物理光學(xué)（第6版）課件 第六章 6.4 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)

第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性§3.1透鏡的相位變換作用§3.1透鏡的相位變換作用

幾何光學(xué)中,透鏡是折射成像元件,將物點(diǎn)變換為像點(diǎn),物、像點(diǎn)均可在無(wú)窮遠(yuǎn)物理光學(xué)中,透鏡是實(shí)現(xiàn)位相變換的元件,其前后表面的光場(chǎng)復(fù)振幅分布不同.需要首先解決:透鏡的位相變換,透鏡的F.T.性質(zhì)基本假設(shè)透鏡是薄的,忽略折射引起的光線的橫向偏移透鏡無(wú)吸收,完全透明,均勻,折射率為n,不改變光場(chǎng)振幅,

僅改變位相透鏡孔徑為無(wú)限大(以后再考慮孔徑影響)§3.1透鏡的相位變換作用無(wú)像差的正薄透鏡對(duì)點(diǎn)光源的成像過(guò)程：P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z薄透鏡近似：1.忽略折射引起的光線的橫向偏移2.P1、P2面是同一x-y平面的前后表面從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，圖示的成像過(guò)程是點(diǎn)物成點(diǎn)像從波面變換的觀點(diǎn)看：透鏡將一個(gè)發(fā)散球面波變換成一個(gè)會(huì)聚球面波。§3.1透鏡的相位變換作用

P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z定義透鏡的復(fù)振幅透過(guò)系數(shù):

P1面是發(fā)散球面波分布：P2面是會(huì)聚球面波分布:略去常數(shù)位相因子透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率或相位變換因子為：

§3.1透鏡的相位變換作用

由透鏡成像的高斯公式:

f為透鏡的像方焦距。透鏡的相位變換因子可簡(jiǎn)單地表為此變換與入射波的復(fù)振幅無(wú)關(guān),它實(shí)現(xiàn)變換:單位振幅的平面波垂直入射，P1面上的復(fù)振幅分布Ul(x,y)=1，在平面P2上造成的復(fù)振幅分布為:正透鏡:f>0,表示一個(gè)向透鏡后方f處的焦點(diǎn)F會(huì)聚的球面波。這是一個(gè)球面波的表達(dá)式負(fù)透鏡，f<0,表示一個(gè)由透鏡前方-f處的虛焦點(diǎn)F’發(fā)出的發(fā)散球面波。與幾何光學(xué)的結(jié)果相同§3.1透鏡的相位變換作用若考慮透鏡的有限尺寸,可引入孔徑函數(shù)P(x,y),(一般是圓域函數(shù)或矩孔函數(shù)),其中P(x,y)的坐標(biāo)原點(diǎn)與透鏡中心重合則:

透鏡對(duì)光波的相位變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定的，與入射光波復(fù)振幅Ul(x,y)的具體形式無(wú)關(guān)。Ul(x,y)可以是平面波的復(fù)振幅，也可以是球面波的復(fù)振幅，還可以是某種特定分布的復(fù)振幅.只要傍軸條件滿足，薄透鏡就會(huì)以上述形式對(duì)Ul(x,y)進(jìn)行相位變換?！?.1透鏡的相位變換作用任何衍射屏,若其復(fù)振幅透過(guò)率可寫(xiě)為 的形式,都可看成一個(gè)焦距為f

的透鏡屏的復(fù)振幅透過(guò)率:問(wèn):1.是否類似透鏡?2.焦距?3.成像的波長(zhǎng)特性?例(P49,2.9題)解:#例(續(xù))設(shè)a>0,分別考察圓括號(hào)中的三項(xiàng):代表正透鏡焦距f=k/2a=p/al代表負(fù)透鏡焦距f=-k/2a=-p/al代表平鏡,焦距f=∞,無(wú)焦度,僅衰減振幅circ(r0/l)是孔徑函數(shù)P(x,y),代表直徑為l的圓孔.

§3.1透鏡的相位變換作用:例

討論

此屏類似透鏡,等效于平、凹、凸三個(gè)透鏡,可作位相變換三個(gè)透鏡的直徑為2l,焦距分別為∞,-

/a

和

/a

.當(dāng)單色平面波垂直入射時(shí),有三部分出射光束(1)直接透過(guò),循原方向傳播(2)會(huì)聚到透鏡后焦面處,與透鏡距離為

/a

(3)從透鏡前焦點(diǎn)

/a

處發(fā)散的球面波正、負(fù)透鏡的焦距與波長(zhǎng)有關(guān),即有很大的色差.只有用單色光照明,才能得到清晰的像三個(gè)衍射級(jí)不能完全分開(kāi)#、

