2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之函數(shù)應(yīng)用

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之函數(shù)應(yīng)用一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州模擬）設(shè)方程的兩根為，，則A．， B． C． D．2．（2024?合肥模擬）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為（單位：天），鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為，．開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則，滿足的關(guān)系式為A． B． C． D．3．（2024?長(zhǎng)沙模擬）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：A．72 B．74 C．76 D．784．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是時(shí)間，以年為單位．若按照關(guān)系式推算，經(jīng)過年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為A．584 B．574年 C．564年 D．554年5．（2024?上海）現(xiàn)定義如下：當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（1）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立6．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細(xì)菌引起的，已知某細(xì)菌是以簡(jiǎn)單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長(zhǎng)到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：A．3小時(shí) B．4小時(shí) C．5小時(shí) D．6小時(shí)7．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．，， B． C． D．8．（2024?遼寧二模）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則A． B． C． D．9．（2024?寧夏四模）保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁．某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．10．（2024?西安模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，則正確的是A．的定義域?yàn)?B．是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)的零點(diǎn)為0 D．當(dāng)時(shí)，的最大值為12．（2024?袁州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，則A．若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則 B．當(dāng)時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn) C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是 D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)椋?C．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 D．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，2，，，則的取值范圍是14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則A． B． C． D．15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)三．填空題（共5小題）16．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則．17．（2024?湖北模擬）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．18．（2024?湖北模擬）關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為．19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處才能使水管費(fèi)用最?。?0．（2024?天津模擬）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四．解答題（共5小題）21．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關(guān)系如下表表1未成年男性的身高與體重平均值身高60708090100110120130140150160170體重平均值6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關(guān)系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．表2擬合函數(shù)對(duì)比函數(shù)模型函數(shù)解析式誤差平方和指數(shù)函數(shù)6.67640.9976二次函數(shù)8.26050.9971冪函數(shù)74.68460.9736（1）問哪種模型是最優(yōu)模型？并說明理由；（2）若根據(jù)生物學(xué)知識(shí)，人體細(xì)胞是人體結(jié)構(gòu)和生理功能的基本單位，是生長(zhǎng)發(fā)育的基礎(chǔ)．假設(shè)身高與骨細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時(shí)刻的未成年時(shí)期骨細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)骨細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率，記時(shí)刻的未成年時(shí)期肌肉細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)肌肉細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率．求體重關(guān)于身高的函數(shù)模型；（3）在（2）的條件下，若，．當(dāng)剛出生的嬰兒身高為時(shí)，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實(shí)際情況更符合，試說明理由．注：，；嬰兒體重，符合實(shí)際，嬰兒體重，較符合實(shí)際，嬰兒體重，不符合實(shí)際．22．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于區(qū)間，，若滿足以下兩個(gè)性質(zhì)之一，則稱區(qū)間是的一個(gè)“好區(qū)間”．性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個(gè)“好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對(duì)于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個(gè)“好區(qū)間”．23．（2024?北京模擬）如圖，某大學(xué)將一矩形操場(chǎng)擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形操場(chǎng)，要求在上，在上，且在上．若米，米，設(shè)米．（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最??？并求出最小面積．24．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，米，廣場(chǎng)的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅（寬度不計(jì)），點(diǎn)在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為元，單人弧形椅的造價(jià)每米為元，記銳角，總造價(jià)為元．（1）試將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，能使總造價(jià)最?。?5．（2024?寶山區(qū)三模）中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)．在中國(guó)，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是名種民俗活動(dòng)的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對(duì)角線長(zhǎng)為為常數(shù)），從中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片，使得點(diǎn)，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形紙片的邊長(zhǎng)（結(jié)果用表示）；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最大值及對(duì)應(yīng)的值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之函數(shù)應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州模擬）設(shè)方程的兩根為，，則A．， B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【專題】構(gòu)造法；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】問題轉(zhuǎn)化為，為的兩根，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)榈膬筛鶠?，即為的兩根，令，，則（1），（3），，因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；因?yàn)?