寒假講義高二數(shù)學(xué)一元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析

寒假講義一元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解析版5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課程標準課標解讀初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時變化率的概念及幾何意義.會求函數(shù)的平均變率與瞬時變化率.并能結(jié)合實際問題求曲線在某點處與某點附近點的切線與割線的斜率的極限值.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率，要求會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)幾何意義，會求某點處的切線方程.知識點1函數(shù)的平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．【即學(xué)即練1】已知拋物線y＝3x－x2在x0＝2處的增量為Δx＝0.1，則eq\f(Δy,Δx)的值為()A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29【解析】∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－0.11,0.1)＝－1.1.故選B【即學(xué)即練2】某質(zhì)點的運動方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1,2]內(nèi)的平均速度為()A．2B．3C．－2D．－3【解析】eq\x\to(v)＝eq\f(1－22－1－12,2－1)＝－3.故選D【即學(xué)即練3】函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，則t＝________.【解析】因為函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，所以eq\f(ft－f－2,t－－2)＝eq\f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，從而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．知識點2瞬時速度(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).(3)瞬時速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度eq\x\to(v)就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．注意點：（1）Δt可正，可負，但不能為0.（2）瞬時變化率的變形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．【即學(xué)即練4】物體運動方程為s(t)＝3t2(位移單位：m，時間單位：s)，若v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝18m/s，則下列說法中正確的是()A．18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度B．18m/s是物體從3s到(3＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度C．18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度D．18m/s是物體從3s到(3＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度【解析】由瞬時速度與平均速度的關(guān)系可知選C.【即學(xué)即練5】某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物體在t＝1s時的瞬時速度；（2）試求物體的初速度；（3）試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.【解析】（1）∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(3＋Δt)＝3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(1＋Δt)＝1.即物體的初速度為1m/s.（3）設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.【即學(xué)即練6】一質(zhì)點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數(shù)a的值．【解析】質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時變化率．∵質(zhì)點M在t＝2附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.知識點3函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).【即學(xué)即練7】【多選】若函數(shù)f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則eq\o(lim,\s\do6(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)的值()A．與x0有關(guān) B．與h有關(guān)C．與x0無關(guān) D．與h無關(guān)【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān)，與h無關(guān)，故選AD.【即學(xué)即練8】求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【解析】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.從而y′|x＝1＝2.【即學(xué)即練9】f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1【解析】eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.故選B【即學(xué)即練10】已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2【解析】因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.故選D【即學(xué)即練11】若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)等于()A．－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C．－eq\f(1,2)f′(1) D．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))【解析】eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1)．故選C【即學(xué)即練12】設(shè)在處可導(dǎo)，則（）．A． B．C． D．【解析】∵在處可導(dǎo)，∴，故選：C.知識點4割線斜率與切線斜率及導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．切線：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).當(dāng)點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的切線．切線的斜率：當(dāng)Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點B無限趨近于點A，于是割線AB無限趨近于點A處的切線AD，這時，割線AB的斜率無限趨近于點A處的切線AD的斜率k.注意點：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率．4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【即學(xué)即練13】已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為eq\r(3)，則下面敘述正確的是()A．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,6)B．