2025屆高三數(shù)學二輪復習備考交流會課件

二輪復習備考交流會校訓：誠信

責任

博學

創(chuàng)新內(nèi)容簡介魏縣一中簡介新高考命題特點簡析我們該如何應對新高考？二輪復習的幾點策略二輪部分專題復習建議魏縣一中于1951年建校，占地270余畝，現(xiàn)有綜合辦公樓一棟，教學樓八棟，宿舍樓四棟。教職工460余人，在校生6000余人。一 魏縣一中簡介近幾年高考成績簡況2021年高考清北9人。邯鄲市理科狀元出自我校。升入985及以上院校132人，部隊院校17人，211及以上院校243人。2022年高考清北16人。邯鄲市文理狀元均出自我校。升入985及以上院校187人，部隊院校26人，211及以上院校487人。2023年高考清北18人。理科狀元出自我校。升入985及以上院校210人，軍警院校27人，211及以上院校560人。2024年高考清北21人，邯鄲市文理科狀元出自我校。升入985及以上院校264人，軍警院校50人，211及以上院校684人。近期目標：351工程！二 新高考命題特點簡析中國考試（一）重建學科考查目標和命題原則新體系突出主干內(nèi)容，增加應用性內(nèi)容，將課程標準中分散在必修和選擇性必修模塊中的內(nèi)容按數(shù)學知識體系進行整合，形成更加符合命題操作的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)建不分文理科的新考核體系。同時，數(shù)學科制定了命題原則，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計試題，重點考查知識結(jié)構(gòu)和具體知識點之間的有機聯(lián)系，強化方法性、應用性、知識性內(nèi)容考查，淡化特殊解題技巧。數(shù)學科還加強了對基本原理和通用思想方法運用能力的考查，實現(xiàn)以知識內(nèi)容為載體考查思想方法的目的。在考查過程中，尤其注重對邏輯思維能力、創(chuàng)新意識和應用意識的考查，降低對運算量、運算技巧的要求，增加自然科學、人文社會科學等領(lǐng)域以及現(xiàn)實生活、數(shù)學文化等素材作為試題背景，考查學生運用數(shù)學知識解決生產(chǎn)生活中實際問題的能力，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升和發(fā)展。中國考試（二）突出數(shù)學思維和核心素養(yǎng)考查新定義試題通過新定義一個數(shù)學對象或數(shù)學運算，以此為基礎(chǔ)為學生搭建思維平臺，設(shè)置試題。該題型形式新穎，考查功能顯著，主要表現(xiàn)在四個方面：通過新定義創(chuàng)設(shè)數(shù)學新語境和話語體系；通過新情境搭建試題框架，創(chuàng)設(shè)解題條件；通過新設(shè)問設(shè)置思維梯度，逐步深入，準確區(qū)分不同層次的學生；通過解題過程展現(xiàn)學生數(shù)學思維和探究過程，實現(xiàn)對分析、推理、判斷、論述等關(guān)鍵能力的考查。新高考中的新題型更加靈活和富于變化，考查的不是應試訓練效果，不是固化套路，而是應變能力、創(chuàng)新能力，真正選拔出素質(zhì)高、能力強的學生；同時降低了機械刷題和套路訓練的收益，在客觀上起到了抑制題海戰(zhàn)術(shù)的作用。引導高中數(shù)學教與學轉(zhuǎn)變教育觀念，真正落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)于教學之中，培育學生的創(chuàng)新創(chuàng)造思維中國考試（三）創(chuàng)建學科化考查要求和實施策略一是強調(diào)基礎(chǔ)性，通過全面系統(tǒng)地考查基礎(chǔ)知識和基本思想方法，引導學生牢固掌握解決問題的方法和工具；通過考查核心概念、基本原理和基本方法，增強考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性，強調(diào)通性通法，淡化特殊解題技巧。二是強調(diào)綜合性，突出數(shù)學內(nèi)容的整體性和結(jié)構(gòu)性，考查數(shù)學各部分內(nèi)容之間的有機聯(lián)系，要求學生能夠綜合運用所學知識、原理、方法分析問題和解決問題，促進學生從整體上建構(gòu)數(shù)學知識框架。三是強調(diào)應用性，即廣泛選取各領(lǐng)域素材和案例，緊密聯(lián)系社會生產(chǎn)、生活實際創(chuàng)設(shè)試題情境，考查考生應用數(shù)學原理、方法解決實際問題的能力。試題搭建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，注重體現(xiàn)數(shù)學的實踐價值和應用價值，同時彰顯情境中的人文精神與德育導向。