，得，由可得，故，正確；所以，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)范圍求解中的應(yīng)用，還考查了零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2024?合肥模擬）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為（單位：天），鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為，．開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則，滿足的關(guān)系式為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【解答】解：設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的生活中的實(shí)際運(yùn)用，考查了指數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?長(zhǎng)沙模擬）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：A．72 B．74 C．76 D．78【答案】【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，先求出，令，再結(jié)合對(duì)數(shù)公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，，解得，由題意可知，，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握對(duì)數(shù)公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是時(shí)間，以年為單位．若按照關(guān)系式推算，經(jīng)過年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為A．584 B．574年 C．564年 D．554年【答案】【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由題意得，解不等式即可．【解答】解：由題意可得，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2024?上海）現(xiàn)定義如下：當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（1）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；方程思想；數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)題意，對(duì)于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得①錯(cuò)誤，對(duì)于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，對(duì)于①，對(duì)于，，則是周期為1的周期函數(shù)，其值域?yàn)?，因?yàn)?，與不會(huì)有無窮個(gè)交點(diǎn)，所以（1）錯(cuò)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，存在使得直線可以與在區(qū)間的函數(shù)部分重合，因而有無窮個(gè)交點(diǎn)，所以（2）正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細(xì)菌引起的，已知某細(xì)菌是以簡(jiǎn)單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長(zhǎng)到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：A．3小時(shí) B．4小時(shí) C．5小時(shí) D．6小時(shí)【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】設(shè)大約需要分鐘，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：設(shè)大約需要分鐘，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，所以，所以，所以大約需要小時(shí)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．7．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．，， B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】作出函數(shù)的圖象，方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．討論，且時(shí)，與的位置關(guān)系，結(jié)合直線和曲線相切的條件，求得，以及直線經(jīng)過點(diǎn)，，可得的取值范圍；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，可得結(jié)論．【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如右圖：方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．，的圖象恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與相切，設(shè)切點(diǎn)為，，可得，且，可化為，設(shè)，，可得，在遞增，且，則，，此時(shí)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，又的圖象經(jīng)過，可得，即有，則時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，即有，解得，由，可得，由與相切，可得△，解得舍去），由圖象可得，時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)．綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的關(guān)系，以及直線和曲線相切的條件，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?遼寧二模）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)的零點(diǎn)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；邏輯推理；數(shù)形結(jié)合【分析】由三個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與函數(shù)，，的交點(diǎn)，再通過數(shù)形結(jié)合得到，，的大小關(guān)系．【解答】解：令，則，令，則，令，可得，如圖所示：可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?寧夏四模）保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁．某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】運(yùn)算求解；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案．【解答】解：因?yàn)榍?個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即，所以，再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為，所以廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)的基本運(yùn)算，也考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，屬于中檔題．10．（2024?西安模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)思想【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點(diǎn)情況，進(jìn)而確定方程解的情況．【解答】解：由已知，則，所以函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期4，又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，過定點(diǎn)，可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域?yàn)?，，關(guān)于的方程至少有兩解，可得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：可知當(dāng)時(shí)，，解得，即，，當(dāng)時(shí)，，解得，即，，綜上所述，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，則正確的是A．的定義域?yàn)?B．是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)的零點(diǎn)為0 D．當(dāng)時(shí)，的最大值為【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)的奇偶性；基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列式求出的定義域，從而判斷出項(xiàng)的正誤；由函數(shù)奇偶性的定義，判斷出的奇偶性，從而判斷出項(xiàng)的正誤；求出方程的根，從而判斷出項(xiàng)的正誤；當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求出的最大值，從而判斷出項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于，函數(shù)的自變量滿足，解得，故的定義域?yàn)?，可知?xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故項(xiàng)不正確；對(duì)于，，可知的根為，即函數(shù)的零點(diǎn)為，故項(xiàng)不正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，最大值為（3），故項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的定義域與奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)的求法、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．