2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7講 第2課時 函數(shù)模型的應(yīng)用

第2課時函數(shù)模型的應(yīng)用

考向預(yù)測核心素養(yǎng)

考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常

與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，數(shù)學(xué)建模

各種題型均有可能，中檔難度.

基礎(chǔ)知識0畫顧

[學(xué)生用書P64])

VE1圈圈的

一、知識梳理

1.六種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型

J(x)=ax^-b(afb為常數(shù)，々#0)

二次函數(shù)模型1

J(x)=ax-^bx-\-c(afb,c為常數(shù),a#0)

x

fix)=ba-\~c(atb,c為常數(shù)，

指數(shù)函數(shù)模型

。>0且br0)

y(x)=z?iogd+c

對數(shù)函數(shù)模型

(〃，b,c為常數(shù),4>0且oWl,bWO)

幕函數(shù)模型b,〃為常數(shù)，〃W0,〃W0)

“對勾”函

y=x+f(4為常數(shù)，G>0)

數(shù)模型

2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較

y=a\a>l)y=log?xm>l)>=爐(〃>0)

在(0,+8)

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

上的單調(diào)性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X值增大，圖象隨X值增大，圖象

圖象的變化隨n值變化而不同

與謝接近平行與四接近平行

3.用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的基本過程

實際「可趣|———：函數(shù).型|

：運算推理

|實際問』的斛卜，釋說明|函數(shù)1型的斛|

◎常用結(jié)論

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，

其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長

速度緩慢.

2.“對勾”函數(shù)40=1+3(〃>0)在(0,+8)上的性質(zhì)：在(0,g］上單調(diào)遞

減，在［如，+8)上單調(diào)遞增，當x=g時取最小值2日.

二、教材衍化

1.(人A必修第一冊P|52例6改編)

〃毫克

0\/時

某校擬用一種噴霧劑對宿舍進行消毒，需對噴霧完畢后空氣中每立方米藥物

殘留量y(單位：毫克)與時間M單位：時)的關(guān)系進行研究，為此收集部分數(shù)據(jù)并

做了初步處理，得到如圖散點圖.現(xiàn)擬從下列四個函數(shù)模型中選擇一個估計y與

x的關(guān)系，則應(yīng)選用的函數(shù)模型是()

A.y=ax+匕B.y=a(￡)+。3>0)

b

C.y=xa-\-b(a>0)D.y=ax-\~~(a>0b>0)

.Vf

解析：選B.由散點圖可知，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且散點分布在一

條曲線附近，

函數(shù)的圖象為一條曲線，且當介0時，該函數(shù)單調(diào)遞減，符合

題意，故選B.

2.

（多選）（人A先修第一冊P155習(xí)題4.5T9改編）如圖，某池塘里浮萍的面積），（單

位：ii?）與時間r（單位：月）的關(guān)系為丁=".關(guān)于下列說法中正確的是（）

A.浮萍每月的增長率為1

B.第5個月時，浮萍面積就會超過30n?

C.浮萍每月增加的面積都相等

D.若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所經(jīng)過的時間分別是亥，辦，貝兒+

t2=t3

解析：選ABD.把（1,2）代入y=",可得函數(shù)解析式為）：=2，，

21+1—2r

因為一y—=1,所以每月增長率為1,A對；

當/=5時，y=32>30,所以B對；

第2個月增加2m2,第3個月增加4m2,C錯；

由20=2,2'2=3,2'3=6,

所以2"?2'2=2'3,故人+/2=，3，D對.

3.（人A必修第一冊P%習(xí)題3.4T5改編）下表是彈簧伸長長度雙單位：cm）

與拉力尸（單位：N）的相關(guān)數(shù)據(jù)：

X14.228.841.357.570.2

F12345

寫出能反映這一變化現(xiàn)象的函數(shù)為.（不唯一）

解析：根據(jù)點的分布特征，可以考慮用函數(shù)工=小+仇20）作為刻畫彈簧伸

長長度與拉力關(guān)系的函數(shù)模型.

