？【分析】（1）設(shè)計(jì)劃購買提示牌x個，則計(jì)劃購買垃圾箱（x﹣6）個，根據(jù)計(jì)劃購買提示牌與垃圾箱的個數(shù)之和恰好為100個，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)實(shí)際購買提示牌的數(shù)量增加了m個，則實(shí)際購買垃圾箱的數(shù)量減少了m個，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過9800元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)計(jì)劃購買提示牌x個，則計(jì)劃購買垃圾箱（x﹣6）個，依題意得：x+（x﹣6）＝100，解得：x＝53．答：計(jì)劃購買提示牌53個．（2）設(shè)實(shí)際購買提示牌的數(shù)量增加了m個，則實(shí)際購買垃圾箱的數(shù)量減少了m個，依題意得：60（53+m）+150（53﹣6﹣m）≤9800，解得：m≥．又∵m為正整數(shù)，∴m的最小值為5．答：實(shí)際購買提示牌的數(shù)量至少增加了5個．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．一十一．二元一次方程的定義（共2小題）27．（2022?麒麟?yún)^(qū)模擬）若方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則ab的值為（）A． B．2 C． D．1【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．【解答】解：∵方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴，解得，∴．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．28．（2021?饒平縣校級模擬）若關(guān)于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，則m+n＝2或4．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得到|n|＝1，m﹣2＝1，然后解不等式和方程得到滿足條件的m、n的值，然后把m、n的值代入m+n中計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：|n|＝1，m﹣2＝1，解得：n＝±1，m＝3，∴m+n＝3+1＝4，m+n＝3﹣1＝2，∴m+n的值是2或4，故答案為：2或4．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．一十二．二元一次方程的解（共3小題）29．（2022?上城區(qū)一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（）A． B． C． D．【分析】把各選項(xiàng)代入方程，驗(yàn)證可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時，﹣8﹣10＝﹣12≠2，故A選項(xiàng)不是二元一次方程的解；當(dāng)時，﹣4﹣2＝﹣6≠2，故B選項(xiàng)不是二元一次方程的解；當(dāng)時，4﹣2＝2，故C選項(xiàng)是二元一次方程的解；當(dāng)時，8+6＝14≠2，故D選項(xiàng)不是二元一次方程的解；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程解的驗(yàn)證辦法是解決本題的關(guān)鍵．30．（2022?鐵西區(qū)二模）已知是方程mx﹣y＝3的解，則m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【分析】把代入方程mx﹣y＝3得出﹣m﹣4＝3，再求出方程的解即可．【解答】解：把代入方程mx﹣y＝3得：﹣m﹣4＝3，解得：m＝﹣7，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟記二元一次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．31．（2022?易縣三模）我們稱使方程成立的一對數(shù)x，y為“相伴數(shù)對”，記為（x，y）．（1）若（6，y）是“相伴數(shù)對”，則y的值為；（2）若（a，b）是“相伴數(shù)對”，請用含a的代數(shù)式表示b＝a．【分析】（1）根據(jù)相伴數(shù)對的定義求解．（2）先建立關(guān)于a，b的方程，然后求解．【解答】解：（1）∵（6，y）是“相伴數(shù)對”，∴，解得：；故答案為：；（2）∵（a，b）是“相伴數(shù)對”，∴，解得：；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問題，理解新定義，建立相關(guān)方程是求解本題的關(guān)鍵．一十三．解二元一次方程（共3小題）32．（2022?長春二模）將方程7x﹣y＝5變形成用含x的代數(shù)式表示y，則y＝7x﹣5．【分析】把x看作已知數(shù)求出y即可．【解答】解：7x﹣y＝5，7x﹣5＝y(tǒng)，即y＝7x﹣5．故答案為：7x﹣5．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程，熟練掌握“解方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．33．（2022?惠城區(qū)一模）在二元一次方程5x﹣3y＝16中，若x、y互為相反數(shù)，求x與y值．【分析】根據(jù)x，y互為相反數(shù)，得到x+y＝0，與已知等式聯(lián)立求出x與y的值即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，①+②×3得：8x＝16，即x＝2，把x＝2代入②得：y＝﹣2．