2021-2022學(xué)年廣東省廣州市八校聯(lián)考高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(B卷)資料

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市八校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（B卷）試題數(shù)：22.滿分：1501.（單選題.5分）若復(fù)數(shù)z滿足z+2$\overline{z}$=6+3i.則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.（單選題.5分）已知向量$\overrightarrow{a}$=（k.1）.$\overrightarrow$=（3.2）.$\overrightarrow{c}$=（1.3）.且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$.則實(shí)數(shù)k的值等于（）A.$\frac{8}{3}$B.$\frac{10}{3}$C.6D.83.（單選題.5分）在△ABC中.角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若a2=b2+c2+bc.則A的值是（）A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{2π}{3}$D.$\frac{5π}{6}$4.（單選題.5分）不等式log2（3x+1）＜1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A.$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}$B.x＜0C.$-1＜x＜\frac{1}{3}$D.$0＜x＜\frac{1}{3}$5.（單選題.5分）在△ABC中.D為BC上一點(diǎn).且BD=2DC.則$\overrightarrow{AD}$=（）A.$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$B.$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$D.$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$6.（單選題.5分）已知單位向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow=-\frac{1}{4}$.若向量$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$.則cos＜$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{c}$＞=（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$7.（單選題.5分）將函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{2}$）（ω＞0）在[0.$\frac{π}{5}$]上單調(diào)遞增.則ω的最大值為（）A.6B.5C.4D.18.（單選題.5分）在△ABC中.點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{PC}$.過點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N.若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0.μ＞0）.則λ+μ的最小值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}+1$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{5}{2}$9.（多選題.5分）下列命題為真命題的是（）A.若z1.z2互為共軛復(fù)數(shù).則z1z2為實(shí)數(shù)B.若i為虛數(shù)單位.n為正整數(shù).則i4n+3=iC.復(fù)數(shù)$\frac{4+ai}{1+i}$（i為虛數(shù)單位.a為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù).則a=-4D.若m為實(shí)數(shù).i為虛數(shù)單位.則“$\frac{2}{3}＜m＜1$”是“復(fù)數(shù)m（3+i）-（2+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的充要條件10.（多選題.5分）在△ABC中各角所對(duì)得邊分別為a.b.c.下列結(jié)論正確的有（）A.$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$.則△ABC為等邊三角形B.已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab.則∠C=60°C.已知a=7.$b=4\sqrt{3}$.$c=\sqrt{13}$.則最小內(nèi)角的度數(shù)為30°D.在a=5.A=60°.b=4.解三角形有兩解11.（多選題.5分）中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式.其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪.余半之.自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上.余四約之.為實(shí).一為從隅.開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式.即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{{c^2}{a^2}-{{({\frac{{c^2}+{a^2}-{b^2}}{2}})}^2}}]}$．現(xiàn)有△ABC滿足sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$.且S△ABC=6$\sqrt{3}$.請(qǐng)判斷下列命題正確的是（）A.△ABC周長(zhǎng)為$5+\sqrt{7}$B.$C=\frac{π}{3}$C.△ABC的外接圓半徑為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$D.△ABC中線CD的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{19}}{2}$12.（多選題.5分）如圖.已知點(diǎn)G為△ABC的重心.點(diǎn)D.E分別為AB.AC上的點(diǎn).且D.G.E三點(diǎn)共線.$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AE}=n\overrightarrow{AC}$.m＞0.n＞0.記△ADE.△ABC.四邊形BDEC的面積分別為S1.S2.S3.則（）A.$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$B.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=mn$C.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}≥\frac{4}{5}$D.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}≤\frac{4}{5}$13.（填空題.5分）若復(fù)數(shù)z滿足z+i=$\frac{i-3}{i}$.則|z|=___．14.（填空題.5分）連接正方體相鄰各面的中心（中心是指正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）后所得到了一個(gè)幾何體.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.則該幾何體的表面積為___.該幾何體的體積為___．15.（填空題.5分）在△ABC中.內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a.b.c.且（2c-b）cosA=acosB.a=2.則△ABC外接圓的面積為___．16.（填空題.5分）飛鏢運(yùn)動(dòng)于十五世紀(jì)興起于英格蘭.二十世紀(jì)初.成為酒吧常見的日常休閑活動(dòng)．某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢ABCDEFGH.該十字飛鏢由四個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形組成．在△ABC中.$AB=\sqrt{13}$.$AC=\sqrt{5}$.BC=4.邊DE上有4個(gè)不同的點(diǎn)P1.P2.P3.P4.且P1P2=P2P3=P3P4=2EP1=2DP4.記${a_i}=\overrightarrow{BC}\bullet\overrightarrow{B{P_i}}$（i=1.2.3.4）.則a1+a2+a3+a4=___．17.（問答題.10分）已知單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$.$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{2π}{3}$.向量$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}-x\overrightarrow{{e}_{2}}$.向量$\overrightarrow=3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$．

