中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第08講 二次函數(shù)（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第08講二次函數(shù)（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1．二次函數(shù)的概念常為中檔題．主要考查點的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等；2．二次函數(shù)的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等是中考命題的熱點；3．拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題一般較難，在解答題中出現(xiàn)．【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、二次函數(shù)的定義一般地，如果（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)．考點二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)(a≠0)的圖象是一條拋物線，頂點為．2.當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線的開口向下．3.①|(zhì)a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大．②c的大小決定拋物線與y軸的交點位置．c＝0時，拋物線過原點；c＞0時，拋物線與y軸交于正半軸；c＜0時，拋物線與y軸交于負(fù)半軸．③ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置．當(dāng)ab＝0時，對稱軸為y軸；當(dāng)ab＞0時，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)ab＜0時，對稱軸在y軸的右側(cè)．4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動而得到．將向上移動k個單位得：．將向左移動h個單位得：．將先向上移動k(k＞0)個單位，再向右移動h(h＞0)個單位，即得函數(shù)的圖象．5.幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時

開口向上

當(dāng)時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()考點三、二次函數(shù)的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出a、b、c的值．2.交點式（雙根式）：．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將第三點(m，n)的坐標(biāo)(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．3.頂點式：．若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．4.對稱點式：．若已知二次函數(shù)圖象上兩對稱點(x1，m)，(x2，m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．考點四、二次函數(shù)(a≠0)的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下．2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)時，對稱軸在y軸的左側(cè)．3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點．考點五、二次函數(shù)的最值1.如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)時，．2.如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)．①若在此范圍內(nèi)，則：當(dāng)a＞0時，，(此時，)；當(dāng)a＜0時，，(此時，)．②若不在此范圍內(nèi)，則：當(dāng)y隨x的增大而增大時，(此時，)，(此時，x＝x1)；當(dāng)y隨x的增大而減小時，(此時，)，(此時，x＝x2)．考點六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解【典型例題】題型一、應(yīng)用二次函數(shù)的定義求值 例1．已知拋物線y=（m-1）x2+mx+m2-4的圖象過原點，且開口向上．

（1）求m=，并寫出函數(shù)解析式；

（2）寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸．【變式】已知拋物線過原點，求m．題型二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例2．已知點M(-2，5)，N(4，5)在拋物線，則拋物線的對稱軸為________．【變式1】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，－6）兩點.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與軸交于點C，連結(jié)BA、BC，求△ABC的面積.yyxCAOB【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x-3與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側(cè)).（1）求拋物線的解析式及點B坐標(biāo)；（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E.求ME長的最大值；（3）試探究當(dāng)ME取最大值時，在拋物線x軸下方是否存在點P，使以M、F、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.題型三、求二次函數(shù)的解析式例3．拋物線的頂點為(2，3)，且與x軸的兩個交點之間的距離為6，求拋物線解析式．【變式】請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)(a≠0)的圖象同時滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減?。@樣的二次函數(shù)的解析式可以是________．題型四、二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系例4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的實數(shù))．其中正確的結(jié)論有()A．2個B．3個C．4個D．5個【變式】如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，張凱同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你認(rèn)為其中錯誤的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個xyxy-11O1題型五、求二次函數(shù)的最值例5．二次函數(shù)的最小值為()A．-35B．-30C．-5D．20題型六、二次函數(shù)綜合題例6．如左圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度AB＝20米，頂點M距水面6米(即MO＝6米)，小孔頂點N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，借助右圖中的直角坐標(biāo)系，求此時大孔的水面寬度EF．【變式1】如圖所示，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起。據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式。(2)足球第一次落地點C距守門員多少米?(取≈7)(3)運動員乙要搶到第二個落地點D，他應(yīng)再向前跑多少米?(取≈5)【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程.（其中m為實數(shù)），（1）若此方程的一個非零實數(shù)根為k，①當(dāng)k=m時，求m的值；②若記為y，求y與m的關(guān)系式；（2）當(dāng)＜m＜2時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?