中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第11講 特殊三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第11講特殊三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1．了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定．2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題．3.會運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關(guān)問題．【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì)；(2)兩底角相等(等邊對等角)；(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)；(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°．3．判定：(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余；(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊．【典型例題】題型一、等腰三角形例1．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（2）探究：當(dāng)a為多少度時，△AOD是等腰三角形？【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【答案與解析】解：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC=CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，則a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以當(dāng)α為110°、125°、140°時，三角形AOD是等腰三角形．【總結(jié)升華】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵．【變式】把腰長為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是________．【答案】.例2．已知:如圖,菱形ABCD中,E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，BE=DF．(1)求證:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】菱形的定義和性質(zhì).【答案與解析】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D，又∵BE=DF，∴≌．∴AE=AF(2)連接AC,∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等邊三角形．∴,．∴．又∵AE=AF∴是等邊三角形．【總結(jié)升華】此題涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì).【變式】如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，使AE=BD，連接CE、DE.求證：CE=DE.【答案】延長BD到F，使DF＝BC，連接EF，∵等邊△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等邊△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．題型二、直角三角形例3．如圖，△ABC中，CF⊥AB，垂足為F，M為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且ME=MF．（1）求證：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°列式計(jì)算即可得解．【答案與解析】（1）證明：∵CF⊥AB，垂足為F，M為BC的中點(diǎn)，∴MF=BM=CM=BC，∵M(jìn)E=MF，∴ME=BM=CM=BC，∴BE⊥AC；（2）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵M(jìn)E=MF=BM=CM，∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）=360°﹣2×130°=100°，在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）中整體思想的利用．例4．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點(diǎn)G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【思路點(diǎn)撥】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,為證明全等提供了等線段的條件.【答案與解析】猜測AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB．∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．【總結(jié)升華】兩條線段的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩種.【變式】.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn=________.【答案】.題型三、綜合運(yùn)用例5.如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點(diǎn)時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時，則AB邊上的高CH=______.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=________.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長線上的點(diǎn)時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中.例6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連結(jié)CF，過點(diǎn)F作，交直線AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件判斷FH=FC,要證FH=FC一般就要證三角形全等.【答案與解析】（1）FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：．

延長交于點(diǎn)G，由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且．∴DG為的中位線．∴．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC-DE=DG-DF．即EC=FG．∵∠EDF=90°，，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°∴∠1=∠2．∵與都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°．∴∠CEF=∠FGH=135°．∴△CEF≌△FGH．∴FH=FC．（2）FH與FC仍然相等．【總結(jié)升華】對于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運(yùn)用，注重積累解題思路和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力和培養(yǎng).【變式】如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝5，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長．【解答】解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長．3．（2022?賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數(shù)為（）A．34° B．44° C．124° D．134°【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．4．（2022?德州）將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠α的度數(shù)．【解答】解：∵含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示：∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠C＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022?臺灣）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在AB上，E點(diǎn)在BC上，DE為AB的中垂線．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，則根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3 C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵DE為AB的中垂線，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN．直線MN與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（）A．6 B．3 C．1.5 D．1【分析】根據(jù)題意可知：MN是線段AC的垂直平分線，然后根據(jù)三角形相似可以得到點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，即可得到CD的長．【解答】解：由已知可得，MN是線段AC的垂直平分線，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2022?黑龍江）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD＝1.5，則PE的長是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，證明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位線定理可得AD的長，由三角形ABC的面積是24，得BC的長，最后由勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴G是AD的中點(diǎn)，∴EG＝BD，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面積是24，∴?BC?AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．8．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接BF．若AC＝16，BC＝12，則BF的長為（）A．5 B．4 C．6 D．8【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結(jié)合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BF＝CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20．∵CD為中線，∴CD＝AB＝10．∵F為DE中點(diǎn)，BE＝BC，即點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，∴BF是△CDE的中位線，則BF＝CD＝5．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是推知線段CD的長度和線段BF是△CDE的中位線．9．（2022?宜賓）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，則＝；④在△ABC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長線上，且AP的長為2，則CE＝2+．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】①正確．證明△BAD≌△CAE（SAS），可得結(jié)論；②正確．證明A，D，C，E四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理證明；③正確．設(shè)CD＝m，則BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，過點(diǎn)C作CJ⊥DF于點(diǎn)J，求出AO，CJ，可得結(jié)論；④錯誤．將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時，PA+PB+PC值最小，此時∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，設(shè)PD＝t，則BD＝AD＝t，構(gòu)建方程求出t，可得結(jié)論．【解答】解：如圖1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正確，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中點(diǎn)O，連接OA，OA，OC，則OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠CED，故②正確，設(shè)CD＝m，則BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，過點(diǎn)C作CJ⊥DF于點(diǎn)J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正確．如圖2中，將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等邊三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時，PA+PB+PC值最小，此時∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，設(shè)PD＝t，則BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二．填空題（共10小題）10．（2022?岳陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BC＝6，則CD＝3．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知D是BC的中點(diǎn)，即可求出CD的長．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．11．（2022?蘇州）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的長為6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍長三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，則△ABC三邊分別是6，6，3，符合題意，∴腰AB的長為6；若BC＝3＝2AB，則AB＝1.5，△ABC三邊分別是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰AB的長是6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用及掌握三角形任意兩邊的和大于第三邊．12．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC與DE相交于點(diǎn)F．若BC∥AE，則∠AFE的度數(shù)為105°．【分析】由三角形內(nèi)角和定理可知，∠C＝30°，∠E＝45°，再利用平行線的性質(zhì)可知∠CAE＝30°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【解答】解：在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，∠E＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°，∵BC∥AE，∴∠CAE＝∠C＝30°，在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022?荊州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE＝AE＝1，則CD＝．【分析】如圖，連接BE，根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線，從而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，連接BE，∵CE＝AE＝1，∴AE＝3，AC＝4，而根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線，∴AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC＝＝2，∴AB＝＝2，∵CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，∴CD＝AB＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，同時也利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．14．（2022?廣安）若（a﹣3）2+＝0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為11或13．【分析】先求a，b．再求第三邊c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，設(shè)三角形的第三邊為c，當(dāng)a＝c＝3時，三角形的周長＝a+b+c＝3+5+3＝11，當(dāng)b＝c＝5時，三角形的周長＝3+5+5＝13，故答案為：11或13．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形周長計(jì)算，求出a，b后確定腰和底是求解本題的關(guān)鍵．15．（2022?河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，且CP＝1，將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°時，AQ的長為或．【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上，利用勾股定理分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴點(diǎn)C、D、Q在同一條直線上，由旋轉(zhuǎn)得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，綜上所述：當(dāng)∠ADQ＝90°時，AQ的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．16．