【九年級(jí)下載】二次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型（含答案）

二次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1解二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗(yàn)所得的解，是否符合實(shí)際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1利用二次函數(shù)解決幾何圖形問題】【例1】（2020春?蕭山區(qū)月考）如圖窗戶邊框的上部分是由4個(gè)全等扇形組成的半圓，下部分是矩形，現(xiàn)在制作一個(gè)窗戶邊框的材料總長(zhǎng)度為6米．（π取3）（1）若設(shè)扇形半徑為x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示出AB．并求出x的取值范圍．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，窗戶透光面積最大，最大面積為多少？（窗框厚度不予考慮）【變式1-1】（2020?安徽模擬）如圖，某住宅小區(qū)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，開發(fā)商準(zhǔn)備對(duì)這塊地進(jìn)行綠化，分別設(shè)計(jì)了①②③④⑤五塊地，其中①③兩塊形狀大小相同的正方形地用來種花，②④兩塊形狀大小相同的矩形地用來種植草坪，⑤為矩形地用來養(yǎng)殖觀賞魚．（1）設(shè)矩形觀賞魚用地LJHF的面積為ym2，AG長(zhǎng)為xm，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值．【變式1-2】（2020?富順縣三模）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2．（1）若花園的面積為192m2，求x的值；（2）寫出花園面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，花園面積S有最大值？最大值為多少？（3）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是a（14≤a≤22）和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），設(shè)花園面積S的最大值為y，直接寫出y與a的關(guān)系式．【變式1-3】（2020?溫州模擬）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長(zhǎng)為a米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設(shè)計(jì)了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長(zhǎng)不超過墻長(zhǎng)；方案乙中AD的長(zhǎng)大于墻長(zhǎng)．（1）若a＝6．①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長(zhǎng)是多少米？②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請(qǐng)說明理由．【知識(shí)點(diǎn)2銷售問題中的常用公式】（1）利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率（2）利潤(rùn)率=（3）總利潤(rùn)=總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=銷售量×（單件售價(jià)-單件成本）【題型2利用二次函數(shù)解決銷售利潤(rùn)問題】【例2】2020年1月，全國(guó)爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎，2月某工廠購(gòu)進(jìn)某防護(hù)材料若干千克，成本為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不低于成本價(jià)但不高于成本價(jià)2倍，經(jīng)試銷，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費(fèi)用450元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，當(dāng)天該工廠日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)為多少元？【變式2-1】某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單價(jià)，日銷售量，日銷售利潤(rùn)的幾組對(duì)應(yīng)值如表：銷售單價(jià)x（元）8595105115日銷售量y（個(gè)）17512575m日銷售利潤(rùn)w（元）87518751875875（注：日銷售利潤(rùn)＝日銷售量×（銷售單價(jià)﹣成本單價(jià)））（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；（2）根據(jù)以上信息，填空：該產(chǎn)品的成本單價(jià)是元，當(dāng)銷售單價(jià)x＝元時(shí)，日銷售利潤(rùn)w最大，最大值是元；公司計(jì)劃開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)計(jì)在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價(jià)仍存在（1）中的關(guān)系．若想實(shí)現(xiàn)銷售單價(jià)為90元時(shí)，日銷售利潤(rùn)不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成本單價(jià)應(yīng)不超過多少元？【變式2-2】（2020?安徽二模）某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤(rùn)為w萬元．（毛利潤(rùn)＝銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用）（1）請(qǐng)直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大？最大毛利潤(rùn)是多少？（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤(rùn)？【變式2-3】（2020?邢臺(tái)二模）一家經(jīng)營(yíng)打印耗材的門店經(jīng)銷各種打印耗材，其中某一品牌硒鼓的進(jìn)價(jià)為a元/個(gè)，售價(jià)為x元/個(gè)（a≤x≤48）．下面是門店在銷售一段時(shí)間后銷售情況的反饋：①若每個(gè)硒鼓按定價(jià)30元的8折出售，可獲20%的利潤(rùn)；②如果硒鼓按30元/個(gè)的價(jià)格出售，每月可售出500個(gè)，在此基礎(chǔ)上，售價(jià)每增加5元，月銷售量就減少50個(gè)．（1）求a的值，并寫出該品牌硒鼓每月的銷售量y（個(gè)）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）求該耗材店銷售這種硒鼓每月獲得的利潤(rùn)W（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每月獲得的最大利潤(rùn)；（3）在新冠肺炎流行期間，這種硒鼓的進(jìn)價(jià)降低為n元/個(gè)，售價(jià)為x元/個(gè)（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照銷售量與售價(jià)關(guān)系不變的方式銷售，并決定將當(dāng)月銷售這種硒鼓獲得的利潤(rùn)全部捐贈(zèng)給火神山醫(yī)院，支援武漢抗擊新冠肺炎．若要使這個(gè)月銷售這種硒鼓獲得的利潤(rùn)G（元）隨售價(jià)x（元/個(gè)）的增大而增大，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【題型3利用二次函數(shù)解決拋物線形軌跡問題】【例3】（2020秋?