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．34．（2022?河源一模）方程3x+4y＝9，如果2y＝6，求x的值．【分析】利用代入消元法解方程組可得到x的值．【解答】解：，解②得y＝3，把y＝3代入①得3x+4×3＝9，解得x＝﹣1，所以方程組的解為，即x的值為﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組：利用加減消元法或代入消元法把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．一十四．由實(shí)際問題抽象出二元一次方程（共2小題）35．（2022?蕭山區(qū)二模）為了迎接杭州亞運(yùn)會的召開，某學(xué)校組織學(xué)生開展有關(guān)亞運(yùn)會的知識競賽．競賽共有20道題，規(guī)定：每答對一道題得5分，每答錯一道題扣3分，不答的題得1分．已知杭杭同學(xué)這次競賽成績?yōu)?0分．設(shè)杭杭同學(xué)答對了x道題，答錯了y道題，則有（）A．x﹣y＝10 B．5x﹣3y＝60 C．3x﹣y＝40 D．x+y＝20【分析】根據(jù)“每答對一道題得+5分，每答錯一道題扣3分，不答的題得1分．已知杭杭同學(xué)這次競賽成績?yōu)?0分”列出方程．【解答】解：依題意得：5x﹣3y+（20﹣x﹣y）＝60，即x﹣y＝10．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程．關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，注意：本題中的等量關(guān)系之一為：答對的題目數(shù)量+答錯的題目數(shù)量+不答的題目數(shù)量＝20，避免列錯方程．36．（2022?上虞區(qū)模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》上有這樣一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？若設(shè)雞x只，兔y只，則由頭數(shù)可列出方程x+y＝35，那么由足數(shù)可列出的方程為2x+4y＝94．【分析】根據(jù)“雞的數(shù)量+兔的數(shù)量＝35，雞的腳的數(shù)量+兔子的腳的數(shù)量＝94”可列方程組．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，則由頭數(shù)可列出方程x+y＝35，那么由足數(shù)可列出的方程為2x+4y＝94．故答案是：2x+4y＝94．【點(diǎn)評】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．一十五．二元一次方程的應(yīng)用（共3小題）37．（2022?前進(jìn)區(qū)三模）為了加大“精準(zhǔn)扶貧”力度，某市準(zhǔn)備將10名干部分成2人一組或3人一組，到村屯帶領(lǐng)貧困戶脫貧，在所有干部都參加且每人只能參加一個小組的前提下，分組方案有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】設(shè)可以分成2人組x組，3人組y組，根據(jù)各組的總?cè)藬?shù)為10人，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有2種分組方案．【解答】解：設(shè)可以分成2人組x組，3人組y組，依題意得：2x+3y＝10，∴x＝5﹣y，又∵x，y均為自然數(shù)，∴或，∴共有2種分組方案．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．38．（2022?樂陵市模擬）為落實(shí)好樂陵市“1115”高效課堂，李老師把班級里50名學(xué)生分成若干小組進(jìn)行小組互助學(xué)習(xí)，每小組只能是4人或6人，則分組方案有4種．【分析】設(shè)可以分成x組4人組，y組6人組，根據(jù)全班共有50名學(xué)生，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有4種分組方案．【解答】解：設(shè)可以分成x組4人組，y組6人組，依題意得：4x+6y＝50，∴x＝．又∵x，y均為自然數(shù)，∴或或或，∴共有4種分組方案．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．39．（2022?諸暨市模擬）我國的《洛書》中記載著世界最古老的一個幻方：將九個數(shù)字填入3×3的方格中，使三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，根據(jù)如圖的幻方，則代數(shù)式x﹣3y＝2．x2y﹣2y0【分析】根據(jù)三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，變形后即可得出x﹣3y的值．【解答】解：∵三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，∴x﹣2+0＝0+y+2y，∴x﹣3y＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．一十六．二元一次方程組的定義（共1小題）40．（2022?長春二模）下列方程組中是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義，逐一判斷即可解答．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．【解答】解：A、原方程組為三元一次方程組，故A不符合題意；B、原方程組為分式方程組，故B不符合題意；C、原方程組為二元一次方程組，故C符合題意；D、原方程組為二元二次方程組，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵．一十七．二元一次方程組的解（共1小題）41．（2022?淮陰區(qū)模擬）已知是方程組的解，則3a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】將代入后再將方程組中的兩個方程相加即可求解．【解答】解：∵是方程組的解，∴，①+②得，3a﹣b＝5，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．一十八．解二元一次方程組（共4小題）42．（2022?倉山區(qū)校級模擬）解方程組：．【分析】利用加減消元法進(jìn)行求解即可．【解答】解：，①×2得：2x+4y＝6③，③﹣②得：7y＝14，解得y＝2，把y＝2代入①得：x+4＝3，解得x＝﹣1，故原方程組的解是：．【點(diǎn)評】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．43．（2022?紅花崗區(qū)三模）解方程組：．【分析】方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：方程組整理得：，①﹣②得：5y＝0，解得：y＝0，把y＝0代入①得：x＝2，則方程組的解為．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．44．（2022?義安區(qū)模擬）解二元一次方程組：．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：，①×5+②×4得：22x＝77，解得：x＝，把x＝代入①得：7+4y＝9，解得：y＝，則方程組的解為．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．45．（2022?青秀區(qū)校級三模）閱讀下列材料，并回答問題：【情境1】：小紅在研究學(xué)習(xí)無理數(shù)時發(fā)現(xiàn)：①任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)；②任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)；③零與無理數(shù)的積為零．【情境2】：小剛在小紅研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，又發(fā)現(xiàn)：若ax+b＝0，其中a，b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，則a＝0且b＝0．例如：若，其中a，b為有理數(shù)，則a＝0，b＝0．【情境3】：后來，小陳也加入到小紅和小剛的研究學(xué)習(xí)當(dāng)中，并成功解決了之前困擾他的一道題：，其中a，b為有理數(shù)．分析：通過變形，得：．又a，b為有理數(shù)，∴解得：．運(yùn)用上述知識解決下列問題：（1）已知，其中a，b為有理數(shù)，則a＝2，b＝﹣1；（2）已知，其中a，b為有理數(shù)，求ab+2的值．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的方法求出a與b的值即可；（2）已知等式整理后，利用閱讀材料中的方法求出a與b的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵（a﹣2）?+b+1＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1；故答案為：2，﹣1；（2）已知等式整理得：（a+b）+2a﹣b﹣9＝0，∴a+b＝0，2a﹣b＝9，解得：a＝3，b＝﹣3，則原式＝3﹣3+2＝3﹣1＝．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清閱讀材料中的方法是解本題的關(guān)鍵．一十九．由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組（共1小題）46．（2022?興慶區(qū)校級三模）某商店促銷活動，同時購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花費(fèi)224元．已知一副羽毛球拍標(biāo)價(jià)比一副乒乓球拍標(biāo)價(jià)的2倍多20元，若一副乒乓球拍的標(biāo)價(jià)是x元，一副羽毛球拍的標(biāo)價(jià)為y元，根據(jù)題意，可列方程組（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“一副羽毛球拍標(biāo)價(jià)比一副乒乓球拍標(biāo)價(jià)的2倍多20元；購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花費(fèi)224元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵一副羽毛球拍標(biāo)價(jià)比一副乒乓球拍標(biāo)價(jià)的2倍多20元，∴y﹣2x＝20；∵購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花費(fèi)224元，∴0.7（x+y）＝224．∴列出的方程組為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．二十．二元一次方程組的應(yīng)用（共4小題）47．（2022?大名縣三模）可以借助圖1、圖2的方式測量桌子的高度，將兩塊完全一樣的長方體木塊先按圖1方式放置，再按圖2方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖所示，則桌子的高度是（）A．（a﹣b）cm B．cm C．（+b）cm D．m【分析】設(shè)圖中長方體木塊的長邊減短邊的長為xcm，根據(jù)兩圖形給定的數(shù)據(jù)，得出關(guān)于x、h的二元一次方程組，解之即可．