直線、平面平行和垂直的判定及其性質(zhì)

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2021/6/271第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系立體幾何2021/6/2722.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1

直線與平面垂直的判定(第一課時(shí))復(fù)習(xí)與提高2.3.1

直線與平面垂直的判定(第二課時(shí))2.3.2

平面與平面垂直的判定(第一課時(shí))2.3.2

平面與平面垂直的判定(第二課時(shí))2.3.3

直線與平面2.3.4

平面與平面垂直的性質(zhì)2021/6/273第一課時(shí)直線與平面垂直的判定2.3.1返回目錄2021/6/274學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

直線和平面垂直是怎樣定義的?2.

用直線和平面垂直的判定定理證明線面垂直需要哪些條件?2021/6/275

問題1.

在你的感覺中,直線和平面垂直是怎樣一種情況?你能說出我們教室里直線與平面垂直的例子嗎?你認(rèn)為怎樣定義直線與平面垂直恰當(dāng)?

如果直線l

與平面a

內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l

與平面a

互相垂直,記作l⊥a,直線l

叫做平面a

的垂線,平面a

叫做直線l

的垂面.

線面垂直是線面相交的一種特殊情況,線面垂直,有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即交點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)叫做線面垂直的垂足.

直線與平面垂直的定義:1.

直線與平面垂直的定義2021/6/276

畫直線和水平平面垂直,

要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.

畫直線和豎直平面垂直,

要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的豎直邊垂直.all⊥abmm⊥b2021/6/277

問題2:

已知平面a

和空間任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P能作a

的幾條垂線?為什么?a·P

結(jié)論:

過空間任意一點(diǎn),有且只有一條直線和已知平面垂直.如果有兩條,PA⊥a,PB⊥a,只有一條.垂足分別為A,B.則PA,PB確定的平面與a

相交于一直線AB.AB于是PA⊥AB,PB⊥AB,則在平面PAB內(nèi)過一點(diǎn)有兩條直線和已知直線垂直,根據(jù)平面幾何知識(shí),這顯然不對(duì).2021/6/278

問題3.(1)請(qǐng)同學(xué)們用一塊三角板的一條直角邊放在桌面內(nèi),另外一條直角邊不在桌面內(nèi),請(qǐng)問這另一條直角邊與桌面垂直嗎?(2)用一張有一定硬度的紙將一邊對(duì)折后又展開,并將所折的邊放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能嗎?

用定義判斷線面垂直不太方便,怎樣有較方便的方法判斷線面垂直呢,我們先看下面的問題.ABCD當(dāng)A、B、C不共線時(shí),折痕DC垂直桌面;當(dāng)A、B、C共線時(shí),折痕DC不一定垂直桌面.2.

直線與平面垂直的判定2021/6/279

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.符號(hào)表示:labal⊥a,l⊥b,a

a,b

a,a∩b,?

l⊥a.直線與平面垂直的判定定理:由線線垂直得線面垂直.2021/6/2710

問題4.

一旗桿高8m,在它的頂端系兩條長10m的繩子,拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)(與旗桿腳不在同一直線上).如果這兩點(diǎn)與旗桿腳相距6m,那么旗桿就與地面垂直,為什么?ABCD如圖,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三邊滿足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面內(nèi),C、B、D不在同一直線上,即BC,BD相交,由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面.2021/6/2711a例1.

如圖,已知a∥b,a⊥a.求證:b⊥a.am證明:在a

內(nèi)任作兩相交直線m、n,∵a⊥a,m

a,?a⊥m,a⊥n,∵b∥a,?

b⊥m,b⊥n,又m與n

相交,?

b⊥a.

結(jié)論:兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.bnn

a,2021/6/2712

練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQA證明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.2021/6/2713

練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQA證明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.2021/6/2714

練習(xí)(補(bǔ)充).

已知PQ是平面a

的垂線段,PA

是平面a

的斜線段,直線l

a.求證:(1)

若l⊥PA,則l⊥QA;(2)

若l⊥QA,則

l⊥PA.alPQAQ

為垂線段PQ

的垂足.A

為斜線段PA

的斜足.QA

為斜線PA

在平面a

上的射影.有三條線:①平面的斜線,②斜線在平面上的射影,③平面內(nèi)的一條直線l.結(jié)論:如果l⊥斜線,則l⊥射影;如果l⊥射影,則l⊥斜線.(三垂線定理)2021/6/2715

探究題.