四是強調(diào)創(chuàng)新性，通過增強試題的開放性和探究性，加強對學生獨立思考能力和批判性思維的考查，鼓勵他們打破常規(guī)、創(chuàng)造性地提出問題、解決問題，或提出有一定跨度和挑戰(zhàn)性的問題，進行自主探究和深入思考，將所學知識和方法轉(zhuǎn)化為分析和解決問題的能力。中國考試（四）優(yōu)化試卷難度結(jié)構(gòu)新卷種采取“文起理落”的難度結(jié)構(gòu)布局，入手題難度以過去文科試卷的起始題為參照基準，壓軸題則以過去理科試卷的末題為參照，制定了“低起點，多層次，高落差”的調(diào)控策略。所謂“低起點”，即試卷在選擇題、填空題、解答題的起始題降低難度要求、加寬入口，面向全體學生。“多層次”則是指試卷在中檔題部分增加分值比例和難度設(shè)計的梯度，體現(xiàn)解題方法的多樣性，給學生提供多種分析問題和解決問題的路徑。“高落差”是在壓軸題部分突出綜合性、創(chuàng)新性，加強思維能力考查，強化對高水平學生的區(qū)分和選拔。新的難度結(jié)構(gòu)符合新高考不分文理科的考試特點，確保數(shù)學試卷整體難度與學生水平相適應，使基礎(chǔ)扎實的學生能入手做題，循序漸進，得到基本分數(shù)；同時為高水平學生提供了發(fā)揮空間，使其能在考查高階思維、綜合能力的試題中充分展示真實水平，從而使數(shù)學試卷發(fā)揮良好的區(qū)分和選拔功能。新高考命題特點三、思維量增加1、多想少算2、壓軸題區(qū)分度增強一、側(cè)重基礎(chǔ)1、考查主干知識2、注重通性通法3、設(shè)置難度合理 4、重視考教銜接二、打破常規(guī)1、試題順序2、知識比例3、題型新穎高考歷來重視支撐數(shù)學學科的主干知識和核心概念的考查，引導中學教學遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學教學本質(zhì)，回歸課標，重視教材，重視概念教學，夯實學生學習基礎(chǔ)，給學生預留思考和深度學習的空間。1、考查主干知識一、側(cè)重基礎(chǔ)2022年：南水北調(diào)作為背景，考查棱臺體積公式2023新Ⅰ卷2023新Ⅱ卷282、注重通性通法教學要回歸課程標準，落實課程標準所要求的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本思想與基本活動經(jīng)驗，通過深化基礎(chǔ)知識、基本原理方法的教學，培養(yǎng)學生形成完整的知識體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在教學中要抓住最自然、最基礎(chǔ)的方法，淡化技巧，減輕學生的記憶負擔。一、側(cè)重基礎(chǔ)3、設(shè)置難度合理很好地貫徹了“低起點、多層次、高落差”的策略，試題難度層次分明，既可以起到選拔的作用，也可以讓各個層次的同學展示自己的思維水平一、側(cè)重基礎(chǔ)4、重視考教銜接強調(diào)對學科基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導中學把教學重點從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)。增加基礎(chǔ)題比例、降低初始題起點，增強試題的靈活性和開放性。一、側(cè)重基礎(chǔ)1、試題順序15題為解三角形，16題為解析幾何，沒有概率統(tǒng)計解答題。新課標卷打破以往的命題模式，靈活、科學地確定試題的內(nèi)容和順序。機動調(diào)整試題順序有助于打破學生機械應試的套路，打破教學中僵化、刻板的訓練模式，防止猜題押題。二、打破常規(guī)2、知識比例增加了函數(shù)與導數(shù)，三角函數(shù)比例，減少了概率統(tǒng)計比例。試題數(shù)量的減少導致某些知識點比重的變動，知識考查方面必須全面?zhèn)淇肌６?、打破常?guī)3、題型新穎二、打破常規(guī)“填空選填2021年全國乙卷第一次出現(xiàn)，2022年全國一卷14題，2023年全國2卷15題，2025年?壓軸題嘗試今年采取了兩套模式，一套以新一卷為代表的無窮數(shù)列與集合類新定義，一套以新二卷為代表的解析幾何與數(shù)列的模塊綜合。備考時要注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過深化基礎(chǔ)知識、基本原理方法的教學，培養(yǎng)學生形成完整的知識體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。1、多想少算減少繁瑣運算，轉(zhuǎn)向考查思維的深度，在試題的設(shè)計上,重視思維考查的層次性,突出表現(xiàn)在多選題的選項設(shè)計以及解答題各問之間的遞進關(guān)系等方面,能夠使不同數(shù)學基礎(chǔ)和水平層次的考生都能拿到合理的分數(shù)。三、思維量增加1、多想少算三、思維量增加1、多想少算(2024·九省適應性測試)