澠池縣期末）如圖，小明在一次高爾夫球爭(zhēng)霸賽中，從山坡下O點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球移動(dòng)的水平距離為9米時(shí)，球達(dá)到最大高度12米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o，O、A兩點(diǎn)相距83（1）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（2）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點(diǎn)直接打入球洞A點(diǎn)，并說明理由．【變式3-1】如圖，運(yùn)動(dòng)員甲在距籃下4m處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式．（2）該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？（3）運(yùn)動(dòng)員乙跳離地面時(shí)，最高能摸到3.3m，問：在（2）的條件下，運(yùn)動(dòng)員乙在運(yùn)動(dòng)員甲與籃板之間的什么范圍內(nèi)能在空中截住球？【變式3-2】（2021?嘉善縣一模）已知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓(xùn)練中，一球員接傳球后射門，擊球點(diǎn)A距離地面0.4米，即AB＝0.4米，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球的水平移動(dòng)距離BC為6米時(shí)，球恰好到達(dá)最高點(diǎn)D，即CD＝4.4米．以直線BC為x軸，以直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運(yùn)動(dòng)的水平距離；（3）若要使球直接落在球門內(nèi)，則該球員應(yīng)后退m米后接球射門，擊球點(diǎn)為A'（如圖3），請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【變式3-3】（2020?紹興）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m，隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由．（2）若球過網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）【題型4利用二次函數(shù)解決車過隧道問題】【例4】（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）小宇遇到了這樣一個(gè)問題：如圖是一個(gè)單向隧道的斷面，隧道頂MCN是一條拋物線的一部分，經(jīng)測(cè)量，隧道頂?shù)目缍萂N為4m，最高處到地面的距離CO為4m，兩側(cè)墻高AM和BN均為3m，今有寬2.4m的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的最高點(diǎn)E到隧道頂面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的距離應(yīng)不小于0.6m，那么卡車載物后的限高應(yīng)是多少米？（精確到0.1m）為解決這個(gè)問題，小宇以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)上述信息，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+c．（1）寫出M、C、N、F四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出拋物的表達(dá)式；（3）利用求出的表達(dá)式，幫助小宇解決這個(gè)問題．【變式4-1】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構(gòu)成．矩形一邊OA的長(zhǎng)是12m，另一邊OC的長(zhǎng)是1m．拋物線上的最高點(diǎn)D到地面OA的距離為7m．以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內(nèi)車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13m的空隙．現(xiàn)有一輛貨運(yùn)汽車，在隧道內(nèi)距離道路邊緣2m【變式4-2】（2020?武漢模擬）某坦克部隊(duì)需要經(jīng)過一個(gè)拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價(jià)為2萬元，求5根支柱的總造價(jià)；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進(jìn)方向，現(xiàn)每輛坦克長(zhǎng)4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計(jì)，試問120輛該型號(hào)坦克從剛開始進(jìn)入到全部通過這座長(zhǎng)1000m的拱橋隧道所需最短時(shí)間為多少分鐘？【變式4-3】（2020秋?海州區(qū)校級(jí)期末）施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請(qǐng)通過計(jì)算說明；（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB，使A．D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋形問題】【例5】（2020秋?渝水區(qū)校級(jí)月考）某河上有拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂5m時(shí)，水面寬8m．一木船寬4m，高2m，載貨后，木船露出水面的部分為34m．以拱頂O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A、B（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）求拋物線解析式；（3）當(dāng)水面離拱頂1.8米時(shí)，木船能否通過拱橋？【變式5-1】（2020秋?泗陽縣期末）河上有一座拋物線形的石拱橋，水面寬6m時(shí)，水面離橋拱頂部3m．（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，試求拋物線的解析式；（2）一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4m．現(xiàn)因暴雨河水水位上升了1m，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請(qǐng)說明理由．【變式5-2】（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【變式5-3】（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【題型6利用二次函數(shù)解決路程-速度問題】【例6】（2021春?拱墅區(qū)期中）一個(gè)物體從地面豎直向上拋，有這樣的關(guān)系式：h＝vt?12gt2（不計(jì)空氣阻力），其中h是物體距離地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是拋出后所經(jīng)歷的時(shí)間．圓圓用發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計(jì)）將一個(gè)小球以10m/（1）當(dāng)小球的高度為1.8米時(shí)，求時(shí)間t的值；（2）小球的高度能達(dá)到5.4米嗎？請(qǐng)作出判斷，并說明理由；（3）若方方在圓圓拋出之后將另一個(gè)完全相同的小球以相同的速度從地面豎直向上拋，這兩個(gè)小球在某一時(shí)刻的高度均為4.2米，求方方與圓圓拋球的時(shí)間差．