2024高考學(xué)習(xí)：立體幾何綜合大題必刷100題

2024高考學(xué)習(xí)：立體幾何綜合大題必刷100題

1.任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

1.在棱長(zhǎng)為1的正方體44GA中，E

目錄

1.任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題...............................................1

2.任務(wù)二：中立模式（中檔）30-70題.............................................44

3.任務(wù)三:邪惡模式（困難）70-100題...........................................128

為線段4月的中點(diǎn)，尸為線段"的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)8到直線/G的距離；

（2）求直線FC到平面花G的距離.

【答案】（1）逅；（2）半.

36

【分析】

（1）以A為原點(diǎn)，A&RG，所在直線分別為X軸，y軸，z軸，建立空間

-AC.

直角坐標(biāo)系，取￡=荏，扃，根據(jù)空間向量點(diǎn)到直線距離公式，可得點(diǎn)點(diǎn)B

到直線/儲(chǔ)的距離；

（2）易證尸C//平面4g,則點(diǎn)F到平面/明的距離為直線“到平面/EG的距

離，求出平面4EG的一個(gè)法向量，再求出后=（0,；,0）,根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式,

可得直線FC到平面4EG的距離.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，A4,。。所在直線分別為x軸，）軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

則/(1,0,1),8(1,1,1),C(0J,l)，GQ,l,0),E［，g，o)，尸

所以而=(0,1,0),而=(-1,1,7),次=(0；-1),

——1—■1—1

EC、=(-l,-,0),FC=(-1,-,0),AF=(Q-,0).

222

(2)因?yàn)槎?西=卜，0),所以FC//EC，所以尸c//平面/EC-

所以點(diǎn)尸到平面/EG的距離為直線尸C到平面NEC的距離.

防.4萬(wàn)—n

設(shè)平面/EC；的法向量為，=(3,z),則：魯一：

n?ECX=0

-y-z=0

2

所以

r+；1y=0

X=Z

所以y=2z

取z=l,則x=l/=2.所以，1(1,2,1)是平面Ng的一個(gè)法向量.

(0,1,0)-(1,2,1)

又因?yàn)?=(0,：,0),所以點(diǎn)尸到平面4EG的距離為舊d_V6.

2H~~忑一6

即直線FC到平面4g的距離為逅.

6

2.如圖，正方形/助/的邊長(zhǎng)為2,4民/￡的中點(diǎn)分別為C,G,正方形"8/

沿著折起形成三棱柱"C-/向G,三棱柱，48C-48G中，AC1BC,AD=AA4.

(1)證明：當(dāng)2=(時(shí)，求證：平面8CZ)；

(2)當(dāng)2時(shí)，求二面角。-8G-C的余弦值.

4

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)返

29

【分析】

(1)要證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，關(guān)鍵證明。CIOG，BCIDC1；

(2)以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面附和平面BCG的法向

量，利用法向量公式求二面角。-8G-C的余弦值.

【詳解】

(1)當(dāng)2=3時(shí)，點(diǎn)。是44的中點(diǎn)，

因?yàn)?。=/。=4。=4。|=1,所以。。=。。［=應(yīng)，又cq=2,

所以。c2+oc；=cc：,所以。C_LOC1,

因?yàn)?C_L/C,5C1CC,,所以5C_L平面/CG4，Ogu平面HCC/

所以BC1OG，且。c18C=c,

所以。q1平面88；

(2)因?yàn)镃G,CA,C8兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以B，在，西作

為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

。，平面3CG，所以向量有=(1,0,0)是平面8CG的法向量，

8(0,1,0),G=(0,0,2),二=1-1,0,0,麗=11,1,一!

設(shè)平面DBQ的法向量，;=(xJ,z),

3八

T+—Z=0

西方=02

所以EP-令z=2,x=3,V=4,

麗方=01

-x+y--z=0

所以平面陋的一個(gè)法向量萬(wàn)=(3,4,2),

>=芻33場(chǎng)

COS<CA,n2=.

畫(huà)同^32+42+2229

所以二面角。.2C「C的余弦值是嚕

3.如圖，直三棱柱48C-48￡的底面為直角三角形，兩直角邊和/C的長(zhǎng)

分別為4和2,側(cè)棱的長(zhǎng)為5.

(1)求三棱柱Z8C-45G的體積；

(2)設(shè)M是6c中點(diǎn)，求直線4"與平面"5C所成角的正切值.

【答案】⑴20；（2）3

【分析】

（1）根據(jù)棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)線面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

（1）???直三棱柱Z8C-48G的底面為直角三角形，

兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱力4的長(zhǎng)為5.

三棱柱ABC—的體積：V=S4ABex44=J'4BxACxAAX

=—x4x2x5=20.