資陽）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1）．有以下四個結(jié)論：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），當(dāng)m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為﹣2，此時m的取值范圍是﹣3≤m≤﹣1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或43．（2022?阜新）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（）A．點（0，2）在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上 C．對稱軸是直線x＝1 D．與直線y＝3x有兩個交點4．（2022?濟(jì)南）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系5．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022?淄博）若二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象經(jīng)過P（1，3），Q（m，n）兩點，則代數(shù)式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結(jié)論中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m為任意實數(shù)，則am2+bm+2b≥4a，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022?濟(jì)南）拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）為圖形G上兩點，若y1＜y2，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1二．填空題（共8小題）9．（2022?南通）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是h＝﹣5t2+20t，當(dāng)飛行時間t為s時，小球達(dá)到最高點．10．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為m時，豎直高度達(dá)到最大值．11．（2022?六盤水）如圖是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象，該函數(shù)的最小值是．12．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是m．13．（2022?錦州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣1，0）和點（2，0），以下結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④當(dāng)x＜時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有．（填寫代表正確結(jié)論的序號）14．（2022?棗莊）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進(jìn)行了反思總結(jié)．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖象他得出下列結(jié)論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結(jié)論有.（填序號，多選、少選、錯選都不得分）15．（2022?湘西州）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是．16．（2022?荊門）如圖，函數(shù)y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設(shè)t＝，則t的取值范圍是．三．解答題（共9小題）17．（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點”．例如，點（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點”；點（2，1）是函數(shù)y＝圖象的“2階方點”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點中，是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點”的有（填序號）；（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，求a的值；（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．18．（2022?德州）如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（1，﹣2），．求該二次函數(shù)的解析式．（1）請根據(jù)已有信息添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：；（2）當(dāng)函數(shù)值y＜6時，自變量x的取值范圍：；（3）如圖1，將函數(shù)y＝x2﹣4x+1（x＜0）的圖象向右平移4個單位長度，與y＝x2﹣4x+1（x≥4）的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為L．若點P（3，m）在L上，求m的值；（4）如圖2，在（3）的條件下，點A的坐標(biāo)為（2，0），在L上是否存在點Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2022?攀枝花）第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角θ＝37°的跳臺A點以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空氣阻力，請回答下列問題：（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？（2）以A為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；（3）若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？20．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；（2）若點M在直線BC上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使△MBC面積最大時M點的坐標(biāo)，并求最大面積；（請在圖1中探索）（3）設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．（請在圖2中探索）21．（2022?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)．（2）如圖，點P為線段BC上的一個動點（點P不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．（3）動點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（2022?綿陽）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點，交y軸于點C（0，3），頂點D的橫坐標(biāo)為1．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點為頂點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出M點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．23．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點A，B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點D的坐標(biāo)；（2）如圖，連接BD，若點E在線段BD上運動（不與B，D重合），過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時，△BFE與△DEC的面積之和最??