（1）若$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$.求x的值；

（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$.求|$\overrightarrow{a}$|．18.（問答題.12分）△ABC的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a.b.c.已知a2=bcosC+ccosB．

（1）求a；

（2）若$A=\frac{π}{3}$.△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$.求△ABC的周長(zhǎng)．19.（問答題.12分）已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx.$\sqrt{3}$cosx）.$\overrightarrow$=（cosx-sinx.-2sinx）.記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在$[0.\frac{π}{2}]$上的取值范圍；

（Ⅱ）若g（x）=f（x+t）為偶函數(shù).求|t|的最小值．20.（問答題.12分）如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體.該正四棱柱上底面的四頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面上.下底面落在圓錐底面內(nèi).已知圓錐側(cè)面積為15π.底面半徑為r=3．

（Ⅰ）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a=$\sqrt{2}$.求該幾何體的體積；

（Ⅱ）求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值．21.（問答題.12分）已知a.b.c分別為△ABC內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊.若△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①$\frac{b-a}{c}$=$\frac{2\sqrt{6}a+3c}{3(a+b)}$；②cos2A+2cos2$\frac{A}{2}$=1；③a=$\sqrt{6}$；④b=2$\sqrt{2}$．

（1）滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？

（2）在（1）所有組合中任選一組.并求對(duì)應(yīng)△ABC的面積．

（若所選條件出現(xiàn)多種可能.則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）22.（問答題.12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx.稱向量$\overrightarrow{OM}$=（a.b）為函數(shù)f（x）的相伴特征向量.同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量$\overrightarrow{OM}$的相伴函數(shù)．

（1）設(shè)函數(shù)$g(x)=sin(x+\frac{5π}{6})-sin(\frac{3π}{2}-x)$.試求g（x）的相伴特征向量$\overrightarrow{OM}$；

（2）記向量$\overrightarrow{ON}$=（1.$\sqrt{3}$）的相伴函數(shù)為f（x）.求當(dāng)$f(x)=\frac{8}{5}$且x∈（$-\frac{π}{3}$.$\frac{π}{6}$）時(shí).sinx的值；

（3）已知A（-2.3）.B（2.6）.$\overrightarrow{OT}$=（$-\sqrt{3}$.1）為$h(x)=msin(x-\frac{π}{6})$的相伴特征向量.$φ(x)=h(\frac{x}{2}-\frac{π}{3})$.請(qǐng)問在y=φ（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P.使得$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$．若存在.求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在.說明理由．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市八校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（B卷）參考答案與試題解析試題數(shù)：22.滿分：1501.（單選題.5分）若復(fù)數(shù)z滿足z+2$\overline{z}$=6+3i.則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【正確答案】：D【解析】：由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等條件可求出z.然后結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義求解．

【解答】：解：設(shè)z=a+bi（a.b為實(shí)數(shù)）.

由z+2$\overline{z}$=a+bi+2a-2bi=6+3i.可得3a=6.-b=3.

所以a=2.b=-3.

所以z=2-3i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2.-3）在第四象限．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等條件及復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題.5分）已知向量$\overrightarrow{a}$=（k.1）.$\overrightarrow$=（3.2）.$\overrightarrow{c}$=（1.3）.且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$.則實(shí)數(shù)k的值等于（）A.$\frac{8}{3}$B.$\frac{10}{3}$C.6D.8【正確答案】：C【解析】：由向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$.再由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$.能求出實(shí)數(shù)k．

【解答】：解：向量$\overrightarrow{a}$=（k.1）.$\overrightarrow$=（3.2）.$\overrightarrow{c}$=（1.3）.

∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（k-3.-1）.

∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$.

∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=k-3-3=0.

解得實(shí)數(shù)k=6．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量的運(yùn)算.考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.是基礎(chǔ)題．3.（單選題.5分）在△ABC中.角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若a2=b2+c2+bc.則A的值是（）A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{2π}{3}$D.$\frac{5π}{6}$【正確答案】：C【解析】：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子與題中等式加以比較.可得cosA=-$\frac{1}{2}$.結(jié)合A是三角形的內(nèi)角.可得A的大?。?/p>

【解答】：解：∵由余弦定理.得a2=b2+c2-2bccosA.

∴結(jié)合題意a2=b2+c2+bc.得cosA=-$\frac{1}{2}$.

又∵A是三角形的內(nèi)角.∴A=$\frac{2π}{3}$.

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題給出三角形邊的平方關(guān)系.求角A的大小．考查了余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí).屬于基礎(chǔ)題．4.（單選題.5分）不等式log2（3x+1）＜1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A.$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}$B.x＜0C.$-1＜x＜\frac{1}{3}$D.$0＜x＜\frac{1}{3}$【正確答案】：D【解析】：先求出log2（3x+1）＜1?-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$.再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

【解答】：解：∵log2（3x+1）＜1.

∴0＜3x+1＜2.∴-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$.

∵（0.$\frac{1}{3}$）?（-$\frac{1}{3}$.$\frac{1}{3}$）.

∴不等式log2（3x+1）＜1成立的一個(gè)充分不必要條件是0$＜x＜\frac{1}{3}$.

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷.對(duì)數(shù)不等式的解法.屬于中檔題．5.（單選題.5分）在△ABC中.D為BC上一點(diǎn).且BD=2DC.則$\overrightarrow{AD}$=（）A.$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$B.$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$D.$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$【正確答案】：D【解析】：由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解．

【解答】：解：∵BD=2DC.

∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$($\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$)=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$.

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了向量的線性運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題.5分）已知單位向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow=-\frac{1}{4}$.若向量$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$.則cos＜$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{c}$＞=（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$【正確答案】：C【解析】：由平面向量的夾角公式求解即可．

【解答】：解：由已知有$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\bullet(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow)={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow=\frac{1}{2}$.

又|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{2b})^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=2.

則cos＜$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{1}{4}$.

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算.重點(diǎn)考查了平面向量的夾角公式.屬基礎(chǔ)題．7.（單選題.5分）將函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{2}$）（ω＞0）在[0.$\frac{π}{5}$]上單調(diào)遞增.則ω的最大值為（）A.6B.5C.4D.1【正確答案】：B【解析】：整理函數(shù)f（x）.結(jié)合余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到不等式.進(jìn)而可求得ω的最大值．

【解答】：解：f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{2}$）=-cosωx.

∵函數(shù)在（0.$\frac{π}{5}$）上單調(diào)遞增.

∴$\frac{π}{5}$ω≤π.即ω≤5.

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用.屬于中檔題．8.（單選題.5分）在△ABC中.點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{PC}$.過點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N.若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0.μ＞0）.則λ+μ的最小值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}+1$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{5}{2}$【正確答案】：B【解析】：利用圖形利用平面向量的線性運(yùn)算與共線定理.即可求得λ+μ的最小值．

【解答】：解：∵△ABC中$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}$.$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}$.

點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{PC}$.

∴-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$=3（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}$）.

整理可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$.

∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0.μ＞0）.

∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{4μ}$$\overrightarrow{AN}$+$\frac{1}{4λ}$$\overrightarrow{AM}$.

因?yàn)镻.M.N三點(diǎn)共線.所以.$\frac{3}{4μ}$+$\frac{1}{4λ}$=1.λ＞0.μ＞0.