2

（2）連接/M,

??直三棱柱ABC-A^C,的底面為直角三角形，

兩直角邊46和4C的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱的長(zhǎng)為5,〃是8c中點(diǎn),

AAX1ABC,JM=|fiC=1V16+4=^,

?1?"MA是直線A{M與平面ABC所成角，

tanZA.MA=必=4==式，

AMJ5

二直線4M與平面/8C所成角的正切值為右.

4.如圖，在三棱錐P-N8C中，&_L底面/3C,4ZC=90。.點(diǎn)。，E,N分別

為棱以，PC,3C的中點(diǎn)，M是線段40的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-N的正弦值；

(3)已知點(diǎn)〃在棱以上，且直線M與直線5E所成角的余弦值為正，求

7

線段工〃的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)返；(3)4

21

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合面面平行的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；

(3)利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取Z8中點(diǎn)尸，連接MF、NF,

■：M為ZD中點(diǎn)，

：.MF//BD,

Q83u平面BDE,"/(Z平面BDE,

平面BDE.

QN為8c中點(diǎn)，

：.NF//AC,

又。、E分別為/P、PC的中點(diǎn)，

:.DEHAC,NFIIDE.

■：DEu平面BDE,NF<z平面BDE,

.?.*//平面BDE.

又心n*=F,板U平面A//W,NFU平面MFN,

.??平面平面8QE,又MNu平面MFN,

則1W//平面BDE-,

(2)-：PAV}^ABC,/胡C=90。.

.??以N為原點(diǎn)，分別以48、AC.NP所在直線為X、八z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

.?./(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),"(0,0,1),N(l,2,0),E(0,2,2),

則麗=(1,2,-1),遠(yuǎn)=(0,2,1),

設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z),

mMN=0x+2y-z=0

由，——,z得

mME=02y+z=0

取z=2,得言=(4,一1,2).

由圖可得平面的一個(gè)法向量為；=(1,0,0).

/----\mn44>/21

―加〃”麗=印，-.

木圖可知:而用C-E"-N的平面.角為銳用，

???二面角C-EM-N的余弦值為逑I,則正弦值為運(yùn)；

2121

(3)設(shè)/〃=f,則"(0,0,，)，AW=(-1,-2,?),礪=(-2,2,2).

直線NH與直線BE所成角的余弦值為五,8小闞H靠

2—2_"

也+Fx2s7'

解得：，=4.

.?當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，此時(shí)線段AH的

7

長(zhǎng)為4.

5.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2.

（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4,求圓錐的體積；

（2）設(shè)P0=4,OA.05是底面半徑，且4408=90。，M為線段的中點(diǎn),

如圖.求異面直線PM與0B所成的角的余弦值.

【答案】（1）返；（2）也.

36

【分析】

（1）利用圓錐的體積公式進(jìn)行求解即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

（1）?.?圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2,圓錐的母線長(zhǎng)為4,

圓錐的體積P=尸x/1=^x^x22XV42-22

_8岳

二;

3

（2）；PO=4,OA,08是底面半徑，且4。8=90。，

M為線段N8的中點(diǎn)，

二以。為原點(diǎn)，（以為x軸，08為y軸，OP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

mo,4),A(2,0,0),8(0,2,0),

”(1,1,0),0(0,0,0),

麗=(1,1,-4),OB=(0,2,0),

設(shè)異面直線PM與OB所成的角為e,

西?得2

則COS0

PM[\O￡\一加*2_6,

???異面直線PM與OB所成的角的余弦值為也.

6

6.如圖所示，已知四棱錐P-/8CD中，四邊形N8C。為正方形，三角形P4B為

正三角形，側(cè)面2(8,底面/8C￡>,"是棱的中點(diǎn).

(1)求證：PCIBM；

(2)求二面角8-PM-C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)理

4

【分析】

(1)取力8的中點(diǎn)0,連接OP,并過(guò)。點(diǎn)作5c的平行線0E,交CD于E,即可

得到0E：8,POVAB,從而得到POL底面/8C。，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量法證明線線垂直；

(2)利用空間向量法求出二面角的余弦值，從而求出其正弦值；

【詳解】

解：(1)取物的中點(diǎn)(9,連接OP,并過(guò)。點(diǎn)作8c的平行線0E,交CD于E,

則OE±AB

???三角形48為正三角形

/.PO1AB

,：平面PAB±底面/8CQ且平面PABc底面ABCD=AB

：.PO_L底面/8C。

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令

則8(1,0,0),尸(0,0,6),M(-l,l,0),C(l,2,0)

PC=(1,2,^/3),=(-2,1,0)

PC~BM=lx(-2)+2x1+(-6卜0=0

PC±BM

(2)麗CM=(-2,-l,0)

設(shè)平面的-一個(gè)法向量為％=(x,y,z)

PMrh=0-x+y->/3z=0

則——_八a即n〈

BM?而二0-2x+y=0

令x=l,

設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n=(a,b,c)

,.PM-n=0\-a+b-\fic=0

則r一即《

[CM-n^Q[-2a-6=0

令a=l,〃=>/5")

二面角B-PM-C的正弦值為巫

4

7.已知點(diǎn)E,尸分別是正方形/8CD的邊,4D,BC的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形EFCD沿EF

折起，使二面角C-EF-8為直二面角，如圖所示.