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)C．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\r(3)D．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\f(\r(3),3)【解析】函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率就是割線AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，故選B.【即學(xué)即練14】過曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求Δx的值．【解析】割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋Δx的平均變化率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.【即學(xué)即練15】求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(1,2)處的切線方程．【解析】由eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋3－2,Δx)＝Δx，可得切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))Δx＝0.所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，即y＝2.【即學(xué)即練16】求拋物線f(x)＝x2－x在點(2,2)處的切線方程．【解析】f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，所以切線的斜率k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(3Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(3＋Δx)＝3.則切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.【即學(xué)即練17】曲線f(x)＝x2上哪一點處的切線滿足下列條件？(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；(3)傾斜角為135°.【解析】設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點，曲線f(x)＝x2在點P(x0，y0)處切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是滿足條件的點．(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是滿足條件的點．(3)因為切線的傾斜角為135°，所以其斜率為－1，即2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是滿足條件的點．【即學(xué)即練18】若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1由題意可知k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，解得a＝1，又(0，b)在切線上，∴b＝1.故選A知識點5函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系若f′(x0)＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝0；若f′(x0)>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k>0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞增，且f′(x0)越大，說明函數(shù)圖象變化的越快；若f′(x0)<0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k<0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞減，且|f′x0|越大，說明函數(shù)圖象變化的越快．【即學(xué)即練19】已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB)．故選B【即學(xué)即練20】已知函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，f′（1）＝－3，則下列關(guān)于f(x)的圖象描述正確的是________．（1）f(x)的圖象在x＝1處的切線斜率大于0；（2）f(x)的圖象在x＝1處的切線斜率小于0；（3）f(x)的圖象在x＝1處位于x軸上方；（4）f(x)的圖象在x＝1處位于x軸下方．【解析】f′（1）＝－3＜0，則f(x)的圖象在x＝1處的切線斜率小于0；又f（1）＝3＞0，所以f(x)的圖象在x＝1處位于x軸上方．故答案為：（2）（3）知識點6導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)【即學(xué)即練21】求函數(shù)y＝eq\r(x＋1)(x>－1)的導(dǎo)函數(shù)．【解析】令f(x)＝eq\r(x＋1)，則f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq\f(1,2\r(x＋1)).【即學(xué)即練22】已知函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).考點一函數(shù)的平均變化率解題方略：求平均變化率的主要步驟(1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).【例1-1】如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于()A．-1 B．1 C．-2 D．2【解析】易知，，因此，故選A【例1-2】函數(shù)，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．，的大小無法確定【解析】，，故.故選：A.變式1：汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，則三者的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【解析】設(shè)直線的斜率分別為，則，，，由題中圖象知，即.故選:B變式2：某公司的盈利（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系是，假設(shè)（）恒成立，且，，則說明后10天與前10天比（）A．公司虧損且虧損幅度變大B．公司的盈利增加，增加的幅度變大C．公司虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利增加，增加的幅度變小【答案】D【解析】由（）恒成立，可知單增，即盈利增加，又平均變化率說明盈利增加的幅度變小，故選:D．【例1-3】一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h＝2t2＋2t，則：（1）前3s內(nèi)球的平均速度為________m/s；（2）在t∈[2，3]這段時間內(nèi)球的平均速度為________m/s.【答案】812【解析】第一空：由題設(shè)知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(huán)(0)＝24(m)，即平均速度為v＝＝＝8(m/s).第二空：由題設(shè)知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(huán)(2)＝12(m)，即平均速度為v＝＝12(m/s).故答案為：8；12.考點二瞬時變化率理解解題方略：求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))