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，若DE＝1，則FG＝1．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長，進(jìn)而利用三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴FG是△ACB的中位線，∴FG＝AB＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】此題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長解答．17．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．【分析】解法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明∠G＝90°，分別計(jì)算AD，CG，AG，BG的長，由線段的和與差可得AM和AN的長，最后由勾股定理可得MN的長，計(jì)算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長，從而得結(jié)論．【解答】解：解法一：如圖，延長DC，AB交于點(diǎn)G，過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m．解法二：如圖，延長DC，AB交于點(diǎn)G，連接CN，CM，則∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等邊三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m．故答案為：370．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識與方法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可．18．（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，證△APB∽△BFE，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周長為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．19．（2022?西寧）如圖，△ABC中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，則EF＝1．【分析】利用三角形中位線定理得到DE＝BC．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DF＝AB．所以由圖中線段間的和差關(guān)系來求線段EF的長度即可．【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的相關(guān)內(nèi)容，題目比較好，難度適中．三．解答題（共4小題）20．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022?鄂爾多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是AE＝CF，位置關(guān)系是AE⊥CF；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．【分析】（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝∠F，則可得出結(jié)論；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝＝＝6，∴EM＝GM+EG＝6+6．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．（1）∠EDC的度數(shù)為45°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（4）求的最大值．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位線定理可得DE∥AB，可求解；（2）設(shè)AP＝x，由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可求AG的長，由三角形面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；（4）利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出CH，CE的值，即可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，∵D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE＝BP，∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案為：45；（2）設(shè)AP＝x，則BP＝12﹣x，∵DE＝BP，∴DE＝6﹣，∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF＝DE＝3﹣x，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝6，∴CF＝3+x，∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CGF＝45°，∴GF＝FC，∴GC＝FC＝6+，∴AG＝6﹣，∴S△APG＝×AP×AG＝×x×（6﹣）＝﹣（x﹣6）2+9，∴當(dāng)x＝6時，△APG的面積的最大值為9；（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，∴△CEF≌△GDF（SAS），∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，∵∠DGF+∠GDF＝90°，∴∠GDF+∠DCE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DG⊥PE，∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴PE＝EC，∴DG＝PE；（4）方法一、∵CF＝3+x＝GF，EF＝3﹣x，∴EC＝＝，∵AP＝x，AC＝12，∴PC＝＝，∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，∴△APC∽△HGC，∴＝，∴＝，∴GH＝，CH＝，∴＝＝12×＝≤＝＝＝，∴的最大值為．方法二、如圖，過點(diǎn)H作MH∥AB，交BC于M，∵∠DHC＝90°，∴點(diǎn)H以CD為直徑的⊙O上，連接OH，并延長交AB于N，∵M(jìn)H∥AB，∴，∵OH，OB是定長，∴ON的取最小值時，OM有最大值，∴當(dāng)ON⊥AB時，OM有最大值，此時MH⊥OH，CM有最大值，∵DE∥AB，∴MH∥DE，∴，∴當(dāng)CM有最大值時，有最大值，∵AB∥MH，∴∠HMO＝∠B＝45°，∵M(jìn)H⊥OH，∴∠HMO＝∠HOM＝45°，∴MH＝HO，∴MO＝HO，∵HO＝CO＝DO，∴MO＝CO，CD＝2CO，∴CM＝（+1）CO，∴＝＝．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．23．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，將△BED繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點(diǎn)B′、E′分別與點(diǎn)B、E對應(yīng)），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點(diǎn)G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得結(jié)論；（2）通過證明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AB'＝AD，即可求解．【解答】解：（1）如圖1，延長CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致，理由如下：如圖2，延長CE'交AB'于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵＝1，∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如圖3，過點(diǎn)D作DH⊥AB'于點(diǎn)H，∵△BED繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，∴AB'＝AD，由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD＝，∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'＝AD＝5．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共11小題）1．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知等腰△ABC，∠A的相鄰?fù)饨鞘?30°，則這個三角形的頂角為（）A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠A，再分∠A是頂角與底角兩種情況討論求解即可．【解答】解：∵∠A的相鄰?fù)饨鞘?30°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，①∠A是頂角時，頂角為50°，②∠A是底角時，頂角為180°﹣50°×2＝80°，所以，這個三角形的頂角為50°或80°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論．2．