已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點．(1)證明：直線MN過定點；(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值．解：證明： 由C：y2＝4x，故F(1,0)，由直線AB與直線DE垂直，故兩條直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB，DE分別為x＝m1y＋1，x＝m2y＋1，有m1m2＝－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)，如圖所示：1、多想少算消去x可得y2－4m1y－4＝0，Δ＝16m ＋16>0，故y1＋y2＝4m1，y1y2＝－4，則x1＋x2＝(m1y1＋1)＋(m1y2＋1)＝m1(y1＋y2)＋2＝4m

＋2，此時MN過定點，且該定點為(3,0)，有l(wèi)MN：x＝2＋1＝3，也過定點(3,0)，故直線MN過定點，且該定點為(3,0)．(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值．解：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)，即4x(y4＋y2)＋y1y3(y4＋y2)＝4x(y3＋y1)＋y2y4(y3＋y1)，故xG＝－1，當且僅當m1＝±1時，等號成立，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)m1>0，則m2<0，由直線MN過定點(3,0)，同理，當m1<1時，有點G在x軸下方，點Q也在x軸下方，當且僅當m1＝1時，xQ＝3，如果求四邊形ADBE

面積最小值呢？有關(guān)系嗎？2、壓軸題區(qū)分度增強壓軸題考查的是思維量而不是知識量，考查學生運用數(shù)學思維和數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)問題分析問題解決問題的能力，充分展現(xiàn)數(shù)學探究的過程，引導學生規(guī)范表達推理論證的過程三

我們該如何應對新高考？1、要知悉高考數(shù)學難的本質(zhì)中國在芯片、精密制造、儀表儀器工業(yè)機器人、醫(yī)療器械等多個科技領(lǐng)域落后。我們該如何從這種境況下走出來，那就需要創(chuàng)新人才。而高考從本質(zhì)上講，他是一個國家基于高端人才的高位培養(yǎng)和高位成長，它必須要強調(diào)選拔性，進行淘汰，進行篩選，這種選拔性的指向就是創(chuàng)新型人才，充分說明了數(shù)學是選拔人才的重要科目。“學科育人”要依靠學科的內(nèi)在