Z+Q14.2,

取兩組數(shù)據(jù)（1,14.2）,（4,57.5）,則，

.42+6=57.5,

女214.4,

解得1所以x=14.4尸一02

力七一0.2.

將已知數(shù)據(jù)代入上述解析式，或作出函數(shù)圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與

已知數(shù)據(jù)擬合程度較好.

答案：x=14.4F-0.2

〈用E3困回

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價,

若按九折出售，則每件還能獲利.()

(2)函數(shù))，=2］的函數(shù)值比)，=/的函數(shù)值大.()

(3)不存在xo,使QX0<MvlogaX0.()

(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=0"+c(”WO,b>0,bKl)增長速度越來越

快的形象比喻.()

答案：⑴X(2)X⑶X(4)X

二、易錯糾偏

1.(函數(shù)模型選擇易誤)某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第

二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模

型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()

A.y=100xB.y=50,r-50x+l(X)

C.y=50X2xD.y=1001og>+100

解析：選C.根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函

數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證可知選C.

2.(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)不明致誤)下面對函數(shù)於)=k)gy與g(x)=(，

2

在區(qū)間(0,+8)上的衰減情況的說法中正確的為()

A.危)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越快

B.火x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越慢

c.7U)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越慢

D.?x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越快

解析：選C.在同一平面直角坐標系中畫出段)與g(x)的圖象如圖所示，由圖

象可判斷出衰減情況為：?r)衰減速度越來越慢；g(x)衰減速度越來越慢，故選

C.

3.(平均增長率概念不濟致誤)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的

增長率為p,第二年的增長率為°,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為

解析：設(shè)年平均增長率為x,則(1+x)2=(l+p)(l+/,所以x=

y](1+〃)(1+夕)—1.

答案：弋(1+p)(1+q)-1

q核心考點0共研

[學(xué)生用書P65]

考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程(自主練透)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，會應(yīng)用函數(shù)圖象對實際問題進行

描述.

6

5

4

3

2

1

01234567

1.一種叫萬年松的樹的生長時間人年)與樹高y(m)之間的散點圖如圖所示.請

你據(jù)此判斷，擬合這種樹生長的年數(shù)與樹高的關(guān)系式，選擇的函數(shù)模型最好的是

A.y=2!B.y=log2Z

C.y=PD.y=2/2

解析：選B.由圖知，函數(shù)的增長速度越來越慢，排除A,C,D.選B.

2.（2022?廣州市綜合檢測（一））

如圖，一高為“且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時,

水從孔中勻速流出，水流完所用時間為r若魚缸水深為力時，水流出所用時間

為3則函數(shù)〃=/w的圖象大致是（）

解析：選B.水位由高變低，排除C,D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下

降速度先慢后快，故選B.

3.設(shè)甲、乙兩地的距離為小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20

分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王

從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程），和其所用的時間x的函數(shù)圖象為（）

解析：選D.y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排

除A,C.又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B,故選D.

4.（多選）

（2022?福建氏門高三質(zhì)檢）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患

者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量M單位：微克）

與時間”單位：小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進一步測定，當

每亳升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（)

A.a=3

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物《小時后每亳升血液中的含藥量為0.4微克

31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5右小時

解析：選AD.當，=1時，y=4,即出=4,解得。=3,

pk,OWrcl,

所以），=<“、/—3故A正確，

舊，閆,

藥物剛好起效的時間，當4r=0.125,即

藥物剛好失效的時間3=0]25,解得f=6,

131

故藥物有效時長為6一行=5行小時，

?JLJL

藥物的有效時間不到6個小時，故B錯誤，D正確；

注射該藥物1小時后每毫升血液含藥量為4X：=0.5微克，故C錯誤.

OO

績后感悟---------------------------------

判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的方法：

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再

結(jié)合模型選圖象.

