2024高考數(shù)學解答題專項訓練十一（共100題）附答案解析

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學解答題專項訓練題(共100題)附答案解析

1.已知函數(shù)/(%)=靖+asinx-1(。€R),

(1)求曲線y=f(x)在點(0,/'(()))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)在%=0時取得極小值，求a的值；

(3)若存在實數(shù)m,使對任意的％6(0,巾)，都有/(%)VO,求a的取值范圍.

2.在平面直角坐標系xOy中，已知點乙(一8，0)、尸2(8，0)，IM&I+IMF2I=4,點M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設點P在直線％=s(|s|>2)上，A、B為C的左右頂點，直線P4交C于點E(異于4B),直線

PB交C丁點F(異丁4B)，E尸交力8TG,過G作x軸的垂線分別交H4、PB丁R、7,問是否存在常數(shù)

九使得|RG|=；l=G|.

3.如圖，在直四棱柱ABCO-A/iGDi中，^.DAB=,AB=BC=2,AAt=3,E在棱BC上，滿

足BE：EC=1：2,尸在棱44］上，滿足而=入彳否.

4E〃平面BC/；

(2)若平面BQF與平面4BCD所成的銳二面角的余弦值為看，求；I的值.

4.已知函數(shù)/(%)=言產(chǎn)，%€(°'+8、

(1)證明：函數(shù)fQ)在(0,+8)上有且只有一個零點；

(2)當工￡(0,7T)時，求函數(shù)f(%)的最小值；

(3)設/(%)=￡/+b,i=l,2,若對任意的不+8),giO)Wf(x)式取。)恒成立，且

不等式兩端等號均能取到，求的+七的最大值.

5.設拋物線C：y2=2px（p>0）,過y軸上點P的直線，與。相切于點Q,且當，的斜率為*時，\PQ\=

2^5.

（1）求C的方程；

（2）過P且垂直于1的直線交C于M,N兩點,若R為線段MN的中點，證明：直線QR過定點.

6.某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取100個作為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)元（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位

數(shù)；

（2）已知某用戶從該企業(yè)購買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于［15,25）內(nèi)的

產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求X的分布列和數(shù)學期望.

7.已知等差數(shù)列｛時｝的公差為d（d^O）,前n項和為右,現(xiàn)給出下列三個條件：①Si，S2,S4成等

比數(shù)列；②$4=32；③$6=3（即+2）.請你從這三個條件中任選兩個解答下列問題.

（1）求數(shù)列｛Qn｝的通項公式；

（2）若勾一*=20n（TIN2）,且bl=3,設數(shù)列層｝的前n項和為〃，求證：|<Tn<1

8.如圖，曲線Ci是以原點。為中心，％、心為焦點的橢圓的一部分，曲線是以。為頂點、出為焦

點的拋物線的一部分，4是曲線G和0的一個交點，且乙gFi為鈍角，MF1|=夕|仍|

(1)求曲線和C2所在橢圓和拋物線的方程;

(2)過F2作一條與％軸不垂直的直線，分別和曲線Cl和。2交于8、E、C、。四點，若G為CO的中

點,”為BE的中點，爵(徵|是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

9.如圖，在三棱柱BC-A/iQ中，所有棱長均為2,且81c=后乙4sBi=60。，兩=3前.

(1)證明：平面力8cl平面A8814.

(2)求平面ACD與平面Ai/C夾角的余弦值.

10.已知函數(shù)f(%)=e*+小/一"%2一%(其中?為自然對數(shù)的底數(shù))，且曲線y=/(%)在％=1.處的

切線方程為y=-x.

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)證明：對任意的％WR,/'(>)23%3-5/+1恒成立.

11.已知a>0,b>0,且a+b=2.

(1)求水+/)2的最小值;

(2)證明：Va+1+1<2V2.

12.在平面直角坐標系中，曲線E的參數(shù)方程為卜=a+85。為參數(shù)).以坐標原點為極點，x

軸正半軸為極軸，建立極坐標系，射線匕：。=6(-*〈6〈0)與￡交于人，B兩點，射線Z：e=

/?+今與E交于C,D兩點.

(I)求曲線E的極坐標方程；

(2)求掰眠的取值范圍?

|C//11T\UD

13.已知函數(shù)f(x)=2用+2a%+由一2一一b|(a>0,b>0)的最大值為2.

(1)求a+b的值；

⑵證明：小小扁

14.如圖(1),在正三角形A8C中，D,E分別為HB,4c中點，將△ADE沿0E折起，使二面角力一

OE-B為直二面角，如圖(2),連接力B,AC,過點E作平面EFG與平面48。平行，分別交BC,AC

于F,G.

