直線與平面、平面與平面垂直（原卷版）

第51講直線與平面、平面與平面垂直

知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)定義

如果直線1與平面a內的任意一條直線都垂直，則直線1與平面a互相垂直，記作l±a，直線1叫做平

面a的垂線，平面a叫做直線1的垂面.

(2)判定定理與性質定理

⑴定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂

直于平面，它們所成的角是直魚，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是—的角.

(2)范圍：

3.平面與平面垂直

(1)二面角的有關概念

①二面角：從一條直線出發(fā)的西仝生壬面所組成的圖形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作—的兩條射

線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面口相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

判定

一個平面過另一個平面的垂

定理

線，則這兩個平面垂直?/

文字語言圖形語言符號語言

性質

兩個平面垂直，則一個平

定理面內垂直于交線的直線與

另一個平面垂直/

1、【2022年全國乙卷】在正方體ABCD-A$iGDi中，E,F分別為的中點，則（）

A.平面aEr1平面BDDiB.平面BiEFl平面

C.平面8道/〃平面D.平面BiE尸〃平面4G。

2、【2021年新高考2卷】如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點，M,N為正方體的頂

點.則滿足MN_LOP的是（）

3、【2021年新高考1卷】在正三棱柱ABC-A旦G中，48=例=1,點P滿足，其中4?0』］,

則（）

A.當/1=1時，耳尸的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當4時，有且僅有一個點尸，使得

D.當〃=g時，有且僅有一個點P,使得A8J.平面AB/

4、【2022年全國甲卷】在四棱錐尸一/IBCD中，PDJ_底面48CD,CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

p

（1）證明：BD1PA；

5、【2322年全國乙卷】如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,￡ADB=^BDC,E為AC的中點.

（1）證明：平面BEO_L平面4CD：

pBEHQ----------------------------------------

1、（2022.哈爾濱模擬）設〃2,〃是兩條不同的直線，Q是平面，“2,〃不在。內，下列結論中錯誤的是（）

A.mXa,n//a,則zn_L〃

B.m_La,〃_La,貝?。荨?〃〃

C.m_La,，〃_!_〃，則n//a

D.mLn,n//a,則/n_La

2、已知〃?，/是兩條不同的直線，a,少是兩個不同的平面，則下列可以推出a_L夕的是（）

A.mLl,mU(j,/±a

變式1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB_L平面PAD,AB〃CD,PD=AD,E是PB的中點，F(xiàn)是DC上

的點，且DF=；AB,PH為4PAD中AD邊上的高.求證:

⑴PH_L平面ABCD；

⑵EFJL平面PAB.

變式2、如圖，在直三棱柱ABC-AIBCI中，已知AC_LBC,BC=CG.設ABi的中點為D,BiCDBCi=E,

連接DE.求證：

⑴DE〃平面AAiCiC；

(2)BC)±AB|.

方法息結；1.證明直線和平面垂直的常用方法有：

（D判定定理；（2）垂直于平面的傳遞性（a〃兒a_La=6_L】）；（3）面面平行的性質E_L。?！ā?a

_L6)；(4)面面垂直的性質(。_L￡,an￡=a,1_La,/u￡=/_L。).

2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性

質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.

考向二面面垂直的判定與性質

例2、如圖，四棱錐P-A8CO的底面為矩形，A8=應，BC=1,E,尸分別是AB,PC的中點，DEA.PA.

1EB

(1)求證：律〃平面PAD；

(2)求證：平面%CJ_平面PQ￡

變式I、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB±AC,AB±PA,AB〃CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別

為PB,AB,BC,PD,PC的中點.求證：

(1)CE〃平面PAD；

(2)平面EFGJ?平面EMN.

方法息結：(1)判定兩個平面垂直的方法：①利用定義：證明二面角是直二面角；②利用判定定理：aca，

a_LB今a_LB.(2)面面垂直的證明，一般轉化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往需多次利用線面垂直

判定與性質定理，而線線垂直的證明有時需要利用平面解析幾何條件.

考向三平行與垂直的探索性問題

例3如圖所示，平面ABCD_L平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點F為CE的中點.

⑴證明：AE〃平面BDF；

(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM1BE?若存在，確定點P的位置，

并加以證明；若不存在，請說明理由.

變式、如圖，在三棱臺ABC-DEF中，CF_L平面DEF,AB±BC.

⑴設平面ACEA平面DEF=a,求證：DF〃a；

(2)若EF=CF=2BC,試問在線段BE上是否存在點G,使得平面DFGJ■平面CDE?若存在，請確定

點G的位置；若不存在，請說明理由.

方法息結：平行與垂直中探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通

過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點的位置探索性問題?般是先根據(jù)

條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識

建點.

優(yōu)【化!提［升

1、（2022?湖北?恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）

A.若平面a內的一條直線垂直于平面6內的任一直線，則a_L6

B.若平面a內任一直線平行于平面6,則?！?

C.若平面a_L平面6,任取直線/ua,則必有LL6

D.若平面a〃平面6,任取史線/ua,則必有/〃6

2、（2022?江蘇如東?高三期末）（多選題）已知m,。是兩條不同的直線，a,6是兩個不同的平面，則（）

A.若m//n,n（za,則m〃凌B.若mJL〃，nca,則m_La

C.若m_La,〃_La，則m〃r）D.若m〃a,m//6,an6=n,Qi|m//n

3、（2022?江蘇常州?高三期末）（多選題）已知正方體ABC。-入旦GR的棱長為3a,點M是棱8c上的定點,

且BW=2CM.點P是棱GR上的動點，則（）

2

A.當PC；時，△孫〃是直角三角形

-2

B.四棱錐A一尸4M的體積最小值為:"

C.存在點P,使得直線?平面

D.任意點尸，都有直線84〃平面尸AM

4、（2022?山東萊西?高三期末）（多選題）設a,b是兩條不同的直線，a,B，7是三個不同的平面，P是

一個點，則下列選項正確的為（）

A.若a〃/，oua,則夕

B.若：_1_力，ala,b10,則aJ?尸

C.若a上0,afi=b,Pea,Pea,：_L），則

D.若。，乙a//夕，則尸17