eq\f(Δs,Δt).【例2-1】【多選】某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（）A．物體在時的瞬時速度為0m/s B．物體在時的瞬時速度為1m/sC．瞬時速度為9m/s的時刻是在時 D．物體從0到1的平均速度為2m/s【解析】對于A：，即物體在時的瞬時速度為3m/s，A錯誤．對于B：，即物體在時的瞬時速度為1m/s，B正確．對于C：設(shè)物體在時刻的瞬時速度為9m/s，又，所以，物體在時的瞬時速度為9m/s，C正確．對于D：，D錯誤．故選：BC變式1：某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律做直線運動，求自運動開始到4s時物體運動的平均速度和4s時的瞬時速度．【解析】自運動開始到ts時，物體運動的平均速度eq\x\to(v)(t)＝eq\f(st,t)＝3t＋2＋eq\f(4,t)，故前4s物體的平均速度為eq\x\to(v)(4)＝3×4＋2＋eq\f(4,4)＝15(m/s)．由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.eq\f(Δs,Δt)＝2＋6t＋3·Δt，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝2＋6t，當(dāng)t＝4時，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝2＋6×4＝26，所以4s時物體的瞬時速度為26m/s.變式2：一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)是關(guān)于時間t(單位：分)的函數(shù)：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)與s′(4)，并解釋它們的實際意義．【解析】當(dāng)0≤t<3時，s(t)＝3t2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),Δt)＝eq\f(31＋Δt2－3,Δt)＝6＋3Δt，∴s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(6＋3Δt)＝6.當(dāng)t≥3時，s(t)＝15＋3(t－1)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),Δt)＝eq\f(15＋34＋Δt－12－[15＋3×\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4－12)),Δt)＝18＋3Δt，∴s′(4)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.s′(1)＝6說明在第1分鐘時，該昆蟲的爬行速度為6米/分，s′(4)＝18說明在第4分鐘時，該昆蟲的爬行速度為18米/分．【例2-2】已知函數(shù)在處的瞬時變化率為，則______．【解析】由題知，，得，∴．故答案為：9考點三導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用解題方略：用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的步驟①求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求極限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).【例3-1】設(shè)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（）A． B．C． D．【解析】對于A，，A滿足；對于B，，B不滿足；對于C，，C滿足；對于D，，D不滿足.故選：AC變式1：已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(1)＝________.【解析】f′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).變式2：已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且滿足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，則函數(shù)y＝f(x)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為()A．－1B．－2C．1D．2【解析】由題意，知f′(3)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝－2.故選B變式3：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，則f′(x0)＝________.【解析】∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·－3))＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－eq\f(1,3)a.變式4：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，則f′(0)等于()A．－2B．2C．－1D．1【解析】∵f(x)圖象過原點，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1.故選C變式5：設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則等于（）A．-2 B．-1 C．2 D．1【解析】根據(jù)題意，，又由，則.故選：D.變式6：設(shè)函數(shù)在點處附近有定義，且為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)函數(shù)的定義可得選項.【詳解】解：因為為常數(shù)，所以，故選：C.【例3-2】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a＝________.【解析】因為f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx＋3－a＋3,Δx)＝a.又因為f′(1)＝3，所以a＝3.考點四導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的理解解題方略：不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個函數(shù)也不一定在所有的點上都有導(dǎo)數(shù)．若某函數(shù)在某一點導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)．然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)．【例4-1】函數(shù)y＝(x－1)2的導(dǎo)數(shù)是()A．－2 B.(x－1)2C．2(x－1) D．2(1－x)【解析】y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx))2＋2x·Δx－2Δx,Δx)＝2x－2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)).選C.變式1：若eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的導(dǎo)函數(shù)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于()A．2xB.eq\f(1,3)x3C．x2D．3x2【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2.故選C【例4-2】已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，已知f′(0)>0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為________．【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b>0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝eq\f(b,2)時等號成立．考點五利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程解題方略：求曲線過點的切線方程的方法：當(dāng)點是切點時，切線方程為；2、當(dāng)點不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標；第二步：寫出過點的切線方程為；第三步：經(jīng)點代入切線方程，求出的值；第四步：將的值代入可得過點的切線方程.注：求曲線過某點的切線方程需注意，該點不一定是切點，需另設(shè)切點坐標．（一）求曲線切線的斜率或傾斜角【例5-1】設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()A．不存在 B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直 D．與x軸斜交【解析】因為f′(x0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率為0.