A

(2)點H在線段AD上運動，當FH與平面EFG所成角的正弦值為半時，求瑞的值.

15.在平面直角坐標系中，將曲線射向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保

持不變，縱坐標縮短為原來的④得到曲線C2,以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐

標系.曲線G的極坐標方程為p=4cosa.

(1)求曲線金的參數(shù)方程；

(2)已知點M在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周長的最大

值，并求周長最大時點M的坐標.

16.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，=1,。3+1是。2與。4的等差中項，S"為｛%｝的前n項和.

(1)求｛an｝的通項公式及Sn；

(2)集合A為正整數(shù)集的某一子集，對于正整數(shù)匕若存在正整數(shù)m,使得1。82以=5e則左€

4否則kCA.記數(shù)列｛為｝滿足勾=P°g2%'n任力，求｛b｝的前20項和Ro.

(-1,neA

17.已知橢圓C：卷+￡=l(a>b>0)的左、右頂點為Ai，兒，點G是橢圓。的上頂點，直線42G

與圓/+y2T相切，且橢圓C的離心率為噂

(I)求橢圓C的標準方程；

(2)若點Q在橢圓C上，過左焦點匕的直線］與橢圓C交于A,B兩點(48不在％軸上)且麗?

荏=0,(O為坐標原點)，求4等1的取值范圍.

18.已知函數(shù)/>(>)=%婚一用11%在％=1處的切線方程為'=(2￡+1)%-匕?,b€R)

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)設函數(shù)g(x)=/(%)-2e“一%+3,當%€三，1］時，g(x)的值域為區(qū)間(m,n)(m,neZ)

的子集，求九-m的最小值.

19.如圖1,圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，Z.DAC=45°,Z.CAB=60°,直徑4C=2.將圓沿AC折

起，并連接OB、OD、BD,使得ABOD為正三角形，如圖2.

（1）證明：圖2中的平面BCD；

（2）在圖2中，求二面角0-80的余弦值.

20.已知函數(shù)/（%）=|%-+忱+￡|,t6R.

（1）若t=l,求不等式;?（%）48--的解集；

（2）已知m+九=4,若對任意％WR,都存在m>0,n>0使得/（乃=出售1,求實數(shù)亡的取值

范圍,

21.某廠商調(diào)杳甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量（單位：臺），并根據(jù)這10個賣場

的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖.為了鼓勵賣場，在同型號電視機的銷售中，該廠商將銷售量

高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場

甲乙

4800108

7522023

0312ab

3143

（1）當Q=l,b=0時，記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為m,乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)

量為n,比較m,n的大小關系；

（2）在這10個賣場中，隨機選取2個賣場，記X為其中甲型號電視機的“星級賣場”的個數(shù)，求

X的分布列和數(shù)學期望.

（3）記乙型號電視機銷售量的方差為s2,根據(jù)莖葉圖推斷a與b分別取何值時，s2達到最小

值.（只需寫出結(jié)論）

22.近幾年，在缺“芯”困局之下，國產(chǎn)替代的呼聲愈發(fā)高漲，在國家的政策扶持下，國產(chǎn)芯片廠商

呈爆發(fā)式增長.為估計某地芯片企業(yè)的營業(yè)收入，隨機選取了10家芯片企業(yè)，統(tǒng)計了每家企業(yè)的研

發(fā)投入（單位：億）和營業(yè)收入（單位：億），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910

研發(fā)投入項224681()1416182()

營業(yè)收入為1416303850607090102130

1010110

并計算得￡昌勺=100，Z%=600,Z產(chǎn)=1400,Z］狀=49200,工產(chǎn)”=

8264.

「二￡=i（占一元）?！复酰?/p>

附：相關系數(shù)小，二^LV33?5.745.

2（%「元）22,=]8「刃Z

（1）求該地芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入的樣本相關系數(shù)r,并判斷這兩個變量的相關性強弱

（若0.30W|r|V0.75,則線性相關程度一般，若gN0.75,則線性相關程度較高，r精確到

0.01）；

（2）現(xiàn)統(tǒng)計了該地所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入，并得到所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入總和為268億，已

知芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估

計值.

23.已知點A在y軸右側(cè)，點B,點C的坐標分別為（一1,0）,（1,0）,直線AB,AC的斜率之積

是3.

（1）求點A的軌跡D的方程；

（2）若拋物線/=2py（p>0）與點A的軌跡D交于E,F兩點，過B作8〃1E尸于H,是否存

在定點G使|HG|為常數(shù)？若存在，求出G的坐標；若不存在，請說明理由.