力量，“數(shù)學育人”要用數(shù)學的方式，在數(shù)學內(nèi)部挖掘育人資源， 并使其在數(shù)學教育的各個環(huán)節(jié)中

發(fā)揮作用。——章建躍2、要清楚高考數(shù)學難度主要體現(xiàn)試題源于課本，但卻遠遠高于課本源于課本而高于課本，這是高考題的命題原則。遺憾的是學生普遍沒有重視，認為課本實在太簡單，和高考真題完全沒法比。如果研究歷年高考真題，會發(fā)現(xiàn)有一些題目直接源自對課本題目的“改造”，這個改造的過程，體現(xiàn)的是提高綜合性，設(shè)問方式更加靈活。為此，我們有必要在平時學習中研究課本。而模仿高考命題方式，對課本題目進行改造，是最為高效的方式。對于一個學生，能自己命題，必然是高水平的表現(xiàn)，所以，我們要鼓勵和要求學生對課本習題進行改編。2024年Ⅰ卷一些源自課本的試題題號考點人教A版教材（2019版）源題1集合的運算必修一，P14頁，習題1.3，第1，2題2復數(shù)運算必修二，P95頁，復習參考題，第7題3平面向量的坐標運算必修二，P60頁，復習參考題，第8題4三角恒等變換必修一，P255頁，復習參考題，第15題5簡單幾何體面積體積必修二，P119頁，例47三角函數(shù)圖象必修一，P237頁，例18抽象函數(shù)與斐波那契數(shù)列選擇性必修二，P57頁，復習參考題，第16題9正態(tài)分布選擇性必修三，P87頁，練習第2題，習題7.5第2題10三次函數(shù)的性質(zhì)選擇性必修二，P104，復習參考題，第9題，P99頁，習題5.3，第13題12雙曲線離心率選擇性必修一，P124頁，練習，第1題13兩曲線的公切線選擇性必修二，P104頁，復習參考題，第13題15解三角形必修二，P54頁，習題6.4，第22題16直線與橢圓選擇性必修一，P112頁，練習，第4題，例417四棱錐線面平行、二面角必修二，P158頁，練習，第3題。P164頁，習題8.6，第20題18函數(shù)、導數(shù)的應用必修一，P87頁，習題3.2，第13題，3、高考命題導向要引起教學反思！今年的數(shù)學就給了大家重大提醒。數(shù)學命題設(shè)計創(chuàng)新，一些問題反套路，開放性大，考法靈活，選拔性強那么我們要在日常教學中人人貢獻，人人多思，要在調(diào)動自己鉆研上、積極性上下功夫！怎樣把被動教變成樂教。一個優(yōu)秀的人肯定是一個會吃苦的人，肯定是一個能扛累人，肯定是經(jīng)得起忙的一個人。如果一個孩子吃不了苦，扛不住累，經(jīng)不起忙，這個孩子是優(yōu)秀不起來的。4、教育本質(zhì)的思考，樂學是教育難題。四 二輪復習的幾點策略、深入研究新課標和高考真題，把握考試方向、深化核心概念、加強知識聯(lián)系，重視兄弟知識點、深挖課本有用信息及出題背景、教學選題要有針對性，不能照搬資料、把課堂還給學生，以引導為主，、重視規(guī)范和糾錯、重視能力的培養(yǎng)和解題方法指導1.深入研究新課標和高考真題，把握考試方向歷屆高考真題是高考備考的絕好素材，落實以概念的理解、公式、法則的合理運用為本，高考真題為載體，鞏固基礎(chǔ)知識和基本原理，構(gòu)建知識與方法的網(wǎng)絡(luò)，從而提升高考復習的有效性和準確性．與其大量做題,不如抽出時間認真研究往年的試題，往年的試題是精雕細磨的產(chǎn)物，它反映了對考試內(nèi)容的深思熟慮、對設(shè)問和答案的準確把握、對學生水平的客觀判斷．研究這些試題,就如同和命題者對話．——教育部考試中心

劉芃（peng）2.深化核心概念“大量數(shù)學教師在課堂上沒有抓住數(shù)學概念的核心進行教學，學生經(jīng)常在沒有對數(shù)學概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大運動量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領(lǐng)。學生花費大量時間學數(shù)學，完成了無數(shù)次解題訓練，但他們的數(shù)學基礎(chǔ)仍非常脆弱．”——章建躍(2021新課標I卷.8)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，

乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，

丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）（A）甲與丙相互獨立（C）乙與丙相互獨立（B）甲與丁相互獨立（D）丙與丁相互獨立3、加強知識聯(lián)系，重視兄弟知識點每個面都是等邊三角形頂點與中心的連線垂直于底面底面是等邊三角形?=??(?>0)?=

??過(0，1)過(1，1)（必修第一冊80頁）（選擇性必修第二冊91頁）?????0?(?)

?定義域上的珠穆朗瑪峰考察函數(shù)整體的性質(zhì)考察函數(shù)局部的性質(zhì)一個連續(xù)的定義域上最多有一個最大值和最小值，但可以有多個極大值或極小值。具體情況具體分析。函數(shù)?(?)

=

?3在?

=

0處，函數(shù)值?(0)是什么值？都是函數(shù)值92頁不能同時發(fā)生，?

∩

?

=

?，則稱事件?與事件?互斥。有且僅有一個發(fā)生，不能同時發(fā)生，?

∪

?

=

?，且?

∩

?

=

?，

那么稱事件?與事件?互為對立?；コ鈱α?