12．（2024?袁州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，則A．若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則 B．當(dāng)時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn) C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是 D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【專題】直觀想象；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】作出的圖象，由有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象，可判斷；由，令，得到，求得，結(jié)合圖象，可判斷；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得到，進(jìn)而判斷正確；由，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可判定正確．【解答】解：由函數(shù)，可得，作出的圖象，如圖所示：對(duì)于中，由，可得，若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象知或，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中，當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則有，可得，結(jié)合圖象知，有3個(gè)不等實(shí)根，有2個(gè)不等實(shí)根，沒有實(shí)根，所以有5個(gè)不同的零點(diǎn)，所以正確；對(duì)于中，若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則，且，則，由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，則，結(jié)合知，所以，，所以的取值范圍為，所以正確；對(duì)于中，由，其中，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以的取值范圍為，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)椋?C．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 D．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，2，，，則的取值范圍是【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【專題】對(duì)應(yīng)思想；分類討論；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直觀想象；綜合法【分析】對(duì)于，判斷是否成立，即可判斷；對(duì)于，分、去絕對(duì)值，即可判斷；對(duì)于，分、求解即可；對(duì)于，由題意可得或，有4個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，列出不等式組，可得的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性求解即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上得，正確；當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，所以方程在上的前7個(gè)實(shí)根分別為，所以，正確；由，即，或，得或，所以有4個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，所以，所以，設(shè)，則，，所以，所以的取值范圍是，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征依次判斷即可．【解答】解：函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如下，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，又點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知，故選項(xiàng)正確；，，，，即選項(xiàng)正確；易知，，，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；邏輯推理；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】做出函數(shù)的大致圖象，問題轉(zhuǎn)化為與這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．【解答】解：分別令函數(shù)，，即，，它們的根為分別與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出和的大致圖象，如圖所示：由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，正確；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則2．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應(yīng)用【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；運(yùn)算求解【分析】由題意可知當(dāng)時(shí)，，從而得當(dāng)時(shí)，有最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，易知此時(shí)，，且在，上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，令，則有，，當(dāng)，即時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不能取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，解得，又因?yàn)?，所以．故答案為?．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．17．（2024?湖北模擬）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為，．【答案】，．【考點(diǎn)】其他不等式的解法；分段函數(shù)的應(yīng)用【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，，綜上：的解集為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．18．（2024?湖北模擬）關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；基本不等式及其應(yīng)用【專題】直線與圓；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；方程思想；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】將方程轉(zhuǎn)化為求直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離的最小值，利用點(diǎn)到線的距離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．【解答】解：設(shè)方程的實(shí)根為，則，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，，設(shè)，，則，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而（1），的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及點(diǎn)到線的距離公式，屬于中檔題．19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處20才能使水管費(fèi)用最?。敬鸢浮?0．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；直觀想象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，通過適當(dāng)設(shè)定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)，求出最值，可確定供水站的位置．【解答】解：根據(jù)題意可知點(diǎn)在線段上某一適當(dāng)位置時(shí)，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)點(diǎn)距點(diǎn)，則，，，又設(shè)總的水管費(fèi)用為元，由題意得，令，解得，在上，只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，函數(shù)在處取得最小值，此時(shí)，故供水站建在岸邊、之間距甲廠處，能使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最?。蚀鸢笧椋?0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．20．（2024?天津模擬）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．【答案】，，．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分別畫出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，說明的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，通過斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在，上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則△，得（舍去，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，所以當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在，上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則△，得（舍去，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符．