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若CD＝2，則BD的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DE＝EC＝CD＝1，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BE＝AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝2．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝2，∴DE＝EC＝CD＝1，在直角△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝AB＝×6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣1＝2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．3．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，則的值為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，將△ABC分成兩個特殊的直角三角形：△ABD和△ACD，從而解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，∴BD＝AD，AB＝BD＝AD，∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，∴AC＝2AD，∴，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023?泰山區(qū)校級一模）輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）海里．A．25 B．25 C．50 D．25【分析】根據(jù)題中所給信息，求出∠BCA＝90°，再求出∠CBA＝45°，從而得到△ABC為等腰直角三角形，然后根據(jù)解直角三角形的知識解答．【解答】解：根據(jù)題意，∠1＝∠2＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°+60°＝90°，∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵BC＝50×0.5＝25（海里），∴AC＝BC＝25（海里）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形和方位角，根據(jù)方位角求出三角形各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖所示，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】延長BN交AC于D，證明△ANB≌△AND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：延長BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．6．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠A＝40°，則有（）A．∠1＝50° B．∠1＝40° C．∠1＝35° D．∠1＝20°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，根據(jù)∠A＝40°和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠1＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2023?海棠區(qū)一模）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，討論：當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，先計(jì)算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠ACB；當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，先計(jì)算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；當(dāng)BD在△ABC外部時，如圖2，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD＝15°，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為75°或15°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．8．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形∠1＝50°，則∠2的大小為（）A．60° B．80° C．70° D．100°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)可求∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，∵直線l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，將一副直角三角尺重疊擺放，使得60°角的頂點(diǎn)與等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，且DE⊥AB于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)F，則∠FCE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．85°【分析】根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，直角三角形的兩個銳角互余解答即可．【解答】解：∵DE⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADF＝90°，∵∠CDE＝45°，∴∠ADC＝45°，∵∠A＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠DCB＝15°，∵∠DCE＝90°，∴∠FCE＝75°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形和直角三角形，熟練掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?瑤海區(qū)校級模擬）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+2【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，連接OM，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BM，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OM，即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，連接OM，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴M是AC的中點(diǎn)，∵AC＝4，∴BC＝4，MC＝2，根據(jù)勾股定理，得BM＝，根據(jù)題意，得∠AOC＝90°，∴OM＝＝2，∴OM+MB＝2+，∴點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形與直角三角形的綜合，涉及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，最大值問題等，綜合性較強(qiáng)．11．（2023?深圳模擬）如圖，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，AB與CD交于點(diǎn)E，若BC＝2，AB＝4，則點(diǎn)D到AC的距離是（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)D作DG⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)G，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝2，然后在Rt△DBG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，最后根據(jù)△ADC的面積＝△ABC的面積+△ADB的面積﹣△DBC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)D作DG⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)G，∵∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠ADB＝90°，DA＝DB，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝＝＝2，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠DBG＝90°﹣∠DBA＝45°，在Rt△DBG中，DB＝2，∴DG＝DB?sin45°＝2×＝2，∴△ADC的面積＝△ABC的面積+△ADB的面積﹣△DBC的面積，∴AC?DF＝AB?BC+AD?DB﹣BC?DG，∴×2DF＝×4×2+×2×2﹣×2×2，∴DF＝4+4﹣2，∴DF＝，∴點(diǎn)D到AC的距離是，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形，點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）12．（2023?金安區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點(diǎn)D，CD＝OD，則∠BAC＝30°．