如圖,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,底面四邊形ABCD

滿足什么條件時(shí),A

C⊥B

D

?ABCDA

B

C

D

分析:由題中定義知,側(cè)棱A

A⊥平面A

B

C

D

,從而A

A⊥B

D

.又要使A

C⊥B

D

,則需B

D

⊥平面A

AC.所以需在平面A

AC內(nèi)另找一條直線容易考慮的是AC是否滿足?要使AC⊥B

D

,四邊形ABCD需滿足:BA=BC,且DA=DC.與B

D

垂直且與A

A相交.(改為如下的證明題,請(qǐng)同學(xué)們給出證明)2021/6/2716

如圖,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,已知A

B

=B

C

,A

D

=D

C

,求證:B

D

⊥A

C.ABCDA

B

C

D

證明:連結(jié)A

C

,∵A

B

=B

C

,

B

D

⊥A

C

,AA

⊥平面A

B

C

D

AA

⊥B

D

,

B

D

⊥平面AA

C

C,

B

D

⊥A

C.(定義)(判定)(定義)A

D

=D

C

,AA

∩A

C

=A

,A

C

平面AA

C

C,2021/6/2717練習(xí):(課本67頁)第1、2題.練習(xí):(課本69頁)2021/6/27181.

如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求證:VB⊥AC.ABCV練習(xí):(課本67頁)證明:·D取AC邊的中點(diǎn)D,連接VD,BD.∵VA=VC,

VD⊥AC,VB=BC,

BD⊥AC,

AC⊥平面VDB,而VB

平面VDB,∴AC⊥VB.2021/6/27192.

過△ABC所在平面a

外一點(diǎn)P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如圖,PO⊥a,則∠POA=∠POB=∠POC=90

,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).中點(diǎn)2021/6/27202.

過△ABC所在平面a

外一點(diǎn)P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等外ABCP的點(diǎn)是三角形的外心.2021/6/27212.

過△ABC所在平面a

外一點(diǎn)P,作PO⊥a,垂足為O,連接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,則O

是AB

邊的

.(2)

若PA=PB=PC,則O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則O

是△ABC的

心.Oa解:(3)中點(diǎn)外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,

PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O為△ABC的垂心.垂ABCP2021/6/2722練習(xí):(課本69頁)

如圖,正方形SG1G2G3中,E,F

分別是G1G2,G2G3

的中點(diǎn),D

是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE,SF

及EF

把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3

三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體S-EFG

中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面

(B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面

(D)GD⊥△SEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA2021/6/2723【課時(shí)小結(jié)】1.

線面垂直的定義

若直線l

垂直平面a

內(nèi)的任意一直線,則叫l(wèi)⊥a.應(yīng)用:若l⊥a,

則

l

垂直平面a

內(nèi)的任意一直線.l⊥a,m

a,

l⊥m.2021/6/2724【課時(shí)小結(jié)】2.

線面垂直的判定定理

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,

l⊥a.a

a,b

a,2021/6/2725【課時(shí)小結(jié)】3.

相關(guān)結(jié)論

◆過空間任意一點(diǎn),有且只有一條直線和已知平面垂直.

◆兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

◆如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的斜線,則這條直線垂直斜線在平面上的射影;

◆如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影,則這條直線垂直斜線.2021/6/2726習(xí)題2.3B組第2、4題2021/6/2727習(xí)題2.3B組

2.

如圖,棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O

CD,VA=VB,AD=BD,你們能判定CD⊥AB以及AC=BC

嗎?VABCDO答:能判定.由VA=VB,AD=BD得,VD⊥AB.又由VO⊥平面ABC得,VO⊥AB.于是得AB⊥平面VOD,∵O

CD,

AB⊥OD.∴AB⊥CD,而

AD=BD,從而得AC=BC.2021/6/2728

4.