綜上所述，，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于難題．四．解答題（共5小題）21．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關(guān)系如下表表1未成年男性的身高與體重平均值身高60708090100110120130140150160170體重平均值6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關(guān)系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．表2擬合函數(shù)對(duì)比函數(shù)模型函數(shù)解析式誤差平方和指數(shù)函數(shù)6.67640.9976二次函數(shù)8.26050.9971冪函數(shù)74.68460.9736（1）問哪種模型是最優(yōu)模型？并說明理由；（2）若根據(jù)生物學(xué)知識(shí)，人體細(xì)胞是人體結(jié)構(gòu)和生理功能的基本單位，是生長(zhǎng)發(fā)育的基礎(chǔ)．假設(shè)身高與骨細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時(shí)刻的未成年時(shí)期骨細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)骨細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率，記時(shí)刻的未成年時(shí)期肌肉細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)肌肉細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率．求體重關(guān)于身高的函數(shù)模型；（3）在（2）的條件下，若，．當(dāng)剛出生的嬰兒身高為時(shí)，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實(shí)際情況更符合，試說明理由．注：，；嬰兒體重，符合實(shí)際，嬰兒體重，較符合實(shí)際，嬰兒體重，不符合實(shí)際．【答案】（1）指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；理由見解析；（2）；（3）（2）中冪函數(shù)模型更適合，理由見解析．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；函數(shù)思想【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)比較指數(shù)函數(shù)模型誤差平方和以及的大小，即得結(jié)論；（2）根據(jù)身高與骨細(xì)胞數(shù)量以及體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量的關(guān)系，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得答案；（3）分別計(jì)算出兩種模型函數(shù)下的嬰兒體重，比較大小，即得結(jié)論．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)模型誤差平方和最小，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)模型最大，所以指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以體重關(guān)于身高的函數(shù)模型為；（3）把代入，得，不符合實(shí)際，把，代入得，把代入，得，符合實(shí)際，所以（2）中冪函數(shù)模型更適合．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．22．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于區(qū)間，，若滿足以下兩個(gè)性質(zhì)之一，則稱區(qū)間是的一個(gè)“好區(qū)間”．性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個(gè)“好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對(duì)于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個(gè)“好區(qū)間”．【答案】（1），是，，不是；（2）；（3）證明見解析．【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；分類討論；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由“好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)“好區(qū)間”的定義可判斷出上滿足性質(zhì)②，再由，，，求解即可；（3）由題意可得在任意區(qū)間，上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于，從而可得在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，且在上單調(diào)遞減，即有即存在，分，，證明即可．【解答】解：（1），當(dāng)，時(shí)，，，滿足性質(zhì)①，所以，是的“好區(qū)間”；當(dāng)，時(shí)，，，既不滿足性質(zhì)①，也不滿足性質(zhì)②，所以，不是的“好區(qū)間”；（2），03012單調(diào)遞減極小值3單調(diào)遞增若在區(qū)間，上滿足性質(zhì)①，則，，，而，，，所以在區(qū)間，上不滿足性質(zhì)①若在區(qū)間上滿足性質(zhì)②，當(dāng)時(shí)，（3），所以，，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?），所以不符合；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）證明：因?yàn)槿我?，都有（a）（b）．所以在任意區(qū)間，上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于，即在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，因?yàn)閷?duì)于任意，都有（a）（b），所以在上單調(diào)遞減，所以不恒成立，即存在，若，取，則（a）（b），在區(qū)間，上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，所以，是一個(gè)“好區(qū)間”；若，取，則（b）（a），在區(qū)間，上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，，是一個(gè)“好區(qū)間”；所以存在“好區(qū)間”；記，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減；又圖像是一條連續(xù)的曲線，所以圖像也是一條連續(xù)的曲線，先證明有零點(diǎn)，設(shè)，若，則有零點(diǎn)為，若，則，，，在區(qū)間上有零點(diǎn)；若，則，，，在區(qū)間上有零點(diǎn)；所以必有零點(diǎn)，記為，即的“好區(qū)間”都滿足性質(zhì)②，所以不屬于任意一個(gè)“好區(qū)間”．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、分類討論思想，理解定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．23．（2024?北京模擬）如圖，某大學(xué)將一矩形操場(chǎng)擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形操場(chǎng)，要求在上，在上，且在上．若米，米，設(shè)米．（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最??？并求出最小面積．【答案】（1）或；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為40米時(shí)，矩形的面積最小為2400平方米．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式【分析】（1）因?yàn)?，，所以，然后求解即可；?）由（1）知，得解．【解答】解：（1）因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，所以，所以，即，又，則或，即的取值范圍是或；（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為40米時(shí)，矩形的面積最小為2400平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題．24．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，米，廣場(chǎng)的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅（寬度不計(jì)），點(diǎn)在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為元，單人弧形椅的造價(jià)每米為元，記銳角，總造價(jià)為元．（1）試將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，能使總造價(jià)最?。敬鸢浮浚?）；（2）米．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】整體思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題【分析】（1）總造價(jià)由兩部分組成，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得，而切線長(zhǎng)需構(gòu)造直角三角形或借助坐標(biāo)求解，最后由線段長(zhǎng)為正，可得的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定極值點(diǎn)，即最值點(diǎn)即可得答案．【解答】（1）解：過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，在中，，則，在中，，則，由題意易得，所以，；（2），令，得，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為，此時(shí)，所以當(dāng)米時(shí)，能使總造價(jià)最?