故選B變式1：設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線在點處切線的斜率是________.【解析】由，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可得，所以，即曲線在處的切線的斜率為.故答案為：.變式2：曲線y＝在點(1，1)處切線的斜率為（）A．1 B．－1C． D．－【解析】k＝＝＝－1.【例5-2】曲線f(x)＝eq\f(9,x)在點(3,3)處的切線的傾斜角α等于()A．45°B．60°C．135°D．120°【解析】f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,x＋Δxx)＝－eq\f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切線的傾斜角α的范圍為0°≤α<180°，所以所求傾斜角為135°.故選C變式1：已知曲線y＝eq\f(1,2)x2－2上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，則在點P處的切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．165°【解析】曲線y＝eq\f(1,2)x2－2在點P處的切線斜率為k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)1＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×12－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)Δx))＝1，所以在點P處的切線的傾斜角為45°，故選B.（二）求在曲線一點處的切線方程【例5-3】曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)定義求出在時的導(dǎo)數(shù)，即得切線斜率，點斜式寫出切線方程即可.【詳解】因為，當(dāng)時，，所以，即切線的斜率，所以切線方程為，即．故答案為：變式1：求曲線在點處的切線方程．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點處的切線的斜率k，再由直線方程的點斜式求出切線方程．【詳解】解：∵，∴，∴曲線在點P處的切線方程為，即．（三）求過一點的切線方程【例5-4】已知曲線方程為,求:（1）點處的切線方程（2）過點且與曲線相切的直線方程.【解析】(1).又點在曲線上,∴.故所求切線的斜率,故所求切線的方程為,即.(2)∵點不在曲線上,∴設(shè)切點坐標為,由(1)知,∴切線的斜率,切線方程為.又∵點在切線上,∴解得或.∴切點坐標為,.故所求切線方程為或,即或.變式1：已知函數(shù)f(x)＝x3，過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))作曲線f(x)的切線，則其切線方程為________________．【解析】設(shè)切點為Q(x0，xeq\o\al(3,0))，得切線的斜率為k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝3xeq\o\al(2,0)，切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).因為切線過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，所以2xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，從而切線方程為y＝0或3x－y－2＝0.（四）已知切線（斜率）求參數(shù)【例5-5】若拋物線f(x)＝4x2在點(x0，f(x0))處切線的斜率為8，則x0＝________.【解析】k＝.故答案為：1.變式1：曲線y＝x＋上任意一點P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是（）A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)【解析】上任意一點P(x0，y0)處的切線斜率為＝＝＝<1，即k<1.故選：C.變式2：若曲線y＝2x2－4x＋m與直線y＝1相切，則m＝________.【答案】3【分析】先設(shè)出切點坐標，進而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出切點坐標，最后代入曲線的方程解得答案.【詳解】設(shè)切點坐標為(x0，1)，由題意k＝∴x0＝1，即切點坐標為(1，1)，∴2－4＋m＝1，即m＝3.故答案為：3變式3：直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：f(x)＝x3－x2＋1相切，則a的值為________，切點坐標為________．【解析】設(shè)直線l與曲線C的切點為(x0，y0)，因為f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1,Δx)＝3x2－2x，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,3)，當(dāng)x0＝1時，f(x0)＝xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝1，又點(x0，f(x0))在直線y＝x＋a上，將x0＝1，y0＝1.代入得a＝0，與已知條件矛盾，舍去．當(dāng)x0＝－eq\f(1,3)時，f(x0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1＝eq\f(23,27).將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27)))代入直線y＝x＋a中，得a＝eq\f(32,27).變式4：已知曲線y＝f(x)＝2x2＋a在點P處的切線方程為8x－y－15＝0，則實數(shù)a的值為________．【解析】設(shè)點P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋a)．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0＋Δx2＋a－2x\o\al(2,0)＋a,Δx)＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．將x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.（五）求切點坐標【例5-6】已知曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為()A．－2B．－1C．1D．2【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.故選D變式1：已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為________．【解析】令f(x)＝2x2＋4x，設(shè)點P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，則f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．變式2：【多選】已知曲線在點P處的切線平行于直線，那么點P的坐標為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，令，即，解得，又，所以P點坐標為或．故選：BC．變式3：曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標為______．【答案】或【分析】設(shè)切點，由題意可知切線斜率為，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，列出方程即可得解.【詳解】易知曲線在點P處的切線的斜率為，設(shè)，因為，當(dāng)時，，所以，則點P的坐標為或．故答案為：或.變式4：已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值．【解析】對于曲線f(x)＝x2－1，k1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0.對于曲線g(x)＝1－x3，k2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(gx0＋Δx－gx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1－x0＋Δx3－1－x\o\al(3,0),Δx)＝－3xeq\o\al(2,0).