2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練9

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練9一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級模擬）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為A．30 B．31 C．29 D．322．（2024?平谷區(qū)模擬）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值A(chǔ)．有且僅有1個值 B．有且僅有2個值 C．有且僅有3個值 D．有無數(shù)多個值3．（2024?山東一模）將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則A． B． C． D．4．（2024?浦東新區(qū)二模）設(shè)，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點(diǎn)的個數(shù)，2，，，則有以下兩個結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤5．（2024?臨潼區(qū)二模）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．1526．（2024?昌平區(qū)模擬）已知數(shù)列滿足，，，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列論斷中錯誤的是A． B． C．非零常數(shù)，，使得 D．，都有7．（2024?張家口三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則A． B． C． D．8．（2024?南昌三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的值不可能是A．1 B．2 C．3 D．159．（2024?東城區(qū)校級三模）已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，記，，為等差數(shù)列；：對任意自然數(shù)，，，為等差數(shù)列，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件10．（2024?茂名模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，成等差數(shù)列，則的值為A．3 B．9 C．10 D．13二．多選題（共5小題）11．（2024?渝北區(qū)校級模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，其中，則A．為單調(diào)遞減數(shù)列 B． C． D．12．（2024?武進(jìn)區(qū)校級一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，的公差為，則A． B． C．若為等差數(shù)列，則 D．若為等差數(shù)列，則13．（2024?貴陽模擬）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和 C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列14．（2024?玄武區(qū)校級模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是A．是等差數(shù)列 B．，，成等差數(shù)列，公差為 C．當(dāng)或時，取得最大值 D．時，的最大值為3315．（2024?山東模擬）已知數(shù)列中，，則A．的前10項(xiàng)和為 B．的前100項(xiàng)和為100 C．的前項(xiàng)和 D．的最小項(xiàng)為三．填空題（共5小題）16．（2024?寧化縣校級一模）已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為．17．（2024?開福區(qū)校級三模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則．18．（2024?浙江模擬）設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列，，，滿足，．設(shè)為，，，這19個數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個數(shù)，則的最大值為，使得取到最大值的數(shù)列的個數(shù)為．19．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有對．20．（2024?遼寧模擬）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是與的等差中項(xiàng)，則；設(shè)，若對，使得恒成立，則的取值范圍為．四．解答題（共5小題）21．（2024?淅川縣校級三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且為等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024?東湖區(qū)校級一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對于任意，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．（2024?回憶版）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．24．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．25．（2024?朝陽區(qū)二模）設(shè)為正整數(shù)，集合，，，，，，，2，，．對于，，，，設(shè)集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，寫出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，滿足，令，，，，求證：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求證：，2，，．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練9參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級模擬）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為A．30 B．31 C．29 D．32【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得，從而可得數(shù)列的前5項(xiàng)和．【解答】解：依題意知，公比，，即，解得：或（舍去），，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，求得公比為2是關(guān)鍵，屬于中檔題．2．（2024?平谷區(qū)模擬）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值A(chǔ)．有且僅有1個值 B．有且僅有2個值 C．有且僅有3個值 D．有無數(shù)多個值【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】綜合法；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，求得，，運(yùn)用分類討論思想解不等式可得所求取值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，可得，，解得，，則，，，即，當(dāng)為奇數(shù)時，時成立，其余都不成立；當(dāng)為偶數(shù)時，，不等式左邊小于0，不等式不成立；時，不等式左邊，不等式不成立；時，不等式的左邊，不等式不成立；時，不等式的左邊，不等式不成立；其余的偶數(shù)，也都不成立．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分類討論思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2024?