如圖,AB

是⊙O的直徑,點(diǎn)C

是⊙O

上的動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)C

的直線VC垂直于⊙O

所在平面,D,E

分別是VA,VC

的中點(diǎn).試判斷直線DE

與平面VBC

的位置關(guān)系,并說明理由.·VABCDEO解:DE⊥平面VBC.由直徑所對(duì)的圓周角是直角得AC⊥BC.又由

VC垂直于⊙O

所在平面得AC⊥VC.而

D,E

分別是VA,VC

的中點(diǎn)得DE//AC,∴DE⊥平面VBC.∴AC⊥平面VBC.2021/6/2729第二課時(shí)直線與平面垂直的判定2.3.1返回目錄2021/6/2730學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

什么是斜線在平面上的射影?

2.

直線和平面所成的角是由哪些元素構(gòu)成?其范圍是多少?

3.

求直線和平面所成角的大小時(shí),應(yīng)掌握哪些要點(diǎn)?2021/6/2731

問題5.

如圖,

直線l

與平面a

斜交于一點(diǎn)A,過點(diǎn)A

在平面a

內(nèi)作直線l1,l2,l3,…,這些直線與直線l

的夾角中,你認(rèn)為哪個(gè)角最小?怎樣確定這個(gè)最小的角?lal4Al3l1l2P過l

上任一點(diǎn)P

作平面a

的O垂線PO,垂足為O,連結(jié)AO,則∠PAO

就是那個(gè)最小的角.【直線和平面所成的角】2021/6/2732

問題5.

如圖,

直線l

與平面a

斜交于一點(diǎn)A,過點(diǎn)A

在平面a

內(nèi)作直線l1,l2,l3,…,這些直線與直線l

的夾角中,你認(rèn)為哪個(gè)角最小?怎樣確定這個(gè)最小的角?lal4Al3l1l2PO

一條直線PA

和一個(gè)平面a

相交,但不垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,其交點(diǎn)A

叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O

和斜足A

的直線AO

叫斜線在平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.【直線和平面所成的角】2021/6/2733aOPQPO∩a=O,PQ⊥a,Q

為垂足,則OQ

是PO

在平面a∠POQ是斜線PQ

與平面

a

所成的角.上的射影.

特例1:

如果直線垂直平面,直線和平面所成的角為直角;

特例2:

如果直線和平面平行或在平面內(nèi),就說直線和平面所成的角是0o的角.2021/6/2734

問題6.

已知直線l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判斷l(xiāng)1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

與平面a

所成的角是否相等?如圖,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO

與CO

不平行.aABCDO1O2如圖,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,則AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,則在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.2021/6/2735結(jié)論:

和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定平行.兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角一定相等.2021/6/2736

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直線A1B的射影.即需找過A1B上的點(diǎn)垂直平面A1B1CD的直線.O而BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出對(duì)角線BC1有可能.因?yàn)锽C1⊥B1C,還容易看出BC1⊥A1B1,于是可連結(jié)BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.∠BA1O就是所要求的線面角,則可在Rt△BA1O中求.2021/6/2737

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D解:連結(jié)BC1,交B1C于O,則在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O則BC1⊥平面A1B1CD,O為垂足.得A1O為A1B在平面A1B1C1D上的射影.∠BA1O就是直線A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△BA1O中,A1B=BC1=2BO,得∠BA1O=30.∴直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角是30.2021/6/2738

例2.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D求線面角的要點(diǎn):(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構(gòu)造含線面角的三角形,O通常構(gòu)造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.2021/6/2739練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1D如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求AA1與平面A1BD所成角的正切值.解:(1)∵A1C是平面B1BCC1的斜線,A1B1是平面B1BCC1的垂線,∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,則∠A1CB1為所求的線面角.在Rt△A1B1C中,即

A1C與平面B1BCC1所成角的正切值為2021/6/2740練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1DO如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

與平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,A1O,過點(diǎn)A

作AE⊥A1O,垂足為E.∵AB=AD,A1B=A1D,E∴BD⊥AO,BD⊥A1O,則BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,2021/6/2741ABCA1B1C1D1DOE練習(xí)(補(bǔ)充)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求對(duì)角線A1C與平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

與平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,A1O,過點(diǎn)A

作AE⊥A1O,垂足為E.∵AB=AD,A1B=A1D,∴BD⊥AO,BD⊥A1O,則BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,則∠AA1E

為所求的線面角.在Rt△A1AO

中,即

A1A與平面A1BD所成角的正切值為2021/6/2742【課時(shí)小結(jié)】1.