【變式6-1】（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí)，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時(shí)相距最近，最近距離是多少？【變式6-2】（2020?龍泉驛區(qū)模擬）隨著城市化建設(shè)的發(fā)展，交通擁堵成為上班高峰時(shí)難以避免的現(xiàn)象．為了解龍泉驛某條道路交通擁堵情況，龍泉某中學(xué)同學(xué)經(jīng)實(shí)地統(tǒng)計(jì)分析，研究表明：當(dāng)20≤x≤220時(shí)，車流速度v（千米/小時(shí)）是車流密度x（輛千米）的一次函數(shù)．當(dāng)該道路的車流密度達(dá)到220輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米小時(shí)；當(dāng)車流密度為95輛千米時(shí)，車流速度為50千米/小時(shí)．（1）當(dāng)20≤x≤220時(shí)，求車流速度v（千米/小時(shí)）與車流密度x（輛/千米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使該道路上車流速度大于40千米/小時(shí)且小于60千米/小時(shí)，應(yīng)控制該道路上的車流密度在什么范圍內(nèi)？（3）車流量（輛小時(shí)）是單位時(shí)間內(nèi)通過該道路上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)即：車流量＝車流速度×車流密度．當(dāng)20≤x≤220時(shí)，求該道路上車流量y的最大值．此時(shí)車流速度為多少？【變式6-3】（2020?定海區(qū)模擬）在長(zhǎng)、寬均為45米的十字路口，現(xiàn)遇到紅燈，有10輛車依次呈一直線停在路口的交通白線后，每?jī)奢v車間隔為2.5米，每輛車長(zhǎng)5米，每輛車的速度v（米/秒）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)（如圖1）所示，當(dāng)綠燈亮起，第一輛車的車頭與交通白線的距離s（米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如圖2所示當(dāng)前車啟動(dòng)后，后面一輛車在1秒后也啟動(dòng)．（1）求a的值；（2）當(dāng)t＞4時(shí)，求第一輛車的車頭與交通白線的距離s（米）關(guān)于時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)t＞4時(shí)，求第一輛車和第二輛車在這個(gè)十字路口中的最大間距；（第一輛車的車尾和第二輛車的車頭哦）（4）綠燈持續(xù)時(shí)間至少要設(shè)置多長(zhǎng)才能保證在綠燈期間這十輛車都能通過交通白線．二次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【答案版】【知識(shí)點(diǎn)1解二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗(yàn)所得的解，是否符合實(shí)際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1利用二次函數(shù)解決幾何圖形問題】【例1】（2020春?蕭山區(qū)月考）如圖窗戶邊框的上部分是由4個(gè)全等扇形組成的半圓，下部分是矩形，現(xiàn)在制作一個(gè)窗戶邊框的材料總長(zhǎng)度為6米．（π取3）（1）若設(shè)扇形半徑為x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示出AB．并求出x的取值范圍．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，窗戶透光面積最大，最大面積為多少？（窗框厚度不予考慮）【解題思路】（1）根據(jù)2AB+7半徑+弧長(zhǎng)＝6列出代數(shù)式即可；（2）設(shè)面積為S，列出關(guān)于x的二次函數(shù)求得最大值即可．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根據(jù)3﹣5x＞0，所以x的取值范圍是：0＜x＜3（2）設(shè)面積為S，則S＝2x（3﹣5x）+32x2=?172x2+6x=?172（當(dāng)x=617時(shí)，S最大【變式1-1】（2020?安徽模擬）如圖，某住宅小區(qū)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，開發(fā)商準(zhǔn)備對(duì)這塊地進(jìn)行綠化，分別設(shè)計(jì)了①②③④⑤五塊地，其中①③兩塊形狀大小相同的正方形地用來種花，②④兩塊形狀大小相同的矩形地用來種植草坪，⑤為矩形地用來養(yǎng)殖觀賞魚．（1）設(shè)矩形觀賞魚用地LJHF的面積為ym2，AG長(zhǎng)為xm，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根據(jù)正方形AEFG和正方形JKCI形狀大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形狀大小相同，得到DG＝12﹣x，F(xiàn)L＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形狀大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形狀形狀大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，F(xiàn)L＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL?LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴當(dāng)x＝7時(shí)，y的最大值＝4；故矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值為4m2．【變式1-2】（2020?富順縣三模）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2．（1）若花園的面積為192m2，求x的值；（2）寫出花園面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，花園面積S有最大值？最大值為多少？（3）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是a（14≤a≤22）和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），設(shè)花園面積S的最大值為y，直接寫出y與a的關(guān)系式．【解題思路】（1）根據(jù)題意得出長(zhǎng)×寬＝192，進(jìn)而得出答案；（2）由題意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函數(shù)增減性求得最值；（3）根據(jù)題意確定x的取值范圍，利用二次函數(shù)增減性計(jì)算即可．【解答過程】解：（1）依題意得S＝x（28﹣x），當(dāng)S＝192時(shí)，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花園的面積為192m2，x的值為12m或16m；（2）由題意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x為14m時(shí)，花園面積S有最大值，最大值為196m2；（3）依題意得：28?x≥ax≥6解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，當(dāng)x≤14，y隨x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴當(dāng)x＝28﹣a時(shí)，函數(shù)有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【變式1-3】（2020?