(1)若點(diǎn)G,H分別是/C,8尸的中點(diǎn)，求證：G"http://平面MCO；

(2)求直線/C與平面/瓦芭所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)逅.

6

【分析】

(1)要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行；

(2)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知C尸，平面/8FE,再結(jié)合線面角的定義,

可得得到直線ZC與平面/8FE所成角的正弦值.

【詳解】

證明：(1)連接“尸，

設(shè)點(diǎn)。為ZF的中點(diǎn)，連接G。，OH,

在"C尸中，又因?yàn)辄c(diǎn)G為ZC中點(diǎn)，

所以O(shè)G//CF.

同理可證得

又因?yàn)镋,尸分別為正方形/8C￡＞的邊8c的中點(diǎn)，

故EFHAB,所以O(shè)H//EF.

又因?yàn)镺Hc0G=O,所以平面GOHH平面EFCD.

又因?yàn)镚au平面GCW,所以G"http://平面

(2)因?yàn)閆8CD為正方形，E,尸分別是4。，8c的中點(diǎn)，

所以四邊形EFC。為矩形，JjllJCFlfF.

又因?yàn)槎娼荂-EF-B為直二面角，平面EFCZ)n平面ZBFE=EF,CFu平面

EFCD,

所以bJ_平面ABFE,

則/尸為直線ZC在平面48FE內(nèi)的射影，

因?yàn)镹C4廠為直線4c與平面Z8FE所成的角.

不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為。，則C尸=8尸=￡,

在中，4F=JAB^+BF?==亭，

因?yàn)镃F_L平面48尸E,4尸u平面N8尸E,所以CF_L/尸,

在R3/FC中，AC=在尸+C尸=J］與J+圖:當(dāng)，

a

CF2V6

sinZCAF-----^=—

AC娓a6

2

即為直線XC與平面45所所成角的正弦值.

8.已知如圖1所示，等腰“8C中，/8=/C=4,BC=4jj,。為8c中點(diǎn)，現(xiàn)

將沿折痕翻折至如圖2所示位置，使得N8OC=。，E、尸分別為"、"

的中點(diǎn).

A

A

(1)證明：BC//平面。EF；

(2)求四面體8CZJE的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)石.

【分析】

(1)由線面平行的判斷定理即得；

(2)根據(jù)題意可得—=，加=；%8，即求

【詳解】

(1)證明：

；E、尸分別為“8、4c的中點(diǎn)，.?.E尸〃BC,

EFu平面DEF,8C9平面DEF,

BCH^^DEF；

（2）在原等腰三角形ZBC中，,.，8=/C=4,5C=4x/3-。為8c中點(diǎn),

ADA.DB,AD1DC,且4D=&_（2后=2,

在折疊后的三棱錐中，AD1DB,ADLDC,

又DBCDC=D,平面8DC,

71

■：DB=DC=2邪,ZBDC=—,

1x2>/3x2>/3xsin^=6x*=3/3,

明8=$3必2=26，

E為AB111點(diǎn)，.1?SgcE=5S,viBc，

可得今的=Q%/ac=5^A-BCD■

9.在三棱柱ABC-AiBiCi中，AB=2,BC=BBi=4,AC=AB}=275,且N5CCi=60。.

(1)求證：平面平面5CG51：

(2)設(shè)二面角G/G-3的大小為仇求sin。的值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵sinO=@5.

4

【分析】

(1)勾股定理證明8c.結(jié)合"8C="四.證明即可證明；(2)建

立空間坐標(biāo)系求解

【詳解】

解:⑴在“8C中,AB2+BC2=20=AC2,所以2月8c=90。，BPAB1BC.

因?yàn)锽C=BB],4c=4Br4B=4B,所以

所以NABB、=NABC=90°,即AB1BBV

又BCCBB、=B,所以48,平面8CC4.

又ABI平面ZBG，所以平面N8G1平面BCC^.

(2)由題意知，四邊形3CCf為菱形，且NBCG=60。，則為正三角形，

取CG的中點(diǎn)，連接8D,則友〃C0.