24.已知函數(shù)/（支）=m.xa~x+x—lnx（m￡R）.

（1）討論函數(shù)/（%）的極值點個數(shù)；

（2）若m>0,/（%）的最小值是1+Inm,求實數(shù)m的所有可能值.

25.橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為4（-2,0），8（2,0），點（1,

通）在橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程.

（2）過點（一1,0）的直線1與橢圓E交于P,Q兩點（異于點A,B）,記直線AP與直線BQ交

于點M,試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由.

26.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），以坐標原點。為極

點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程是pcos。+2「sin6-12=0.

（1）求曲線C的極坐標方程；

⑵設射線①。=/3之。）與曲線。交于點4與直線咬于點8,求|48|的值.

27.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^bsinB-csinC=a.

（1）證明：B-C=^

（2）若4=亨，a=2V3?求△ABC的面積.

28.已知函數(shù)/（%）=氏一1|+氏一3|.

（1）解不等式f（%）<x+1；

（2）設函數(shù)/（%）的最小值為c,正實數(shù)a,b滿足Q+b=c,求1+京的最小值.

29.已知函數(shù)f（%）=|2%—4|+儼+3（％wR）.

（1）若Q=1,求證：/（X）>4;

（2）若對于任意xw[l,2],都有/（工）工4,求實數(shù)a的取值范圍.

30.在三棱錐S-4BC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)面S4c_L底面ABC,SA=SC,

SB=2近，點E在線段SB匕且焉=，.

（1）證明：SB_L平面ACE；

（2）求二面角4—SB—C的正弦值.

31.已知橢圓C：與+馬=l（Q>b>0）的左、右焦點分別為Fi，/2,A,B為其左、右頂點，M為

Qb

橢圓上一點，且%人?MB=-/

（1）求C的離心率；

（2）若左焦點％到橢圓上的點的最大距離為3,且直線MF?交C于另一點N,已知△4MF2的面

積是A4VF2的2倍，求直線MN的方程.

%=t+4

{曠=云二M（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為

X=—^s

'內(nèi)(s為參數(shù)).

(y=8V3+

(1)求曲線C2被曲線Ci所截得的弦長；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為PCOS&+

V3psin0-8=0,記曲線Ci與C3交于A,B兩點，求畫?布.

33.已知函數(shù)/<(x)=|3%—2|+|3%+°|(十WR).

(1)當Q=2時，求不等式/(乃W6的解集；

(2)若/(x)N4,求a的取值范圍.

34.錨定2060碳中和，中國能源演進“綠之道”，為響應綠色低碳發(fā)展的號召，某地在沙漠治理過程

中，計劃在沙漠試點區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風固沙，中間種植適合當?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟

作物，通過大量實驗發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟作物幼苗的成活率為0.8,紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均

為p,且已知任取三種幼苗各一株,其中至少有兩株幼苗成活的概率不超過0.896.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布NQ,M),則PO-cWZ4〃+。)“0.6827,P(fi-2a<Z<

〃+2a)x0.9545,PQi-3a<Z<//4-3a)=0.9973.

(1)當p最大時，經(jīng)濟作物幼苗的成活率也將提升至0.88,求此時三種幼苗均成活的概率

(71024=3.2);

(2)正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布N[250,52)(單位：mm).

㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意拍取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約為多少？

(精確到0.001)

㈡為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機抽取了10棵梭梭

樹，測得具樹桿地徑均小于235mm,農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認為該地塊土質(zhì)對梭校樹的生長嚴

生影響，計劃整改地塊并選擇合適的肥料，試判斷該農(nóng)林管理員的判斷是否合理？并說明理由.

35.已知函數(shù)/<(%)=alnx-

(I)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)+(2-a)上恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

36.已知銳角△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.在下列三個條件①沆=(sia4,-

竽)，n=(2cos2/l,2cos4),且萬〃五；@asinF=V3bcosA;(3)cos2B+cos2C=cos24+1—

sinBsinC中任選一個，回答下列問題.

(1)求A；

(2)若Q=2,求△ABC面積的最大值.

37.已知數(shù)列｛bn｝的前n項和當滿足9+W+…+a=尋*

(1)求數(shù)列｛瓦｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛0｝滿足。=券，其前n項和為％,是否存在正整數(shù)n,使得〃=4-n成立？若

存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由.

