直線、平面平行的判定與性質(zhì)(要點(diǎn)歸納+夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第二節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【要點(diǎn)歸納】

一、平面的概念及表示

1.平面的概念：平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念.它沒(méi)有厚薄，是無(wú)限延展

的.

2.平面的表示方法

(1)圖形表示：平面通常用平行四邊形來(lái)表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放

置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖(如圖所示).

(2)字母表示：平面通常用希臘字母夕，y,…表示，也可?以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)

頂點(diǎn)的字母表示，如平面a、平面AC等.

3.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的符號(hào)表示

符號(hào)表

位置關(guān)系

示

點(diǎn)尸在直線A3上PSAB

點(diǎn)C不在直線A8上C牛AB

MW平面

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)

AC

A匠平面

點(diǎn)A］不在平面AC內(nèi)

AC

直線A8與直線BC交于ABCiBC

點(diǎn)8=B

48U平

直線AB在平面4C內(nèi)

面AC

M?平

直線AA］不在平面AC內(nèi)

面AC

二、平面的基本事實(shí)

1.基本事實(shí)1：

(1)內(nèi)容：經(jīng)過(guò)不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。(如圖所示)

?A

/aB*?C/

(2)符號(hào)表示：4,B,。三點(diǎn)不共線=存在唯一的平面。使A,B,CEa

(3)作用：①確定一個(gè)平面；②證明點(diǎn)、線的共面問(wèn)題；③判斷一圖形是否為平面圖形.對(duì)

于平面的確定問(wèn)題，務(wù)必分清它們的條件，對(duì)于證明幾點(diǎn)(或幾條直線)共面問(wèn)題，可先由其

中幾個(gè)點(diǎn)(或直線)確定一個(gè)平面后，再證明其他點(diǎn)(或直線)也在該平面內(nèi)即可.

2.基本事實(shí)2：

(1)內(nèi)容：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)。(如圖

所示)

(2)符號(hào)表示：AG/,BGI,且BGanlua

(3)作用：①用直線檢驗(yàn)平面；②判斷直線是否在平面內(nèi)，要證明直線在平面內(nèi)，我們

需要在直線上找到兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，那么直線就在這個(gè)平面內(nèi).

3.基本事實(shí)3：

(1)內(nèi)容：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共

直線。(如圖所示)

(2)符號(hào)表示：PRa,有PG歸aCB=l,且

(3)作用：①判斷兩平面是否相交；②證明點(diǎn)在直線上；③證明共線問(wèn)題；④證明共點(diǎn)

問(wèn)題.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的常用方法有：方法一是首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三個(gè)點(diǎn)都

是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).

三、平面的基本事實(shí)的推論

推論1經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①).

推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖②).

推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖③).

①③

四、平行直線

1.平行直線:

⑴平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

（2）平行線的傳遞性:

文字表述:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.這一性質(zhì)稱(chēng)為空間平行線的傳遞性.

a//b

符號(hào)表述：W=^b//c.

2.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那

么這兩個(gè)角相等.

五、異面直線

1.異面直線的定義：異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。既不相交又不平

行的直線.（畫(huà)法如圖所示）

2.異面直線的判定：與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線異

面.

3.空間兩條直線的位置關(guān)系

（共面|相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

《直線［平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

〔異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

六、空間四邊形

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)直線。在平面a直線。與平面。相直線a與平面a平

系內(nèi)交行

有且只有一個(gè)公共

公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)

點(diǎn)

符號(hào)表

acaaC\a=Aa//a

示

_____a

圖形表

示/\</4__/

八、直線與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理

1.直線與平面平行的判定定理

(1)內(nèi)容：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條更線平行，那么這條直線和這個(gè)平

面平行。(如圖所示)

IQa,

(2)符號(hào)表示：wca,

l//m,

(3)對(duì)于直線與平面平行的判定定理的理解

①定理可簡(jiǎn)記為“線線平行，則線面平行”.

②用該定理證明直線a與平面。平行時(shí)，三個(gè)條件：ada,bua,缺一不可.

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理

(1)內(nèi)容：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么

這條直線就和交線平行。(如圖所示)

l//a,

(2)符號(hào)表示：

(3)對(duì)于直線與平面平行的性質(zhì)定理的理解

①定理可簡(jiǎn)記為“線面平行，則線線平行

②定理中有三個(gè)條件：直線4〃平面直線4U平面夕，acp=b,這三個(gè)條件缺??不

可.

