專題課堂(七)　與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的幾何類比探究題

人教版專題課堂(七)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的幾何類比探究題第二十三章旋轉(zhuǎn)1．如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG.試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_________________；【探究】如圖②，正方形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°).試判斷你猜想的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結(jié)論；【應用】在圖②中，BC＝DE＝4.當AE取最大值時，AF的值為多少？BG＝AE解：BG＝AE

【探究】成立．證明：連接AD.∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，∴AD＝BD，AD⊥BC.∴∠ADG＋∠GDB＝90°.∵四邊形EFGD為正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°.∴∠ADG＋ADE＝90°.∴∠BDG＝∠ADE.在△BDG和△ADE中，BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，∴△BDG≌△ADE(SAS).∴BG＝AE

2．(2020·山西)綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE′(點A的對應點為點C).延長AE交CE′于點F，連接DE.猜想證明：(1)試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說明理由；(2)如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE′的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：(3)如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．3．(河南中考)如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．(1)觀察猜想：圖①中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是________________，位置關(guān)系是_________________________；(2)探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．PM＝PNPM⊥PN(3)拓展延伸：如圖③，△AO′E是將圖①中的△AOB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO′，點P，Q分別為CE，BO′的中點，連接PQ，PB.若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．(2)△PQB是等腰直角三角形．理由如下：如圖1，連接O′P并延長交BC于點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵將△AOB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△AO′E，∴△AO′E是等腰直角三角形，O′E∥BC，O′E＝O′A，∴∠O′EP＝∠FCP，∠PO′E＝∠PFC，又∵點P是CE的中點，∴CP＝EP，∴△O′PE≌△FPC(AAS)，∴O′E＝FC＝O′A，O′P＝FP，∴AB－O′A＝CB－FC，∴BO′＝BF，∴△O′BF為等腰直角三角形，∴BP⊥O′F，O′P＝BP，∴△BPO′也為等腰直角三角形．又∵點Q為O′B的中點，∴PQ⊥O′B，且PQ＝BQ，∴△PQB是等腰直角三角形(3)如圖2，延長O′E交BC邊于點G，連接PG，O′P.∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECG＝45°，由旋轉(zhuǎn)45°得四邊形O′ABG是矩形，∴O′G＝AB＝BC，∠EGC＝