山東一模）將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列與三角函數(shù)的綜合【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡方程，并求值，判斷以，重復(fù)循環(huán)出現(xiàn)，且，，，計算可得所求和．【解答】解：，即為，即，所以或，，即或，，而，所以，，，，所以，，，，后面的值都是以，重復(fù)循環(huán)出現(xiàn)，且，，，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合，以及三角函數(shù)的化簡和求值、數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．（2024?浦東新區(qū)二模）設(shè)，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點(diǎn)的個數(shù)，2，，，則有以下兩個結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合題；函數(shù)思想；邏輯推理【分析】對于①，列舉驗(yàn)證，對于②，列舉驗(yàn)證．【解答】解：當(dāng)時，，此時，，此時，，此時，故存在，使為常數(shù)列；①正確；設(shè)，則有個零點(diǎn)1，2，3，，，則在，，，的每個區(qū)間內(nèi)各至少一個零點(diǎn)，故至少有個零點(diǎn)，因?yàn)槭且粋€次函數(shù)，故最多有個零點(diǎn)，因此有且僅有個零點(diǎn)，同理，有且僅有個零點(diǎn)，，有且僅有個零點(diǎn)，故，所以是公差為的等差數(shù)列，故②正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于中檔題．5．（2024?臨潼區(qū)二模）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．152【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】轉(zhuǎn)化法；綜合題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由題意對所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行賦值，得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組確定首項(xiàng)和公比的值，然后結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得的值．【解答】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則當(dāng)時，，即，①當(dāng)時，，即，②聯(lián)立①②，可得，解得，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．6．（2024?昌平區(qū)模擬）已知數(shù)列滿足，，，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列論斷中錯誤的是A． B． C．非零常數(shù)，，使得 D．，都有【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【分析】由數(shù)列的遞推式，計算和，可判斷；由數(shù)列的遞推式推得時，，計算可判斷，再由排除法可得結(jié)論．【解答】解：由，，，可得，，故正確；由，，，，，，，，，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即時，，則，都有，故正確；由排除法，可得錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．7．（2024?張家口三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列求和的其他方法【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由數(shù)列的遞推式推得當(dāng)為奇數(shù)時，，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合遞推式可得，，由數(shù)列的并項(xiàng)求和，計算可得所求和．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)為奇數(shù)時，，可得，即，可得，即有，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?南昌三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的值不可能是A．1 B．2 C．3 D．15【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由時，，推得，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合排除法可得結(jié)論．【解答】解：由，，可得時，，可得，化為，即，或，若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，可得，故成立；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，可得，故成立；數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，0，1，2，可得，故成立；由排除法可得不可能成立．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．9．（2024?東城區(qū)校級三模）已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，記，，為等差數(shù)列；：對任意自然數(shù)，，，為等差數(shù)列，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)條件得出命題，均等價于，再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果．【解答】解：為命題，，成等差數(shù)列，所以，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，且公比不為1，所以，整理得到，又命題，，成等差數(shù)列，所以，即，整理得到，所以是的充要條件，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?茂名模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，成等差數(shù)列，則的值為A．3 B．9 C．10 D．13【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】34：方程思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，，化為，．解得，再利用求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，滿足，，成等差數(shù)列，，，，．解得．則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?渝北區(qū)校級模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，其中，則A．為單調(diào)遞減數(shù)列 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列遞推式【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，放縮法證明不等式逐個選項(xiàng)分析即可．【解答】解：對于，需要考慮數(shù)列的單調(diào)性，即判斷與的大小關(guān)系，由題意可得，令，定義域?yàn)?