九、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

兩個(gè)平面的位置關(guān)系

十、平面與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理

1.平面與平面平行的判定定理

⑴內(nèi)容：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平

行。(如圖所示)

/xz

a

lua,mud\

⑵符號(hào)表示：〉=a〃4

l〃B，m//p\

(3)作用：證明兩平面平行.

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理

(1)內(nèi)容：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。(如圖所示)

a//p、

(2)符號(hào)表示：?Ay=/>=a〃6

pC\y=m

(3)作用：證明兩直線平行.

(4)推論：兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

【夯實(shí)基礎(chǔ)練】

1.(2022?云南師大附中模擬)若a,夕是兩個(gè)不同平面，〃i,〃是兩條不同直線，則下

列4個(gè)推斷中正確的是()

A.m//a,tn//P,nua,nu00ni〃n

B.mua,〃u/，a〃/=>/w〃〃

C.tn//a?nilamu。，〃u￡na〃￡

D.，〃ua,〃u/7,6〃〃〃/7

【解析】對(duì)于A,如圖，〃ua,nu0=acp=n,結(jié)合m\,可知

m//n,故A正確;

對(duì)于B,如圖，in,n

對(duì)于C,如圖，a,/可能相交，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,如圖，a,夕可能相交，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【答案】A

2.（2022?廣東廣州三模）一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示,其中四邊形ABCD為正方形,

瓦F分別為PRPC的中點(diǎn)，在此幾何體中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線AE與直線8/異面

B.直線AE與直線。歹異面

C.直線所，平面尸4。

D.宜線所〃平面A3CO

【解析】由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接

AE,EF,BF,DF,易得EF//BC,8C〃AO,則成〃A￡>,故EF,AD共面，則AE,DF

共面，故B錯(cuò)誤；又尸￡面AEED,32面AEFZ）,尸不在直線AE上，則直線4E1與

直線8尸異面，A正確：

由E尸〃A。，石產(chǎn)仁平面PAO,AOu平面尸AO,則直線即/平面尸AO,C正

EF<z平面ABCD,"><=平面48。。，則直線所，平面A3CD,D正確.

故選：B.

F

【答案】B

3.（2022?四川內(nèi)江模擬）如圖，在直三棱柱ABC-44G中，次7_1_面476；4,

CA=CC,=2CB,則直線與直線夾角的余弦值為（）

5GAB｝

2五非有3

\?B.C-D?一

5355

【解析】連接C4交BG于。，若E是AC的中點(diǎn)，連接由43。一4出￡

為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：力是。與的中點(diǎn)，所以故直線8G與

直線從用夾角，即為EO與3G的夾角NBZ組或補(bǔ)角，若3C=1,則CE=1,

BD=CD=$,BC_L面ACGA，ECu面ACGA，則C3_LCE,而EC_LCG，

又BCriCG=C,BC,CGu面BCCM，故ECJL面5CG用，乂CDu面旦，

所以CE_LC￡>.所以ED=JCD2+CE2=」,BE=」CS+CE=垃,在△BOE中

2

59

BD2+ED2-BE24+42

cosZ.BDE=--------------------------=—―^=r—.故選：C

2BDED^755

2x——

2

Bfl

【答案】C

4.（2022?黑龍江哈師大附中高三期末）如圖，在正三棱柱A8O48G中，48=44產(chǎn)2,

M、N分別是58和SG的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）

.2

【解析】作8C的中點(diǎn)E,連接用E,作BE的中點(diǎn)尸，連接M/、A.F,即

為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得4七="77=石，則乎，

4M=亞仔=有，由余弦定理得從/=j22+（」］-2x2xlxcos600=—,在

VUj22

△AMF中，有余弦定理可知4尸=AM2+MF2-lAMMFcosZAMF,即

—=5+--2x^/5x^xcosZAMF,解得cosNAM/故選：D.

【答案】D

5.（2022?河南省杞縣高中模擬）如圖，在三棱柱ABC—A4G中，平面ABC,

ZACB=90°,BC=AA,=百，AC=1,則異面直線AC】與所成角的余弦值為（）

V25/6八62石

I.----B.----C.----D.------

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