；（3）若將拋物線L1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點的對稱點分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點P，使得以B，M，P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．（2022?長春）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx（b是常數(shù)）經(jīng)過點（2，0）．點A在拋物線上，且點A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x軸．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點B是拋物線上一點，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點B作x軸的平行線交拋物線于另一點C，連結(jié)BC．當(dāng)BC＝4時，求點B的坐標(biāo)；（3）若m＞0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時，或者y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍；（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個交點，且交點的縱坐標(biāo)之差為時，直接寫出m的值．25．（2022?煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；（3）若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共6小題）1．（2023?武漢模擬）在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x中，若函數(shù)值大于0，則結(jié)合函數(shù)圖象判斷x的取值范圍是（）A．x＜0或x＞2 B．x＞0或x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜22．（2023?碑林區(qū)校級二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣（x﹣3）2+m（m是常數(shù)）上，若x1＜3＜x2，x1+x2＞6，則下列大小比較正確的是（）A．y1＞y2＞m B．y2＞y1＞m C．m＞y1＞y2 D．m＞y2＞y13．（2023?邢臺一模）關(guān)于拋物線C1：y1＝2x2﹣1與C2：y2＝2（x﹣2）2﹣3，下列說法不正確的是（）A．兩條拋物線的形狀相同 B．拋物線C1通過平移可以與C2重合 C．拋物線C1與C2的對稱軸相同 D．兩條拋物線均與x軸有兩個交點4．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的圖象過A（0，1），B（1，1），且當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值y＜0．若點P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實數(shù)時，y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y25．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣3，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在該函數(shù)圖象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法判斷6．（2023?邢臺一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，且OA＝5OB，下列結(jié)論不正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．b﹣4a＝0 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．若m為任意實數(shù)，則am2+bm≤4a﹣2b二．填空題（共11小題）7．（2023?鼓樓區(qū)校級一模）東方商廈將進(jìn)貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，則應(yīng)降價元．8．（2023?臨川區(qū)校級一模）拋物線y＝x2﹣2x﹣1的頂點坐標(biāo)為．9．（2023?豐臺區(qū)校級模擬）把拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為．10．（2023?漢陽區(qū)校級一模）將拋物線y＝10（x+1）2﹣3向右平移5個單位長度，再向下平移1個單位長度，平移后拋物線的解析式是．11．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是﹣1和2，則拋物線y＝bx2﹣ax+c的對稱軸為．12．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)模擬）教練對小明投擲實心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)實心球在行進(jìn)過程中高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投擲的成績是m．13．（2023?漢陽區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的圖象如圖所示，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，y的取值范圍為．14．（2023?廬江縣模擬）已知：拋物線y＝ax2﹣2ax（a≠0）．（1）此拋物線的對稱軸為直線x＝；（2）當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a＝．15．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則下列結(jié)論：①abc＞0；②二次函數(shù)的最大值為a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤當(dāng)y＞0時，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正確的結(jié)論有．16．（2023?武漢模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，0＜a＜c）經(jīng)過點（﹣1，0），下列結(jié)論：①b＞0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根；③當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而減?。虎躮為任意實數(shù)，若c＝3a，則代數(shù)式am2+bm+c的最小值是﹣a．其中正確的是（填寫序號）．17．（2023?寧波模擬）如圖，拋物線y＝ax2+5ax+4與x軸交于C、D兩點，與y軸交于點B，過點B作平行于x軸的直線，交拋物線于點A，連結(jié)AD、BC，若點A關(guān)于直線BD的對稱點恰好落在線段DC上，則a＝．三．解答題（共9小題）18．（2023?西安一模）如圖，小明站在點O處練習(xí)發(fā)排球，將球從O點正上2m的A點處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k．已知球與O點的水平距離ON為6m時，達(dá)到最高3m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．（1）請確定排球運行的高度y（m）與運行的水平距離滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）請判斷排球第一次落地是否出界？請通過計算說明理由．19．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖所示，一小球M從地面上的點O處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，以過O的水平線為x軸，以過O且垂直于x軸的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，OA是一個坡度為的斜坡，若小球到達(dá)最高點的坐標(biāo)為（4，8），（坡度：坡角的正切）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）小球在斜坡上的落點A的垂直高度為米；（3）若要在斜坡OA上的點B處豎直立一個高6米的廣告牌，點B的橫坐標(biāo)為2，請判斷小球M能否飛過這個廣告牌？