38.設橢圓C：盤+4=19>匕>0)的左、右焦點分別為Fi，尸2,0為坐標原點，橢圓C的離心

率為冬

(1)若橢圓C的上頂點為W,且AWF1F2的面積為98，求橢圓C的標準方程；

(2)設過橢圓C的內(nèi)部點P(l,0)且斜率為々(0<k3堂)的直線1交C于M,N兩點，若橢圓C

上存在點Q,使得而?+而=而，求b的最大值.

39.設函數(shù)f(x)=xe*—2ae”，g(x)=-2-ax?aeR.

(I)求/'(》)在［0,+8)上的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在y軸右側(cè)，函數(shù)/(%)圖象恒不在函數(shù)g(x)的圖象下方，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：當"EN*時，1+々+｝+…+/vln(2n+l).

40.設拋物線C：y2=2p》(p>0)的焦點為F,點O(p,0),過尸的直線交。于M,N兩點.當直線MO

垂直于不軸時，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)若點力(一1,0),8(1,-1),過點A的動直線［交拋物線C于P、Q,直線PB交拋物線。于另

一點R,連接QB并延長交拋物線于點S.證明直線QR與直線PS的斜率之和為定值.

41.如圖，四棱錐P-/BCD中，PD1平面力BCD,AB1AD,AB||DC,DC=AD=PD=1,AB=

2,E為線段P4上一點，點F在邊力B上且C尸1BD.

(1)若E為PA的中點，求四面體BCEP的體積;

(2)在線段P4上是否存在點E,使得EF與平面PFC所成角的余弦值是凈？若存在，求出4E的

長：若不存在，請說明理由.

42.已知△A8C中，AB=2,D為AB中點，CD=V2.

(1)若BC=CD,求AC的長度；

(2)若4c=2BC,求s*優(yōu)0的值.

43.羽毛球運動具有拼搏、進步、積極向上的意義，同時還要求運動員具備細心和迅速的敏銳性.某

大學羽毛球運動協(xié)會為了了解本校學生對羽毛球運動是否有興趣，從該校學生中隨機抽取了300人

進行調(diào)查，男女人數(shù)之比是2：1,其中女生對羽毛球運動有興趣的占80%,而男生有30人表示對

羽毛球運動沒有興趣.

2

附表：爐二環(huán)湍磊即T其中n=a+b+c+d.

a0.500.400.250.1500.1000.050

0.4550.7801.3232.0722.7063.841

(i)完成2x2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認為“對羽毛球運動是否有興趣

(2)為了提高同學們對羽毛球運動的參與度，該校舉行一次羽毛球比賽.比賽分兩個階段進行，

第一階段的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場比賽采取三局二勝制，然后由積分的多少選出進入第二

階段比賽的同學，每場積分規(guī)則如下：比賽中以2：0取勝的同學積3分，負的同學積0分；以2：1

取勝的同學積2分，負的同學積1分.其中，小強同學和小明同學的比賽倍受關注，設每局小強同學

取勝的概率為p=V記小強同學所得積分為X,求X的分布列和期望.

44.已知四棱錐P-ABCO中，底面ABC。為直角梯形，PAJ_平面A8CD,AD||BC,ABA.AD,PA=

AD=4,BA=BC=2,M為PA中點，過C,D,M的平面截四棱錐P-4BCD所得的截面為a.

p

/:\\、八

/，牙N.........一爐D

II//A%\

B，------------W

（1）若Q與棱PB交于點F,畫出截面a,保留作圖痕跡（不用說明理由），求點F的位置；

（2）求平面CDM與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

45.已知曲線C的參數(shù)方程是1"=普”9（尹是參數(shù)），以坐標原點為極點，刀軸的非負半軸為極軸

（y=73sin（p

建立極坐標系.

（1）寫出曲線C的極坐標方程；

⑵若點43,。），83,6+筋C（P3,。+給在曲線c上，求房產(chǎn)十自品+日》的值?

46.為了豐富學生的課外活動，學校舉辦籃球、足球、羽毛球比賽，經(jīng)過前期的預賽和半決賽，最

終甲、乙兩個班級進入決賽，決賽中每個項目勝方得8分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽

結(jié)束后，總得分高的班級獲得冠軍.已知甲班級在籃球、足球、羽毛球中獲勝的概率分別為0.4,

0.8,0.6,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲班級獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙班級的總得分，求X的分布列與期望.

47.點P在以Fi、尸2為焦點的雙曲線E：^|-4=l（a>0,b>0）.h,已知PF】_LPF2，|Pa|=

ab

2\PF2\,。為坐標原點.