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?寶山區(qū)三模）中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)．在中國(guó)，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是名種民俗活動(dòng)的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對(duì)角線長(zhǎng)為為常數(shù)），從中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片，使得點(diǎn)，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形紙片的邊長(zhǎng)（結(jié)果用表示）；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最大值及對(duì)應(yīng)的值．【答案】（1）；（2），．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，計(jì)算得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案．（2）確定，，計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案．【解答】解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，則，，，即，整理得到，當(dāng)時(shí)，．（2），，，則，，，則，令，在，上單調(diào)遞減，故，故的最大值為，此時(shí)，，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．其他不等式的解法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對(duì)數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會(huì)指數(shù)和指數(shù)，對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個(gè)綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時(shí)，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時(shí)，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個(gè)題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會(huì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個(gè)比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．3．函數(shù)的定義域及其求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零．⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占?，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．4．函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點(diǎn)撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時(shí)，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)是?？键c(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識(shí)點(diǎn)未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個(gè)參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．5．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．6．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．7．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】8．函數(shù)的零點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點(diǎn)．即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；③計(jì)算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)（2）～（4）【命題方向】零點(diǎn)其實(shí)并沒有多高深，簡(jiǎn)單的說，就是某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個(gè)零點(diǎn)．這個(gè)考點(diǎn)屬于了解性的，知道它的概念就行了．9．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個(gè)c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個(gè)等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．10．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．11．函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問題．【解題方法點(diǎn)撥】﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)．﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．﹣綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實(shí)際問題．【命題方向】常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運(yùn)用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．12．分段函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】分段函數(shù)顧名思義指的是一個(gè)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個(gè)在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價(jià)，購(gòu)物的時(shí)候買的商品的量不同，商品的單價(jià)也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實(shí)際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時(shí)常會(huì)以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對(duì)外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當(dāng)?shù)卣_始對(duì)該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件元，預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對(duì)該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡(jiǎn)得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時(shí)，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬元時(shí)，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當(dāng)稅率為2%時(shí)，廠家銷售金額最大．這個(gè)典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個(gè)與分不分段其實(shí)無關(guān)．我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對(duì)的函數(shù)表達(dá)式；第二注意求的是整個(gè)一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實(shí)分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個(gè)圖來解答．13．根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．實(shí)際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點(diǎn)撥】用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，針對(duì)具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實(shí)際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義和題目的要求，給出實(shí)際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過利潤(rùn)的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗(yàn)證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x＞600時(shí)，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當(dāng)x＝1000時(shí)，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當(dāng)x＝400時(shí)，y＞5不滿足公司要求；故選C點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是一一驗(yàn)證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件服裝的售價(jià)定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？（