直線和平面所成的角(1)平面的斜線與平面所成的角斜線與射影的夾角(銳角).(2)平面的垂線與平面所成的角為90.(3)平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與平面所成的角為0.

斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的.兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等.2021/6/2743【課時(shí)小結(jié)】2.求線面角的要點(diǎn)(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構(gòu)造含角的三角形,用三角函數(shù)求解.2021/6/2744練習(xí)(補(bǔ)充)2.

已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于2,底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面所的角為60o,求三棱錐的體積.1.

若一直線與平面所成的角為則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是

.3.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與平面BC1D1所成的角為

.CDABC1D1A1B12021/6/27451.

若一直線與平面所成的角為則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是

.aABCDP解:如圖,直線AB是直線PC在平面a內(nèi)的射影,直線PC與平面a

內(nèi)的直線所成的角中,∠PCA最小,直角最大.則PC與平面內(nèi)任一直線所成的角的范圍是2021/6/27462.

已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于2,底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面所成的角為60o,求三棱錐的體積.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足為O,如圖,∴

O為底面正三角形的中心,則∠PAO=∠PBO=∠PCO=60o,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,底面△ABC的高AE=E則BC=2BE=2021/6/27472.

已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于2,底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面所的角為60o,求三棱錐的體積.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足為O,如圖,∴

O為底面正三角形的中心,則∠PAO=∠PBO=∠PCO=60o,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,底面△ABC的高AE=E則BC=2BE=∴棱錐的體積為2021/6/27483.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與平面BC1D1所成的角為

.CDABC1D1A1B1解:平面BC1D1就是平面ABC1D1,如圖,E連結(jié)A1D,交AD1于E,則A1E⊥AD1,A1E⊥AB,

A1E⊥平面ABC1D1,連結(jié)BE,則∠A1BE就是A1B與平面BC1D1所成的角,設(shè)正方體的棱長為a,在Rt△A1ED中,∠A1BE=30o.30o2021/6/27492.3.2平面與平面垂直的判定第一課時(shí)返回目錄2021/6/2750學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

什么叫二面角?

2.

二面角的大小是由什么確定的?求二面角的大小的關(guān)鍵是什么?2021/6/2751

問題1.

當(dāng)我們要求別人將一扇門(如教室門)開大點(diǎn),或開小點(diǎn)時(shí),用什么來度量,使開門的人能準(zhǔn)確地按要求開門?

如圖,兩個(gè)平面相交,常要研究交成的角的大小,這就需要引入二面角.【1】二面角2021/6/2752

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

這條直線叫做二面角的棱,

這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.如圖,ablABPQ記作二面角a-l-b,或二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.2021/6/2753【2】二面角的平面角ablABO·abl

要研究和度量二面角的大小,我們把它轉(zhuǎn)化成從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線的夾角.

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖,以棱l上任一點(diǎn)O為端點(diǎn),在半平面a

內(nèi)作OA⊥l,在半平面b

內(nèi)作OB⊥l,則∠AOB就是二面角a-l-b的平面角.∠AOB的大小就是二面角a-l-b的大小.二面角的大小就由它的平面角確定.ABO·2021/6/2754衛(wèi)星軌道平面68.5o我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5o.赤道平面即衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的二面角是68.5.2021/6/2755

問題2.

如圖,△ABC和△DBC是空間的兩個(gè)等邊三角形,∠ABD和∠ACD是二面角A-BC-D的平面角嗎?如果不是,你能找出它的一個(gè)平面角嗎?

答:∠ABD和∠ACD都不是二面角A-BC-D的平面角,因?yàn)樗鼈兊倪吪c二面角的棱BC不垂直.取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE、DE,∴∠AED就是二面角A-BC-D的平面角.則AE⊥BC,DE⊥BC,ABCDE2021/6/2756ABCDA1B1C1D1

問題3.

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1

的棱長為a,怎樣計(jì)算二面角A1-BD-C1

的大小.解:取BD

的中點(diǎn)O,連結(jié)A1O,C1O.∵A1B=A1D,C1B=C1D,O∴A1O⊥BD,C1O⊥BD,則∠A1OC1

就是二面角A1-BD-C1

的平面角.連結(jié)A1C1.可算出△A1C1O

的邊A1C1,A1O,C1O.以后學(xué)了余弦定理即可解得∠A1OC1.E也可作A1C1的高OE,在直角三角形中求角.2021/6/2757

例(補(bǔ)充).