由題意得2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，解得x0＝0或－eq\f(2,3).變式5：已知曲線y1＝2－eq\f(1,x)與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處的切線的斜率之積為3，則x0的值為()A．－2 B．1C.eq\f(1,2) D．2【解析】由題意知，y1′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy1,Δx)＝eq\f(1,x2)，y2′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy2,Δx)＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在x＝x0處的切線的斜率分別為eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2.由題意可知，eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.故選B（六）兩曲線的公切線問題【例5-7】點P在曲線f(x)＝x2＋1上，且曲線在點P處的切線與曲線y＝－2x2－1相切，求點P的坐標．【解析】設(shè)P(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(2,0)＋1，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)＋1,Δx)＝2x0，所以在點P的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－xeq\o\al(2,0)，而此直線與曲線y＝－2x2－1相切，所以切線與曲線y＝－2x2－1只有一個公共點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x\o\al(2,0)，,y＝－2x2－1，))得2x2＋2x0x＋2－xeq\o\al(2,0)＝0，則Δ＝4xeq\o\al(2,0)－8(2－xeq\o\al(2,0))＝0，解得x0＝±eq\f(2\r(3),3)，則y0＝eq\f(7,3)，所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(7,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(7,3))).考點六函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系解題方略：導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫．f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的．(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．【例6-1】已知函數(shù)f(x)滿足f′(x1)>0，f′(x2)<0，則在x1和x2附近符合條件的f(x)的圖象大致是()【解析】由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負．故選D變式1：已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是()A．f′(a)<f′(b)<f′(c)B．f′(b)<f′(c)<f′(a)C．f′(a)<f′(c)<f′(b)D．f′(c)<f′(a)<f′(b)【解析】如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c)．故選A.變式2：已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)eq\f(f2－f1,2－1)＝a，則下列不等式正確的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a(chǎn)<f′(1)<f′(2)【解析】由圖象可知，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的增長越來越快，∴f′(1)<f′(2)，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴通過作切線與割線可得f′(1)<a<f′(2)，故選B.變式3：函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確是（）A．B．C．D．【解析】由圖象可知，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，且斜率為正，，，可看作過和的割線的斜率，由圖象可知，.故選：B題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．不存在 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.【詳解】常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零．故選：A．2、已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上兩點A，B，且xA＝1，xB＝1.1，則函數(shù)f(x)從A點到B點的平均變化率為()A．4B．4xC．4.2D．4.02【解析】eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fxB－fxA,xB－xA)＝eq\f(－1.58－－2,1.1－1)＝4.2.故選C3、在附近,取,在四個函數(shù)①；②；③；④中,平均變化率最大的是__________.【解析】根據(jù)平均變化率的計算公式，可得，所以在附近取，則平均變化率的公式為，則要比較平均變化率的大小，只需比較的大小，下面逐項判定：①中，函數(shù)，則；②中，函數(shù)，則；③中，函數(shù)，則；④中，函數(shù)中,則，所以，平均變化率最大的是③．4、將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m時球的體積膨脹率為eq\f(28π,3)，則m的值為________．【解析】體積的增加量ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)＝eq\f(4π,3)(m3－1)，所以eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq\f(28π,3)，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，則f′(1)為()A．1B．－1C．2D．－2【解析】令x→0，則Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－Δx,Δx)＝f′(1)＝－1.故選B6、已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A． B． C． D．【解析】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，所以，故選：B.7、對于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(1,x2)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是________．【解析】f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由題意知，f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，從而y0＝eq\f(1,4).8、已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：（1）；（2）【解析】（1）由題意，，因為，所以.（2）由題意，，因為，所以.題組B能力提升練9、【多選】已知某物體的運動方程為s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，則（）A．該物體當(dāng)1≤t≤3時的平均速度是28B．該物體在t＝4時的瞬時速度是56C．該物體位移的最大值為43D．該物體在t＝5時的瞬時速度是70【解析】該物體在時的平均速度是，A正確.，B正確.當(dāng)時，，C錯誤.，D正確.故選：ABD10、下列說法正確的是（）．A．曲線的切線和曲線有交點，這點一定是切點B．過曲線上一點作曲線的切線，這點一定是切點C．若不存在，則曲線在點處無切線D．