溫州模擬）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長(zhǎng)為a米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設(shè)計(jì)了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長(zhǎng)不超過墻長(zhǎng)；方案乙中AD的長(zhǎng)大于墻長(zhǎng)．（1）若a＝6．①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長(zhǎng)是多少米？②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）①設(shè)AB的長(zhǎng)是x米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程；②列出面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答；（2）設(shè)AB＝x，能圍成的矩形花圃的面積為S，根據(jù)題意列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，再通過求最值方法解答．【解答過程】解：（1）①設(shè)AB的長(zhǎng)是x米，則AD＝20﹣3x，根據(jù)題意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=5當(dāng)x=53時(shí)，∴x＝5，∴AD＝5，答：AD的長(zhǎng)是5米；②設(shè)BC的長(zhǎng)是x米，矩形花圃的最大面積是y平方米，則AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]根據(jù)題意得，y＝x（263?23x）=?23x∴當(dāng)x=132時(shí)，y有最大值為答：按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是1696（2）設(shè)BC＝x，能圍成的矩形花圃的面積為S，按圖甲的方案，S＝x×20?x3=?∴在x＝a＜10時(shí)，S的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝a的最大值n時(shí)，S的值最大，為S=?1按圖乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x∴當(dāng)x=a+204時(shí)，S的值最大為S=(a+20)224，此時(shí)a取最大值n∵(n+20)224?[?13（n∴(n+20)故第二種方案能圍成面積最大的矩形花圃．【知識(shí)點(diǎn)2銷售問題中的常用公式】（1）利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率（2）利潤(rùn)率=（3）總利潤(rùn)=總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=銷售量×（單件售價(jià)-單件成本）【題型2利用二次函數(shù)解決銷售利潤(rùn)問題】【例2】2020年1月，全國(guó)爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎，2月某工廠購(gòu)進(jìn)某防護(hù)材料若干千克，成本為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不低于成本價(jià)但不高于成本價(jià)2倍，經(jīng)試銷，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費(fèi)用450元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，當(dāng)天該工廠日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)為多少元？【解題思路】（1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）利用銷量×每件利潤(rùn)＝總利潤(rùn)，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)增減性得出答案．【解答過程】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），根據(jù)圖象可得方程組30k+b=14050k+b=100解得：k=?2b=200∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣2x+200，x的取值范圍是：30≤x≤60；（2）設(shè)日利潤(rùn)為w，則可以列出函數(shù)關(guān)系式為：w＝（﹣2x+200）（x﹣30）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450，當(dāng)x=?b又∵30≤x≤60，∴當(dāng)x＝60時(shí)，w取得最大值，w＝1950，答：當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，當(dāng)天該工廠日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)為1950元．【變式2-1】某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單價(jià)，日銷售量，日銷售利潤(rùn)的幾組對(duì)應(yīng)值如表：銷售單價(jià)x（元）8595105115日銷售量y（個(gè)）17512575m日銷售利潤(rùn)w（元）87518751875875（注：日銷售利潤(rùn)＝日銷售量×（銷售單價(jià)﹣成本單價(jià)））（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；（2）根據(jù)以上信息，填空：該產(chǎn)品的成本單價(jià)是元，當(dāng)銷售單價(jià)x＝元時(shí)，日銷售利潤(rùn)w最大，最大值是元；（3）公司計(jì)劃開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)計(jì)在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價(jià)仍存在（1）中的關(guān)系．若想實(shí)現(xiàn)銷售單價(jià)為90元時(shí)，日銷售利潤(rùn)不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成本單價(jià)應(yīng)不超過多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得生產(chǎn)成本和w的最大值；（3）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以取得科技創(chuàng)新后的成本．【解答過程】解；（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，85k+b=17595k+b=125，得k=?5即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝﹣5x+600，當(dāng)x＝115時(shí)，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）設(shè)成本為a元/個(gè)，當(dāng)x＝85時(shí)，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴當(dāng)x＝100時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝2000，故答案為：80，100，2000；（3）設(shè)科技創(chuàng)新后成本為b元，當(dāng)x＝90時(shí)，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：該產(chǎn)品的成本單價(jià)應(yīng)不超過65元．【變式2-2】（2020?安徽二模）某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤(rùn)為w萬元．