（2）驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨

勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

考點二已知或選擇函數(shù)模型解決實際問題（綜合研析）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.已知函數(shù)模型，用待定系數(shù)法確定解析式；

2.根據(jù)幾種常見函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型.

0Hl（1）（2022?江西高三月考）果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新

鮮度.已知在一定時間內(nèi)，某種水果失去的新鮮度y與其采摘后時間r（小時）近

似滿足的函數(shù)關(guān)系式為了=》旭級，加為非零常數(shù)），若采摘后20小時，這種水果

失去的新鮮度為20%,采摘后30小時，這種水果失去的新鮮度為40%.那么采摘

下來的這種水果大約經(jīng)過多長時間后失去50%新鮮度（參考數(shù)據(jù)：1g2-0.3,結(jié)

果取整數(shù)）（）

A.33小時B.23小時

C.35小時D.36小時

（2）某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿的種植成本Q（單位：元

/100kg）與上市時間/（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時間，6010018()

種植成本Q11684116

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿的種植成本Q與上

市時間，的變化關(guān)系：

Q=at-\-b,。=〃及+4+c,Q=abt,Q=ak）g”.

利用你選取的函數(shù)，則

①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是；

②最低種植成本是元/100kg.

k-nr°=20Q/o1

【解析】（1）由題意彳，a。_A/,兩式相除得M0=2,加=21°,代入得

k?*=40%

i

2=5%,所以），=5%?21°,

由50%=5%?21°得21°=10,取對數(shù)得行恒2=1,￡=175^55比33（小時）.

JLv/1為JV7?J

（2）由題意知，種植成本與上市時間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)。=4尸+）

+c,即Q=a（L120）2+w描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得

a(60-120)2+/n=116,4=0.01

解得

a(100-120)2+W=84,機=80,

所以Q=0.01Q-120）2+80,故當上市天數(shù)為120時，和植成本取到最低值

80元/100kg.

【答案】(1)A(2)①120②80

圖題技巧-------------------------------

已知或選擇函數(shù)模型解決實際問題的注意點

（1）已知模型的實際問題，根據(jù)待定系數(shù)法確定模型，再利用模型求解實際

問題.

（2）選擇模型的問題可結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù)值的增長特點（增減、增長快慢）

等選用合適的函數(shù)模型.

|跟蹤訓(xùn)練|

（多選）紀錄片《垃圾圍城》真實地反映了城市垃圾污染問題，目前中國城市

2

中有超過）的城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃

圾正在逐年攀升，有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某城市從2018年到2021年產(chǎn)生的包裝垃圾量

如下表：

年份X2018201920202021

包裝垃圾y（萬噸）46913.5

有下列函數(shù)模型：①y=4〃-2018；②y=〃sin，荻+仇參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301

0,1g3=0.4771）,則（）

2018

A.選擇模型①，函數(shù)模型解析式＞=4｛引，近似反映該城市近幾

年產(chǎn)生的包裝垃圾y（萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系

B.選擇模型②，函數(shù)模型解析式》=爾m贏+2018,近似反映該城市近

幾年產(chǎn)生的包裝垃圾M萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系

C.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長卜去，從2023年開始，該城市

的包裝垃圾將超過40萬噸

D.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2024年開始，該城市

的包裝垃圾將超過40萬噸

2018

解析：選AD.若選y=4-M,計算可得對應(yīng)數(shù)據(jù)近似為4,6,9,13.5,

TTY

若選y=4sin溝X+2018,計算可得對應(yīng)數(shù)據(jù)近似值都大于2014,顯然A

正確，B錯誤；

/3V-2018

按照選擇函數(shù)模型y=4?目,

/3V-2O18

令)>40,即4X⑸>40,

/3Y~2O18

所以⑸>10,

所以x—2018>log310,

2

1g101

所以工一2018）75.6786,

Ig3-lg2

所以Q2023.6786,

即從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯誤，D正確.