以B為原點(diǎn)，以前，函的方向分別為x，%z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

B-xyz,則見(jiàn)0,0,0）中（0,4,0）,4（0,0,2）,C（2?-2,0）,1（26,2,0）

設(shè)乎面NCC/的法向量為％=（x,y,z）,且就=（2/-2,-2）,西=（0,4,0）.

由時(shí)”。得|箕產(chǎn)2z=。，取X，。的.

由四邊形8CC圈為菱形，得BQLBC；

又48_L平面8CG片，所以力8_L8C;

又ABIBQ=B,所以8cL平面/sq,

所以平面4BG的法向量為麻=卜6,-6,0）.

n-B^C2731

所以cosG，束）

4c3x24-

故sin”李

10.如圖，四棱錐P-N88中，底面，88是直角梯形，ADHBC,ZBAD=9Q°,

已知P/=PC=35AD=2,AB=后,BC=3.

（1）證明：ACLPD.

（2）若二面角尸-/C-8的余弦值為g,求四棱錐尸-488的體積.

70

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）y.

【分析】

（1）過(guò)。作OE_LBC交8c于點(diǎn)E,求得CZ）=2,取4c中點(diǎn)為尸點(diǎn)，連接尸尸,即，

證得ZC_LPE,證得江，平面尸萬(wàn)，即可證得我，戶(hù),

（2）由（1）知，得到cos/尸F(xiàn)D=g,求得點(diǎn)尸到平面/8CZ）的距離為力，和梯形

488的面積，結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】

（1）過(guò)。作?！阓L8C交8c于點(diǎn)E,

在直角AOCE中，則CDTDE'EC?=2,

取力C中點(diǎn)為尸點(diǎn)，連接PEED,

因?yàn)镹D=C0=2,尸4=PC=3百，所以ZO；4C_LPF,

乂因?yàn)镻FcF〃=F,且P￡H>u平面PFD,所以/C1平面PFD,

又由PDu平面PFD,所以4C，PD.

（2）由題意知，二面角尸-NC-。的余弦值為:，

由（1）知，二面角尸-4。-。的平面角為NPQ,故cos/尸F(xiàn)￡>=（,

在RtZUBC中，可得4C=LB2+BC2=28，所以力尸號(hào)女=6,

所以PF=J尸/2一/尸2=26,

設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為人，則力=PFsmZPFD=2#x逑=述，

33

又梯形的面積為S=（與卜百=孚，

故四棱錐P-/8C。的體積k=^x筮乂遞=型.

3233

11.如圖，四棱柱/5CP—43￡0i中，底面/5C0和側(cè)面3CG5i都是矩形,

E是C0的中點(diǎn)，DiELCD,AB=2BC=2.

Di

(1)求證：平面CGDiOJ_底面/6C0；

(2)若平面5CG51與平面5￡0i所成的銳二面角的大小為求線段屈外的

長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)E0=1.

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明/O_L平面CDDC,可得ADIDiE,又

CDLDiE,即可證明。/J_平面/BCD再由面面垂直的判定定理證明即可；

(2)D】E=a,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),

然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于。的方

程求解即可.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)榈酌?8CO和側(cè)面3CC囪都是矩形，

所以/OLCD,ADLDD\,

又CDCDD尸D,CD,DDiu平面C0DG,

所以平面CDDC,又。i￡u平面CDD\C\,

所以/。，。這，又CD上DiE,且。。0/。=。，CD,/Ou平面Z8C。，

故OE_L平面/8C。，又OiEu平面CC。。，

則平面can。，平面ABCD-,

(2)解：取力8得中點(diǎn)E連結(jié)EE,則四邊形EE8C為正方形，

所以E/LLCZ),故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)。/=〃，貝?。軪(0,0,0),F(1,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),

Ci(0,2,a),

所以元=(-1,0,0),西=(0,1,a),定=(-1,1,0),

設(shè)平面BCC1當(dāng)?shù)姆ㄏ蛄繛槿f(wàn)=*//),

nBC=O-x=0

則有?即

n-CC,=0y+az=0

令z=l,則萬(wàn)=(0,-。,1),

因?yàn)橛諪C上DiE,BECDiE=E,BE,平面8￡Z>i,

所以平面BED\,

故定=(-1,1,0)為平面BDiE的一個(gè)法向量，

所以際G，硝卜犒=瓦勒，

因?yàn)槠矫鍮CCiBi與平面BEDi所成的銳二面角的大小為

高丁喏T解得。=1，

所以01=1.

12.如圖，四棱錐P-/8C。的底面Z8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面

ABCD,是斜邊尸力的長(zhǎng)為2垃的等腰直角三角形，E,尸分別是棱口，PC

的中點(diǎn)，M是棱8c上一點(diǎn).

（1）求證：平面。EM_L平面P/8；

（2）若直線“尸與平面力BCD所成角的正切值為理，求銳二面角E-。河-尸的

2

余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）逅.