【解答】解：設(shè)圖中長方體木塊的長邊減短邊的長為xcm，桌子的高度是hcm，依題意得：，解得：h＝，答：cm．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．48．（2022?龍華區(qū)校級模擬）某商店需要購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：（注：獲利＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）1435售價(jià)（元/件）2043若商店計(jì)劃銷售完這批商品后能獲利1240元，問甲、乙兩種商品應(yīng)分別購進(jìn)多少件．【分析】設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進(jìn)數(shù)量），結(jié)合購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件且銷售完這批商品后能獲利1240元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件，依題意得：，解得：．答：購進(jìn)甲種商品100件，乙種商品80件．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．49．（2022?翔安區(qū)模擬）某校計(jì)劃采購凳子，商場有A、B兩種型號的凳子出售，并規(guī)定：對于A型凳子，采購數(shù)量若超過250張，則超出部分可在原價(jià)基礎(chǔ)上每張優(yōu)惠a元；B型凳子的售價(jià)為40元/張．學(xué)校經(jīng)測算，若購買300張A型凳子需要花費(fèi)14250元；若購買500張A型凳子需要花費(fèi)21250元．（1）求a的值；（2）學(xué)校要采購A、B兩種型號凳子共900張，且購買A型凳子不少于150張且不超過B型凳子數(shù)量的2倍，請通過計(jì)算幫學(xué)校決策如何分配購買數(shù)量可以使得總采購費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？【分析】（1）設(shè)A型凳子的售價(jià)為x元/張，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合“購買300張A型凳子需要花費(fèi)14250元；購買500張A型凳子需要花費(fèi)21250元”，即可得出關(guān)于a，x的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)采購m張A型凳子，則采購（900﹣m）張B型凳子，根據(jù)“購買A型凳子不少于150張且不超過B型凳子數(shù)量的2倍”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可求出m的取值范圍，設(shè)總采購費(fèi)用為w元，分150≤m≤250及250＜m≤600兩種情況，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)A型凳子的售價(jià)為x元/張，依題意得：，解得：．答：a的值為15．（2）設(shè)采購m張A型凳子，則采購（900﹣m）張B型凳子，依題意得：，解得：150≤m≤600．設(shè)總采購費(fèi)用為w元．當(dāng)150≤m≤250時，w＝50m+40（900﹣m）＝10m+36000，∵10＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝150時，w取得最小值，最小值＝10×150+36000＝37500，此時900﹣m＝900﹣150＝750；當(dāng)250＜m≤600時，w＝50×250+（50﹣15）（m﹣250）+40（900﹣m）＝﹣5m+39750，∵﹣5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝600時，w取得最小值，最小值＝﹣5×600+39750＝36750，此時900﹣m＝900﹣600＝300．∵37500＞36750，∴采購600張A型凳子，300張B型凳子時，總采購費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是36750元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．50．（2022?泉港區(qū)模擬）為做好疫情防控工作，某單位計(jì)劃再購買甲、乙兩種新型額溫槍．若購買1支甲種額溫槍和2支乙種額溫槍共需700元，購買2支甲種額溫槍和3支乙種額溫槍共需1160元．試求出甲、乙兩種額溫槍的單價(jià)各多少元．【分析】設(shè)甲種額溫槍的單價(jià)為x元，乙種額溫槍的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買1支甲種額溫槍和2支乙種額溫槍共需700元，購買2支甲種額溫槍和3支乙種額溫槍共需1160元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲種額溫槍的單價(jià)為x元，乙種額溫槍的單價(jià)為y元，依題意得：，解得：．答：甲種額溫槍的單價(jià)為220元，乙種額溫槍的單價(jià)為240元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．二十一．同解方程組（共1小題）51．（2022?濟(jì)南二模）已知方程組和方程組有相同的解，則m的值是5．【分析】既然兩方程組有相同的解，那么將有一組x、y值同時適合題中四個方程，把題中已知的兩個方程組成一個方程組，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．【解答】解：解方程組，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．