考點三構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題（多維探究）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.分析題意，尋找實際問題中起決定作用的兩個變量.

2.確定兩個變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型.

角度1構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)、“對勾”函數(shù)模型

初2（鏈接常用結(jié)論2）小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)

業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x

萬件，需另投入流動成本為WQ）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W（x）=￥+x（萬

元）.在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W（x）=6x+￥—38（萬元）.每件產(chǎn)品售價為5

元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品當年能全部售完.

（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量M萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=

年銷售收入一固定成本一流動成本）

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利

潤是多少？

【解】（1）因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，

依題意得，當0<r<8時，

￡（x）=5x—3=—3;

當工28時，L（x）=5x—38）—3=35—

一$+4x—3,0<r<8,

所以L(x)=

354+華），在&

(2)當0<x<8時，L(x)=-1(X-6)2+9.

此時，當x=6時，L(x)取得最大值，為9萬元.

當x28時，〃幻=35—^+噌<35—2^^=35-20=15,當且僅當

X=￥時等號成立，

即x=10時，L(x)取得最大值，為15萬元.

因為9<15,所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利泗

最大，最大利潤為15萬元.

角度2構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

圖⑶(1)(2022?長春高三摸底考試)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島

和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍，呈現(xiàn)幾何式的爆發(fā)，僅僅幾個月，蝗蟲數(shù)量

增長了8000倍，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦，假

設(shè)蝗蟲的日增長率為5%,最初有No只，則達到最初的16000倍只需經(jīng)過(參考

數(shù)據(jù)：In1.05^0.0488,In16000^9.6803)()

A.191天B.195天

C.199天D.203天

(2)里氏震級M的計算公式為：M=lgA-lgAo,其中A是測震儀記錄的地震

曲線的最大振幅，4是相應(yīng)的標準地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀記

錄的最大振幅是1000,此時標準地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為

級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍.

【解析】(1)設(shè)過x天能達到最初的16000倍，

由已知可得，+0.059=160002),

In16000

所以x=%198.4,

In1.05

又

故經(jīng)過199天能達到最初的16000倍.

(2)M=lg1(X)O-lg0.001=3-(-3)=6.

設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為4,A2f則9=lg4

-lgAo=lg唬=1%

4

5=lgA2—lgAo=lg條則方=我，所以崇no.

即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.

【答案】(1)C(2)610000

11題技巧---------------------------------

(1)建模解決實際問題的三個步驟

①建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型.

②推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，得到問題在數(shù)學(xué)意義

上的解.

③評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入的討論，作出評價、解釋，返回

到原來的實際問題中去，得到實際問題的解.

(2)構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

［提醒］(1)構(gòu)建函數(shù)模型時不要忘記考慮函數(shù)的定義域.

(2)利用模型段)=以十?求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

I跟蹤訓(xùn)練I

1.(多選)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查，

若單冊價格每提高0.2元，則發(fā)行量就減少5000冊.要使該雜志銷售收入不少

于22.4萬元，每冊雜志可以定價為()

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

解析：選BC.依題意可知，要使該雜志銷售收入不少于22.4萬元，只能提高

銷售價，

設(shè)每冊雜志定價為您＞2)元，則發(fā)行量為110—:^X0.5)萬冊，

則該雜志銷售收入為萬元，

所以(10—葦￡XO.5}222.4,化簡得X2—6X+8.96W0,解得2.8WXW3.2,

故選BC.

2.某種茶水用100°C的水泡制，再等到60°C時飲用可產(chǎn)生最佳口感.已

f

知茶水溫度M單位：℃)與經(jīng)過時間f(單位：min)的函數(shù)關(guān)系是：y=ka+yQi其

中a為衰減比例，州是室溫，，=0時，y為茶水初始溫度，若室溫為20℃,

引8,茶水初始溫度為100℃,則k=,產(chǎn)生最佳口感所需時間是

________min.

解析：由題意，），=m+20,當，=0時，有），=比什20=什20=100,2=80,

則尸80"+20,當產(chǎn)60時，即80"+20=60,所以80〃=40,所以

=；,所以￡=8.