如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值.分析:目標(biāo):在平面

PAD內(nèi)找AD的垂線,在平面

ABCD內(nèi)找AD的垂線.憑直觀,考查圖中已有的角,找二面角P-AD-C

的平面角.線,點(diǎn)等.PD,CD⊥AD

否?不垂直.PA,BA⊥AD

否?BA與AD不垂直.則考慮連結(jié)AC,得∠ACD=45

,如果AC⊥AD,需∠CDA=45

.在底面梯形中可求得∠CDA=45

.ABCDP2021/6/2758

例(補(bǔ)充).

如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值.解:∵PC=CB=BA=2,DC=4,ABCDP∴ABCE

是正方形.E取DC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,AC.得AE⊥DC,

AE=DE,∴AD⊥AC.∵PC⊥平面ABCD,則∠ADE=45

.∴PC⊥AD.AB⊥BC,又∠ACD=45

,則AD⊥平面PAC,∴得AD⊥PA.則∠PAC為二面角P-AD-C

的平面角.在底面求得AC=∴tan∠PAC=2021/6/2759練習(xí)(補(bǔ)充)1.在正方體ABCD-A

B

C

D

中,

求二面角A-B

C-B的正切值.ABCDA

B

C

D

2.30o的二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)P,這點(diǎn)到棱的距離為h,求點(diǎn)P

到另一個(gè)半平面的距離.2021/6/27601.在正方體ABCD-A

B

C

D

中,

求二面角A-B

C-B的正切值.ABCDA

B

C

D

G解:連接BC

交B

C

于G,連結(jié)AG,∵AB⊥B

C,則BG⊥B

C.得

B

C⊥AG.∴B

C⊥平面ABG.∴∠AGB為二面角A-BC-B

的平面角.在Rt△ABG中,則BG=設(shè)AB=1,2021/6/27612.30o的二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)P,這點(diǎn)到棱的距離為h,求點(diǎn)P

到另一個(gè)半平面的距離.解:PQ⊥l于Q,作PO⊥b,O

b,連結(jié)OQ.則∠PQO=30o.∴∠PQO是二面角的平面角.在Rt△POQ中,PO=則

PQ⊥l.blQaP·O如圖,二面角a-l-b是30.P

a,PQ=h.∴l(xiāng)⊥平面POQ,即點(diǎn)P到b

的距離是則l⊥OQ.2021/6/2762【課時(shí)小結(jié)】1.

二面角

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

這條直線叫做二面角的棱,

這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.ablABPQ記作二面角a-l-b,二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.2021/6/2763【課時(shí)小結(jié)】2.

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角確定.ablABO·ablABO∠AOB是二面角a-l-b的平面角.2021/6/2764【課時(shí)小結(jié)】3.

求二面角的大小(1)找到二面角的兩個(gè)半平面與棱.(2)找二面角的平面角.

在兩個(gè)半平面內(nèi)找垂直于棱的直線,垂足為棱上同一點(diǎn).常用到線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)換.(3)通常在直角三角形中求平面角的大小.2021/6/2765習(xí)題2.3A組第4、7題.2021/6/27664.

如圖,三棱錐V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=

VC=1,試畫出二面角V-AB-C

的平面角,并求它的度數(shù).VBCA解:取AB的中點(diǎn)D,連接VD,CD,·D而

VA=VB=AC=BC=2,∴VD⊥AB,CD⊥AB,則∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.而則由勾股定理求得VD=CD=1,又VC=1,∴△VCD是等邊三角形,∠VDC=60,即二面角V-AB-C

的大小為60.2021/6/2767

7.

如圖,正方體ABCD-A

B

C

D

中平面ABC

D

與正方體的其他各個(gè)面所成二面角的大小分別是多少?ABCDA

C

D

B

解:與上底面所成二面角的平面角是∠B

C

B=45

.與下底面所成二面角的平面角是∠C

BC=45

.與前面所成二面角的平面角是∠B

BC

=45

.與后面所成二面角的平面角是∠BC

C=45

.平面AC

過左、右面的垂線AB,所以與左、右面成90

的二面角.2021/6/27682.3.2平面與平面垂直的判定第二課時(shí)返回目錄2021/6/2769學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

平面與平面垂直是怎樣定義的?