∴λ+μ=（λ+μ）（$\frac{3}{4μ}$+$\frac{1}{4λ}$）=1+$\frac{3λ}{4μ}$+$\frac{μ}{4λ}$≥1+2$\sqrt{\frac{3λ}{4μ}\bullet\frac{μ}{4λ}}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

當(dāng)且僅當(dāng)μ=$\sqrt{3}$λ時(shí)取“=”.則λ+μ的最小值為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與共線定理以及基本不等式的應(yīng)用問題.是中檔題．9.（多選題.5分）下列命題為真命題的是（）A.若z1.z2互為共軛復(fù)數(shù).則z1z2為實(shí)數(shù)B.若i為虛數(shù)單位.n為正整數(shù).則i4n+3=iC.復(fù)數(shù)$\frac{4+ai}{1+i}$（i為虛數(shù)單位.a為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù).則a=-4D.若m為實(shí)數(shù).i為虛數(shù)單位.則“$\frac{2}{3}＜m＜1$”是“復(fù)數(shù)m（3+i）-（2+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的充要條件【正確答案】：ACD【解析】：利用復(fù)數(shù)的幾何意義.運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義.結(jié)合選項(xiàng)判斷即可．

【解答】：解：對(duì)于A：若z1.z2互為共軛復(fù)數(shù).設(shè)z1=a+bi.z2=a-bi.（a.b∈R）.

則z1z2=（a+bi）（a-bi）=a2+b2為實(shí)數(shù).故A正確；

對(duì)于B：若i為虛數(shù)單位.n為正整數(shù).則i4n+3=-i.故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：復(fù)數(shù)$\frac{4+ai}{1+i}$=$\frac{(4+ai)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$=$\frac{4+a+(a-4)i}{2}$（i為虛數(shù)單位.a為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù).則a=-4.故C正確；

對(duì)于D：“復(fù)數(shù)m（3+i）-（2+i）=3m-2+（m-1）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”.

故$\left\{\begin{array}{cc}3m-2＞0&\\m-1＜0&\end{array}\right.$.整理得$\frac{2}{3}＜m＜1$.故D正確．

故選：ACD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)的應(yīng)用.復(fù)數(shù)的幾何意義.主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力.屬于基礎(chǔ)題．10.（多選題.5分）在△ABC中各角所對(duì)得邊分別為a.b.c.下列結(jié)論正確的有（）A.$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$.則△ABC為等邊三角形B.已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab.則∠C=60°C.已知a=7.$b=4\sqrt{3}$.$c=\sqrt{13}$.則最小內(nèi)角的度數(shù)為30°D.在a=5.A=60°.b=4.解三角形有兩解【正確答案】：ABC【解析】：利用正弦定理、余弦定理一—計(jì)算可判斷正誤．

【解答】：解：對(duì)于A.若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$.

則$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}-\frac{sinC}{cosC}$.

即tanA=tanB=tanC.

因?yàn)锳.B.C為三角形內(nèi)角.

所以A=B=C.即△ABC為等邊三角形.故A正確；

對(duì)于B.由（a+b+c）（a+b-c）=3ab可得a2+b2-c2=ab.

所以$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$.

因?yàn)?＜C＜π.

所以$C=\frac{π}{3}$.故B正確；

對(duì)于C.因?yàn)?a=7.b=4\sqrt{3}.c=\sqrt{13}$.

所以c＜b＜a.

所以C＜B＜A.

所以$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}-\frac{{7}^{2}+{(4\sqrt{3})}^{2}-{(\sqrt{13})}^{2}}{2×7×4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

因?yàn)?＜C＜π.

所以$C=\frac{π}{6}$.故C正確；

對(duì)于D.因?yàn)?a=5\;.A={60}°\\;.b=4\dollar.b=4.＜br/＞所以由$.b=4.

由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得$\frac{\frac{5}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{sinB}$.

所以$sinB=\frac{2\sqrt{3}}{5}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$.

因?yàn)閎＜a.

所以B＜A.

所以三角形只有1解.故D錯(cuò)誤；

故選：ABC．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題．11.（多選題.5分）中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式.其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪.余半之.自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上.余四約之.為實(shí).一為從隅.開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式.即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{{c^2}{a^2}-{{({\frac{{c^2}+{a^2}-{b^2}}{2}})}^2}}]}$．現(xiàn)有△ABC滿足sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$.且S△ABC=6$\sqrt{3}$.請(qǐng)判斷下列命題正確的是（）A.△ABC周長(zhǎng)為$5+\sqrt{7}$B.$C=\frac{π}{3}$C.△ABC的外接圓半徑為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$D.△ABC中線CD的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{19}}{2}$【正確答案】：BC【解析】：直接利用正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用判斷ABCD的結(jié)論．

【解答】：解：現(xiàn)有△ABC滿足sinA：sinB：sinc=2：3：$\sqrt{7}$.

