2023-2024學年初中九年級上學期期末數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023-2024學年九年級數(shù)學上學期期末考試（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：北師大版九上全部-九下1-2單元。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．唐代李白《日出行》云：“日出東方隈，似從地底來”．描述的是看日出的景象，意思是太陽從東方升起，似從地底而來．如圖所示，此時觀測到地平線和太陽所成的視圖可能是（

）A． B．C． D．2．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x＝163.若，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．一個不透明的盒子中裝有10個小球(白色或黑色)，它們除了顏色外其余都相同，每次摸球試驗前，都將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，如表是一組統(tǒng)計數(shù)據：摸球次數(shù)()摸到白球的次數(shù)()摸到白球的頻率由表可以推算出盒子白色小球的個數(shù)是(

)A．4個 B．5個 C．6個 D．7個5．下列關于拋物線的說法中，正確的是（

）A．開口向上 B．必過點 C．對稱軸為 D．與x軸沒有交點6．溫州是盛產甌柑之鄉(xiāng)，某超市將進價為每千克5元的甌柑按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了減少庫存且讓利顧客，決定降價銷售，超市發(fā)現(xiàn)當售價每千克下降1元時，其日銷售量就增加10千克，設售價下降元，超市每天銷售甌柑的利潤為120元，則可列方程為（）A． B．C． D．7．如圖，矩形中，對角線，交于O點．若，，則的長為（

）．A．4 B． C．3 D．58．已知，則函數(shù)和的圖象大致是（）A． B．C． D．9．如圖，在中，，將繞點A旋轉得，當B、C、E在同一直線上時，，連接，則的長為（

）A． B．4 C．3 D．10．如圖，在正方形ABCD中，E是線段CD上一點，連接AE，將△ADE沿AE翻折至△AEF，連接BF并延長BF交AE延長線于點P，過點E作EM⊥PB于M．已知PF=，BF=2．其中正確結論的個數(shù)有（

）①∠APF=45°

②∠EFP=∠FBC

③PM=

④A．1 B．2 C．3 D．4填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．已知，則的值是．12．如圖，某校教學樓與實驗樓的水平間距米，在實驗樓頂部點測得教學樓頂部點的仰角是，底部點的俯角是，則教學樓的高度是米（結果保留根號）.13.如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分線EA與∠BCA的角平分線CD相交于點O，已知BD=4，OC=2，則OE=．15．如圖，將□ABCD繞點逆時針旋轉到的位置，使點落在上，與交于點；若，，，則的長為．三．解答題（共7小題，滿分55分）16．用指定方法解方程：(1)（公式法）(2)（配方法）17．計算：．18．線上教學的師生，可采用的方式包括：①連麥問答；②視頻對話；③不定時簽到；④投票；⑤選擇題推送等．為了解學生最喜愛的方式，隨機抽取若干名學生進行調查，將調查結果繪制成兩個不完整的統(tǒng)計圖，如圖1和圖2；(1)本次隨機抽查的學生人數(shù)為________人，補全圖2；(2)參加線上教學的學生共有6000名，可估計出其中最喜愛“①連麥問答”的學生人數(shù)為_______人，圖1中扇形①的圓心角度數(shù)為________度；(3)若在“①，②，③，④”四種方式中隨機選取兩種作為重點交互方式，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“②，③”這兩種方式的概率．19．某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價100元時，房間會全部住滿，當每個房間定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，若賓館在某一個時間段把每個房間定價增加元（為正整數(shù)且）．(1)當賓館每天收入為8000元，求的值．(2)如果賓館每天收入要最大，請直接寫出每個房間的定價．20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．21．已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關系，記點A為該二次函數(shù)圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，軸于點C，相關數(shù)據如下：