若曲線在點處有切線，則不一定存在【解析】對于A：曲線的切線與曲線的交點不一定唯一，如曲線在處的切線為：，即，切線與另一個交點為，故選項A說法錯誤；對于B：過曲線上一點作曲線的切線，這點不一定是切點，如與相切于點，同時經(jīng)過另一點，可以說過點的直線與曲線相切，但切點是不是，故選項B不正確；對于C：若不存在，曲線在點處可以有切線，如在時，不存在，但有切線，故選項C錯誤；對于D：由曲線在一點處有平行于軸的切線，且在該點處不連續(xù)，則不一定存在，如在時，有切線，但不存在，故選項D正確，故選：D．11、【多選】已知曲線在點P處的切線平行于直線，那么點P的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】求出曲線的導(dǎo)數(shù)，利用直線平行可得，即可求出坐標.【詳解】設(shè)，則，令，即，解得，又，所以P點坐標為或．故選：BC．12、如圖所示，函數(shù)的圖象在點P處的切線方程為，則_____．【解析】函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，，，．故答案為：．13、如圖，曲線在點P處的切線方程是，求及．【答案】3，【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及圖象得，，即得結(jié)果.【詳解】曲線在點P處的切線方程是，可知，由圖像可知．14、已知曲線在點P處的切線方程為，則切點P的坐標為______.【答案】【分析】設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的定義得，進而可以求出的值，進而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)切點，切線斜率為k，由，得.由題意可知，所以，代入得，故所求切點P為.故答案為：.15、求函數(shù)y＝f(x)＝x3－3x2＋x的圖象上過原點的切線方程．【解析】設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋1.∴切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋1)·(x－x0)．∵切線過原點，∴xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋x0＝3xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋x0，即2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，故所求切線方程為x－y＝0或5x＋4y＝0.題組C培優(yōu)拔尖練16、若一物體運動方程如下：(位移單位：m，時間單位：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．【解析】(1)因為物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間變化量為Δt＝5－3＝2，位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24m/s.(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度．因為物體在t＝0附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，所以物體在t＝0處位移的瞬時變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度v0＝－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬時速度即為物體在t＝1處位移的瞬時變化率，因為物體在t＝1附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，所以物體在t＝1處位移的瞬時變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12m/s.17、計算拋物線上任一點處的切線的斜率，并求過點的切線方程.【答案】；.【分析】根據(jù)已知條件得出與的關(guān)系，利用解決曲線過點處的切線問題進行求解即可.【詳解】因為點在拋物線上，所以，由導(dǎo)數(shù)的定義，知，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，知所以拋物線在點處的切線的斜率為，所以拋物線在的切線方程為，又在切線上，則即，于是，解得，此時切點為.斜率為，所以過點的切線方程為即.18、已知曲線f(x)＝x3在點(a，a3)(a≠0)處的切線與x軸，直線x＝a圍成的三角形的面積為eq\f(1,6)，則a＝________.【解析】∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝3x2，∴曲線f(x)＝x3在點(a，a3)處的切線斜率為f′(a)＝3a2，∴切線方程為y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.令y＝0得切線與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，0))，由題設(shè)知三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))|a3|＝eq\f(1,6)，得a＝±1.19、設(shè)曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積等于（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出曲線在點處的切線的斜率，寫出切線方程，求出直線在坐標軸上的截距，即可得解.【詳解】，所以，故在點處的切線的斜率為，切線方程為，即．令，得，令，得，所以，故選：B5.2導(dǎo)數(shù)的運算課程標準課標解讀1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.4.理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．5.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.6.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的公式、法則進行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(僅限于形如f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù))．通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要求掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，并能解決與初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的簡單問題.要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算公式，并能準確應(yīng)用公式計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能解決與導(dǎo)數(shù)運算相關(guān)的綜合問題.要求會求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能解決與之相關(guān)的切線、切點、斜率、待定參數(shù)相關(guān)的問題.知識點1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)1（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0）2f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1（熟記）3f(x)＝sinxf′(x)＝cosx4f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx5f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlna6f(x)＝exf′(x)＝ex7f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)8f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注：①對于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先轉(zhuǎn)化為f(x)＝，所以f′(x)＝.②區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征，既要從縱的方面(lnx)′與(logax)′和(ex)′與(ax)′區(qū)分，又要從橫的方面(logax)′與(ax)′區(qū)分及(ax)′與(xα)′區(qū)分，找出差異記憶公式．③公式(logax)′記不準時，可以直接用(lnx)′推導(dǎo)：(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,lna)(lnx)′＝eq\f(1,lna·x).【即學(xué)即練1】【多選】下列選項正確的是()A．y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，則y′＝2xln2D．y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2)【解析】對于A，y′＝0，故A錯；對于B，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故B正確；顯然C，D正確．故選BCD【即學(xué)即練2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.【解析】(1)y′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln

eq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3.(3)y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝eq\f(3,2)eq\r(x).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.【即學(xué)即練3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝2021；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.【解析】(1)因為y＝2021，所以y′＝(2021)′＝0.(2)因為y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝，所以y′＝.(3)因為y＝4x，所以y′＝4xln4.(4)因為y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).【即學(xué)即練4】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A．0 B．1C．2 D．4【解析】因為，所以.故選：A【即學(xué)即練5】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于（）A．4 B．－4 C．5 D．－5【解析】∵，，解得a＝4.故選：A.【即學(xué)即練6】與直線2x－y－4＝0平行且與曲線y＝lnx相切的直線方程是________．【解析】∵直線2x－y－4＝0的斜率為k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝，∴＝2，解得x＝.∴切點的坐標為.故切線方程為y＋ln2＝2.即2x－y－1－ln2＝0.故答案為：2x－y－1－ln2＝0【即學(xué)即練7】已知直線與曲線相切，則的最大值為___________.【解析】設(shè)切點為，由求導(dǎo)得，因直線與曲線相切，則，解得，則，而切點在直線上，即，于是得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以當(dāng)時，取最大值1.故答案為：1知識點2導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；證明：設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋g(x)則eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝f′(x)＋g′(x)，注：函數(shù)和與差的導(dǎo)數(shù)運算法則可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的和(或差)．即：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo)）證明：設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，G(x)＝f(x)·g(x)，eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(gx＋Δx[fx＋Δx－fx],Δx)＋eq\f(fx[gx＋Δx－gx],Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝g(x)·f′(x)＋f(x)·g′(x)．注：(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．（分子：上導(dǎo)下不導(dǎo)-上不導(dǎo)下導(dǎo)，分母變平方）注：【即學(xué)即練8】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.(3)f(x)＝x2＋sinx；(4)g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2.(5)y＝x2＋xlnx；(6)y＝eq\f(lnx,x2)；(7)y＝eq\f(ex,x)；(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．【解析】(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cosx)′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.(3)∵f(x)＝x2＋sinx，∴f′(x)＝2x＋cosx.(4)∵g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2，∴g′(x)＝3x2－3x－6.(5)y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′＝2x＋(x)′lnx＋x(lnx)′＝2x＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2x＋lnx＋1.(6)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＝eq\f(lnx′·x2－lnxx2′,x4)＝eq\f(\f(1,x)·x2－2xlnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3).(7)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq\f(ex′x－exx′,x2)＝eq\f(ex·x－ex,x2).(8)方法一y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.【即學(xué)即練9】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).【解析】(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.(2)因為y＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(3)y′＝eq\f(ex′x＋1－x＋1′ex,x＋12)＝eq\f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq\f(xex,x＋12).【即學(xué)即練10】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)f(x)＝(x2＋9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))；(4)f(x)＝eq\f(sinx,xn).【解析】(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx))′ex－cosx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).(3)f(x)＝x3＋6x－eq\f(27,x)，f′(x)＝3x2＋eq\f(27,x2)＋6.(4)f′(x)＝eq\f(sinx′xn－sinx·xn′,xn2)＝eq\f(xncosx－nxn－1sinx,x2n)＝eq\f(xcosx－nsinx,xn＋1).【即學(xué)即練11】已知函數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【解析】由，得，所以，故選：D知識點3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y