，，令，，?dāng)時，此時恒成立，故在上單調(diào)遞減，，也可得，即，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故正確；顯然，故錯誤；對于，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數(shù)得，又易知，化簡得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調(diào)遞增，且，故，即恒成立，故得證，故正確；對于，由可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的求和，解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合放縮法證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．12．（2024?武進(jìn)區(qū)校級一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，的公差為，則A． B． C．若為等差數(shù)列，則 D．若為等差數(shù)列，則【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，等差數(shù)列的定義檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，故不正確；因?yàn)?，所以，故正確；因?yàn)?，為等差?shù)列，所以，故不正確；由題可知，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2024?貴陽模擬）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和 C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由數(shù)列的遞推式推得，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可判斷；由與的關(guān)系，可判斷；由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可判斷．【解答】解：由，，可得，即有，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，則，即，故正確；由時，，對不成立，故錯誤；由，，，，故數(shù)列不為等比數(shù)列，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2024?玄武區(qū)校級模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是A．是等差數(shù)列 B．，，成等差數(shù)列，公差為 C．當(dāng)或時，取得最大值 D．時，的最大值為33【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】根據(jù)已知得出數(shù)列是一個等差數(shù)列，求出．根據(jù)，的關(guān)系求出的表達(dá)式，根據(jù)定義即可判斷項(xiàng)；求出公差，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可判斷；由，求解即可得出的值，判斷項(xiàng)；根據(jù)的表達(dá)式，求解不等式，即可判斷項(xiàng)．【解答】解：對于項(xiàng)，由已知可得，數(shù)列是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，，所以，所以是等差數(shù)列，故項(xiàng)正確；對于項(xiàng)，設(shè)的公差為，由知，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，故項(xiàng)錯誤；對于項(xiàng)，因?yàn)椋援?dāng)或時，取得最大值，故正確；對于項(xiàng)，由，可得，所以時，的最大值為33，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的遞推式，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．15．（2024?山東模擬）已知數(shù)列中，，則A．的前10項(xiàng)和為 B．的前100項(xiàng)和為100 C．的前項(xiàng)和 D．的最小項(xiàng)為【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的求和【專題】綜合法；整體思想；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】．由，利用錯位相減法求解判斷；．由，利用幷項(xiàng)求和判斷；．由，利用裂項(xiàng)相消法求解判斷；．由，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷．【解答】解：對于．易知，則，則，兩式相減得，，則，故錯誤；對于．易知，則其前100項(xiàng)和為，故正確；對于．，則，故正確；對于．易知，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小項(xiàng)為，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了錯位相減法及裂項(xiàng)求和法，屬中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?寧化縣校級一模）已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為13．【答案】13．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】先研究的單調(diào)性，可得，從而可求正整數(shù)的最大值．【解答】解：設(shè)，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，即，故，故，所以即，而，，故正整?shù)的最大值為13，故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，以及根據(jù)題設(shè)中的不等式的形式構(gòu)建新函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．17．（2024?開福區(qū)校級三模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則2．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，結(jié)合數(shù)列周期性分析求解．【解答】解：由題意可知：的定義域?yàn)椋?，即，可知為定義在上的奇函數(shù)；且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)．因?yàn)椋瑒t，可得，即，由可知：3為數(shù)列的周期，則，且，所以．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，還考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題．18．（2024?浙江模擬）設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列，，，滿足，．設(shè)為，，，這19個數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個數(shù)，則的最大值為18，使得取到最大值的數(shù)列的個數(shù)為．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【專題】壓軸題；分類討論；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】第一個空，根據(jù)題意可知，當(dāng)數(shù)列，，，滿足被3除余1和被3除余2的數(shù)相間時，最大，即可求出結(jié)果；第二個空，由，，可得這40個數(shù)中，共有27個數(shù)符合模3余1或模3余2，則要從這27個數(shù)中選出滿足要求的20個數(shù)，先在到這20個數(shù)中刪去一個數(shù)（后面再加回來），使得剩下的19個數(shù)滿足任意相鄰數(shù)一個模3余1，一個模3余2，需要刪去的8個數(shù)應(yīng)該為4組相鄰的數(shù)；用捆綁法，即從27個數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價于從23個數(shù)中刪去4個數(shù)，利用排列組合的思想：分兩端都刪去，兩端均不刪和兩端中有一個被刪去3類情況討論，即可求出結(jié)果．