水平距離x（米）5102030空中飛行的高度y（米）4.560請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式______；(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為d為多少米，d是否大于30，成績是否達標？22．（1）觀察猜想：如圖（1）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分別是AB、AD邊的中點，以AP、AQ為鄰邊作矩形APEQ連接CE，的值是．（2）類比探究：當矩形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（2）位置時，請判斷的值是否發(fā)生變化？若不變，說明理由；若改變，求出新的比值．（3）解決問題：若將（1）中的矩形ABCD改變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，且AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，P、Q分別是AB、AD邊上的點，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APEQ．當平行四邊形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（3）位置時，連接CE、DQ，請直接寫出的值．

2023-2024學年九年級數(shù)學上學期期末考試全解全析注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：北師大版九上全部-九下1-2單元。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．唐代李白《日出行》云：“日出東方隈，似從地底來”．描述的是看日出的景象，意思是太陽從東方升起，似從地底而來．如圖所示，此時觀測到地平線和太陽所成的視圖可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據物體的視圖知，看得見的用實線，看不見的用虛線，由此可得答案．【詳解】從正面看到地平線以上的太陽，地平線以下的太陽看不到，看不到線則用虛線，由此選項B正確；故選：B．【點睛】本題考查了物體三視圖中的主視圖，注意：畫物體視圖時，看得見的用實線，看不見的用虛線．2．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16【答案】B【詳解】試題解析：移項得x2=4，∴x=±2．故選B.【點睛】本題主要考查了解一元二次方程-直接開平方法．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．3.若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據相似三角形的性質即可得．【詳解】解：方法1：，且，，，．方法2：，且，的周長與的周長之比為，，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵．4．一個不透明的盒子中裝有10個小球(白色或黑色)，它們除了顏色外其余都相同，每次摸球試驗前，都將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，如表是一組統(tǒng)計數(shù)據：摸球次數(shù)()摸到白球的次數(shù)()摸到白球的頻率由表可以推算出盒子白色小球的個數(shù)是(

)A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【分析】利用大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【詳解】解：∵通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定于，∴，即白色小球的個數(shù)是個故選：B．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，正確運用概率公式是解題關鍵．5．下列關于拋物線的說法中，正確的是（

）A．開口向上 B．必過點 C．對稱軸為 D．與x軸沒有交點【答案】C【分析】根據二次項系數(shù)為，即可判斷A；求出當，y的值即可判斷B；根據對稱軸公式求出對稱軸即可判斷C；根據一元二次方程與二次函數(shù)的關系，利用判別式求解即可判斷D．【詳解】解：A、∵，∴開口向下，說法錯誤，不符合題意；B、當時，，即函數(shù)經過點，不經過點，說法錯誤，不符合題意；C、∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，說法正確，符合題意；D、∵，∴拋物線與x軸有兩個不相同的交點，說法錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，熟知相關知識是解題的關鍵．6．溫州是盛產甌柑之鄉(xiāng)，某超市將進價為每千克5元的甌柑按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了減少庫存且讓利顧客，決定降價銷售，超市發(fā)現(xiàn)當售價每千克下降1元時，其日銷售量就增加10千克，設售價下降元，超市每天銷售甌柑的利潤為120元，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】當售價下降x元時，每千克甌柑的銷售利潤為（3-x）元，平均每天的銷售量為（50+10x）千克，利用超市每天銷售甌柑獲得的利潤=每千克的銷售利潤×平均每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：當售價下降x元時，每千克甌柑的銷售利潤為8-x-5=（3-x）元，平均每天的銷售量為（50+10x）千克，依題意得：（3-x）（50+10x）=120．故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．如圖，矩形中，對角線，交于O點．若，，則的長為（

）．A．4 B． C．3 D．5【答案】A【分析】先由矩形的性質得出，結合題意證明是等邊三角形即可．【詳解】解：四邊形是矩形，且是等邊三角形，故選：A．【點睛】本題考查了矩形對角線相等且互相平分的性質及等邊三角形的判定方法，熟練掌握矩形性質是解決本題的關鍵.8．已知，則函數(shù)和的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據一次函數(shù)、反比例函數(shù)的系數(shù)與圖像的關系分析即可．【詳解】∵，b=﹣1＜0，∴直線過一、三、四象限；雙曲線位于二、四象限．故本題選C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的系數(shù)與圖像的關系，熟練掌握此知識點是解答本題的關鍵．9．如圖，在中，，將繞點A旋轉得，當B、C、E在同一直線上時，，連接，則的長為（