3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述光學(xué)系統(tǒng)由孔徑和透鏡組成,光波由一個(gè)平面向另一個(gè)平面?zhèn)鞑タ讖?真實(shí)開(kāi)孔,屏,透明片等用復(fù)振幅透過(guò)率t(x0,y0)描述,y0x0U0(x0,y0,0-)U0(x0,y0,0+)t(x0,y0)U0(x0,y0,0+)=U0(x0,y0,0-)t(x0,y0)Ul

(x’,y’)Ul’(x’,y’)透鏡:實(shí)現(xiàn)位相變換:透鏡光瞳函數(shù)：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述

傳播

光波由一個(gè)平面(x0,y0)向另一個(gè)平面(x,y)傳播一段距離(z).y0x0U(x,y)U0(x0,y0)yxzz有限距離的傳播用菲涅耳衍射處理.在空域有二種表達(dá)形式#

菲涅耳衍射公式

觀察平面

孔徑平面

空域

U(x,y)

U(x0,y0)F.T.表達(dá):U(x,y)

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述

上述基本單元和過(guò)程組成光學(xué)系統(tǒng)ylxlU(xi,yi)U0(x0,y0)yixizy0x0UlUl’did0分析時(shí)注意：確定坐標(biāo)系：

一個(gè)特定平面用一組固定的xy坐標(biāo)描述,不要混淆正確描述入射光波復(fù)振幅U(x,y) (平面波:垂直入射或斜入射;球面波:會(huì)聚或發(fā)散)光波由左向右傳播,傳播距離標(biāo)絕對(duì)值遇到孔徑:乘上透過(guò)率函數(shù)t(x,y),遇到透鏡:乘上位相變換因子傳播過(guò)程:

看成菲涅耳衍射,采用適當(dāng)?shù)男问皆谝欢ǖ膸缀侮P(guān)系下,可以得到傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)#

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前Ul’Ulx’-y’∑p透鏡前|后平面P1

|P2qpS’Sx-yzt

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面輸出面S:

單色點(diǎn)光源發(fā)出球面波照明物體t

(x0,y0)的前表面S’:S的共軛像點(diǎn)。注意：x-y平面不是t

(x0,y0)的像平面。要證明：t

(x0,y0)的傅里葉變換T(fx,fy)出現(xiàn)在x-y平面上。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前

t

(x0,y0)的傅里葉變換T(fx,fy)出現(xiàn)在x-y平面上Ul’Ulx’-y’∑p透鏡前|后平面P1

|P2x-yzqpS’St

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面輸出面基本思路直接寫(xiě)出發(fā)散球面波復(fù)振幅分布復(fù)振幅透過(guò)率菲涅耳衍射透鏡位相變換菲涅耳衍射物像共軛關(guān)系：

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前

在傍軸近似下，單色點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在物的前表面上形成的場(chǎng)分布為：透過(guò)物體，從輸入面上出射的光場(chǎng)為：從輸入平面出射的光場(chǎng)傳播到透鏡平面P1，為菲涅耳衍射：略去常數(shù)相位因子，Σ0為物函數(shù)所在的范圍

P2

平面(緊靠透鏡后)光場(chǎng)復(fù)振幅:透鏡的光瞳函數(shù)

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前輸出面上，即光源的共軛面上的光場(chǎng)分布為:

下面的步驟：

將Ul(x’,y’)的表達(dá)式代入,對(duì)位相因子進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和整理；利用物像共軛關(guān)系1/p+1/q=1/f，將位相因子進(jìn)一步化簡(jiǎn);先不考慮透鏡有限孔徑的影響，對(duì)∑p積分可擴(kuò)展到無(wú)窮；利用概率積分公式

完成積分§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:結(jié)果輸入平面位于透鏡前，在光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式:

(3-2-2)照明光源和觀察平面的位置始終保持共軛關(guān)系，因此式中的q由照明光源位置p和焦距f決定。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論輸入平面位于透鏡前，在光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式:

二次位相因子F.T.的核(1)d0=f,輸入平面位于透鏡前焦面:§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論(1).

d0=f,輸入平面位于透鏡前焦面:只要照明光源和觀察平面滿足共軛關(guān)系，衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布是物函數(shù)的準(zhǔn)確的傅里葉變換。觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系始終為fx=x/lf,fy=y/lf.當(dāng)照明光源位于光軸上無(wú)窮遠(yuǎn)，即平面波垂直照明時(shí)，q=f，這時(shí)觀察平面位于透鏡后焦面。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論(2)d0=0,輸入面緊貼透鏡:

此時(shí)，衍射物體的復(fù)振幅透過(guò)率與觀察面上的場(chǎng)分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次相位因子。觀察面上的空間坐標(biāo)與空間頻率的關(guān)系為fx=x/lq,fy=y/lq

，隨q的值而不同。也就是說(shuō)，頻譜的空間尺度上能按一定的比例縮放，這對(duì)光學(xué)信息處理的應(yīng)用將帶來(lái)一定的靈活性，并且也利于充分利用透鏡孔徑?！?.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方,平面波照明∑p透鏡前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面x-yzS’輸出面f第一步：直接寫(xiě)出∑0前表面的光場(chǎng)分布：第二步：寫(xiě)出∑0后表面的光場(chǎng)分布：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方,平面波照明∑p透鏡前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面x-yzS’輸出面f第三步：由x0-y0平面?zhèn)鬏數(shù)接^察平面x-y上造成的場(chǎng)分布為（利用Fresnel衍射的F.T.表達(dá)式，注意z=f-d0

）：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方對(duì)于平面波照明，得到：

對(duì)于球面波照明，得到：

仍為物體的F.T.,但

1.仍有二次位相因子

2.頻譜面取值fx=xf/

(q-d0),fy=yf/(q-d0),隨距離d0

而變.通過(guò)調(diào)整d0,可改變頻譜的尺度

當(dāng)d0=0時(shí)，結(jié)果與物在透鏡前相同，即物從兩面緊貼透鏡都是等價(jià)的?！?.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯和費(fèi)型。透鏡的作用:透鏡將照明光波變換成會(huì)聚球面波,會(huì)聚點(diǎn)是照明點(diǎn)光源的共軛像點(diǎn).從而在此會(huì)聚點(diǎn)處(注意:不是物本身的像點(diǎn))得到物的F.T.,但比例尺度改變.§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)：小結(jié)我們特別關(guān)注物在透鏡前,q=f,d0=f

的特殊情形。此時(shí)

用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦面稱為頻譜面?！?.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)物理解釋

后焦面上光場(chǎng)分布與頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系物分布t

(x0,y0)是一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu),含有多種空頻成分.它調(diào)制入射的均勻平面波,使透射光場(chǎng)攜帶物體的信息.透射光場(chǎng)的角譜代表物函數(shù)的頻譜,即含有向不同方向衍射的許多平面波.其中向

角方向衍射的平面波分量經(jīng)過(guò)透鏡后聚焦到(0,yf)點(diǎn).由幾何關(guān)系易見(jiàn):

yf=ftan

fsin

=fcosb

方向余弦(近軸近似)此平面波分量的空頻fy=cosb

=yf/

f后焦面上(0,yf)點(diǎn)的復(fù)振幅,對(duì)應(yīng)空頻為(fx=0,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.推廣之,任意(xf,yf)點(diǎn)的復(fù)振幅,對(duì)應(yīng)空頻為(fx=xf/

f,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.∴透鏡的后焦面是物體的頻譜面.#§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡后焦面上不同位置的點(diǎn),對(duì)應(yīng)物體衍射光場(chǎng)的不同空間頻率分量xffx2fx2>

fx1fx1fx0xffx2fx1fx2>

fx1§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面F.T.F.T.頻譜點(diǎn)出現(xiàn)在與空間條紋結(jié)構(gòu)垂直的方向上.

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

變換的尺度問(wèn)題對(duì)應(yīng)于物的同一空頻分量,變換的尺度隨波長(zhǎng)和焦距而變f1xf=lffx,yf=lffyl1l2l2>l1f2>f1f2§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

3、透鏡的孔徑效應(yīng)透鏡光瞳函數(shù)為P(x,y)物體緊靠透鏡：有效物函數(shù)為物在透鏡后:透鏡形成會(huì)聚球面波,在物面上形成投影光瞳函數(shù):有效物函數(shù)為在頻譜面上得到有效物函數(shù)的傅里葉變換。物在透鏡前:投影光瞳函數(shù)更復(fù)雜一些，暫不討論。x’-y’∑0S’d0x-yx0-y0∑pq例題

單位振幅的單色平面波垂直照明一個(gè)直徑為5cm,焦距為80cm的透鏡。在透鏡的后面20cm的地方，以光軸為中心放置一個(gè)余弦型振幅光柵，其復(fù)振幅透過(guò)率為假定L=1cm,f0=100周/cm,l=0.6mm。畫(huà)出焦平面上沿xf軸的強(qiáng)度分布。標(biāo)出各衍射分量之間的距離和各個(gè)分量的寬度（第一個(gè)零點(diǎn)之間）的數(shù)值。x’-y’∑0S’d