【解答】解：第一個空，由，，且為嚴(yán)格遞增數(shù)列，為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個模3余1，一個模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會被3整除，而，，均為模3余1，則不可能有19組上述組別，最多出現(xiàn)18組上述組別，如嚴(yán)格遞增數(shù)列1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，17，19，20，22，23，25，26，28，40，滿足題意，所以的最大值為18．第二個空，因?yàn)檫@40個數(shù)中，共有27個數(shù)符合模3余1或模3余2，則要從這27個數(shù)中選出滿足要求的20個數(shù)．第一步，在到這20個數(shù)中刪去一個數(shù)（后面再加回來），使得剩下的19個數(shù)滿足任意相鄰數(shù)一個模3余1，一個模3余2，這樣就形成了18組，即使得的最大值為18；第二步，將這27個數(shù)從小到到大排列，需要刪去8個數(shù)得到目標(biāo)19個數(shù)的數(shù)列，它們中任意相鄰兩數(shù)一個模3余1，一個模3余2，因此，需要刪去的8個數(shù)應(yīng)該為4組相鄰的數(shù)；第三步，利用捆綁思想，從27個數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價于從23個數(shù)中刪去4個數(shù)，有3種情況：①兩端均刪去，這種情況不滿足要求，因?yàn)槿魞啥司鶆h去，那么1和40必定被刪去，在下一步加回來時也最多加回1或40中的一個，而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足；②兩端均不刪去，從中間21個數(shù)中選4個刪去，有種，再從刪去的8個數(shù)中拿一個加回原來的19個數(shù)中，有種方法，共有種；③兩端中有一個被刪去，其余3個數(shù)從中間21個數(shù)里選，有種，此時加回來的數(shù)必定是刪去的兩端之一的1或40，有1種選法，共有種；第四步，刪去的四組相鄰數(shù)中有一組中有一個數(shù)被加回來，即未被刪去，被刪去的是這一組中的另一個數(shù)，而對于刪去的數(shù)，假設(shè)為，它旁邊兩個數(shù)分別為，，即排列為，，，在第三步捆綁時，可能捆綁的組合為，然后刪去，再補(bǔ)回；或者為，然后刪去，再補(bǔ)回，這兩種刪去方式結(jié)果相同．綜上，共有種．故答案為：18；25270．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，整除和排列組合問題，屬難題．19．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有48對．【答案】48．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【專題】邏輯推理；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】由題意得，10，12，18，20，，設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分類討論可求解．【解答】解：由題意得，10，12，18，20，，滿足，不妨設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分兩種情況討論：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2種，綜上共有對．故答案為：48．【點(diǎn)評】本題綜合考查了數(shù)列，不等式的應(yīng)用，屬于難題．20．（2024?遼寧模擬）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是與的等差中項(xiàng)，則；設(shè)，若對，使得恒成立，則的取值范圍為．【答案】；．【考點(diǎn)】等差中項(xiàng)及其性質(zhì)【專題】綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的相關(guān)公式列式計算，求得首項(xiàng)，即可求得通項(xiàng)公式；進(jìn)而可得的表達(dá)式，利用作差法判斷其單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合數(shù)列不等式恒成立，即可求得參數(shù)范圍．【解答】解：由題意知是公差為2的等差數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)，則，即，，故；故，則，當(dāng)時，，數(shù)列的項(xiàng)增大；當(dāng)時，，數(shù)列的項(xiàng)是減小的；故為數(shù)列的最大值項(xiàng)，對，使得恒成立，則，即的取值范圍為．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?淅川縣校級三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且為等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質(zhì)與與的關(guān)系計算即可得；（2）借助累乘法可計算出數(shù)列，借助裂項(xiàng)相消法可得．【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，①因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，，所以，即，?dāng)時，，當(dāng)時，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可知，當(dāng)時，，因?yàn)闈M足上式，所以．．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．22．（2024?東湖區(qū)校級一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對于任意，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2），．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想【分析】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）由等差數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可得所求取值范圍．【解答】解：（1）由，可得，即，可得，當(dāng)時，由，可得，兩式相減可得，化為，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為公差為4的等差數(shù)列，即有時，；時，；所以，；（2），對于任意，成立，即為恒成立．設(shè)，則，當(dāng)，2時，；當(dāng)時，，即有，可得時，取得最大值，則，即的取值范圍是，．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列和數(shù)列的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．23．（2024?回憶版）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出直線方程，再與曲線方程聯(lián)立，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，再結(jié)合，都在雙曲線上，以及等比數(shù)列的定義，即可求證；（3）要證：，只需先嘗試，即先證，再結(jié)合換元法，以及直線的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，過且斜率為的直線方程為，即，聯(lián)立，解得或，故，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，所以，；（2）證明：，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，，，，，都在同一條斜率為的直線上，；則，，都在雙曲線上，，兩式相減可得，，而①，②，則②①可得，，則，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）證明：要證：，只需先嘗試，即先證，記，，則，，而，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．