【點(diǎn)評】當(dāng)給出的未知數(shù)較多時，應(yīng)選擇只含有2個相同未知數(shù)的2個方程組成方程組求解．二十二．解三元一次方程組（共4小題）52．（2022?安徽模擬）實(shí)數(shù)x、y、z且x+y+z≠0，x＝，z＝，則下列等式成立的是（）A．x2﹣y2＝z2 B．xy＝z C．x2+y2＝z2 D．x+y＝z【分析】分別化簡這兩個等式，得到y(tǒng)＝x+z和y＝x﹣z，所以x+z＝x﹣z，所以z＝0，代入z＝中得x＝y(tǒng)，因?yàn)閤+y+z≠0，所以x＝y(tǒng)≠0，然后分別判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：∵x＝，∴2x＝x+y﹣z，∴y＝x+z，∵z＝，∴2z＝x﹣y+z，∴y＝x﹣z，∴x+z＝x﹣z，∴z＝0，把z＝0代入z＝中得：x＝y(tǒng)，∵x+y+z≠0，∴x＝y(tǒng)≠0．A．x2﹣y2＝x2﹣x2＝0＝z2，所以A選項(xiàng)正確，符合題意；B．xy≠0，z＝0，所以B選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．x2+y2≠0，z2＝0，所以C選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．x+y≠0，z＝0，所以D選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了三元一次方程組的解法，求出z＝0是解題的關(guān)鍵．53．（2021?蘇州一模）閱讀材料：善于思考的小明在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為：請你解決以下問題：（1）試用小明的“整體代換”的方法解方程組（2）已知x、y、z，滿足試求z的值．【分析】（1）將②變形后代入方程解答即可；（2）將原方程變形后利用加減消元解答即可．【解答】解：（1）將②變形得3（2x﹣3y）+4y＝11④將①代入④得3×7+4y＝11y＝把y＝代入①得，∴方程組的解為（2）由①得3（x+4y）﹣2z＝47③由②得2（x+4y）+z＝36④③×2﹣④×3得z＝2【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，用了整體代入思想．54．（2021?饒平縣校級模擬）已知方程組的解滿足方程x+y＝10，求k．【分析】根據(jù)題意，由x+y＝10和2x+y＝8，求出x、y的值，然后把x、y的值代入3kx+2y＝6k，即可求出k的值．【解答】解：∵x+y＝10①，2x+y＝8②，由①﹣②得：x＝﹣2，y＝12，把x、y的值代入3kx+2y＝6k得：﹣6k+24＝6k，解得k＝2．【點(diǎn)評】本題考查三元一次方程組的解法，有加減法和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡單．55．（2021?下城區(qū)一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中僅有一個為0，解這個方程組．【分析】原式化為，②﹣①得，x+y＝0，即可得出z＝0，由解得，即可求得原方程組的解為．【解答】解：原式化為，②﹣①得，x+y＝0，∵x，y，z的值中僅有一個為0，∴z＝0，由解得，∴原方程組的解為．【點(diǎn)評】本題考查了解三元一次方程組，加減消元法消去z聯(lián)立關(guān)于x、y的方程組是解題的關(guān)鍵．二十三．三元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）56．（2022?渝北區(qū)校級模擬）一家水果店購進(jìn)一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“天生荔質(zhì)”（內(nèi)裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內(nèi)裝6盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內(nèi)裝8盒草莓）三款禮盒進(jìn)行銷售，其中“天生荔質(zhì)”與“喜上莓梢”禮盒的數(shù)量之和比“櫻有盡有”禮盒數(shù)量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出，第二次該水果店購進(jìn)與第一次數(shù)量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓，也是全部組合成禮盒進(jìn)行銷售．根據(jù)顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規(guī)格與第一次相同），還組合成“春遇”、“春見”兩款混合水果禮盒若干套，其中每套“春遇”禮盒包含：1盒荔枝、4盒櫻桃、5盒草莓；每套“春見”禮盒包含：1盒荔枝、3盒櫻桃、4盒草莓．若第二次的所有禮盒也全部賣出，且第二次“天生荔質(zhì)”禮盒的數(shù)量是第一次該種禮盒數(shù)量的，第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，“春遇”和“春見”禮盒中所有水果的總盒數(shù)比“春遇”禮盒中荔枝的盒數(shù)多1352盒，則第一次銷售的所有禮盒共有360套．【分析】設(shè)第一次銷售的“櫻有盡有”禮盒是x套，“天生荔質(zhì)”禮盒是y套，則“喜上莓梢”禮盒是（2x﹣30﹣y）套，設(shè)第二次銷售的“春遇”禮盒是a套，“春見”禮盒是b套，根據(jù)第二次“天生荔質(zhì)”禮盒的數(shù)量是第一次該種禮盒數(shù)量的，得到2y﹣a﹣b＝0①，根據(jù)第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，得到16x﹣8y﹣5a﹣4b＝728②，根據(jù)“春遇”和“春見”禮盒中所有水果的總盒數(shù)比“春分”禮盒中荔枝的盒數(shù)多1352