（毛利潤(rùn)＝銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用）（1）請(qǐng)直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大？最大毛利潤(rùn)是多少？（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤(rùn)？【解題思路】（1）利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式及毛利潤(rùn)＝銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用，可得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求函數(shù)最值即可；（3）首先求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)增減性得出答案即可．【解答過程】解：（1）圖①可得函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（100，1000），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2（a≠0），將點(diǎn)（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1故y與x之間的關(guān)系式為y=110x圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0，30）、（100，20），設(shè)z＝kx+b，則100k+b=20b=30解得：k=?1故z與x之間的關(guān)系式為z=?110（2）W＝zx﹣y=?110x2+30x?=?15x2=?15（x2﹣150=?15（x﹣75）∵?1∴當(dāng)x＝75時(shí)，W有最大值1125，∴年產(chǎn)量為75萬件時(shí)毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為1125萬元；（3）令y＝360，得110x2解得：x＝±60（負(fù)值舍去），由圖象可知，當(dāng)0＜y≤360時(shí)，0＜x≤60，由W=?15（x﹣75）當(dāng)0＜x≤60時(shí)，W隨x的增大而增大，故當(dāng)x＝60時(shí)，W有最大值1080，答：今年最多可獲得毛利潤(rùn)1080萬元．【變式2-3】（2020?邢臺(tái)二模）一家經(jīng)營(yíng)打印耗材的門店經(jīng)銷各種打印耗材，其中某一品牌硒鼓的進(jìn)價(jià)為a元/個(gè)，售價(jià)為x元/個(gè)（a≤x≤48）．下面是門店在銷售一段時(shí)間后銷售情況的反饋：①若每個(gè)硒鼓按定價(jià)30元的8折出售，可獲20%的利潤(rùn)；②如果硒鼓按30元/個(gè)的價(jià)格出售，每月可售出500個(gè)，在此基礎(chǔ)上，售價(jià)每增加5元，月銷售量就減少50個(gè)．（1）求a的值，并寫出該品牌硒鼓每月的銷售量y（個(gè)）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）求該耗材店銷售這種硒鼓每月獲得的利潤(rùn)W（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每月獲得的最大利潤(rùn)；（3）在新冠肺炎流行期間，這種硒鼓的進(jìn)價(jià)降低為n元/個(gè)，售價(jià)為x元/個(gè)（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照銷售量與售價(jià)關(guān)系不變的方式銷售，并決定將當(dāng)月銷售這種硒鼓獲得的利潤(rùn)全部捐贈(zèng)給火神山醫(yī)院，支援武漢抗擊新冠肺炎．若要使這個(gè)月銷售這種硒鼓獲得的利潤(rùn)G（元）隨售價(jià)x（元/個(gè)）的增大而增大，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)實(shí)際售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)＝進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率建立關(guān)于a的方程，解之可得a的值；用原銷售量﹣因價(jià)格上漲而減少的銷售量可得答案．（2）根據(jù)“總利潤(rùn)＝每個(gè)硒鼓利潤(rùn)×銷售量”列出關(guān)于x的函數(shù)，配方成頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；（3）根據(jù)以上相等關(guān)系，并結(jié)合新進(jìn)價(jià)列出關(guān)于x的二次函數(shù)，找到其對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的增減性求解可得．【解答過程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，銷售單價(jià)不能超過48元/個(gè)，即當(dāng)20≤x≤48時(shí)，W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝48時(shí)，W有最大值，最大值為8960．答：當(dāng)售價(jià)為48元/個(gè)時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為8960元．（3）根據(jù)題意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，對(duì)稱軸x=80+n∵a＝﹣10＜0，∵當(dāng)n≤x≤48時(shí)，該商品利潤(rùn)G隨x的增大而增大，∴80+n2解得n≥16．∵進(jìn)價(jià)是降低的，∴n的取值范圍是16≤n＜20．【題型3利用二次函數(shù)解決拋物線形軌跡問題】【例3】（2020秋?澠池縣期末）如圖，小明在一次高爾夫球爭(zhēng)霸賽中，從山坡下O點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球移動(dòng)的水平距離為9米時(shí)，球達(dá)到最大高度12米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o，O、A兩點(diǎn)相距83（1）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（2）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點(diǎn)直接打入球洞A點(diǎn)，并說明理由．【解題思路】（1）分析題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，12），經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），設(shè)頂點(diǎn)式可求拋物線的解析式；（2）OA與水平方向OC的夾角為30°，OA＝83米，解直角三角形可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x＝12代入拋物線解析式，看函數(shù)值與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是否相符．【解答過程】解：（1）∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，12），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣9）2+12，∵點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0）∴把點(diǎn)O的坐標(biāo)代入得：0＝a（0﹣9）2+12，解得a=?4∴拋物線的解析式為y=?427（x﹣9）即y=?427x2+（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝83，∴AC＝OA?sin30°＝83×12OC＝OA?cos30°＝83×∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，43），∵當(dāng)x＝12時(shí)，y=323≠∴小明這一桿不能把高爾夫球從O點(diǎn)直接打入球洞A點(diǎn)．