（1）求雙曲線的離心率e：

（2）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于Pi、P2兩點，且西?西=-竽，2西+恒=

6，求雙曲線E的方程；

（3）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線［與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩

點M、N,旦麗=2麗（4為非零常數(shù)），問在%軸上是否存在定點G,使瓦用，（麗-4麗）？若存

在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由.

48.如圖，在四棱臺4BC0-41B1GD1中，底面4BCD是菱形，AAA==1,AB=2,/-ABC=

60°,AAX1平面4BCD.

（1）若點M是4。的中點,求證：-MII平面44$$；

（2）棱8C上是否存在一點E,使得二面角E-AD]-。的余弦值為義?若存在，求線段CE的長；若

不存在，請說明理由.

49.圖1是由矩形4DEB,RtzMBC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=

2,￡FBC=60°,將其沿48,8c折起使得BE與BF重合，連接DG,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面48cl平面8CGE：

（2）求圖2中的直線CE與平面4CG所成角的正弦值.

50.在△4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,點D為BC邊的中點，已知c=2方,

2asinCcosF=asinA-bsinB+苧bsinC,cosz.CAD=g.

（1）求b；

（2）求△ABC.的面積.

51.已知/1（%）=/-Qe，，存在%1＜必＜%3,使得/Ql）=f（%2）=f（%3）=0.

（I）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）試探究%1+%2+向與3的大小關系，并證明你的結(jié)論.

52.已知A,B是拋物線E：y=/上不同的兩點，點P在x軸下方，PA與拋物線E交于點C,PB

與拋物線E交于點D,且滿足儲=犒=九其中九是常數(shù)，且4R1.

（1）設AB,CD的中點分別為點M,N,證明：MN垂直于x軸；

（2）若點P為半圓爐+丫2=i（y〈0）上的動點，且入=2,求四邊形ABDC面積的最大值.

53.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足：即=3,且0n雇+i—2（嫌—l）%+i—即=。，MEN*

（1）設與=%-去，求數(shù)列｛%｝的通項公式

an

（2）設％=居+廄+…+成，乙=4+專+…+表，求Sn+幾，并確定最小正整數(shù)71,使得

Sn+r”為整數(shù).

54.已知函數(shù)/'(%)=-Inx,g(x)=/_a%+*,aGR.

（1）若函數(shù)g（x）存在極值點沏，月』（勺）=gQo），其中％1狙以0,求證：%i+2&=0；

（2）用min｛m,n｝表示m,n中的最小值，記函數(shù)h（x）=min｛/'（x）,>0）,若函數(shù)九（x）

有且僅有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

55.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過試驗測得行

駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下:

行駛里程/萬km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15

輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82

,如圖所示.

-一■一對數(shù)回歸預報值

（1）根據(jù)散點圖，可認為散點集中在直線》=力％+a附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線

性相關，并計算得如下數(shù)據(jù)，請求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并

推斷它們線性相關程度的強弱;

999

（2城一位2）（Z久.沖2）

Xy

i=l、i=lt=l

2.576.20115.1029.46

Zn__

附：相關系數(shù)「=|“2"2

［（￡=產(chǎn)--）（z口/f/）

（2）通過散點圖，也可認為散點集中在曲線￥=牝+‘21"%+1）附近，考慮使用對數(shù)回歸模型，

并求得經(jīng)驗回歸方程，=10.11-3.751"%+1）及該模型的決定系數(shù)/?2=0.998.已知（1）中的線性回

歸模型為，=9.158-1.149%,在同一坐標系作出這兩個模型，據(jù)圖直觀回答：哪個模型的擬合效果

更好？并用決定系數(shù)驗證你的觀察所得.

附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關系數(shù)的平方，即屐=丁2.

56.某地有一家知名蛋糕房根據(jù)以往某種蛋糕在100天里的銷售記錄，繪制了以下頻數(shù)分布表：

日銷售量（單位：個）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)

頻數(shù)1525302010

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.

（1）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷量都不低于100個且另一天的日銷售量低于50個的概

率；

（2）用f表示在未來3天里口銷售量不低于150個的天數(shù)，求隨機變量f的概率分布、均值E（f）和

方差D（f）.

57.如圖，已知四棱錐P-4BC。的底南/BG）是菱形，平而PBC_L平面力BCD,/ACD=30°,E為

（1）證明：PC〃平面BEF：

（2）若乙PDC=dDB,且PO與平面A8C0所成的角為45。，求平面AEF與平面BE尸夾角的余弦

值.

58.在銳角△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知V5tanAtanC=tanA+tanC+V5.

（1）求角B的大??；

（2）求cos4+cosC的取值范圍.

