2024-2025學(xué)年黑龍江省伊春市高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省伊春市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8道小題每個(gè)小題5分共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．直線(xiàn)將圓平分，且與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)的方程是A．B．C．D．3．五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．164．已知圖O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)和半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是（

）A．圈 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn)的一支 D．雙曲線(xiàn)的兩支CB5．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線(xiàn)型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線(xiàn)的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓，則橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知拋物線(xiàn)的方程為，過(guò)其焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若，（

）A． B．3 C． D．28．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3道小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分或4分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知方程表示的曲線(xiàn)為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線(xiàn)C是雙曲線(xiàn)C．若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則10．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．兩圓與的公共弦所在的直線(xiàn)方程為B．圓：與圓：恰有三條公切線(xiàn)C．為圓：上的點(diǎn)，則的最大值為25D．若圓：上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為1，則的取值范圍是11．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)：的兩條切線(xiàn)PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，H為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，則（

）A．若，則直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F B．直線(xiàn)軸C．點(diǎn)H的軌跡方程為 D．三、填空題：本題共3道小題，每小題5分，共15分.12．有4封不同的信投入3個(gè)不同的信箱，可有種不同的投入方法．13．已知是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，則的面積為.14．已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且與兩條漸近線(xiàn)相交于四、解答題：本題共5道小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，與交于點(diǎn)點(diǎn).(1)求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程；(2)求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)已知直線(xiàn)的斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線(xiàn)上.若，的面積為，求的方程.17．已知橢圓四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率的和為0，求證：的斜率為定值.18．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得的弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交的軌跡于兩點(diǎn).（ⅰ）若點(diǎn)，求的最小值；（ⅱ）為在軸上的投影，連接與分別交拋物線(xiàn)于，問(wèn)：直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．如圖，已知橢圓，曲線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)，分別與交于點(diǎn).

(1)求；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(3)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.1．C【分析】將方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可求解.【詳解】由可得，故，則，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C2．C【分析】由題易知，直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，又因?yàn)榕c直線(xiàn)平行，即可得出答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，直線(xiàn)將圓平分，所以直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，又因?yàn)榕c直線(xiàn)平行，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，將代入可得所以直線(xiàn)的方程為即.故選：C．3．A【分析】根據(jù)捆綁法即可求解.【詳解】由相鄰問(wèn)題捆綁法可得,故選：A4．B【分析】連接,因?yàn)辄c(diǎn)Q在線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)上,所以,所以,可得點(diǎn)Q的軌跡符合橢圓的定義.【詳解】解:連接,如圖所示:因?yàn)辄c(diǎn)Q在線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)上,所以,所以,因?yàn)锳是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),所以,即,即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)O、A的距離和為定值,根據(jù)橢圓的定義,可知點(diǎn)Q的軌跡是:以O(shè),A為焦點(diǎn),OA為實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓.故選:B5．C【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計(jì)算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn).設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以.又喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程為.由題意可知，代入雙曲線(xiàn)方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.6．C【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，，由于，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故選：C7．C【分析】設(shè)出直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式代入計(jì)算可求得.【詳解】如下圖所示：

易知，不妨設(shè)；設(shè)直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達(dá)定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得；代入計(jì)算可得.故選：C8．B【分析】由離心率求得，求出漸近線(xiàn)方程，寫(xiě)出圓方程后，兩方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)后，由直線(xiàn)的傾斜角可得結(jié)論．【詳解】由已知，，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為即為，圓方程為，即，取漸近線(xiàn)方程，由，解得或，不妨設(shè)，，顯然軸，又，即的傾斜角為，從而．

故選：B．9．BD【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)和橢圓的方程，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為,此時(shí)表示圓，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在上的雙曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在上的雙曲線(xiàn)，故當(dāng)或時(shí)，曲線(xiàn)C是雙曲線(xiàn)，B正確，對(duì)于C,若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則滿(mǎn)足，解得，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則，故，D正確，故選：BD10．ABC【分析】對(duì)A，將兩圓的方程相減即可；對(duì)B，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷即可；對(duì)C，根據(jù)的幾何意義求解即可；對(duì)D，由圓心到直線(xiàn)的距離，即可求得m的取值范圍，從而判斷.【詳解】對(duì)于A，將兩圓方程相減得：，故A正確；對(duì)于B，將圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心，半徑，將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心，，則，則兩圓外切，故兩圓有3條公切線(xiàn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由圓心到點(diǎn)的距離，得的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由圓C：上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得或，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先表示出切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程組，得直線(xiàn)MN的方程為，解得，從而得，可判定A、B；再由點(diǎn)，可得軌跡方程，判定C；由向量坐標(biāo)運(yùn)算得，，判定D.【詳解】已知拋物線(xiàn)的方程y2=2pxp>0由，可得或，不妨設(shè)，則，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為，故所求切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得即又在拋物線(xiàn)上，，所以切線(xiàn)方程為