）A． B．4 C．3 D．【答案】A【分析】先證明，，可得，再利用相似三角形的性質可得答案．【詳解】解：將繞點A旋轉得，∴，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故選A．【點睛】本題考查的是旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，證明是解本題的關鍵．10．如圖，在正方形ABCD中，E是線段CD上一點，連接AE，將△ADE沿AE翻折至△AEF，連接BF并延長BF交AE延長線于點P，過點E作EM⊥PB于M．已知PF=，BF=2．其中正確結論的個數(shù)有（

）①∠APF=45°

②∠EFP=∠FBC

③PM=

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】過點A作AN⊥BP于N，證得∠P＝∠PAN＝45°，得①正確；由等角的余角相等可證②正確；由∠EFM=∠FAN及∠EMF=∠FNA=90°可證得△EMF∽△FNA，再由可得PM=EM=，③正確；由△EMF∽△FNA可得，④正確．【詳解】解：如圖，過點A作AN⊥BP于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，由翻折的性質可知，AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，∴AB＝AF，∵AN⊥BF，∴BN＝FN，∠BAN＝∠FAN，∴∠PAN＝∠PAF＋∠FAN＝∠BAD＝45°，∵∠ANP＝90°，∴∠P＝∠PAN＝45°，∴AN＝NP，故①正確；由翻折的性質可知，∠D＝∠AFE=90°，∴∠EFP+∠AFN=90°，∵AB＝AF，∴∠AFN=∠ABF，∴∠ABF+∠FBC=90°，∴∠EFP=∠FBC，②正確；∵EM⊥BP，∠P＝45°，∴EM=PM，∵BN＝FN，BF=2，PF=，∴AN＝NP=+1，∵∠EFM+∠AFN=90°，∠AFN+∠FAN=90°，∴∠EFM=∠FAN，∵∠EMF=∠FNA=90°，∴△EMF∽△FNA，∴，即解得PM=EM=，③正確；∵△FNA∽△EMF，∴，∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，∴，④正確.故選：D【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等腰三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．已知，則的值是．【答案】【分析】根據，設，代入即可得出答案．【詳解】解：∵，∴設，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，設未知數(shù)是本題的關鍵．12．如圖，某校教學樓與實驗樓的水平間距米，在實驗樓頂部點測得教學樓頂部點的仰角是，底部點的俯角是，則教學樓的高度是米（結果保留根號）.【答案】(15+15)【分析】過點B作BE⊥AC，垂足為E，則∠ABE=30°，∠CBE=45°，四邊形CDBE是矩形，繼而證明∠CEB=∠CBE，從而可得CE長，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE長，繼而可得AC長.【詳解】過點B作BE⊥AC，垂足為E，則∠ABE=30°，∠CBE=45°，四邊形CDBE是正方形，∴BE=CD=15，∵∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，∴CE=BE=15，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，即，∴AE=15，∴AC=AE+CE=15+15，即教學樓AC的高度是(15+15)米，故答案為(15+15).【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確構建直角三角形是解題的關鍵.13.如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是．【答案】【分析】過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，由等腰直角三角形的性質可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分線的性質和外角的性質可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可證CE=AE=2，由“AAS”可證△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得點B坐標，即可求解．【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，∵點C(-2,0)，∴CO=2，∴CO=EO=2，∴∠CEO=45°，CE=2，∵△BAC為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB(AAS)，∴AO=CD，OC=BD=2，∵y軸平分∠BAC，∴∠CAO=22.5°，∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，∴∠ECA=∠OAC=22.5°，∴CE=AE=2，∴AO=2+2=CD，∴DO=2，∴點B坐標為(2,-2)，∵點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴k=(-2)×2=-4，故答案為：-4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質以及全等三角形的判定與性質，求得B的坐標是解題關鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分線EA與∠BCA的角平分線CD相交于點O，已知BD=4，OC=2，則OE=．【答案】【分析】在CA上截取CF=CE，先證明△COE≌△COF，再證明△AOD≌△AOF，得到OD=OE，作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，可證△OCM∽△DCN，然后利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】在CA上截取CF=CE，∵CD平分∠BCA，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，在△COE和△COF中，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∵EF平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=15°，∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO=180°-(∠BAC+∠ACA)=180°-(180°-60°)=120°，∴∠AOF=120°-60°=60°，∴∠AOD=∠AOF，在△AOD和△AOF中，∴△AOD≌△AOF（ASA），∴OF=OD，∴OE=OE．