2.兩平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么?證明兩平面垂直需要哪些條件?2021/6/2770平面角是直角的二面角叫做直二面角.

問題3.

觀察教室中的物體,哪些二面角是直二面角?【3】兩個(gè)平面垂直的定義

一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面a

與平面b

垂直,記作:a⊥b.

畫兩個(gè)平面垂直,一般應(yīng)把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直.abab2021/6/2771

問題3.

請(qǐng)同學(xué)們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面,再用書面或硬紙板緊靠鉛筆,請(qǐng)問:書面與桌面構(gòu)成直二面角嗎?書面與桌面是否垂直?兩個(gè)平面垂直的判定定理:

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:abll⊥a,l

b,?b⊥a.【4】兩個(gè)平面垂直的判定2021/6/2772

例3.

如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C

是圓周上不同于A,B

的任意一點(diǎn).求證:平面PAC⊥平面PBC.·OABCP解:∵AB是⊙O的直徑,又C是⊙O上的點(diǎn),∴AC⊥BC,又∵PA⊥圓面,BC

圓面,∴PA⊥BC,得BC⊥平面PAC,而

BC

平面PBC,?平面PBC⊥平面PAC.2021/6/2773

探究題.

如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直,為什么?DBCA過AB的平面與底面垂直:平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.又BC⊥CD,而由AB⊥平面BCD得

CD⊥AB,

CD⊥平面ABC,過CD的平面垂直平面ABC:平面ACD⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC(上面已有).2021/6/2774練習(xí):(補(bǔ)充)1.

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1(側(cè)棱垂直底面)中,∠ACB=90

,求證:平面A1BC⊥平面A1ACC1.A1B1C1ABC2.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,A1A的中點(diǎn).求證:平面BCE⊥平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF2021/6/27751.

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1(側(cè)棱垂直底面)中,∠ACB=90

,求證:平面A1BC⊥平面A1ACC1.A1B1C1ABC證明:∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1.又∠ACB=90

BC⊥AC,

BC⊥平面A1ACC1.

平面A1BC⊥平面A1ACC1.BC

平面A1BC,2021/6/27762.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,A1A的中點(diǎn).求證:平面BCF⊥平面B1C1E.證明:E,F分別是AB,A1A的中點(diǎn).∴在正方形ABB1A1中,∵B1C1⊥平面BAA1B1,

B1C1⊥BF.由①②得BF⊥平面B1C1E,

平面BCF⊥平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF

平面BAA1B1,∵BF

平面BCF,B1E⊥BF.①②2021/6/2777【課時(shí)小結(jié)】1.

兩平面垂直的定義2.

兩平面垂直的判定定理

兩個(gè)平面相交成直二面角時(shí),稱這兩個(gè)平面互相垂直.

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.abll⊥a,l

b,?b⊥a.2021/6/2778習(xí)題2.3A組第1、3、6題.B組第1題.2021/6/2779習(xí)題2.3A組1.

判斷下列命題是否正確,正確的說明理由,錯(cuò)誤的舉例說明:(1)

平面a⊥平面b,平面b⊥平面g

平面a⊥平面g;(2)

平面a//平面a1,平面b//平面b1,平面a⊥平面b

平面a1⊥平面b1.解:(1)

錯(cuò),如圖.bga(2)

對(duì).a⊥b,a//a1,

a1⊥b;b//b1,

a1⊥b1.2021/6/2780

3.

如圖,在三棱錐V-ABC

中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90,試判斷平面VBA

與平面VBC

的位置關(guān)系,并說明理由.VBCA解:平面VBA⊥平面VBC.其理由:由∠VAB=∠VAC=90

得VA⊥平面ABC,則VA⊥BC,又∠ABC=90,即AB⊥BC,∴BC⊥平面VBA,而BC

平面VBC,∴平面VBC⊥平面VBA.2021/6/27816.

求證:如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直,那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直.已知:

PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.

求證:

平面PAB⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PAC,平面PBC⊥平面PAC.PABC證明:∵

PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC.而

PA

平面PAB,PA

平面PAC,∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可證平面PAB⊥平面PAC.2021/6/2782B組1.