所以a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$.

設(shè)a=2t.b=3t.c=$\sqrt{7}$t.

利用余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{t}^{2}+9{t}^{2}-7{t}^{2}}{12{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$.

由于C∈（0.π）.

所以C=$\frac{π}{3}$．故B正確；

利用S△ABC=6$\sqrt{3}$.

所以$\frac{1}{2}$absinC=6$\sqrt{3}$.整理得$\frac{{t}^{2}}{4}$?6$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$.解得t=2．

所以：a=4.b=6.c=2$\sqrt{7}$.

所以△ABC的周長(zhǎng)為10+2$\sqrt{7}$.故A錯(cuò)誤；

利用正弦定理$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$=2R.∴R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$.故C正確；

如圖所示：

利用正弦定理$\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{sinA}$.解得sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.所以cosA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

利用余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC?AD?cosA=19.

解得CD=$\sqrt{19}$.故D錯(cuò)誤．

故選：BC．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用.主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力.屬于中檔題．12.（多選題.5分）如圖.已知點(diǎn)G為△ABC的重心.點(diǎn)D.E分別為AB.AC上的點(diǎn).且D.G.E三點(diǎn)共線.$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AE}=n\overrightarrow{AC}$.m＞0.n＞0.記△ADE.△ABC.四邊形BDEC的面積分別為S1.S2.S3.則（）A.$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$B.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=mn$C.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}≥\frac{4}{5}$D.$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}≤\frac{4}{5}$【正確答案】：ABC【解析】：由平面向量基本定理.結(jié)合三角形面積公式及重要不等式求解即可．

【解答】：解：由D、G、E三點(diǎn)共線.

則$\overrightarrow{AG}$=$λ\overrightarrow{AD}+(1-λ)\overrightarrow{AE}$.

又$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AE}=n\overrightarrow{AC}$.m＞0.n＞0.

則$\overrightarrow{AG}=λm\overrightarrow{AB}+(1-λ)n\overrightarrow{AC}$.

又$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

則$λm=\frac{1}{3}$.（1-$λ)n=\frac{1}{3}$n=$\frac{1}{3}$.

則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$.即選項(xiàng)A正確；

S1=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AE}|sin∠A$=$\frac{1}{2}mn|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin∠A$.

S2=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin∠A$.

則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=mn$.即選項(xiàng)B正確；

$\frac{{S}_{3}}{{S}_{1}}=\frac{{S}_{2}-{S}_{1}}{{S}_{1}}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}-1$=$\frac{1}{mn}-1$≤$(\frac{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}{2})^{2}-1$=$\frac{5}{4}$.當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{m}=\frac{1}{n}$.即m=n=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào).

則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}≥\frac{4}{5}$.即選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了平面向量基本定理.重點(diǎn)考查了三角形面積公式及重要不等式.屬中檔題．13.（填空題.5分）若復(fù)數(shù)z滿足z+i=$\frac{i-3}{i}$.則|z|=___．【正確答案】：[1]$\sqrt{5}$【解析】：化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)可得z=1+2i.求模長(zhǎng)可得．

【解答】：解：∵z+i=$\frac{i-3}{i}$.∴z=$\frac{i-3}{i}$-i.

化簡(jiǎn)可得z=$\frac{(i-3)i}{{i}^{2}}$-i=$\frac{-1-3i}{-1}$-i=1+2i.

∴|z|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$

故答案為：$\sqrt{5}$

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.涉及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng).屬基礎(chǔ)題．14.（填空題.5分）連接正方體相鄰各面的中心（中心是指正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）后所得到了一個(gè)幾何體.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.則該幾何體的表面積為___.該幾何體的體積為___．【正確答案】：[1]$\sqrt{3}{a}^{2}$;[2]$\frac{1}{6}{a}^{3}$【解析】：由已知可得.所得幾何體為正八面體.每個(gè)面是全等的正三角形.求出一條棱長(zhǎng).得到一個(gè)側(cè)面的面積.乘以8可得幾何體的表面積；再求出正方形ABCD的面積.可得四棱錐S-ABCD的體積.乘以2可得幾何體的體積．

【解答】：解：由題意.所得幾何體為正八面體.每個(gè)面是全等的正三角形.且$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.