答案：808

課后達標n檢測

［學(xué)生用書P398（單獨成冊）］）

［A基礎(chǔ)達標］

1.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15min分裂一次（由1個分裂成2個），這種

細菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過的時間是（）

A.12hB.4h

C.3hD.2h

解析：選C.設(shè)這種細菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過了次分裂，則4096=

12x15

2S解得x=12,故所需時間f=60=3h.

2.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：兔子和烏龜賽跑，領(lǐng)先的兔子看著慢

慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是

急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點.Si,S2分別表示烏龜和兔子所

行的路程，，為時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）

OU\tOU\tOU\t0U\?

ARCD

解析：選B.選項A表示龜兔同時到達；選項C表示兔子沒有追趕烏龜；選

項D表示兔子先到達終點.

3.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷

了〃次漲停（每次上漲10%）,又經(jīng)歷了n次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支

股票的盈虧情況（不考慮其他費用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

解析：選B.設(shè)該股民購進這支股票的價格為〃元，則經(jīng)歷n次漲停后的價

格為〃（l+10%）"=aXl.l“元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為aXl.l〃X（l-10%）〃=

4X1.1〃XO.9"=〃X（1.1XO.9）"=O.99"?〃<〃，故該股民這支股票略有虧損.

4.在固定電壓差（電壓為常數(shù)）的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其

電流強度/與電線半徑r的三次方成正比,若已知電流通過半徑4毫米的電線時,

電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為（）

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析：選D.由已知，設(shè)比例常數(shù)為h則/=k凡由題意，當r=4時，/=320,

320

故有320=^X43,解得女=后=5,所以/=5向

故當r=3時，1=5X33=135（安）.故選D.

5.（2022?皖南八校聯(lián)考）某購物網(wǎng)站在2021年11月開展“全部6折”促銷

活動，在11日當天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免

100元”.某人在11日當天欲購入原價48元（單價）的商品共42件，為使花錢總

數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為.

解析：為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額（6折后）滿300

元時可減免10（）元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元.由于每件原價

48元，因此每張訂單至少11件，又42=11X3+9,所以最少需要下的訂單張數(shù)

為3.

答案：3

6.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情

況.

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2021年5月I日1235000

2021年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.

在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為升.

解析：因為每次都把油笳加滿，第二次加了48升油，說明這段時間總耗油

量為48升，而行駛的路程為35600—35000=600(千米)，故每100千米平均耗

油量為48?6=8(升).

答案：8

7.一個容器裝有細沙Qcn?,細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏

出，/min后剩余的細沙量為)=優(yōu)一叫加3),經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的

沙子，則再經(jīng)過min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.

解析：當t=0時，y=a\

當z=8時，y=〃e一勖=%,故e一汕=去

當容器中的沙孑只有開始時的八分之一時，即y=ac~h,=^a

fc~h,

=e"助，則/=24,所以再經(jīng)過16min容器中的沙子只有開始時的八分之一.

答案：16

8.某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，第一個月污染度為60,整治后

前四個月的污染度如下表：

月數(shù)1234…

污染度6031130…

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用下列三個函數(shù)

模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：

20

/U)-20口一1),g(x)—y(x-4)2(x^1),

h(x)=30|log2X—2|(x1),其中x表示月數(shù)，/U),g(x),//(%)分別表示污染度.

(D試問選用哪個函數(shù)模擬比較合理，并說明理由；

(2)若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測，整治后有多少個月的污染度不超過60?

解：(1)用力㈤模擬比較合理，理由如下：

因為42)=40,g(2)心26.7,力(2)=30;

43)=20,g(3)76.7,/i(3)^12.5.