6

【分析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定

理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)（1）,結(jié)合線面角的定義得出加點(diǎn)是8c的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：（1）依題意可得：PDLDA,DP=DA=DC=2.

?平面?平面/BCD,平面平面AB上DA,AB1平面/8CO,

45J_平面PAD,DEu平面PAD：.ABVDE.

在RtVRW中，DP=DA,E是棱P/f的中點(diǎn)，所以尸

又P4f]4B=4,PA,平面PNB,，DE_L平面尸NB.

又DEu平面DEM,二平面。EN1平面P48.

（2）如圖，取CD的中點(diǎn)N,連接M/V,NF,

由（1）知PAJ.平面Z5C￡>,ANF1ABCD

，/FMN是直線阻尸與平面N8CZ）所成角

1=V2

tanZFMN=

~MN~~2

:.MN=?,/?MC=y/MN2-NC2=1

是棱BC的中點(diǎn),

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則有：￡>(0,0,0),￡(1,0,1),尸(0,1,1),M(1,2,0)

AD￡=(1,0,1),而=(0,1,1),麗=(1,2,0)

設(shè)平面EDM的法向量為五=(。,6,。)，平面DMF的法向量為3=(x,y,z)

,0=DEm=a+c?,—、

則_____,令a=-2A,則"?=(-2,1,2)z

0=DM,m=a+2b

0=DF-n=y4-z、

有，。=兩三“+2/令A(yù)2則〃=(-2],-1)

/一八tnn3V6

?COS(/〃?〃)=I__I|_|=---------產(chǎn)=—

'wH3x而6

.,.銳二面角-尸的余弦值為理.

6

13.如圖所示，四棱錐E-/8CD的底面/8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面￡48,

底面488,EA=EB,尸在側(cè)棱C￡上，且8尸，平面ZCE.

（1）求證：月E_L平面8CE；

（2）求點(diǎn)O到平面力CE的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）苧.

【分析】

(1)證得8和C8_L/￡,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；

(2)等體積法即可求出結(jié)果.

【詳解】

證明：(1)?側(cè)面48,底面?zhèn)让妗?8c底面N5C￡)=/8,且

CBu底面/BCD,，C8，平面ABE,：.CBVAE,,：8/，平面ACE,4Eu平面ACE,

故BF人4E,BFCCB=B,故4E_L平面2CE：

(2)過(guò)點(diǎn)E作E0_LZ5,垂足為O,則EO_L平面488,在R/AE/B中，

EA=EB,AB=2,可求得OE=1,設(shè)。到平面ZCE的距離為〃，由^D-ACE=^E-ACD，

所以義院.人:屯心/。，h=s飛由0=咚,

3、GACE3

即點(diǎn)D到平面ACE的距離為如I.

3

14.在三棱錐中，平面/3D_L平面/C0,若棱長(zhǎng)/C=CD=N0=N5

=1,且N6/0=3O。，求點(diǎn)O到平面/5C的距離.

【答案】叵.

13

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面Z6C的一個(gè)法向量，利用空間距離的公式即可

求出結(jié)果.

【詳解】

解如圖所示，以的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)D,0C所在直線為x軸、y軸，

過(guò)。作OA/L平面/C。交于以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則Z(-；,0,0),8(^1,04)，C(0,^,0),0(10,0),

22222

??AC—(p-y-,0),AB—(等0~),DC—(T當(dāng)‘。)'

設(shè)5=a，外z)為平面力8。的一個(gè)法向量,

n-AB=^-x+—z=0「

則，23,所以y=—乎x,z=一bx,可?。?（一行，1,3）,

n-AC=—xH——-y=0

22

/9入i?DC-n|5/39

代入d=，-，，得d=22=—，

I?I13

即點(diǎn)D到平面ABC的距離是叵.

13

15.如圖，在長(zhǎng)方體中，AB=BC=\,BB、=2,E為棱的中點(diǎn).

（1）證明：龐_L平面E8C；

（2）求二面角8-EC-G的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）120°.

【分析】

（1）根據(jù)BG_L側(cè)平面Z4歷I得出BE，BG,再利用勾股定理即可證明BE1B?,

從而證明應(yīng)_L平面E4G.

（2）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方，比，西分別為X，"z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法即可解決.

【詳解】

（1）證明：因?yàn)?8CZ）-48￡R是長(zhǎng)方體，所以8CU則平面48由/,

市jBEu平面&B田4,所以3E_L5G，

在中，BE=41,B、E=五,BB、=2,

所以BE、BF=BB；,所以用￡,

又BgcBg=4，B,C,,B、Eu平面EB￡,因此龐J_平面3G.