所以幾何體的表面積為：$S=8{S_{△SDA}}=8×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}a×\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{3}{a^2}$.

連接AC、BD.設(shè)AC∩BD=O.連接OS.則$OS=\frac{1}{2}a$.$OD=\frac{1}{2}BD=a$.

∴${S_{ABCD}}={(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2}=\frac{1}{2}{a^2}$.

∴該幾何體的體積為：${V_{正八面體}}=2×\frac{1}{3}×{S_{ABCD}}×OS=2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a^2}×\frac{1}{2}a=\frac{1}{6}{a^3}$．

故答案為：$\sqrt{3}{a^2}$.$\frac{1}{6}{a^3}$．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查多面體體積的求法.考查空間想象能力與思維能力.考查運(yùn)算求解能力.是中檔題．15.（填空題.5分）在△ABC中.內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a.b.c.且（2c-b）cosA=acosB.a=2.則△ABC外接圓的面積為___．【正確答案】：[1]$\frac{4π}{3}$【解析】：由正弦定理和三角函數(shù)公式可得cosA.進(jìn)而可求得A的值.利用正弦定理可求三角形外接圓的半徑.進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式即可求解．

【解答】：解：∵（2c-b）cosA=acosB.

∴由正弦定理可得（2sinA-sinB）cosA=sinAcosB.

變形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC.

∵C為三角形的內(nèi)角.sinC≠0.

∴cosA=$\frac{1}{2}$.可得A=$\frac{π}{3}$.

又a=2.

設(shè)△ABC外接圓的半徑為R.

∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=2R$.可得R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{2}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

∴△ABC外接圓的面積S=πR2=$\frac{4π}{3}$．

故答案為：$\frac{4π}{3}$．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正弦定理.兩角和的正弦公式.圓的面積公式在解三角形中的應(yīng)用.考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題．16.（填空題.5分）飛鏢運(yùn)動(dòng)于十五世紀(jì)興起于英格蘭.二十世紀(jì)初.成為酒吧常見的日常休閑活動(dòng)．某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢ABCDEFGH.該十字飛鏢由四個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形組成．在△ABC中.$AB=\sqrt{13}$.$AC=\sqrt{5}$.BC=4.邊DE上有4個(gè)不同的點(diǎn)P1.P2.P3.P4.且P1P2=P2P3=P3P4=2EP1=2DP4.記${a_i}=\overrightarrow{BC}\bullet\overrightarrow{B{P_i}}$（i=1.2.3.4）.則a1+a2+a3+a4=___．【正確答案】：[1]96【解析】：延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)Q.結(jié)合余弦定理和三角形等面積法求出CQ=2.根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求出ai.即可得解．

【解答】：解：延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)Q.

因?yàn)椤螩QD=∠CEQ+∠ECQ=∠ACB+∠ECQ=90°.

所以BQ⊥DE.

在△ABC中.由余弦定理知.cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB\bulletAC}$=$\frac{13+5-16}{2×\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{65}}$.

所以sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$.

設(shè)BC邊上的高為h.則S△ABC=$\frac{1}{2}$AB?AC?sin∠BAC=$\frac{1}{2}$BC?h.即$\sqrt{13}$?$\sqrt{5}$?$\frac{8}{\sqrt{65}}$=4?h.解得h=2.即CQ=2.

所以${a_i}=\overrightarrow{BC}\bullet\overrightarrow{B{P_i}}$=$\overrightarrow{BC}$?（$\overrightarrow{BQ}$+$\overrightarrow{Q{P}_{i}}$）=$\overrightarrow{BC}$?$\overrightarrow{BQ}$=4×（4+2）=24.

所以a1+a2+a3+a4=24×4=96．

故答案為：96．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用.熟練掌握平面向量的數(shù)量積.正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵.考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.屬于中檔題．17.（問答題.10分）已知單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$.$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{2π}{3}$.向量$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}-x\overrightarrow{{e}_{2}}$.向量$\overrightarrow=3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$．

（1）若$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$.求x的值；

（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$.求|$\overrightarrow{a}$|．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)題意.設(shè)$\overrightarrow{a}$=k$\overrightarrow$.則有$\overrightarrow{{e}_{1}}$-x$\overrightarrow{{e}_{2}}$=k（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）.變形可得$\left\{\begin{array}{l}{1=3k}\\{-x=2k}\end{array}\right.$.解可得x的值.