由此可得/?a)更接近實際值，所以用力(幻模擬比較合理.

(2)因為〃(x)=30|log2X-2|在時是增函數(shù)，"(16)=60,所以整治后有16

個月的污染度不超過60.

9.某家庭進行理財投資：根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)

品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根

成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元，0.5萬元.

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；

(2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投

資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

解：(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系分別為yu)=kx,g(x)=kn&.

由已知得y(i)=W=h,g(i)=g=22,

所以/(x)=*v(x20),g(x)=^\n(x20).

(2)設(shè)投資股票類產(chǎn)品為X萬元，

則投資債券類產(chǎn)品為(20—工)萬元.

依題意得y=fi20~x)+gix)=^X+^1x=—X+45+20

(04W20).

8

所以當也=2,即X=4附，收益最大，ymax=3萬元.

故投資債券類產(chǎn)品16萬元，投資股票類產(chǎn)品4萬元時獲得最大收益，為3

萬元.

[B綜合應(yīng)用]

10.在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子物質(zhì)的量的濃度(單位：

mol/L,記作[H+])和氫氧根離子物質(zhì)的量的濃度(單位：mol/L,記作[OH])的乘

積等于常數(shù)10一叱已知pH值的定義為pH=-lg[H。，健康人體血液的pH值保

持在7.35?745之間，那么健康人體血液中的曙可以為(參考數(shù)據(jù)Jg2M).3。,

lg3^0.48)()

A2B-3C6DW

rij+i

解析：選C.因為巴+卜[0七]=10—14,所以9島=田+]2義10]4,因為7.35<

[UHJ

-lg[H+]<7.45,所以10r45<H+]<i0f35,所以?山+]2<10-

IUHJ

o.7,io-O9=y^9>-j^,1g10°7=0.7>lg3>lg2,所以1007>3>2,10~07<|<^,所以強

、媚巧，故選C-

11.（2022?京作溫縣一中10月月考）搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F

遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射成功.此次航天飛行任務(wù)中，火

箭起到了非常重要的作用.在不考慮空氣動力和地球引力的理想情況下，火箭在

發(fā)動機工作期間獲得速度增量。（單位：千米/秒）可以用齊奧爾科夫斯基公式。=

①ln（l+引來表示，其中，口（單位：千米/秒）表示它的發(fā)動機的噴射速度，雙單

位：噸）表示它裝載的燃料質(zhì)量，M（單位：噸）表示它自身（除燃料外）的質(zhì)量.若

某型號的火箭發(fā)動機的噴射速度為5千米/秒，要使得該火箭獲得的最大速度。

達到第一宇宙速度（7.9千米/秒），則火箭的燃料質(zhì)量m與火箭自身質(zhì)量M之比覬

約為（）

A.eL58B.e058

C.eL58-lD.e058-l

解析：選C.由題設(shè)，51n（1+令）=7.9,則覬=e5—1=3$8—1.

12.（多選）

八記憶保持量

也.8I

0..6I

0..42I

0.-天

O2682X

01

小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的

情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量兀0與時

-^r+1,0<rWl,

91

{而r2,KO.

則下列說法正確的是（）

A.隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

解析：選ABC.由函數(shù)解析式可知/U）隨著x的增加而減少，故A正確；由

1Q1I91

圖象可得B正確；當l<rW30時，兀0=5+喬E,則火9）=§+/X91=0.35,

1911

即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%,故C正確；式26）=5+^X26

故D錯誤.

13.燕子每年秋天都要從北方飛往南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲

的燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)。單位是m/s,其中。表示燕子的

耗氧量.

⑴燕子靜止時的耗氧量是個單位;

（2）當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是

解析：（1）由題意知，當燕子靜止時，它的速度為0,代入o=51og2告中可得

0=51og2告，解得。=10.

（2）將耗氧量。=80代入v=51og2告中，得r=51og2Y^=51og28=15（m/s）.

答案：（1）10（2）15m/s