通過計算說明理由．20．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線C1：y＝ax2+bx﹣3與x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線C1的解析式；（2）已知拋物線C2與拋物線C1關(guān)于y軸對稱，過點C作CD∥x軸交拋物線C1于點D，P是拋物線C2上的一個動點，連接PB、PC、BC、BD．若S△PBC＝S△BCD，求點P的坐標(biāo)．21．（2023?雁塔區(qū)校級二模）如圖，頂點為M的拋物線與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線L1頂點M的坐標(biāo)；（2）平移拋物線L1得到新拋物線L2，使得新拋物線L2經(jīng)過原點O，且與x軸另一交點為E，若△EAM為直角三角形，請求出滿足條件的新拋物線L2的表達(dá)式．22．（2023?武漢模擬）燃放煙花是一種常見的喜慶活動．如圖，武漢數(shù)學(xué)小杰燃放一種手持煙花，這種煙花每隔2s發(fā)射一枚花彈，每枚花彈的飛行路徑視為同一條拋物線，飛行相同時間后發(fā)生爆炸，小杰發(fā)射出的第一枚花彈的飛行高度h（單位：m）隨飛行時間（單位：s）變化的規(guī)律如表：飛行時間t/s00.514.5……飛行高度h/m29.51633.5……（1）求第一枚花彈的飛行高度h與飛行時間t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)?shù)谝幻痘◤椀竭_(dá)最高點時，求第二枚花彈到達(dá)的高度；（3）為了安全，要求花彈爆炸時的高度不低于30m．小杰發(fā)現(xiàn)在第一枚花彈爆炸的同時，第二枚花彈與它處于同一高度，請分析花彈的爆炸高度是否符合安全要求．23．（2023?海棠區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中有Rt△AOB，O為坐標(biāo)原點，A（0，3），B（﹣1，0），將此三角形繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△COD，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象剛好經(jīng)過A，B，C三點．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；（2）過定點Q的直線l：y＝kx﹣k+3與二次函數(shù)圖象相交于M，N兩點．①若S△PMN＝2，求k的值；②證明：無論k為何值，△PMN恒為直角三角形；③當(dāng)直線l繞著定點Q旋轉(zhuǎn)時，△PMN外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該拋物線的表達(dá)式．24．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知拋物線與x軸交于點A和點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A、點B以及點C的坐標(biāo)；（2）將拋物線沿x軸向左平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸的左交點為點D，與y軸的交點為點E，若∠EDO＝∠CBO，求m的值．25．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點D是該拋物線的頂點，點P（m，n）是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點，分別連接BD、BC、BP，當(dāng)∠PBA＝2∠CBD時，求m的值；（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點M，過M點的直線l與射線AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知當(dāng)直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，為定值，請直接寫出該定值．26．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，且點D是它的頂點，在y軸上有一點C（0，﹣1）．（1）求出拋物線的解析式及直線AB的解析式；（2）點E在直線AB上運動，若△BCE是等腰三角形時，求點E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點N是拋物線上一動點，若S△BDN＝S△BDO，求點N的坐標(biāo)．【名校自招練】一．選擇題（共3小題）1．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于A，B兩點，與y軸負(fù)半軸交于點C．若點B（4，0），則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）與N（x2，y2）是拋物線上兩點，若x1＜x2＜0，則y1＜y2＜0；④若拋物線的對稱軸是直線x＝3，k為任意實數(shù)，則a（k﹣3）（k+3）≤b（3﹣k）；⑤若AB≥3，則4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 D．22．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝﹣1，且過點（﹣3，0），下列說法不正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．2a﹣b＝0 C．3a+c＝0 D．若（﹣5，y1），（3，y2）是拋物線上兩點，y1＞y23．（2022?北碚區(qū)自主招生）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表：x…﹣1012…y…m﹣2﹣2n…當(dāng)x＝﹣時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y＞0，給出下列四個結(jié)論：①b＜0；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n的兩個根是﹣1和2；③m+2n＜10；④t（at+b）≥﹣（t為任意實數(shù)）．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共8小題）4．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）把拋物線y＝﹣2x2+1先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的表達(dá)式為．5．（2022?南陵縣自主招生）已知拋物線y＝x2+bx+c關(guān)于直線x＝2對稱，設(shè)x＝1，2，4時對應(yīng)的函數(shù)值依次為y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小關(guān)系是．（用“＜”連接）6．（2022?相城區(qū)校級自主招生）設(shè)max{x，y}表示x，y兩個數(shù)中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．則關(guān)于x的函數(shù)y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值為．7．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）若二次函數(shù)y＝2x2﹣3x+c與x軸有兩個不同交點，則c的取值范圍是．8．（2022?海曙區(qū)自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中，同時滿足下列兩個條件的點的坐標(biāo)為．（1）直線y＝﹣2x+3通過這樣的點；（2）不論m取何非零實數(shù)值，拋物線y＝mx2+（2m﹣1）x﹣3m都不通過這樣的點．9．（2022?相城區(qū)校級自主招生）已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于A（﹣2，p），B（1，q）兩點，則關(guān)于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是．10．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為m，n，且|m|+|n|≤1．設(shè)滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則|p|+|q|＝．