（2）根據(jù)題意.有$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-x$\overrightarrow{{e}_{2}}$）?（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0.解可得x的值.由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．

【解答】：解：（1）根據(jù)題意.若$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$.設(shè)$\overrightarrow{a}$=k$\overrightarrow$.

則有$\overrightarrow{{e}_{1}}$-x$\overrightarrow{{e}_{2}}$=k（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）.即$\overrightarrow{{e}_{1}}$-x$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2k$\overrightarrow{{e}_{2}}$.

故$\left\{\begin{array}{l}{1=3k}\\{-x=2k}\end{array}\right.$.解可得x=-$\frac{2}{3}$.

（2）根據(jù)題意.若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$.則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-x$\overrightarrow{{e}_{2}}$）?（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3-$\frac{1}{2}$（2-3x）-2x=0.

解可得x=4.

則|$\overrightarrow{a}$|2=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）2=1+16+4=21.故|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{21}$．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算.涉及向量平行的判斷.屬于基礎(chǔ)題．18.（問答題.12分）△ABC的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a.b.c.已知a2=bcosC+ccosB．

（1）求a；

（2）若$A=\frac{π}{3}$.△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$.求△ABC的周長(zhǎng)．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)已知條件.結(jié)合正弦定理.以及三角形的性質(zhì).即可求解．

（2）根據(jù)已知條件.結(jié)合余弦定理.以及三角形面積公式.即可求解．

【解答】：解：（1）∵a2=bcosC+ccosB.

∴由正弦定理可得.asinA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA.

∵A∈（0.π）.

∴sinA≠0.

∴a=1．

（2）∵△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$.

∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}$.解得bc=1.

由余弦定理可得.a2=b2+c2-2bc?cosA=（b+c）2-3bc=（b+c）2-3.

∴b+c=2.

∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2=3．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查解三角形.掌握正弦定理.余弦定理是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題．19.（問答題.12分）已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx.$\sqrt{3}$cosx）.$\overrightarrow$=（cosx-sinx.-2sinx）.記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在$[0.\frac{π}{2}]$上的取值范圍；

（Ⅱ）若g（x）=f（x+t）為偶函數(shù).求|t|的最小值．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）表示出f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）.根據(jù)x的取值范圍即可求得值域；

（Ⅱ）根據(jù)g（x）為偶函數(shù)得到t=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z）.進(jìn)而可得|t|最小值

【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow$=（cosx+sinx）（cosx-sinx）-2$\sqrt{3}$sinxcosx

=cos2x-sin2x-$\sqrt{3}$sin2x

=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）.

因?yàn)閤∈[0.$\frac{π}{2}$].則$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$.所以-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$.

則f（x）的取值范圍為[-2.1]；

（Ⅱ）若g（x）=f（x+t）=2cos（2x+2t+$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù).

則2t+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）.即t=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z）.

故|t|的最小值為$\frac{π}{6}$．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì).考查三角函數(shù)求值域.偶函數(shù)性質(zhì)等.屬于中檔題．20.（問答題.12分）如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體.該正四棱柱上底面的四頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面上.下底面落在圓錐底面內(nèi).已知圓錐側(cè)面積為15π.底面半徑為r=3．

（Ⅰ）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a=$\sqrt{2}$.求該幾何體的體積；

（Ⅱ）求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值．【正確答案】：

【解析】：（1）由圓錐的側(cè)面積求出圓錐的母線長(zhǎng).進(jìn)而求出圓錐的高.從而得到圓錐的體積.利用兩平行線間的線段成比例可求出正四棱柱的高.從而得到正四棱柱的體積.由該幾何體的體積V=V圓錐-V正四棱柱即可求出結(jié)果．

（Ⅱ）因?yàn)?\frac{{h}_{1}}{h}$=$\frac{r-\frac{\sqrt{2}a}{2}}{r}$.所以3h1+2$\sqrt{2}$a=12.再利用基本不等式可得h1a$≤3\sqrt{2}$.當(dāng)且僅當(dāng)h1=2.a=$\sqrt{3}$時(shí).等號(hào)成立.所以正四棱柱側(cè)面積S正四棱柱側(cè)=4h1a≤12$\sqrt{2}$.當(dāng)且僅當(dāng)h1=2.a=$\sqrt{3}$時(shí).等號(hào)成立．

【解答】：解：（Ⅰ）由S圓錐側(cè)=πrl.可得3πl(wèi)=15π.