【變式3-1】如圖，運(yùn)動(dòng)員甲在距籃下4m處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式．（2）該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？（3）運(yùn)動(dòng)員乙跳離地面時(shí)，最高能摸到3.3m，問：在（2）的條件下，運(yùn)動(dòng)員乙在運(yùn)動(dòng)員甲與籃板之間的什么范圍內(nèi)能在空中截住球？【解題思路】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值．（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，則可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）當(dāng)y＝3.3m，進(jìn)而代入函數(shù)解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答過程】解：（1）∵當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+3.5．由圖知圖象過以下點(diǎn)：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣0.2x2+3.5．（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，因?yàn)椋?）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，則球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手時(shí)，他跳離地面的高度為0.2m．（3）由題意可得出：y＝3.3，則3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距離甲1.5米以內(nèi)或離籃板0.5米以內(nèi)能在空中截住球．【變式3-2】（2021?嘉善縣一模）已知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓(xùn)練中，一球員接傳球后射門，擊球點(diǎn)A距離地面0.4米，即AB＝0.4米，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球的水平移動(dòng)距離BC為6米時(shí)，球恰好到達(dá)最高點(diǎn)D，即CD＝4.4米．以直線BC為x軸，以直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運(yùn)動(dòng)的水平距離；（3）若要使球直接落在球門內(nèi)，則該球員應(yīng)后退m米后接球射門，擊球點(diǎn)為A'（如圖3），請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，4.4），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求出當(dāng)y＝2.44時(shí)，x的值，取正；（3）先求出y＝0時(shí)，x的值，取正，減去恰好擊中球門橫梁時(shí)，足球的水平距離．【解答過程】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，4.4），設(shè)拋物線的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=?1則拋物線是y=?19（x﹣6）（2）∵球門高為2.44米，即y＝2.44，則有2.44=?19（x﹣6）解得：x1＝10.2，x2＝1.8，從題干圖2中，發(fā)現(xiàn)球門在CD右邊，∴x＝10.2，即足球運(yùn)動(dòng)的水平距離是10.2米；（3）不后退時(shí)，剛好擊中橫梁，∴往后退，則球可以進(jìn)入球門，而當(dāng)球落地時(shí)，球剛好在門口，是一個(gè)臨界值，當(dāng)y＝0時(shí)，有0=?19（x﹣6）解得：x1＝6+35110，x2取正值，x＝6+3∴后退的距離需小于6+35110故0＜m＜3【變式3-3】（2020?紹興）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m，隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由．（2）若球過網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）【解題思路】（1）求出拋物線表達(dá)式；再確定x＝9和x＝18時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值即可求解；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，y=?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6【解答過程】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣7）2+2.88，將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=?1故拋物線的表達(dá)式為：y=?150（x﹣7）當(dāng)x＝9時(shí)，y=?150（x﹣7）當(dāng)x＝18時(shí)，y=?150（x﹣7）故這次發(fā)球過網(wǎng)，但是出界了；（2）如圖，分別過點(diǎn)O，P作邊線的平行線交于點(diǎn)Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，當(dāng)y＝0時(shí)，?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62=∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處．【題型4利用二次函數(shù)解決車過隧道問題】【例4】（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）小宇遇到了這樣一個(gè)問題：如圖是一個(gè)單向隧道的斷面，隧道頂MCN是一條拋物線的一部分，經(jīng)測(cè)量，隧道頂?shù)目缍萂N為4m，最高處到地面的距離CO為4m，兩側(cè)墻高AM和BN均為3m，今有寬2.4m的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的最高點(diǎn)E到隧道頂面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的距離應(yīng)不小于0.6m，那么卡車載物后的限高應(yīng)是多少米？（精確到0.1m）為解決這個(gè)問題，小宇以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)上述信息，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+c．（1）寫出M、C、N、F四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出拋物的表達(dá)式；（3）利用求出的表達(dá)式，幫助小宇解決這個(gè)問題．【解題思路】（1）根據(jù)題中信息直接寫出M、C、N、F四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）將點(diǎn)M、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+c，利用待定系數(shù)法求解即；（3）在y=?14x2+4中，令x＝1.2，求得相應(yīng)的y值，從而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合卡車載物后的最高點(diǎn)E到隧道頂面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的距離應(yīng)不小于0.6m，可得卡車載物最高點(diǎn)距地面的距離，然后精確到0.1【解答過程】解：（1）由題意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）將M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：4a+c=3c=4解得：a=?1∴拋物的表達(dá)式為y=?14x（3）在y=?14x2+4中，令y=?14×∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1.2，3.64），即點(diǎn)D與地面的距離為3.64m，∵卡車載物后的最高點(diǎn)E到隧道頂面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的距離應(yīng)不小于0.6m，∴點(diǎn)E離地面的距離不超過3.04m，∴卡車載物后的限高應(yīng)是3.0m．