(2)如圖所示，以點(diǎn)Z)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以?xún)捎?，西分別為右y，z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系,

則8(1,1,O),C(O,1,0),0,(0,1,2),￡1(1,0,1),

EC=(-\A,-\),CCt=(0,0,2),BE=(0,-1,1),

設(shè)歷=(孫必,zj是平面BEC的法向量,

ih'BE=0,

則

rh'EC=0

設(shè))=區(qū),乂，22)是平面ECC1的法向量,

n'CC=0,2Z=0,

則x2=>H=(1,1,0),

nEC=G—x,+%—z2=0

所以=；，因?yàn)槎娼?-EC-G為鈍角，所以二面角B-EC-G的

大小為120。.

16.如下圖，在四棱錐S-/5CD中，底面N8CZ)是正方形，平面平面/8C￡),

SA=SD=2,AB=3.

(1)求以與8。所成角的余弦值;

(2)求證：AB1SD.

【答案】(1)：7(2)證明見(jiàn)解析.

4

【分析】

(1)由題意可得NS/。即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(1)因?yàn)锳DHBC,因此ZSAD即為SA與BC所成的角，在ASAD中，S4=SC=2,

又在正方形ABCD']'AD=AB=3,因止匕cosASAD=心-SD[=2;3-二2：=3,

2SAAD2x2x34

因此與8c所成角的余弦值是;.

4

(2)因?yàn)槠矫鍿4O,平面4BCD,平面弘De平面45cz)=，在正方形/BCD中，

ABA.AD,

因此48,平面S4),又因?yàn)镾OU平面S/D,因此力8J.SD.

17.如圖，四棱錐尸-18。的底面是矩形，PZ〃底面N8CZ),M為BC的中點(diǎn)，

且尸8J.ZM.

(1)證明：平面尸4Ml■平面PB。；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-/8C。的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)也.

3

【分析】

(1)由底面/BCD可得又PBLAM,由線面垂直的判定定理可

得4"，平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PAM±平面尸8。；

(2)由(1)可知，AMLBD,由平面知識(shí)可知，ADAB~"BM,由相似比可求

出再根據(jù)四棱錐尸-/BCC的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)因?yàn)榈酌?5C￡>,4Wu平面月88,

所以,

又PB1.AM,PBC\PD=P,

所以/A/_L平面P8D,

而AMu平面PAM,

所以平面P4M1平面PBD.

(2)由(1)可知，平面尸8D,所以

從'而ADAB~AABM,BM=x,AD=2x,

則=即2x?=l,解得x=4^，所以力。=&,

ABAD2

因?yàn)镻〃_L底面/BCD,

故四棱錐尸-/5C。的體積為％=；x(lx亞)xl=[.

18.如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面/8CD是平行四邊形，

Z.ABC=120°,=1,5C=4,PA=V15,M,N分別為8Gpe的中點(diǎn),

PD1DC,PMLMD.

(1)證明：AB1PMi

(2)求直線/N與平面PZW所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)空.

6

【分析】

(1)要證可證。C_LPA/,由題意可得，PDLDC,易證DWLOC,

從而。CJ_平面PDM,即有。C1RW,從而得證；

(2)取4)中點(diǎn)E,根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)M為坐標(biāo)

原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量麗和平面口加的一個(gè)法向量，即

可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在△￡?◎/+，DC=\,CM=2,NDCM=60°,由余弦定理可得。M=百，

所以。M2+OC2=C“，DM1DC.由題意。C_LPD且尸￡>cQAf=。，.?.OC_L平

面而尸Mu平面叩M,所以。CLP”,又ABUDC,所以Z8_LPAf.

(2)由尸ABVPM,而N8與。/W相交，所以PM_L平面/BCD,因?yàn)?/p>

AM=41,所以PM=2&,取ND中點(diǎn)E,連接ME,則ME,。",PA/兩兩垂直，

以點(diǎn)"為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(一瓜2,0),P(0,0,20),D(瓜0,0)M0,0,0),C(瘋-1,0)

乂N為PC中點(diǎn)，所以總司,麗=(孚,。襄

由(1)得CQ_L平面PDW,所以平面PDW的一個(gè)法向量力二(0,1,0)

_f5

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sin0=僚2=^?5=乎'

V4+4+2

19.如圖，是圓。的直徑，尸4垂直圓O所在的平面，C是圓。上的點(diǎn).