作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，∴∠CMO=∠CND=90°，∵∠OCM=∠DCN，∴△OCM∽△DCN，∴．∵sinB=，BD=4，∴DN=2，∵OC=2，∠OCM=45°，∴CM=OM=2，∴，∴OE=OD=．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，以及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．15．如圖，將□ABCD繞點逆時針旋轉到的位置，使點落在上，與交于點；若，，，則的長為．【答案】【分析】如圖，過點作于點，過點作于點，過點作，交的延長線于點．結合已知運用勾股定理求，利用等積法求,證，得，設，則，證，得，可求出a,最后運用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，過點作，交的延長線于點．由旋轉可知，，，，，，，，，，則，，，，，，設，則，，，又，，，，，，，，，，解得．，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形和旋轉的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理解直角三角形；利用相關性質證明三角形相似并建立相等關系是解題的關鍵．三．解答題（共7小題，滿分55分）16．用指定方法解方程：(1)（公式法）(2)（配方法）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據公式法解一元二次方程；（2）先將二次項系數(shù)化為1，然后根據配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∵，，∴，解得：，（2）解：，∴，兩邊加上，，即，∴，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．17．計算：．【答案】4【分析】根據絕對值的意義，零指數(shù)冪運算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值先化簡，再合并計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查絕對值的意義，零指數(shù)冪運算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟記零指數(shù)冪運算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵．18．線上教學的師生，可采用的方式包括：①連麥問答；②視頻對話；③不定時簽到；④投票；⑤選擇題推送等．為了解學生最喜愛的方式，隨機抽取若干名學生進行調查，將調查結果繪制成兩個不完整的統(tǒng)計圖，如圖1和圖2；(1)本次隨機抽查的學生人數(shù)為________人，補全圖2；(2)參加線上教學的學生共有6000名，可估計出其中最喜愛“①連麥問答”的學生人數(shù)為_______人，圖1中扇形①的圓心角度數(shù)為________度；(3)若在“①，②，③，④”四種方式中隨機選取兩種作為重點交互方式，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“②，③”這兩種方式的概率．【答案】(1)，補全圖見解析(2)，(3)【分析】（1）根據方式③的人數(shù)與占比即可求得本次隨機抽查的學生人數(shù)，進而求得方式②的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可求解；（2）用方式①的占比乘以，估計出其中最喜愛“①連麥問答”的學生人數(shù)，用方式①的占比乘以，得出圖1中扇形①的圓心角度數(shù)；（3）用列表法求概率即可求解．【詳解】（1）解：本次隨機抽查的學生人數(shù)為：（人），∴方式②的人數(shù)為（人），故答案為：．補全統(tǒng)計圖如圖，（2）解：估計出其中最喜愛“①連麥問答”的學生人數(shù)為（人），圖1中扇形①的圓心角度數(shù)為，故答案為：，．（3）列表如下，①②③④①①②①③①④②②①②③②④③③①③②③④④④①④②④③共有12種等可能結果，恰好選中“②，③”這兩種方式的有2種，∴恰好選中“②，③”這兩種方式的概率為．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)，求扇形統(tǒng)計圖的圓心角的度數(shù)，樣本估計總體，列表法求概率，從統(tǒng)計圖表中獲取信息，掌握求概率的方法是解題的關鍵．19．某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價100元時，房間會全部住滿，當每個房間定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，若賓館在某一個時間段把每個房間定價增加元（為正整數(shù)且）．(1)當賓館每天收入為8000元，求的值．(2)如果賓館每天收入要最大，請直接寫出每個房間的定價．【答案】(1)10(2)【分析】（1）根據題意和題目中的數(shù)據，可知賓館每個房間定價增加元，也就會有個房間空閑，然后即可得到這天游客租住的房間數(shù)和每間房間的利潤；根據賓館每天的利潤能達到元可以列出相應的方程，從而求出答案；（2）根據題意，可以得到利潤和之間的函數(shù)關系式，然后化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質，即可得到房價定為多少時，賓館每天的利潤最大；【詳解】（1）解：由題意可得，賓館每個房間定價增加元后，這天游客租住了間房，每間房間的利潤是元，由題意可得，，解得，，，，答：賓館每天的收入為元時，；（2）設利潤為元，由題意可得，∴該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，，時取得最大值，此時，，答：房價定為元時，賓館每天的利潤最大．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程，寫出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質解答．20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，可得AD＝BD＝CD＝AF，證得四邊形ADCF是平行四邊形，繼而判定四邊形ADCF是菱形；