、深挖課本有用信息及出題背景深挖課本怎么個深法？（1）、校準三基（2）、例題習題（3）、閱讀材料（4）、新舊變化（5）、拓廣探索（6）、小字注釋校準基本概念、基本定理、基本公式（1）、校準三基（2）、例題習題高考題以課本素材改編而成，重視經(jīng)典例題、習題相關(guān)點法？左加右減？選擇題解法？人教版選必一P121

探究人教版選必一

P108

例3分析：類比例3的方法，可以得到M的軌跡方程為：251009x2

y2

1(x

5)(2)雙曲線的左、右頂點分別為A，B，且動點C(m，n)，D(m，－n)在雙曲，且過點(，1)．例.已知雙曲線的焦點在x軸上，中心在原點，離心率為(1)求雙曲線的標準方程；把上述一般結(jié)論添加上這兩個定點后的軌跡稱為圓，橢圓，雙曲線的統(tǒng)一定義。通過以上的探討，我們可以得到如下的一些重要結(jié)論：人教版選必一

P1145

第11題對于拋物線能否統(tǒng)一為兩斜率乘積為定值的軌跡呢?既然拋物線不能用兩斜率乘積表示，那么能否用兩斜率的其他運算來表示呢?（人教版選必一

,P139第11題）y

1

x2

(x

1)（人教版選必一

,P145第9題）

x2

xy

1

0(x

1)高考命題的情境來源（3）、閱讀材料方法一：導數(shù)，方法二：琴聲不等式方法

方法三：三角函數(shù)定義重視新教材增加的知識，重點訓練（4）、新舊變化b ba

b

b

a在b上的投影向量

（2023年全國乙卷理科第12題）兩側(cè)同側(cè)4

[0

, ）（2023年全國乙卷理科第12題）EPD在PA上的投影向量的模（2023年全國乙卷理科第12題）（5）、拓廣探索知識的拓展與延伸空間直線的對稱式方程空間平面方程對知識的深入理解與概括（6）、小字注釋5

、教學選題要有針對性，不能照搬資料（1）、重視高考真題（2）、重視優(yōu)質(zhì)模擬題精研對應章節(jié)高考題、模擬題、，有針對性的選題組題（根據(jù)高考題的考向），進行午練（3-5題）、周練（整卷）。(1)、重視高考真題2022乙卷文2024新高考12023乙卷理2021乙卷理2022新高考1卷2023乙卷文2024新高考2卷2024甲卷文(2)、重視優(yōu)質(zhì)模擬題石家莊質(zhì)檢三2024新高考1卷6、把課堂還給學生，以引導為重，（1）要引導學生與學生之間的互動交流，充分發(fā)揮他們之間的思維互補性，由于每位學生思維的角度、方式、水平等方面的差異，因而學生的解答往往呈多樣化，這時我們就必須充分挖掘利用。（2）要引導學生構(gòu)建知識體系，關(guān)注概念的形成，要有意識的降低選用習題的難度，但不是降低高考要求的難度，要以基礎(chǔ)促發(fā)展。規(guī)范作答3.步驟：試卷講評課重點講解得分點1．計算：要求學生準備專門的草稿本，書寫步驟干凈整潔，版面清晰，一目了然2．書寫：要求答題紙卷面整潔，書寫工整，字跡清晰，符號規(guī)范，考前強調(diào)書寫格式，考后展示答題紙7、重視規(guī)范和糾錯4.規(guī)范錯題本：8

、重視能力的培養(yǎng)和方法指導一題多練，培養(yǎng)集中思維能力。一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維能力?！耙活}多解”是培養(yǎng)思維多樣性的一種重要途徑，采用多種解題方法解決同一個實際問題的教學方法，它有利于培養(yǎng)學生辨證思維能力，加深對概念、規(guī)律的理解和應用，提高學生的應變能力，啟迪學生的發(fā)散性思維。小題小做，多種方法，多種手段（直接法，排除法，特例法，驗證法，估算法，特征分析法，極限思想法）。熟記常見二級結(jié)論及其應用。一題多變，培養(yǎng)學生探究能力。“一題多變”是從多角度、多方位對例題進行變化，引出一系列與本例題相關(guān)的題目，形成多變導向，使知識進一步精化，一題多變的提問主要在習題課中進行。一題多變的系列提問，使學生的思維變得活躍、發(fā)散，達到一題多練的效果，還能將形似神不似的題目并列在一起比較，求同存異，還能培養(yǎng)探究因果、主動參與、積極思考的好習慣，也能避免學生盲目做大量的練習而效果差的現(xiàn)象，減輕了學生的課業(yè)負擔。2024年新高考I卷12、|