59.新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球發(fā)生，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院

組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻

率分布直方圖.潛伏期不高于6天的患者，稱“短潛伏者”，潛伏期高于6天的患者，稱“長潛伏者

（1）求這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)，并估計樣本的80%分位數(shù)（精確到0.1）；

（2）研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過逐

一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設所需要的試驗

費用為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

60.已知數(shù)列｛。"｝滿足的=3,0n+i=成-2%+2.

（1）證明數(shù)列｛In（Qn-l）｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若勾二上+彳三，數(shù)列也｝的前n項和二，求證：Sn<2.

a九Un一乙

61.某工廠車間有飛臺相同型號的機器，各臺機器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是上,且

一臺磯器的故障能由一個維修工處理.已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方

案一：由甲、乙、丙三人維護，每人負責2臺機器；方案二：由甲乙兩人共同維護6臺機器.

（1）對于方案一，設X為甲維護的機器同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望

E（X）;

（2）在兩種方案下，分別計算機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，

哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？

62.已知圓O的方程為%2+y2=4,P為圓上動點，點F坐標為（1,0）,連OP,FP.過點P作直線

FP的垂線1,線段FP的中垂線交0P于點M,直線FM交1于點A.

（1）求點A的軌跡方程;

(2)記點A的軌跡為曲線C,過點G(4,0)作斜率不為0的直線n交曲線C于不同兩點S,R,

CC

直線工=1與直線n交于點H,記；1=派班.〃=產(chǎn)/，問：，〃是否為定值?若是，求出該定

-HFS“GFR

值；若不是，請說明理由.

63.已知函數(shù)“%)=黑一］nx-a，其中a為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=l時，求曲線y=/(;<)在x=1處的切線方程；

(2)當Q>1時，問/(%)有幾個零點，請說明理由.

64.如圖，尸i(-c,0)、尸2(c，0)為雙曲線G：^2-^2=l(a>o,b>0)的左、右焦點，拋物線C?

的頂點為坐標原點，焦點為尸2，設Q與Q在第一象限的交點為P(m，/)，且IPF1I=7,IPF2I=5,

4PF2&為鈍角.

(1)求雙曲線Ci與拋物線Cz的方程；

(2)過尸2作不垂直于％軸的直線1，依次交Ci的右支、于A、B、C、D四點，設M為AD中

點,N為BC中點，試探究魁昭是否為定值.若是，求此定值；若不是，請說明理由.

65.已知雙曲線C：圣一苴=1(。>0,b>0)的焦距為2倔且雙曲線C右支上一動點PQo，%)到

兩條漸近線A,%的距離之積為羋.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設直線I是曲線C在點P(而,%)處的切線，且I分別交兩條漸近線!1，L于M、N兩點，。為坐

標原點，求AMON的面積.

66?已知函數(shù)/'CO=煞+國(siM%-cos2x).

(1)求函數(shù)/'(%)的定義域;

（2）若工￡（0,力U?,今，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

67.如圖，正方體ABCD-A/iGDi中，直線Iu平面4/Q01，54￡=凡AXE=3ECV

試在所給圖中作出直線人使得Z1CE,并說明理由;

（2）設點A與（1）中所作直線［確定平面a.

①求平面a與平面ABCD的夾角的余弦值；

②請在備用圖中作出平面Q截正方體ABCD-A181GA所得的截面，并寫出作法.

68.如圖，在三棱臺ABC—48iCi中，BB[==QC=^BC=2,AB1BC,平面44出81平

（1）證明：AB_L平面881GC；

（2）若二面角8-GC-4的大小是看求線段48的長.

69.已知函數(shù)/（均=蜻-。（等座）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若/（%）的兩個零點分別為血,切,證明：％iM>e2rL%

70.已知橢圓T：蚤+/=1（。>b>0）過點。（遮，一方和點AQo,丫0）（々）出工0），T的上頂點到

直線任+y+3=0的距離為2,如圖過點力的直線2與刈y軸的交點分別為M,N,且而=2罰，

點4,C關于原點對稱，點、B,。關于原點對稱，且前=/1兩.

(1)求|MN|的長度；

(2)求四邊形48co面積的最大值.

71.已知函數(shù)/(%)=In%—e*+?nx,其中me/?,函數(shù)g(x)=f(x)+e*+1.

(1)當m=1時，求函數(shù)f(x)在％=1處的切線方程；

(2)當m=-e時，

(i)求函數(shù)g(x)的最大值；

5)記函數(shù)*(%)=也(初_私)+婕一1證明：函數(shù)3(%)沒有零點.