(I)求證8C_L平面尸4C；

(II)設(shè)。為4的中點(diǎn)，G為A40C的重心，求證：QG//平面58c.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】

(I)由力8是圓的直徑可得4C_L8C,由P4_L平面/8C,8Cu平面/8C,得P418C

又尸/門(mén)/。=42/<=平面「力。,力。<=：平面PNC,所以8CJ.平面尸ZC

(II)連。G并延長(zhǎng)交4c于河，連接。W,QG

由G為A40C的重心，得“為ZC的中點(diǎn)，

由0為融的中點(diǎn)，得0MllPC,由。為Z面勺中點(diǎn)，得0MII8C,

因?yàn)镼McMO=M,QMu平面00。

“。匚平面。河。BCcPC=C,

BCu平面08C,PCu平面P8C,

所以平面。河。||平面尸3C,因?yàn)镼Gu平面QA/O

所以0Gll平面P8C

20.如圖，在四棱錐P-/8CD中，PN_L底面/BCD,AB±AD,點(diǎn)E在線段上,

且CE〃肛

(I)求證：。后,平面刃。；

(II)^PA=AB=\,/。=3,CD=4i,NC￡%=45。，求四棱錐P-/8C。的體積.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析(II)|

0

【分析】

(1)由已知可得&_LCE,CELAD,即可證明結(jié)論；

(II)底面NBCD,VP.ABCD=^SABCD-PA,根據(jù)已知條件求出梯形相C。面積,

即可求解.

【詳解】

(I)證明：因?yàn)镻/J■底面/BCD,CEu平面”88,

所以PN_LCE.因?yàn)?CE//AB,

所以CEJ.4Q.又尸=4,

所以CE_L平面尸4).

(U)解：由(I)可知CE_L/￡>,

在RtAfCD中，C￡=CZ).sin45°=l,

DE=CD?cos450=\,

又因?yàn)?8=1,貝IJ/8=CE.

又CEHAB'ABLAD,

所以四邊形/8CE為矩形，四邊形N8C。為梯形.

因?yàn)?。=3,所以BC=/E=/D-OE=2,

()

SABCD=^BC+AD\/J5=l2+3xl=|,

^P-ABCD=T^ABCD*P4=TX~X1，

于是四棱錐P-Z88的體積為4.

0

21.如圖，直三棱柱/18C-WBC,ABAC=9^,=4。=/MH,點(diǎn)M,N分別為

43和8C'的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面H/CC;

(II)若二面角Z'-MN-C為直二面角，求2的值.

【答案】(I)見(jiàn)解析(II)2=72

【詳解】

試題分析：(I)分別取4C'//的中點(diǎn)P,Q,再連結(jié)MQ,NP,PQ,則有

PN//-A'B',PN=^A'B',MQ//^A'B',MQ=^A'B',所以PN"MQ,PN=MQ

則四邊形MNPQ為平行四邊形，所以AW〃尸Q,則MN//平面H/CC

(II)分別以”利以公所在直線為x/，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

設(shè)44=2,則彳必=(40,-1),麗=(0,尢1),麗=(4-2/1,1),

設(shè)平面的一個(gè)法向量秘=(x,y,z),

由，:黑］:得平面AMN的一個(gè)法向量*=(1,-1以)，

同理可得平面MNC的一個(gè)法向量第=(3」,-4，

因?yàn)槎娼荋-MN-CA為直二面角，所以屋后=0,則有；1=應(yīng)

22.如圖，在三棱錐S-N8C中，側(cè)面S/8與側(cè)面"C均為等邊三角

形,/8/。=90。,0為8。中點(diǎn).

(I)證明：SOI平面"C;

(II)求二面角/-SC-8的余弦值.

【答案】(I)S。_L平面ABC',

(II)二面角4-SC-8的余弦值為3.

3

【詳解】

證明：

(I)由題設(shè)/8=ZC=S8=SC=S4連結(jié)。4,△N8C為等腰直角三角形，所以

OA=OB=OC=—SA,J.AOLBC,又△S8C為等腰三角形，故SOL8C,

2

SO=—SA,

2

從而OA2+SO2=SA2,

所以△S。/為直角三角形，SOVAO.

又AOQBC=O,

所以5。_1平面力8。.

(II)解法一：

取SC中點(diǎn)M,連結(jié)AM,OM,由(I)知SO=OC,SA=AC,得OM1SC,AM1SC.

ZOMA為二面角A-SC-B的平面角.

由力AO±SO,SOn6C=。得

40,平面S8C,

所以又AM=昱54,故

2

.,...AO4246

sin/.AMnO==—j==——,

AMy/33

所以二面角4-SC-8的余弦值為3.

3

解法二：

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線08、分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間

直角坐標(biāo)系。-平.

設(shè)8(1,0,0),則C(-l,0,0),A0,1,0),5(0,0,1).

SC的中點(diǎn)加［:。1),

:.MOSC=0,MA-SC=0.

故MO_LSC,MA±SC,(荻，祝^等于二面角/-SC-8的平面角.

MO-MA_-J3

|wd|p|=T)

所以二面角/-SC-8的余弦值為也.