F2

A

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5,|

F1F2

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12

2c|

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13

5

8

2a由雙曲線第二定義，點A到左準線的距離與到左焦點的距離的比等于點A到右準線的距離與到右焦點的距離的比通過一輪、二輪復習最終讓學生達到穩(wěn)、準、對、快、好的解題水平。一、向量及解三角形1、解三角形常用策略1．中線長定理：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．與三角形角平分線有關(guān)的策略在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.1．利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.三角：解三角形中的方程思想2021新Ⅰ卷2023全國甲卷三角：解三角形中的方程思想一、等和線等和(高)線定理向量問題中的常用結(jié)論策略2二、極化恒等式極化恒等式的證明過程與幾何意義三、平面向量與三角形的重心四、平面向量與三角形的垂心五、平面向量與三角形的內(nèi)心六、平面向量與三角形的外心A．外心C．重心B．內(nèi)心D．垂心對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.重點題型一奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和問題(2021·新高考Ⅰ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；解：因為bn＝a2n，且a1＝1，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因為bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)求{an}的前20項和．a(chǎn)2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①a2k＋1＝a2k＋2，②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．(2023·新課標Ⅱ卷)已知{an}為等差數(shù)列，bn＝記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通項公式；則b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n＋3.(2)證明：當n>5時，Tn>Sn.當n為偶數(shù)時，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，綜上所述，當n>5時，Tn>Sn.當n為奇數(shù)時，若n≥3，則Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)題型二 數(shù)列中的增項問題解決此類問題的基本思路有兩種：一是分析新數(shù)列是否是某一類特殊數(shù)列(等差、等比)，然后利用新數(shù)列的性質(zhì)求解；二是分組處理，如本例(2)，可分別求出數(shù)列{an}的前41項和及{bn}的前9項和，然后求T50.解決此類問題的關(guān)鍵是搞清新數(shù)列{cn}是由原數(shù)列{an}、{bn}中的哪些項構(gòu)成的．解決此類問題的關(guān)鍵是明確新數(shù)列與原數(shù)列的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，關(guān)注數(shù)列的下標，尤其在求和時要搞清楚原數(shù)列中項的數(shù)量．題型三 數(shù)列中的減項問題題型四 兩個數(shù)列公共項問題常用方法1．不定方程法：列出兩個項相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識，求出符合條件的項，并解出相應的通項公式．2．周期法：即尋找下一項．通過觀察找到首項后，從首項開始向后，逐項判斷變化較大(如公差的絕對值大)的數(shù)列中的項是否為另一個數(shù)列中的項，并找到規(guī)律(周期)，分析相鄰兩項之間的關(guān)系，從而得到通項公式．題型五 數(shù)列中放縮證明問題常用方法1．對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式．2．明確放縮的方向：是放大還是縮小．若要證明小于某值，則放大；若要證明大于某值，則縮小．1．對于“和式”數(shù)列不等式，若不能或很難求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式．而對于“和式”數(shù)列不等式，放縮的最主要目的是通過放縮，把原數(shù)列變?yōu)榭汕蠛?、易求和的?shù)列．2．放縮的項數(shù)：不一定對所有項進行放縮，有時從第一項開始，或從第二項，或從第三項等開始．(1)求{an}的通項公式；例：已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝nan－3n(n－1)(n∈N*)，且a2＝11.(1)求a1的值；解：由S2＝a1＋a2＝2a2－3×2×(2－1)及a2＝11，可得a1＝5.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；解：n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，得an＝nan－3n(n－1)－(n－1)an－1＋3(n－1)(n－2)?(n－1)an－(n－1)an－1＝6(n－1)?an－an－1＝6(n≥2，n∈N*)；所以數(shù)列{an}是首項為a1＝5，公差為6的等差數(shù)列，所以an＝5＋6(n－1)＝6n－1，三、立體幾何常用策略1:與球心和半徑的有關(guān)策略到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．1．補形法的解題策略(1)側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到長方體或正方體中去求解．(2)直三棱錐可以補成三棱柱求解．2．正方體與球的切、接問題的常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，.(1)若球為正方體的外接球，則2R＝(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a.(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝.3．若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R= .2.與球截面有關(guān)的策略1．定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到頂點的距離相等且為半徑．2。作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化目的提醒：正四面體的外接球的半徑R＝ a，內(nèi)切球的半徑r＝ a，其半徑之比R∶ r＝3∶ 1(a為該正四面體的棱長)．√例：半球內(nèi)放三個半徑為的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是返回2、多面體中的截面問題1．正方體中的基本斜截面2．

多面體中找截面的幾種方法直接法：有兩點在多面體的同一個面上，連接這兩點即為多面體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程．延長線法：若直線相交，但在多面體中未體現(xiàn)，可以通過作延長線的方法找到交點，然后借助交點找到交線．平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點作直線的平行線找到多面體與截面的交線．3、空間向量應用3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cos

θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ .4．點到直線的距離6.

