中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第12講 勾股定理及其逆定理（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第12講勾股定理及其逆定理（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問(wèn)題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊,在中，，則，，；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)；②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等；③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）.考點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】題型一、勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用例1．在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且，試判斷△AEF是否是直角三角形？試說(shuō)明理由．【變式】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為（）.A.14B.16C.20D.28例2．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.則BD的長(zhǎng)為（）.【變式】如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)且PC=BC．一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm題型二、勾股定理及其逆定理與其他知識(shí)的結(jié)合應(yīng)用例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，將Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是________________．例4.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為().A.3B.4C.5D.6【變式】如圖為梯形紙片ABCD，E點(diǎn)在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE為折線，將C折至BE上，使得CD與AB交于F點(diǎn)，則BF長(zhǎng)度為何（）.A．4.5 B．5C．5.5 D．6例5．一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE＝米時(shí)，有DC2＝AE2＋BC2．例6.某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造．測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m．現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)．【變式】“希望中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現(xiàn)可直接測(cè)量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，請(qǐng)求出這塊花圃的面積．【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?攀枝花）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，則OA的值為（）A． B． C． D．12．（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無(wú)存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為120m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來(lái)高度為（）A．120m B．60m C．60m D．120m3．（2022?百色）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（）A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣34．（2022?廣元）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C．2 D．5．（2022?蘇州）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（）A． B． C． D．6．（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．37．（2022?溫州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF，作GM⊥CF于點(diǎn)M，BJ⊥GM于點(diǎn)J，AK⊥BJ于點(diǎn)K，交CF于點(diǎn)L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE＝+，則CH的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．8．（2022?湘潭）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．二．填空題（共14小題）9．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．10．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為．11．（2022?舟山）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），AB與y軸平行，若AB＝BC，則k＝．12．（2022?永州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．13．（2022?鄂爾多斯）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若BC＝5，AD＝10，BE＝，則AB的長(zhǎng)是．14．（2022?山西）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長(zhǎng)為．15．（2022?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是．16．（2022?成都）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是．17．（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為4，則S1+S2+S3＝．18．（2022?常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形ABCD，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到36cm時(shí)才會(huì)斷裂．若∠BAD＝60°，則橡皮筋A(yù)C斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．19．（2022?通遼）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個(gè)銳角為60°，AB＝6，若點(diǎn)P在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠PCB＝30°，則AP的長(zhǎng)為．20．（2022?金華）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為cm．21．（2022?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一條始終繃直的彈性染色線連接CF，Rt△DEF從起始位置（點(diǎn)D與點(diǎn)B重合）平移至終止位置（點(diǎn)E與點(diǎn)A重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是．22．（2022?貴陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，AC＝BC＝6cm，∠ACB＝∠ADB＝90°．若BE＝2AD，則△ABE的面積是cm2，∠AEB＝度．三．解答題（共1小題）23．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點(diǎn)D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D，C重合），過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，與AB相交于點(diǎn)Q，連接DQ，設(shè)AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共2小題）1．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，且點(diǎn)M在線段OA上．若OA＝16，則OH的長(zhǎng)為（）A．9 B． C． D．2．（2023?廣西模擬）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（）A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣3二．填空題（共3小題）3．（2023?蕭縣一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，連接AC，BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)E到AB的距離為．4．（2023?包頭一模）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是．5．（2023?碑林區(qū)校級(jí)二模）“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，則AH＝．三．解答題（共1小題）6．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4cm；兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）①Rt△ABC斜邊AC上的高為；②當(dāng)t＝3時(shí)，PQ的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△BPQ是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出所有能使△BCQ成為等腰三角形的t的值．【名校自招練】一．選擇題（共4小題）1．（2021?鏡湖區(qū)校級(jí)自主招生）在凸四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝120°，BC＝CD＝10，則A、C兩點(diǎn)之間的距離是（）A．9 B．10 C．11 D．不能確定2．（2021?衡陽(yáng)縣自主招生）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，P為BC上一點(diǎn)，PA＝3，則PB?PC等于（）A．9 B．12 C．16 D．253．（2021?宣州區(qū)校級(jí)自主招生）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分制成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖，若a＝2，b＝3，現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率（）A． B． C． D．4．（2021?蘇州自主招生）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直