如圖,在正方體ABCD-A

B

C

D

中,證明:平面ACC

A

⊥平面A

BD.ABCDA

C

D

B

證明:在正方體中,底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又因?yàn)閭?cè)棱垂直底面,所以A

A⊥BD.于是得BD⊥平面A

ACC

.而BD

平面A

BD,∴平面A

BD⊥平面A

ACC

.2021/6/27832.3.32.3.4直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面返回目錄2021/6/2784學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理是什么?在什么條件下得到什么結(jié)論?

2.

兩平面垂直的性質(zhì)定理是什么?在什么條件下得到什么結(jié)論?2021/6/2785

問題1.

長方體的側(cè)棱是否都與底面垂直?這些側(cè)棱是怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)同時(shí)豎兩支垂直于桌面的鉛筆,這兩支鉛筆又有怎樣的位置關(guān)系?a如圖,l1⊥a，l2⊥a，垂足分別為A、B.如果l1?

l2,那么過垂足A可另作一直線m∥l2,于是m⊥a.過l1與m

作平面b∩a=c,則l1⊥c,m⊥c.那么在平面b

內(nèi)過一點(diǎn)A就有兩直線與c

垂直,顯然不可能,即l1?

l2不能成立,只有l(wèi)1//l2.bl1l2ABmc2.3.3

直線與平面垂直的性質(zhì)2021/6/2786垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.由線面垂直得線線平行.線面垂直的性質(zhì)定理:al1l2AB符號(hào)表示:l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.2021/6/2787

例(補(bǔ)充).

已知一條直線l和一個(gè)平面a

平行,求證:直線l上各點(diǎn)到平面a

的距離(到a

的垂線段長)相等.alA

B

b證明:過l上任意兩點(diǎn)A、B作AA

⊥a,BB⊥a,垂足為A

、B

,則AA

∥BB

,由AA

、BB

確定平面,設(shè)為b,得b∩a=A

B

,∵l∥a,l

b,?l∥A

B

,∴AA

=BB

(兩平行線間的平行線段相等),即l

上任意兩點(diǎn)到平面a

的距離相等.AB2021/6/2788

問題2.

設(shè)直線a,b

分別在正方體ABCD-A

B

C

D

中兩個(gè)不同的平面內(nèi),欲使a//b,a,b

應(yīng)滿足什么條件?分別滿足下面的條件都可以:(1)a,b

同垂直于一個(gè)面.(2)a,b

同平行一條棱.(3)用一個(gè)平面截相對(duì)的兩個(gè)面所得的交線即為a,b.bbABCDA

C

D

B

aaba如圖,2021/6/2789練習(xí):(課本71頁)第1、2題.2021/6/2790練習(xí):(課本71頁)1.

判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)劃“√”,錯(cuò)誤的劃“×”.(1)

垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.()(2)

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行.()(3)

一條直線在平面內(nèi),另一條直線與這個(gè)平面垂直,則這兩條直線互相垂直.()2021/6/2791

2.

已知直線a,b

和平面a,且a⊥b,a⊥a,則b

與a

的位置關(guān)系是

.平行或在a內(nèi)bDD

CBC

B

AA

baa分析:借助長方體模型.//a

a2021/6/2792

問題1.

請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粔K硬紙板(或書面)上畫一條垂直于某邊的直線l,再將硬紙板(或書面)與桌面垂直,并使這邊在桌面內(nèi).請(qǐng)問,你畫的直線l

與桌面是什么位置關(guān)系?為什么?labABDC如圖,在a

內(nèi)過點(diǎn)D作CD⊥AB,則∠lDC是二面角a-AB-b的平面角.∵b⊥a,∴平面角應(yīng)是直角,則得l⊥CD.

l⊥a.2.3.4

平面與平面垂直的性質(zhì)又l⊥AB,2021/6/2793兩平面垂直的性質(zhì)定理:

兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,?l⊥b.abml2021/6/2794

問題2.

如圖,a⊥b,點(diǎn)P∈a,PQ⊥b.請(qǐng)問,PQ是否一定在a

內(nèi)?你能說出理由嗎?RPQablPQ一定在a

內(nèi).其理由:設(shè)a∩b

=l,過點(diǎn)P

作PR⊥l,R∈l,∵a⊥b,?PR⊥b,∵過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直,∴PQ與PR重合為同一條直線,即PQ必在a

內(nèi).2021/6/2795

例4.