X乙

72.已知等差數(shù)列｛每｝的公差d>0,且滿足的=1,Qi，。2,。4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式；

2町"為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛%｝滿足以=1I”“序求數(shù)列｛%｝的前2n項的和72…

-Z—Z---!C為偶數(shù)

\anan^2

73.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且V5兒05竽=csinB.

(1)求C；

(2)若a+b=V5c，求sinA.

74.如圖，在四棱錐P-48CD中，底面ABCD是平行四邊形，乙48c=120。，AB=1,BC=2,

PDLCD.

(1)證明：AB1PB

(2)若平面P48_L平面PCD,且P4=孚，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值.

75.甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0

分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方隔得比賽.已知每局比賽中，甲獲

勝的概率為明乙獲勝的概率為。，兩人平局的概率為y(a+/?+y=l,?>0,/?>0,y>0),且

每局比賽結(jié)果相互獨立.

(1)若°=看，=y=求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；

OOO

(2)當y=0時,

(i)若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)X的分布列及期望E(X)的最大值：

(ii)若比賽不限制局數(shù)，寫出“甲學員贏得比賽''的概率(用a,0表示)，無需寫出過程.

76.AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosBcosC+bcosAcosC=*

(1)求角C；

（2）若C=V7,Q+b=5,求△ABC的面積.

77.已知等比數(shù)列｛%｝的前幾項和為Sn，且2k1,Sn，Q成等差數(shù)列.

(1)求a的值及數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若bn=(2n-1)即求數(shù)列｛b｝的前幾項和7“

78.已知｛a,J是遞增的等差數(shù)列，｛b7J是等比數(shù)列，且由=1,h2=a2>b3=a5,h4=n14.

(1)求數(shù)列｛aj與｛匕｝的通項公式；

(2)VnGA/*,數(shù)列｛q｝滿足晝+會+…+比y=氣"，求｛cn｝的前幾項和S#

79.已知函數(shù)/(%)=武警t2

(1)當a=2時，求/(%)在(一1,/(一1))處的切線方程；

(2)當%>0時，不等式/'(x)<2恒成立，求a的取值范圍.

80.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術創(chuàng)新投入》

(單位：千萬元)對每件產(chǎn)品成本y(單位：元)的影響，對近10年的年技術創(chuàng)新投入期和每件產(chǎn)品

成本=2,3,…，10)的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：x=6.8,y=70,

機每件產(chǎn)品成本/元

250-

200-*

150-?

100-?

50-?*???…

?????1??

02468101214

年技術創(chuàng)新投入/千萬元

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(〃〔，巧)、(“2，吸)、…、Qn，Vn)，其回歸直線U=。+6〃的斜率和截

>.“UiVi-nuv

距的最小乘估計分別為：”安：-5,^=V-pU.

3=1而一就

（1）根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型y=1+Q擬合y與％的關系，試建立y關于X的回歸方程：

（2）已知該產(chǎn)品的年銷售額m（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本y的關系為加=-雋+條+

邦+100.該企業(yè)的年投入成本除了年技術創(chuàng)新投入，還要投入其他成本10千萬元，根據(jù)（1）的

y—iu

結(jié)果回答：當年技術創(chuàng)新投入》為何值時，年利潤的預報值最大？

（注：年利潤二年銷售額一年投入成本）

81.記△ABC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosE=b—c.

（1）求4

（2）若點。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=坐，求tanzB/lO.

82.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%J,其前n項和為及，滿足2Sn=%+2-6,

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）記bm為數(shù)列設工在區(qū)間伍由，°m+2）中最大的項，求數(shù)列｛%｝的前幾項和

83.已知點尸（1,0）,圓C：（x+l）2+y2=9?過點F的直線1交圓C于A,B兩點，線段AB的中

點為加（工0，尢）.

（1）求動點P（2%0,6出）的軌跡「方程；

（2）設軌跡「與x軸交于D,E兩點（點E在點D的右側(cè)），過點D作x軸的垂線m,過點F

作直線DP的垂線n,垂線m與n交于點Q,求證：點P,Q,E共線.

84.已知函數(shù)/（匯）=680%+外，具中a,beR.

（1）若VbWR,fQ:）有且僅有一個極值點，求實數(shù)Q的取值范圍；

（2）是否存在a,bwR,x0>0,使得凡是/（%）的極值點，且滿足/（見）w[-e,0],若存在，求

出所有這樣的a,b；若不存在，請說明理由.

85.已知函數(shù)/（%）=、7—匕2+,（、WR）.

（1）若/。）在％=2處取得極值，求k的值；

⑵若g（%）=f（%）+（%-l）e*,當0Wkv寺時，判斷函數(shù)g（%）的零點個數(shù).