【變式4-1】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構(gòu)成．矩形一邊OA的長(zhǎng)是12m，另一邊OC的長(zhǎng)是1m．拋物線上的最高點(diǎn)D到地面OA的距離為7m．以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內(nèi)車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13m的空隙．現(xiàn)有一輛貨運(yùn)汽車，在隧道內(nèi)距離道路邊緣2m【解題思路】（1）設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣6）2+7，將點(diǎn)C（0，1）代入所設(shè)解析式求出a的值即可得出函數(shù)解析式；（2）將y＝5代入解析式求出x的值，將所求x的值相減可得答案；（3）求出x＝2時(shí)y的值，再減去13【解答過程】解：（1）由題意設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣6）2+7，將點(diǎn)C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得a=?1∴該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）把y＝5代入y=?16(x?6解得x1=6+236+23所以兩排燈之間的水平距離為43m（3）把x＝2代入y=?16(x?6133所以這輛貨運(yùn)汽車載物后的最大高度為4m．【變式4-2】（2020?武漢模擬）某坦克部隊(duì)需要經(jīng)過一個(gè)拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價(jià)為2萬元，求5根支柱的總造價(jià)；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進(jìn)方向，現(xiàn)每輛坦克長(zhǎng)4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計(jì)，試問120輛該型號(hào)坦克從剛開始進(jìn)入到全部通過這座長(zhǎng)1000m的拱橋隧道所需最短時(shí)間為多少分鐘？【解題思路】（1）根據(jù)題目可知A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的長(zhǎng)度，然后算出總造價(jià)即可．（3）先求出坦克方隊(duì)的長(zhǎng)，然后算出速度，從而求得通過隧道的時(shí)間即可．【解答過程】【解】（1）設(shè)y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=?350，∴y=?350x（2）當(dāng)x＝5時(shí)，y=?350×52∴EF＝10?92=支柱的總造價(jià)為2（2×11（3）∵坦克的高為3米，令y＝3時(shí)，?350x解得：x＝±52，∵7＜52＜∴可以并排3輛坦克行駛，此時(shí)坦克方陣的長(zhǎng)為120÷3×4＝160（米），坦克的行駛速度為24km/h＝400米/分，∴通過隧道的最短時(shí)間為1000+160400【變式4-3】（2020秋?海州區(qū)校級(jí)期末）施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請(qǐng)通過計(jì)算說明；（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB，使A．D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．【解題思路】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），則其表達(dá)式為：y＝a（x﹣8）2+8，將點(diǎn)O（0，0）代入上式，即可求解；（2）雙向行車道，正中間是一條寬1米的隔離帶，則每個(gè)車道寬為7.5米，車沿著隔離帶邊沿行駛時(shí)，車最左側(cè)邊沿的x＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）點(diǎn)A、D關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，則設(shè)AD＝2m，則AB＝y(tǒng)=?18（x﹣8）2+8＝8?18m2，w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=?1【解答過程】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），則其表達(dá)式為：y＝a（x﹣8）2+8，將點(diǎn)O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a=?1故函數(shù)的表達(dá)式為：y=?18（x﹣8）2+8，即y=?18x2+2（2）雙向行車道，正中間是一條寬1米的隔離帶，則每個(gè)車道寬為7.5米，車沿著隔離帶邊沿行駛時(shí)，車最左側(cè)邊沿的x＝7.5﹣3.5＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝6，即允許的最大高度為6米，5.8＜6，故該車輛能通行；（3）設(shè)點(diǎn)B（m，0），則點(diǎn)A（m，?18m2+2由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝8，則BC＝2（8﹣m）＝16﹣2m＝AD，則AB=?18m2+2則設(shè)：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=?14m2+2∵?14＜當(dāng)m＝4時(shí)，w的最大值為20，故AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是20．【題型5利用二次函數(shù)解決拱橋形問題】【例5】（2020秋?渝水區(qū)校級(jí)月考）某河上有拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂5m時(shí)，水面寬8m．一木船寬4m，高2m，載貨后，木船露出水面的部分為34m．以拱頂O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A、B（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）求拋物線解析式；（3）當(dāng)水面離拱頂1.8米時(shí)，木船能否通過拱橋？【解題思路】（1）當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m，則B（4，﹣5）；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式即可求解；（3）將x＝2代入上式，得y=?516x2=?5【解答過程】解：（1）當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m，則點(diǎn)B（4，﹣5），故答案為（4，﹣5）；（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得﹣5＝a×42，解得a=?5∴該拋物線的解析式為y=?516x（3）將x＝2代入上式，得y=?516x2∵54而1.8＜2，當(dāng)水面離拱頂1.8米時(shí)，木船不能通過拱橋．