【分析】連接OC，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠DOC，∠A＝∠C，即∠A＝∠C＝∠DOC，然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算∠A的度數(shù)．【解答】解：連接OC，∵CD＝OD，∴∠C＝∠DOC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠C＝∠DOC，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∵∠A+∠AOC+∠C＝180°，∴∠A+90°+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等．也考查了三角形內(nèi)角和．13．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交CE的延長線于點(diǎn)D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝．【分析】先根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的長，根據(jù)∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的長，再求出AF的長，利用勾股定理即可求出AC的長．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝8﹣x，∵在Rt△ABC中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝CE＝x，∵BD⊥AB，∴∠EBD＝90°，∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，∵CF⊥AB，∴∠CFE＝∠CFA＝90°，∴∠CFE＝∠EBD，又∵∠CEF＝∠DEB，∴△CFE∽△DBE，∴，即，解得：EF＝，CF＝，∴AF＝AE﹣EF＝，∵∠CFA＝90°，∴AC＝＝；故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查的是直角三角形斜邊的中線和相似三角形，解題關(guān)鍵：一是求出AE、BE、CE和DE的長，二是證出△CFE∽△DBE．三．解答題（共8小題）14．（2023?閻良區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)．點(diǎn)E是射線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合）．點(diǎn)F在ED的延長線上，且DF＝DE，DG⊥EF，垂足為點(diǎn)D，DG交邊AC于點(diǎn)G．（1）求證：AF∥BC；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，設(shè)AG＝x，CE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)CE＝2時，直接寫出AG的長．【分析】（1）證明△ADF≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠FAD＝∠B，根據(jù)平行線的判定定理證明；（2）連接GF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到GF＝GE，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，得到答案；（3）分點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上兩種情況，根據(jù)（2）的結(jié)論，勾股定理計(jì)算即可．【解答】（1）證明：在△ADF和△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠FAD＝∠B，∴AF∥BC；（2）解：連接GF，∵△ADF≌△BDE，∴AF＝BE，∵DF＝DE，DG⊥EF，∴DG是EF的垂直平分線，∴GF＝GE，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴AC＝＝18，由勾股定理得，GF2＝AF2+AG2，GE2＝CE2+CG2，∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（6﹣y）2+x2＝y(tǒng)2+（18﹣x）2，整理得，y＝x﹣6（6＜x＜12）；（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，CE＝2，即y＝2，∴x﹣6＝2，解得，x＝6+，即AG＝6+，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，如圖2，連接GE，GF，由（1）得，AF∥BC，∴∠GAF＝90°，∴AF2+AG2＝CE2+CG2，即（2+6）2+x2＝22+（18﹣x）2，?解得，x＝6﹣，綜上所述，當(dāng)CE＝2時，AG的長為6+或6﹣．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接ED并延長到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當(dāng)∠BEC與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，AC＝AF，并說明理由．【分析】（1）利用SAS證明△BDE?△CDF，可得∠EBD＝∠FCD，運(yùn)用平行線判定定理即可證得結(jié)論；（2）由全等三角形性質(zhì)可得：BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，由等腰三角形性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝，進(jìn)而可得∠ACF＝90°，運(yùn)用勾股定理即可得出答案；（3）如圖，連接BF，先證明四邊形BECF是平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)可得∠BEC＝∠BFC，再運(yùn)用四邊形內(nèi)角和為360°即可求得答案．【解答】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∵ED＝DF，∠EDB＝∠CDF，∴△BDE?△CDF（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∴BE∥CF；（2）證明：由（1）可知△BDE?△CDF（SAS），∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，∵∠EBD＝∠BAC，∴∠FCD＝∠BAC，∴∠ACF＝∠ACB+∠FCD＝+∠BAC＝90°，∴AF2＝AC2+CF2＝AB2+BE2；（3）解：當(dāng)∠BEC＝180°﹣∠BAC時，AC＝AF．理由如下：如圖，連接BF，由（1）（2）可得：BE∥CF，BE＝CF，∴四邊形BECF是平行四邊形，∴∠BEC＝∠BFC，∵AC＝AF，AB＝AC，∴∠ABF＝∠AFB，∠AFC＝∠ACF，∵四邊形ABFC的內(nèi)角和為360°，∴∠BAC+∠ABF+∠AFB+∠AFC+∠ACF＝360°，∴∠BAC+2（∠AFB+∠AFC）＝360°，∴∠BAC+2∠BFC＝360°，∴∠BAC+2∠BEC＝360°，∴∠BEC＝180°﹣∠BAC．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)．16．（2023?鼓樓區(qū)校級一模）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），在三角形外作等邊△CDE，連結(jié)AE、BD．（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）求證：AE＝BD；（3）△BDC能否為直角三角形？若能，求出BD長；若不能，請說明理由．【分析】（1）依題意畫出圖形即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，再證△ACE≌△BCD（SAS），即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)∠CBD＝30°時，△BDC是直角三角形，此時∠BDC＝90°，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得CD＝BC＝2，然后由勾股定理即可得出BD的長．【解答】（1）解：如圖所示；（2）證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）解：△BDC能為直角三角形，理由如下：由題意得：當(dāng)∠CBD＝30°時，△BDC是直角三角形，此時∠BDC＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝4，∵∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝2，∴BD＝＝＝2，即△BDC能為直角三角形，BD的長為2．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．17．（2023?瓊山區(qū)一模）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)．（1）如圖1，BD＝CE，連接AD、BE，AD交BE于點(diǎn)F，在BE的延長線上取點(diǎn)G，使得FG＝AF，連接AG，若AF＝4，求△AFG的面積；（2）如圖2，AD、BE相交于點(diǎn)G，點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn)，連接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）如圖3，已知AB＝12，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，以CM為邊，在CM的下方作等邊△CMN，連DN，當(dāng)DN取最小值時請直接寫出CM的長．