空間直線的對稱式方程7.空間平面方程一、圓錐曲線的通徑a1.橢圓通徑:過焦點且與長軸垂直的弦，通徑長為2b2

.2.雙曲線通徑:過焦點且與實軸垂直的弦，通徑長為2b2

.a3.拋物線通徑:過焦點且與其對稱軸垂直的弦，通徑長為2p

.四、解析幾何常用二級結(jié)論和策略二、焦點弦問題a2 b21.過橢圓x2

+

y2

=

1(a

>

b

>

0)

的右焦點F

且傾斜角為α(α

≠

90°)

的直線交橢圓于A

，

B

兩點，且

AF

=

λ

FB

，則橢圓的離心率等于

λ?1(λ+1)cos

α

.a2 b22.過雙曲線x2

?

y2

=

1(a

>

0,

b

>

0)

的右焦點F

且傾斜角為α(α

≠

90°)

的直線交曲線的右支于A

，

B

兩點，且

AF

=

λ

FB

，則雙曲線的離心率等于

λ?1(λ+1)cos

α

.3.過拋物線y2

=

2px(p

>

0)

的焦點F

且傾斜角為θ 的直線交拋物線于A

，

B

兩點，則兩焦半徑長分別為p p111?cos

θ

1+cos

θ

AF

BF

p， ， + =2，

AB

=2psin2θ，S△AOB=p22sin

θ.三、等角性質(zhì)a2 b21.已知橢圓:

x2

+

y2

=

1(a

>

b

>

0)

,過長軸上任意一點N(t,

0)

的弦的端點A

,

B

與對t應的點G(

a2

,

0)

的連線所成的角被焦點所在的直線平分,即∠OGA

=

∠OGB

.a2 b22.已知雙曲線x2

?

y2

=

1(a

>

0,

b

>

0)

,過實軸所在直線上任意一點N(t,

0)

的弦的端t點A

,

B

與對應點G(

a2

,

0)

的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即∠NGA=∠NGB

.3.已知拋物線y2

=

2px(p

>

0)

,過拋物線對稱軸上任意一點N(a,

0)

的一條弦端點A

,

B

與對應點G(?a,

0)

的連線所成的角被對稱軸平分，即∠OGA

=

∠OGB

.四、切線、切點弦方程x21.橢圓 +y2a2 b2=

1(a

>

b

>

0)

在(x0,

y0)

處的切線方程為0a2+x

x y

y0b2=

1

；雙曲線xy2 2a2 b2? =

1(a

>

0,

b

>

0)

在(x0,

y0)

處的切線方程為0a2?x

x y

y0b2=

1

；拋物線y2

=

2px(p

>

0)

在(x0,

y0)

處的切線方程為y0y

=

p(x+

x0)

.2.過圓錐曲線外一點作曲線的兩條切線，過兩切點的直線方程與曲線在該點處的切線方程相同x2y2a2 b20 0.例如：過橢圓C： + =

1(a

>

b

>

0)

外一點P(x

,

y

)

作橢圓的兩條切線PA

，

PB

（

A

，

B

為切點），則直線AB

的方程為x0x

+

y0y

=

1

.a2 b2五、韋達定理拓展五、概率統(tǒng)計常用公式結(jié)論(5)

互斥事件：“事件

A

與事件

B

不能同時發(fā)生”

叫做事件

A

與事件

B

互斥，

P

(

AB)

==O.(

6)對立事件：

AU

A

==Q,

A

門

A

==0

.-

-三(7)

相互獨立事?。?/p>

事件

A

發(fā)生與否對事件

B

發(fā)生的概率沒有影響，

這樣的兩個事件叫做相互獨立事件，

事件

A

與事件

B

相互獨立，

則

A

與B

,A

與

B, A

與B也相互獨立"I2.概率的計算公式P(A)＋P(B)P(A)P(B)(6)條件概率：P(B|A)＝

.一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝

.*設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有.-1oo對于隨機變量序列Xn,

已知第n小時的狀態(tài)Xn,

如果Xn+1

的隨機變化規(guī)律與x。X,1…, ,

Xn-1

的取值都沒有關(guān)系，

那么稱隨機變量序列Xn具有且紐可夫性，

稱具有馬