3

23.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2石的菱形，且NBAD=120。,

且PA_L平面ABCD,PA=2指，M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面ABCD；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AQ±PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)亭.

【分析】

⑴證明:連接BD,因?yàn)镸、N分別是PB、PD的中點(diǎn)，所以MN是4PBD的中位線,

所以MNHBD.

又因?yàn)镸NC平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以MN||平面ABCD.

⑵解：在菱形ABCD中/BAD=120。，

得AC=AB=BC=CD=DA,

BD=—AB.

又因?yàn)镻A_L平面ABCD,

所以PA±AB,PA±AC,

PA±AD.

所以PB=PC=PD.

^^△PBCsAPDC.

而M、N分別是PB、PD的中點(diǎn),

所以MQ=NQ,

AM=-PB=-PD=AN.

取線段MN的中點(diǎn)E,連接AE,EQ

則AE±MN,QE±MN,

所以ZAEQ為二面角A-MN-Q的平面角.

由AB=2#,PA=2幾，故在aAMN中,AM=AN=3,MN=：BD=3,得AE=必.

■工

在直角APAC中,AQLPC,得AQ=28,QC=2,PQ=4,

在aPBC中,coszBPC=尸七?＞二

1PBPC6

得MQ=JP\F+尸0：-IPXPQes4PC=#.

在等腰△MQN中,MQ=NQ=在,MN=3,

得QE=&紛,-嬲蜉=當(dāng).

在aAEQ中,AE=半,QE=gI,AQ=2。,

AE*一。5?_^33

得COSNAEQ二

2AEQE

所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為叵.

33

24.如圖，在三棱錐P-/8C中，AB=BC=2O,PA=PB=PC=AC=4,0為4c

的中點(diǎn).

（1）證明：尸O_L平面/8C；

（2）若點(diǎn)M在棱8。上，^MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

【詳解】

分析：（1）連接。8,欲證POL平面為8C,只需證明？。_14,尸。_1。5即可；（2）

過(guò)點(diǎn)C作S_LOM,垂足為M,只需論證CH的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知

識(shí)求解即可.

詳解：（1）因?yàn)?P=C7FC=4,。為/C的中點(diǎn)，所以O(shè)PL/C,且3=2省.

連結(jié)08.因?yàn)?5=8C=也ZC,所以△N8C為等腰直角三角形，且OBLZC,

2

08Mze=2.

2

由OP2+。爐=P爐知，OPLOB.

由OP1OB,。尸，4。知POmABC.

（2）作垂足為H.又由（1）可得OP工CH,所以C”J_平面尸OM.

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面的距離.

由題設(shè)可知OC=:4C=2,CM=：BC』區(qū),乙4c6=45。.

233

所以O(shè)吐拽，ch=OC.MC^CB^1

3OM5=

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為竽.

點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多

以線面的證明為主，解題的核心是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二

問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.

25.如圖，在三棱錐P-N5C中，PAVAB,PA±BC,ABVBC,PA=AB=BC

=2,O為線段ZC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

（1）求證：PA^BDi

⑵求證：平面3OE_L平面"C；

（3）當(dāng)以〃平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）|

【詳解】

試題分析：（1）要證明線線垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（II）要證明

面面垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直、線線垂直；(川)由k=即可

求解.

試題解析：(I)因?yàn)镻ALBC,所以以，平面Z8C,

又因?yàn)?Ou平面/8C,所以P/L8。.

(II)因?yàn)?8=8C,。為/C中點(diǎn)，所以8DL/C,

由(I)知，PALBD,所以BZ〃平面P/C.

所以平面BOEJ.平面PNC.

(Ill)因?yàn)槭↖平面反法，平面尸/Cc平面8￡>E=OE,

所以尸4||DE.

因?yàn)?。為NC的中點(diǎn)，所以。E=；PZ=1,BD=DC=41-

由(I)知，Q4J_平面48C,所以。E_L平面P/C.

所以三棱錐E-8C￡>的體積展98。。。。己=：.

26.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA±CD,AD/7BC,NADC=NPAB=90。,

BC=CD=yAD.

(I)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面PAB,并說(shuō)明理由;

(II)證明：平面PAB_L平面PBD.

【答案】(I)詳見(jiàn)解析；(II)詳見(jiàn)解析.

【詳解】

試題分析：本題考查線面平行、線線平行、線線垂直、線面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第（I）問(wèn)，先證明線線平行,

再利用線面平行的判定定理證明線面平行；第（II）問(wèn)，先由線面垂直得到線

線垂直，再利用線面垂直的判定定理得到BDJ_平面PAB,最后利用面面垂直的

判定定理證明面面垂直.

試題解析：

（I）取棱AD的中點(diǎn)M（M6平面PAD）,點(diǎn)M即為所求的一