【變式5-1】（2020秋?泗陽縣期末）河上有一座拋物線形的石拱橋，水面寬6m時(shí)，水面離橋拱頂部3m．（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，試求拋物線的解析式；（2）一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4m．現(xiàn)因暴雨河水水位上升了1m，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)題意可以知道A、B的坐標(biāo)，在利用點(diǎn)C得坐標(biāo)從而求出拋物線的解析式．（2）代入x＝2求出y的值，用其減去1求出可通過船的做最高高度，與0.5比較大小從而得出答案．【解答過程】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）．y＝a（x+3）（x﹣3）．在將點(diǎn)C（0，3）帶入y＝a（x+3）（x﹣3）中的得a=?1所以拋物線的解析式為y=?1（2）小船可以通過，理由：當(dāng)x＝2時(shí)，y=?1∵53∴暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過．【變式5-2】（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【解題思路】根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式，利用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再結(jié)合圖形進(jìn)行求解即可；【解答過程】解：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達(dá)式為：y1═a1x2．將F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═?1∴y1═?124x當(dāng)x═12時(shí)，y1═?124×∴橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），可設(shè)其表達(dá)式為y2═a2（x﹣6）2+1，將H（0，4）代入其表達(dá)式有：4═a2（0﹣6）2+1，求得a2═112∴右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y2═112（x﹣6）2+1，左邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y3═112（x+6）②設(shè)彩帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)m，則L═y2﹣y1═112（x﹣6）2+1﹣（?124x2）═1∴當(dāng)x═4時(shí)，L最小值═2，答：彩帶長(zhǎng)度的最小值是2m．【變式5-3】（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖象可以求出函數(shù)的頂點(diǎn)B（4，4），先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣4）2+4，再根據(jù)圖象過原點(diǎn)，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原點(diǎn)的距離，再把距離代入函數(shù)解析式求出y的值，然后和1.68比較即可；（3）根據(jù)倒影與橋?qū)ΨQ，先求出倒影的解析式，再平移m各單位，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．【解答過程】解：（1）如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m，結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)O（0，0），設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2+4，將點(diǎn)O（0，0）代入函數(shù)表達(dá)式，解得：a=?1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?14（x﹣4）即y=?14x2+2x（0≤（2）工人不會(huì)碰到頭，理由如下：∵小船距O點(diǎn)0.4m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，由題意得：工人距O點(diǎn)距離為0.4+1∴將＝1代入y=?14x2+2解得：y=7∵1.75m＞1.68m，∴此時(shí)工人不會(huì)碰到頭；（3）拋物線y=?14x2+2x在x軸上方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影關(guān)于如圖所示，新函數(shù)圖象的對(duì)稱軸也是直線x＝4，此時(shí)，當(dāng)0≤x≤4或x≥8時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，可得平移后的函數(shù)圖象，如圖所示，∵平移不改變圖形形狀和大小，∴平移后函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝4+m，∴當(dāng)m≤x≤4+m或x≥8+m時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴當(dāng)8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，得m的取值范圍是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m≤8，得m≤0，由題意知m＞0，∴m≤0不符合題意，舍去，綜上所述，m的取值范圍是5≤m≤8．【題型6利用二次函數(shù)解決路程-速度問題】【例6】（2021春?拱墅區(qū)期中）一個(gè)物體從地面豎直向上拋，有這樣的關(guān)系式：h＝vt?12gt2（不計(jì)空氣阻力），其中h是物體距離地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是拋出后所經(jīng)歷的時(shí)間．圓圓用發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計(jì)）將一個(gè)小球以10m/（1）當(dāng)小球的高度為1.8米時(shí)，求時(shí)間t的值；（2）小球的高度能達(dá)到5.4米嗎？請(qǐng)作出判斷，并說明理由；（3）若方方在圓圓拋出之后將另一個(gè)完全相同的小球以相同的速度從地面豎直向上拋，這兩個(gè)小球在某一時(shí)刻的高度均為4.2米，求方方與圓圓拋球的時(shí)間差．【解題思路】（1）把v＝10，g＝10，代入所給關(guān)系式求出二次函數(shù)解析式，再h＝1.8代入解析式求t的值即可；（2）把h＝5.4代入函數(shù)解析式得到關(guān)于t的一元二次方程，由判別式判定方程是否有解即可；（3）把h＝4.2代入函數(shù)解析式得到關(guān)于t的一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根，兩根之差即為所求．【解答過程】解：（1）把v＝10，g＝10代入h＝vt?12gth＝﹣5t2+10t，當(dāng)h＝1.8時(shí)，1.8＝﹣5t2+10t，即5t2﹣10t+1.8＝0，解得：t1＝0.2，t2＝1.8答：小球的高度為1.8米時(shí)，所用時(shí)間為0.2s或1.8s；（2）小球的高度不能達(dá)到5.4米，理由如下：把t＝5.4代入h＝﹣5t2+10t得：5.4＝﹣5t2+10t，∴5t2﹣10t+5.4＝0，∵△＝（﹣10）2﹣4×5×5.4＝﹣8＜0，∴5.4＝﹣5t2+10t無實(shí)數(shù)解，∴小球的高度不能達(dá)到5.4米；（3）由題意得：4.2＝﹣5t2+10t，∴5t2﹣10t+4.2＝0，解得：t1＝＝0.6，t2＝1.4，t2﹣t1＝0.8，答：方方與圓圓拋球的時(shí)間差為0.8s．【變式6-1】（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，