（2）首先連接DF，易得四邊形ABDF是平行四邊形，即可求得DF的長，然后由菱形的面積等于其對角線積的一半，求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，

∴AD＝DC＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：連接DF，

∵AF∥BC，AF＝BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF＝AB＝5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S＝AC?DF＝10．【點睛】此題考查了菱形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．注意根據題意畫出圖形，結合圖形求解是關鍵．21．已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關系，記點A為該二次函數(shù)圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，軸于點C，相關數(shù)據如下：

水平距離x（米）5102030空中飛行的高度y（米）4.560(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式______；(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為d為多少米，d是否大于30，成績是否達標？【答案】(1)；(2)；＞；是．【分析】（1）設該二次函數(shù)的解析式為，根據點的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）求出當函數(shù)的函數(shù)值為時，的值，由此即可得．【詳解】（1）解：由題意，設該二次函數(shù)的解析式為，米，，將點代入得：，解得，則該二次函數(shù)的解析式為，故答案為：．（2）解：對于二次函數(shù)，當時，，解得或（不符合題意，舍去），則，，，即，故答案為：；＞；是．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．22．（1）觀察猜想：如圖（1）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分別是AB、AD邊的中點，以AP、AQ為鄰邊作矩形APEQ連接CE，的值是．（2）類比探究：當矩形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（2）位置時，請判斷的值是否發(fā)生變化？若不變，說明理由；若改變，求出新的比值．（3）解決問題：若將（1）中的矩形ABCD改變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，且AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，P、Q分別是AB、AD邊上的點，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APEQ．當平行四邊形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（3）位置時，連接CE、DQ，請直接寫出的值．【答案】（1）；（2）不變，見解析；（3）【分析】(1)延長PE交CD于H，則四邊形QEHD是矩形，在中，利用勾股定理即可解決問題；(2)連接AE、AC，證明，由對應邊成比例即可解決問題；(3)利用已知計算AC的長，同理得，通過對應邊成比例即可解決問題；【詳解】解：（1）延長PE交CD于H，如圖：則四邊形QEHD是矩形，在，∴，∴，故答案為：；（2）的值不變，理由如下：連接AE、AC，如圖：由旋轉可知：∠QAD＝∠EAC，由勾股定理可知：AC＝10，AE＝5，∴，∴，∴，∴（3）過A作于H，連接AC，如圖：∵∠B＝60°，∴∵AB＝6，∴∴,由勾股定理得：，∴，連接AE、AC，如圖：同理中，，可得AE＝，∴，由旋轉得：，∴，∴．【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、平