(可驗(yàn)證對(duì),此方程也適用)所以設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)N的切線(xiàn)為，這兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)Px0,從而直線(xiàn)MN的方程為．若，則直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,0，A正確．設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)N的切線(xiàn)為，聯(lián)立，解得，即，從而，即，由于點(diǎn)H為M，N中點(diǎn)，則，而軸，B正確．點(diǎn)，由于，，從而點(diǎn)H的軌跡方程為，C錯(cuò)誤．由于，，，則．又，則，同理可得，從而，D正確．故選：ABD.思路點(diǎn)睛，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為：，然后結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.12．81【分析】根據(jù)分步乘法技術(shù)原理即可求解.【詳解】每封信都有3種選擇，所以將4封不同的信投入3個(gè)不同的信箱，共有種方法，故8113．【分析】根據(jù)橢圓方程可得，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合橢圓方程，即可求解，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡(jiǎn)可得，求得，故，故14．【分析】利用三角形中位線(xiàn)定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合已知，可以求出的雙曲，進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，即是的中位線(xiàn)，則，可得，，又因?yàn)椋瑒t，，關(guān)系則，所以雙曲線(xiàn)的離心率是.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得交點(diǎn)，求解中點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)斜率公式求解，即可根據(jù)垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求解直線(xiàn)方程，（2）聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可求解半徑，即可得解.【詳解】（1），故，因?yàn)?，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為且.所以的垂直平分線(xiàn)方程為，即.（2），故圓心坐標(biāo)為，半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)漸近線(xiàn)以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，聯(lián)立方程即可求解，（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)在上求解，根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解三角形面積得.【詳解】（1）由題可得，所以的方程為.（2）設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，即，因?yàn)?，所以故的方程為，且，又點(diǎn)到的距離，所以，解得，所以的方程為.17．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)給定條件，判斷橢圓所過(guò)的三點(diǎn)，列出關(guān)于的方程求解即得.（2）按直線(xiàn)的斜率存在與不存在設(shè)出方程，再與橢圓的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【詳解】（1）由對(duì)稱(chēng)性可知和在橢圓C上，所以因?yàn)?，所以不在上，進(jìn)而在上，所以，所以，即的方程為.（2）如果與軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知，且，可得的坐標(biāo)分別為，則，所以，不符合題意．從而可設(shè)的方程為，聯(lián)立，所以則，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得.18．(1)(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)出軌跡方程；（2）（i）設(shè)直線(xiàn)方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組整理得到二次方程，由韋達(dá)定理得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由拋物線(xiàn)的定義列出表達(dá)式，借助韋達(dá)定理的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此得出最小值.（ii）斜率不存在時(shí)寫(xiě)出直線(xiàn)，斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，整理的二次方程，由韋達(dá)定理得到點(diǎn)的坐標(biāo)的等式，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，因?yàn)樾甭什淮嬖跁r(shí)，所以直接令，若為定值，則過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，到軸距離為，動(dòng)圓截軸所得半弦長(zhǎng)為2，則，化簡(jiǎn)得；所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.（2）（i）設(shè)Ax1,y1設(shè)直線(xiàn)的方程為，與的軌跡方程聯(lián)立得消去得，由在拋物線(xiàn)內(nèi)部，故，所以.由（1）知，F(xiàn)1,0為軌跡的焦點(diǎn)，由拋物線(xiàn)定義得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，.由拋物線(xiàn)定義知.綜上，的最小值為.（ii）情況1：直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為.情況2：直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為.設(shè)直線(xiàn)的方程為.，則所以.則，所以.即同理.所以直線(xiàn)CD的方程為令.則所以定點(diǎn)為.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）分析可知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,（2）利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算得出，可得出，即可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)的斜率為，則的方程為，將直線(xiàn)的方程分別與曲線(xiàn)、的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得、，進(jìn)而可得出的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】（1）若直線(xiàn)的斜率不存在，則該直線(xiàn)與軸重合，此時(shí)直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為.由得，設(shè)Ax1,y1、B于是.（2）因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以，即，所以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（3）由已知，設(shè)的斜率為，則的方程為，由解得或，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又直線(xiàn)的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，由得，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)