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，可證△AFG是等邊三角形，即可求解；（2）由“SAS”可證△ABG≌△CBF，可得AG＝CF，由“SAS”可證△CGF≌△DBG，可得CF＝GD，由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由“SAS”可證△ACM≌△BCN，可得AM＝BN，∠CAM＝∠CBN＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求DN的最小值＝BD＝3，BN＝DN＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，又∵DB＝EC，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF＝∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，又∵AF＝FG，∴△AFG是等邊三角形，∴S△AFG＝AF2＝4；（2）BF+GE＝2CF，理由如下：由（1）可知：△ABD≌△BCE，∠BGF＝60°，AD＝BE，又∵∠BFG＝60°，∴△BGF是等邊三角形，∴BG＝BF＝GF，∠BGF＝∠ABC＝60°，∴∠ABG＝∠CBF，又∵AB＝BC，∴△ABG≌△CBF（SAS），∴AG＝CF，∵∠AEB＝∠BGC，∴∠ACB+∠CBE＝∠BGF+∠FGC，∠CGE＝∠CEG，∴∠GBD＝∠CGF，CE＝CG，∴△CGF≌△DBG（SAS），∴CF＝GD，∴AG＝GD＝CF，∴BG+GE＝BE＝AD＝2CF，∴BF+GE＝2CF；（3）如圖3，連接BN，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠CAD＝30°，AC＝BC，BD＝CD＝6，AD＝BD＝6，∵△CMN是等邊三角形，∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACM＝∠BCN，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴AM＝BN，∠CAM＝∠CBN＝30°，∴點(diǎn)N在過點(diǎn)B且與BC成30度的直線BN上移動，∴當(dāng)DN⊥BN時，DN有最小值，此時，DN的最小值＝BD＝3，∴BN＝DN＝3，∴AM＝BN＝3，∴DM＝3，∴MC＝＝＝3．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，證明△CGF≌△DBG是解題的關(guān)鍵．18．（2023?豐臺區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），將BC邊繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)（180°﹣α）得到線段CD．（1）判斷∠B與∠ACD的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）將AC邊繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段CE，連接DE與AC邊交于點(diǎn)M（不與點(diǎn)A，C重合）．①用等式表示線段DM，EM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若AB＝a，AC＝b，直接寫出AM的長．（用含a，b的式子表示）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可證明∠B＝∠ACD；（2）①在AB上取點(diǎn)N使得∠BCN＝∠CDM，先證明△CDM≌△BCN（ASA），再證明△ECM≌△CAN（ASA），即可求解；②由①可知CM＝BN，CM＝AN，則CM＝AN＝BN＝AB＝a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣a．【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知∠BCD＝180°﹣α，∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，∵∠A＝α，∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，∴∠B＝∠ACD；（2）①DM＝EM，理由如下：在AB上取點(diǎn)N使得∠BCN＝∠CDM，∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，∴△CDM≌△BCN（ASA），∴CN＝DM，∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，又∵∠ECM＝∠A＝α，∴∠E＝∠ACN，∴△ECM≌△CAN（ASA），∴CN＝EM，∴DM＝EM；②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．【點(diǎn)評】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023?延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段CD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與BF的延長線交于點(diǎn)G，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AE＝BF，位置關(guān)系是AE；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DC和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交BF于點(diǎn)G．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明：如果不成立，請說明理由；②連接DG，若DG＝4，DE＝6，求EG的長．【分析】（1）證明ADE≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BF，∠DBF＝∠DAE，根據(jù)∠DAE+∠AED＝90°得出∠DBF+∠AED＝90°，進(jìn)而得出AE⊥BF；（2）①根據(jù)（1）的方法證明△ADE≌△BDDF，進(jìn)而得出結(jié)論；②過點(diǎn)D作DM⊥BF，DN⊥GE，垂足分別為F，E，證明△DNE≌△DMF（AAS）得出DN＝DM，則GD平分∠BGE，得出△GDN是等腰直角三角形，勾股定理得出GN＝DN＝4，進(jìn)而在Rt△DNE中，勾股定理求得EN，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BDF＝∠ADE，∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，在△ADE，△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴AE＝BF，∠DBF＝∠DAE又∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DBF+∠AED＝90°∴∠BGE＝90°，即AE⊥BF，故答案為：AE＝BF，AE⊥BF；（2）①同（1）可得△ADE≌△BDF（SAS）∴AE＝BF，∠E＝∠F∵∠F+∠FBD＝90°，∴∠E+∠FBD＝90°，∴∠BGE＝90°∴AE⊥BF；②如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BF，DN⊥GE，垂足分別為F，E，∵∠E＝∠F，∠DNE＝∠DMF＝90°，DE＝DF，∴△DNE≌△DMF（AAS），∴DN＝DM，∴GD平分∠BGE，∴∠DGN＝45°，則△GDN是等腰直角三角形，∵，∴GN＝DN＝4，在Rt△DNE中，，∴．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023?深圳模擬）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長．（2）類比探究：如圖2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的長．（3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在線段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延長DE，BC交于點(diǎn)F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD，＝；BD＝．【分析】（1）證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算，求出AD；（2）在AC上截取CH＝CB，連接BH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，證明△ADE∽△AHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）過點(diǎn)B作BM⊥DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)DM＝a，用a表示出FM、BM，證明△AEN∽△FMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴＝，解得：AD＝4，故答案為：4；（2）如圖2，在AC上截取CH＝CB，連接BH，∵∠ACB＝60°，∴△BCH為等邊三角形，∴CH＝BH＝BC＝6，∠CHB＝60°，∴AH＝AC﹣CH＝8，∠AHB＝120°，∵∠EDB＝60°，∴∠ADE＝120°，∴∠ADE＝∠AHB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AHB，∴＝，即＝，解得：A