中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第10講 全等三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第10講全等三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等.【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形的周長、面積相等；對應(yīng)的高線，中線，角平分線相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL).考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來．應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：1.條件充足時直接應(yīng)用判定定理要點(diǎn)詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．2.條件不足，會增加條件用判定定理要點(diǎn)詮釋：此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3.條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理要點(diǎn)詮釋：在證明兩個三角形全等時，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．常見的幾種輔助線添加：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”；②遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；④過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；⑤截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目．【典型例題】題型一、全等三角形例1.如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【變式】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長AD到E點(diǎn)，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．題型二、靈活運(yùn)用定理例2．如圖，已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF.【變式】如圖所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.例3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式】如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．題型三、綜合運(yùn)用例5．如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點(diǎn)，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【變式】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE.下列結(jié)論中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有()．A．1個 B．2個 C．3個D．4個AABCDEFG例6．如圖，已知△ABC.（1）請你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E(BC的中點(diǎn)除外)，連結(jié)AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC＞AD+AE．【變式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC3．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL4．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個條件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE5．（2022?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD6．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．（2022?西寧）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點(diǎn)P作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F．則以下結(jié)論錯誤的是（）A．△AOB是等邊三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形8．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．189．（2022?淄博）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空題（共11小題）10．（2022?寧夏）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個條件是.（只寫一個）11．（2022?湖北）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，請你添加一個條件，使△ABC≌△DEF．12．（2022?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEC．13．（2022?黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請你添加一個條件，使△AOB≌△COD．14．（2022?株洲）如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝度．15．（2022?南充）如圖，正方形ABCD邊長為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A，B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C．給出下列四個結(jié)論：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③點(diǎn)P是直線DE上動點(diǎn)，則CP+A1P的最小值為；④當(dāng)∠ADE＝30°時，△A1BE的面積為．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號）16．（2022?大慶）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個動點(diǎn)，且正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍．連接DE，DF分別與對角線AC交于點(diǎn)M，N，給出如下幾個結(jié)論：①若AE＝2，CF＝3，則EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，則MN＝4；④若＝2，BE＝3，則EF＝4．其中正確結(jié)論的序號為．17．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．18．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點(diǎn)，且BD＝BC，連接CD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），連接DE，則BE的長為．19．（2022?朝陽）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長為．20．（2022?深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為．三．解答題（共8小題）21．（2022?銅仁市）如圖，點(diǎn)C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求證：△ABC≌△CDE．22．（2022?益陽）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．23．（2022?廣州）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求證：△ABD≌△ACE．24．（2022?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時，求BD的長．25．（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。?6．（2022?黃石）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度數(shù)．27．（2022?資陽）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．28．（2022?荊門）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點(diǎn)F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共4小題）1．（2023?金安區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點(diǎn)，AD＝3，CD＝5，則線段BF的長度為（）A．1 B．2 C． D．2．（2023?海口一模）如圖，將邊長6cm的正方形紙片沿虛線剪開，剪成兩個全等梯形．已知裁剪線與正方形的一邊夾角為60°，則梯形紙片中較短的底邊長為（）A．（3﹣）cm B．（3﹣2）cm C．（6﹣）cm D．（6﹣2）cm3．（2023?三亞一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF∥AC交EG的延長線于點(diǎn)F．若AG＝3，則陰影部分的面積為（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.54．（2023?金安區(qū)校級模擬）兩個直角三角板如圖擺放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，點(diǎn)B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，則∠ABE的大小為（）A．75° B．45° C．60° D．65°二．填空題（共2小題）5．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β＝度．6．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC與△ABD全等，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是（寫出一個即可）．三．解答題（共9小題）7．（2023?秦都區(qū)校級模擬）如圖，∠C＝∠E，AC＝AE，點(diǎn)D在BC邊上，∠1＝∠2，AC和DE相交于點(diǎn)O．求證：△ABC≌△ADE．8．（2023?廣西模擬）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面積．9．（2023?雁塔區(qū)一模）已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．10．（2023?銅川一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．11．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）如圖②，M是點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接DM，AM，CM，求證：DM＝AM．12．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖1，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB＝AC＝AD，DE＝DC．（1）求證：∠BAE＝∠D；（2）如圖2，如果AB⊥AC，求BE：EC的值（提示：先求∠D的度數(shù)）；（3）延長線段BA交DC于點(diǎn)F．如果△ACF是等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝2，求DC的長．13．（2023?蓮湖區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．14．（2023?碑林區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D、E分別為AB、BC上一點(diǎn)，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求證：CD＝DE．15．（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足為D，點(diǎn)E在AD上，BE平分∠ABD，點(diǎn)F在BD延長線上，BF＝CE，延長FE交BC于點(diǎn)H．（1）求證：∠CBE＝45°；（2）寫出線段BH和EH的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．【名校自招練】一．選擇題（共4小題）1．（2021?江夏區(qū)校級自主招生）如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）A．330° B．315° C．310° D．320°2．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，點(diǎn)F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一個條件，不一定能證明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF3．（2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生）Rt△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN＝90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①（BE+CF）＝BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四邊形AEDF＝AD?EF；④AD≥EF；⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2021?寧波自主招生）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD為△ABC的中線，點(diǎn)F在邊AC上（不與端點(diǎn)重合），BF與AD交于點(diǎn)E，若AF＝EF，則AE的長為（）A． B．3 C． D．4二．多選題（共1小題）（多選）5．（2021?洪山區(qū)校級自主招生）在△ABC中，CA＝CB，P是△ABC外一動點(diǎn)，滿足∠CAP+∠CBP＝180°，設(shè)∠CPA＝α，則下列結(jié)論正確的有（）A．∠CPA＝∠CPB B．設(shè)四邊形ACBP的面積為S，則S≤AB?CP C．若α＝30°，BC＝4，則PC的最大值為8 D．若α＝60°，PA＝4，PB＝2，則PD的長度為三．填空題（共3小題）6．（2022?南陵縣自主招生）如圖，在△ABC中，∠BA