∴l(xiāng)=5.

∴圓錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4.

∴圓錐的體積V圓錐=$\frac{1}{3}×π{r}^{2}×h$=$\frac{1}{3}×π×9×4$=12π.

∵a=$\sqrt{2}$.∴正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2.

設(shè)正四棱柱的高為h1.如圖所示.

∴$\frac{{h}_{1}}{h}=\frac{r-1}{r}$.

∴h1=$\frac{r-1}{r}$h=$\frac{3-1}{3}×4$=$\frac{8}{3}$.

∴正四棱柱的體積V正四棱柱=a2h1=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$.

∴該幾何體的體積V=V圓錐-V正四棱柱=12π$-\frac{16}{3}$．

（Ⅱ）由圖可知.$\frac{{h}_{1}}{h}$=$\frac{r-\frac{\sqrt{2}a}{2}}{r}$.即$\frac{{h}_{1}}{4}=\frac{3-\frac{\sqrt{2}a}{2}}{3}$.即3h1+2$\sqrt{2}$a=12.

由3h1+2$\sqrt{2}$a$≥2\sqrt{3{h}_{1}\bullet2\sqrt{2}a}$=2$\sqrt{6\sqrt{2}a{h}_{1}}$.當(dāng)且僅當(dāng)3h1=2$\sqrt{2}$a=6時(shí).等號(hào)成立.

∴2$\sqrt{6\sqrt{2}a{h}_{1}}$≤12.∴h1a$≤3\sqrt{2}$.當(dāng)且僅當(dāng)h1=2.a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí).等號(hào)成立.

∴正四棱柱側(cè)面積S正四棱柱側(cè)=4h1a≤12$\sqrt{2}$.當(dāng)且僅當(dāng)h1=2.a=$\sqrt{3}$時(shí).等號(hào)成立.

∴該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值為12$\sqrt{2}$．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式和體積公式.考查了棱柱的側(cè)面積和體積公式.同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用.是中檔題．21.（問答題.12分）已知a.b.c分別為△ABC內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊.若△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①$\frac{b-a}{c}$=$\frac{2\sqrt{6}a+3c}{3(a+b)}$；②cos2A+2cos2$\frac{A}{2}$=1；③a=$\sqrt{6}$；④b=2$\sqrt{2}$．

（1）滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？

（2）在（1）所有組合中任選一組.并求對(duì)應(yīng)△ABC的面積．

（若所選條件出現(xiàn)多種可能.則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）【正確答案】：

【解析】：（1）①$\frac{b-a}{c}$=$\frac{2\sqrt{6}a+3c}{3(a+b)}$.利用余弦定理化為：cosB=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．可得$\frac{5π}{6}$＜B＜π．②cos2A+2cos2$\frac{A}{2}$=1.化為：cosA=$\frac{1}{2}$.A∈（0.π）.解得A．于是判斷出①②不能同時(shí)出現(xiàn)作為條件．即可得出滿足有解三角形的序號(hào)組合．

（2）?、冖邰埽谜叶ɡ砜傻茫簊inB=1.可得B.進(jìn)而得出△ABC的面積．

【解答】：解：（1）①$\frac{b-a}{c}$=$\frac{2\sqrt{6}a+3c}{3(a+b)}$.化為：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$=cosB.B∈（0.π）．

由cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$＞$-\frac{\sqrt{6}}{3}$.∴π＞B＞$\frac{2π}{3}$．

②cos2A+2cos2$\frac{A}{2}$=1.化為：cosA=$\frac{1}{2}$.A∈（0.π）.解得A=$\frac{π}{3}$．

可得①②不能同時(shí)出現(xiàn)作為條件．

∴滿足有解三角形的序號(hào)組合有：①③④.②③④．

（2）?、冖邰埽?/p>

由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{sinB}$.解得sinB=1.B∈（$\frac{π}{3}$.$\frac{2π}{3}$）.∴B=$\