86.在三棱柱ABC-481cl中，AB=BC=2,乙4BC=*，4%1

(1)證明：A1A=A1C；

(2)若力遇=2,BCI=V15,求平面Ai。/與平面BCC/I夾角的余弦值.

87.已知雙曲線：x2-y2=1,點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直

線4M與y軸交于點D,點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.

(1)若點M(2,百)，Q(2,0),過點Q作BM的垂線1交該雙曲線C于S,T兩點，求△OST的

面積；

(2)若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①而=

DE;?BM1EQ；③|OQ|=2.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

88.已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性；

(2)當m>0時，函數(shù)gQ)=/(X)一生浮?+工恰有兩個零點.

(i)求m的取值范圍；

(ii)證明：9(%)>771所一771一沅,

89.如圖1,四邊形ABC。是梯形，AB//CD,AD=DC=CB=\AB=4,M是A8的中點，將4

ADM沿OM折起至如圖2,點N在線段上.

(1)若N是的中點，證明：平面。MN1平面

(2)若4'C=2通，二面角C—OM—N的余弦值為絡，求軟的值.

90.在Zi/IBC中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,金？+熹=焉?

tanAtanCsino

(1)證明：b2=ac;

（2）若b=2,當角8取得最大值時，求△ABC的面積.

91.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a<c,sin（^-A）cos（^+A）=^.

（1）求A；

（2）若b=V3?asinA+csinC=4\/3sinB,求44BC的面積.

92.天宮空間站是我國建成的國家級太空實驗室，由天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙組成，

已經(jīng)開啟長期有人駐留模式，結(jié)合空間站的相關知識，某職業(yè)學校的老師設計了以空間站為主題的

編程訓練，訓練內(nèi)容由“太空發(fā)射”、“自定義漫游”、“全尺寸太陽能”、“空間運輸”等10個相互獨立

的編程題目組成，訓練要求每個學生必須選擇兩個不同的題目進行編程練習，并且學生間的選擇互

不影響，老師將班級學生分成四組，指定甲、乙、丙、丁為組長.

（1）求甲、乙、丙、丁這四個人中至少有一人選擇“太空發(fā)射''的概率；

（2）記X為這四個人中選擇“太空發(fā)射”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

（3）如果班級有n個學生參與編程訓練（其中n是能被5整除的正整數(shù)），則這n個學生中選擇

“太空發(fā)射”的人數(shù)最有可能是多少人？

93.如圖，在斜三棱柱A8C-0EF中，底面ABC是邊長為2的正三角形，BD=CD若小側(cè)棱

AD與底面ABC所成角為60°.

（1）求證：四邊形BCFE為矩形；

（2）求平面DBC與平面BCFE夾角的余弦值.

2n-1

94.已知數(shù)列｛冊｝滿足，4=3,anan+1=9x2,nEN\

（1）求數(shù)列｛a3的通項公式；

（2）證明：數(shù)列｛an｝中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

95.某服裝公司經(jīng)過多年發(fā)展，在全國布局了3500余家規(guī)模相當?shù)匿N售門店.該公司每年都會設計

生產(chǎn)春季新款服裝并投放到全國各個門店銷售.公司為了了解2022年春季新款服裝在各個銷售門店

的銷售情況，市場部隨機調(diào)查了20個銷售門店的年銷售額（單位：萬元，不考慮門店之間的其它差

異），統(tǒng)計結(jié)果如下：

門店編號12345678910

銷售額45333044282237211924

門店編號11121314151617181920

銷售額34412320373129323642

(1)從以上20個門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店中至少有2個的年銷售額超過40萬元

的概率；

(2)以樣本頻率估計概率，現(xiàn)從全國銷售門店中隨機抽取3個，記該年春季新款的年銷售額超過

40萬元的銷售門店的個數(shù)為求f的分布列及數(shù)學期望.

96.已知數(shù)列｛an｝滿足由+3a2+…+(2n-l)an=n.

(1)證明：｛；｝是一個等差數(shù)列：

]R為奇數(shù)

19即',求數(shù)列｛4｝的前271項和S2n.

(。丑斯+2，”為偶數(shù)

97.已知雙曲線C：今一m=l(Q>0,b>0)的離心率為魚，且過點P(2,-1).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動點M,N在雙曲線C上，直線PM,PN與y軸相交的兩點關于原點對稱，點Q在直線

MN上，PQ工MN,證明：存在定點T,使得|QT|為定值.

98.如圖，在三棱柱中，AB=BC=4,D是4c中點