11．（2022?鄞州區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的方程x2+2bx+3c＝0的兩個根分別是x1＝，x2＝，若點A是二次函數(shù)y＝x2+2bx+3c的圖象與y軸的交點，過A作AB⊥y軸交拋物線于另一交點B，則AB的長為．三．解答題（共15小題）12．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）已知二次函數(shù)f（x）＝x2﹣16x+q+3．（1）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；（2）是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12﹣t．13．（2022?長壽區(qū)自主招生）如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點．點P是拋物線上的一個動點．（1）求此拋物線的解析式．（2）求C、D兩點坐標(biāo)及△BCD的面積．（3）若點P在x軸下方的拋物線上．滿足S△PCD＝S△BCD，求點P的坐標(biāo)．14．（2022?南陵縣自主招生）交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、密度三個概念描述車流的基本特征，其中流量q（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速度v（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度，密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)．為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關(guān)系為q＝﹣2v2+120v．（1）當(dāng)該路段的車流速度為多少時，流量達(dá)到最大？最大流量是多少？（2）已知q，v，k滿足q＝vk．①市交通運行監(jiān)控平臺顯示，當(dāng)18≤v≤28該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象．試分析當(dāng)車流密度k在什么范圍時，該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象；②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，當(dāng)d＝25米時請求出此時的速度v．15．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）在臍橙豐收時，為了減少臍橙的庫存，某臍橙銷售公司決定開發(fā)市場增加銷售點進(jìn)行銷售，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，臍橙的每日銷售量y（kg）與銷售單價x（元/kg）滿足關(guān)系式：y＝﹣100x+3000，銷售單價不低于6元/kg且不高于20元/kg．當(dāng)每日銷售量低于2000kg時，該臍橙的成本價格為6元kg，當(dāng)每日銷售量不低于2000kg時，該臍橙的成本價格5元/kg，設(shè)該公司銷售臍橙的日獲利為w（元）．（1）求該公司銷售臍橙的日獲利w與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，銷售這種臍橙日獲利最大？最大利潤為多少元？16．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒一個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點O和點P．（1）求c，b（用t的代數(shù)式表示）；（2）拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線x＝1和x＝5分別交于M，N兩點，當(dāng)t＞1時，①在點P的運動過程中，你認(rèn)為sin∠MPO的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出sin∠MPO的值；②△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；③是否存在這樣的t值，使得以O(shè)，M、N，P為頂點的四邊形為梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．17．（2022?巴南區(qū)自主招生）已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，A（﹣4，0），B（12，0），C（0，﹣6）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，點P為直線BC下方拋物線上的一個動點，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，過點P作PE∥BC交x軸于點E，求PD+BE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移3個單位，得到新拋物線y'，點F為y'的對稱軸上任意一點，若以點B、C、F為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出符合條件的點F的坐標(biāo)．18．（2022?北碚區(qū)自主招生）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸正半軸交于點A，B，與y軸正半軸交于點C，且OC＝OB＝3OA，點D為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點P為直線BC下方該拋物線上任意一點，點E為直線BC與該拋物線對稱軸的交點，求△PBE面積的最大值；（3）如圖2，將該拋物線沿射線CB的方向平移2個單位后得到新拋物線y'，新拋物線y′的頂點為D'，過（2）問中使得△PBE面積為最大時的點P作平行于y軸的直線交新拋物線y'于點M．在新拋物線y′的對稱軸上是否存在點N，使得以點P，D'，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P為直線BC上方的拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）上任意一點，PH⊥BC，垂足為H，求線段PH長的最大值；（3）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對應(yīng)點分別為M，N，當(dāng)以點A，M，N為頂點的三角形是以MN為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)，并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程．20．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝﹣x2向上平移4個單位，向右平移1個單位得新拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0），新拋物線交x軸于點A，B（點A在點B左側(cè)），交y軸于點C．（1）求a，b，c的值；（2）如圖1，點P為直線BC上方新拋物線上一動點，過點P作PQ∥x軸交直線BC于點Q．當(dāng)PQ取最大值時，求點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，PQ取最大值時，PQ交新拋物線的對稱軸于點M，直線BC交新拋物線的對稱軸于點N．把Rt△MNQ繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到Rt△M′NQ′．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)Rt△M′NQ′的直角邊與直線AC平行時，求直角頂點M′的坐標(biāo)．21．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A，B分別位于原點的左右兩側(cè)，且BO＝3AO＝3．已知直線y＝kx+n過B，C兩點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點P是拋物線上的一個動點．①如圖1，若點P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點D．記△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，若S1：S2＝1：2，求點P的坐標(biāo)；②如圖2，拋物線的對稱