已知平面a,

b,a⊥b,直線a

滿足a⊥b,a

a,試判斷直線a

與平面a

的位置關(guān)系.mabab解:∵a⊥b,設(shè)a∩b

=m,在a

內(nèi)作b⊥m,

b⊥b.∵a⊥b,?

a∥b,b

a,a

a,?a∥a.即直線a

與平面a

互相平行.2021/6/2796問題:(課本76頁探究)

已知平面a,b,直線a,且a⊥b,a∩b=AB,a//a,a⊥AB,能判斷直線a

與平面b

的位置關(guān)系嗎?AabBa解:b∵a//a,g過a

作平面g∩a=b,則a//b.而a⊥AB,則b⊥AB,而a⊥b,交線是AB,∴b⊥b,則a⊥b.

兩平面垂直,平行于一平面的直線垂直于另一平面.2021/6/2797練習(xí):(課本73頁)第1、2題.2021/6/27981.

下列命題中錯(cuò)誤的是()(A)如果平面a⊥平面b,那么平面a

內(nèi)所有直線都垂直于平面b(B)如果平面a⊥平面b,那么平面a

內(nèi)一定存在直線平行于平面b(C)如果平面a不垂直于平面b,那么平面a

內(nèi)一定不存在直線垂直于平面b(D)如果平面a⊥平面g,平面b⊥平面g,a∩b=

l,

那么l⊥g練習(xí):(課本77頁)(D)選項(xiàng)的證明看“習(xí)題2.3”第5題.A2021/6/27992.

已知兩個(gè)平面垂直,下列命題①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線.③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面.④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.

其中正確的個(gè)數(shù)是()(A)3(B)2(C)1(D)0另一個(gè)平面內(nèi)垂直于前一個(gè)平面的無數(shù)條直線.B2021/6/27100【課時(shí)小結(jié)】1.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.由線面垂直得線線平行.能推得線線平行的有:①公理4.②線面平行的性質(zhì)定理.③面面平行的性質(zhì)定理.④線面垂直的性質(zhì)定理.2021/6/27101【課時(shí)小結(jié)】2.

平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,?l⊥b.abml

兩平面垂直,平行于一平面的直線垂直于另一平面.2021/6/27102習(xí)題2.3A組第2、5、8、9題.B組第3題.2021/6/27103a習(xí)題2.3A組2.

已知平面a,b,g,且a⊥g,b//g,求證a⊥b.證明:在g

內(nèi)作直線a⊥m,∴a⊥a.∵

a⊥g,過a

作平面d∩b=

b,∵b∥g,∴a//b,b

b,?

b⊥a.bbgad如圖,設(shè)a

與g

的交線為m,m而a⊥a.

b⊥a.2021/6/271045.

已知平面a,b,g滿足a⊥g,b⊥g,a∩b=l.求證l⊥g.agbl證明:如圖,設(shè)a∩g

=m,b∩g

=n.取P∈g,P

m,P

n,mnP·AB作PA⊥m,PB⊥n.∵

a⊥g,b⊥g,∴PA⊥a,PB⊥b.又∵

a∩b

=l,∴PA⊥l,PB⊥l.PA

g,PB

g,PA∩PB=P,?l⊥g.2021/6/27105a

8.

如圖,m,n

是兩條相交直線,l1,l2是與m,n都垂直的兩條直線,且直線l與l1,l2都相交,求證:∠1=∠2.mnO12ll2l1證明:∵l1⊥m,l1⊥n,∵m∩n=O,∴

m、n

確定的平面,設(shè)為a,∴l(xiāng)1⊥a,同理,l2⊥a,∴l(xiāng)1∥l2,又∵直線l與l1、l2都相交,∴∠1=∠2.2021/6/27106

9.

求證:兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等.

如果兩平行線中的一條垂直平面,則另一條也垂直這個(gè)平面,它們與平面所成的角都等于90o.證明:

如果兩平行線中的一條與平面所成的角是0o,則另一條平行平面或在平面內(nèi),

即另一條與平面所成的角也是0o.當(dāng)兩平行線是平面的斜線時(shí),如圖,2021/6/27107aABCDE已知:

AB∩a=B,CD∩a=D,AB∥C