24．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】（1）是數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題知，，0，1，2，3，，再根據(jù)數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設(shè)是數(shù)列，從而有，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)題設(shè)得到，令，從而得到，再利用函數(shù)性質(zhì)，建立不等關(guān)系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是數(shù)列，理由：由題知，即，，0，1，2，3，，所以，，當(dāng)時，，所以是數(shù)列．（2）證明：假設(shè)是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項(xiàng)，，所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時，存在，滿足，取，得，所以，可以驗(yàn)證：當(dāng)，2，3，4時，都不成立，故不是數(shù)列．（3）已知是等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，①令，得，且，因?yàn)?，，所以?dāng)時，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1綜上，或．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024?朝陽區(qū)二模）設(shè)為正整數(shù)，集合，，，，，，，2，，．對于，，，，設(shè)集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，寫出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，滿足，令，，，，求證：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求證：，2，，．【答案】（1），3，，，5，8，；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列與不等式的綜合【專題】分類討論；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題意，即可直接寫出，；（2）由可得結(jié)合可得，，2，，，即可證明；（3）若且則，，2，，，進(jìn)而，由（2）可知，分類討論，時與的大小關(guān)系，即可證明．【解答】解：（1）由題，3，，，5，8，；（2）證明：，，，2，，，當(dāng)時，，，即，，2，，，又（a），，，2，，，，，2，，，；（3）證明：對任意，令，，，，若且，則，，2，，，，，2，，，，，，2，，，，，2，，，，對，，2，，，，由（2）可知，令，則，若，則，，若，，，即（a），又，，綜上，，即，2，，．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．3．等差中項(xiàng)及其性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：等差數(shù)列中的任意三項(xiàng)an﹣1，an，an+1滿足．﹣性質(zhì)：利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解數(shù)列相關(guān)問題．【命題方向】常見題型包括利用等差中項(xiàng)的定義和性質(zhì)求解數(shù)列中的項(xiàng)，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．設(shè)a＞0，b＞0，若1是4a與2b的等差中項(xiàng)，則+的最小值為_____．解：a＞0，b＞0，1是4a與2b的等差中項(xiàng)，∴4a+2b＝2，∴2a+b＝1，∴+＝（+）（2a+b）＝4+++1＝≥5+2＝9．當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則+的最小值為9．故答案為：9．4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯位相減法的運(yùn)用．5．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．6．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝＝．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．7．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實(shí)際問題的結(jié)合．8．?dāng)?shù)列的求和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝．點(diǎn)評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．9．裂項(xiàng)相消法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個或多個部分進(jìn)行相消來簡化計算．【命題方向】常見題型包括利用裂項(xiàng)相消法計算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：+++…+．解：因?yàn)椋?，所以原式＝．故答案為?﹣．10．?dāng)?shù)列求和的其他方法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】除了常用的方法外，還有其他數(shù)列求和的技巧，如變換法、分組法等．﹣?zhàn)儞Q法：通過對數(shù)列進(jìn)行變換，使其成為已知形式的數(shù)列．﹣分組法：將數(shù)列項(xiàng)分組，利用分組結(jié)果求和．﹣應(yīng)用：適用于處理復(fù)雜的數(shù)列和問題，特別是涉及多個數(shù)列項(xiàng)的求和．【命題方向】常見題型包括利用其他方法計算數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知數(shù)列{an}，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，其中a1＝﹣1010，an+1＝，則S2021＝_____．解：因?yàn)閍n+1＝，∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，則數(shù)列{bn}是以﹣2015為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1010＝1010×（﹣2015）+＝3030，又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．11．?dāng)?shù)列遞推式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．12．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會因?yàn)樗嬎愕臄?shù)列的項(xiàng)數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯誤的結(jié)論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；（II）設(shè)bn＝anf（an），數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)時，求Sn．分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達(dá)式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式，再用定義來證{an}是等比數(shù)列即可；（II）先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再對數(shù)列{bn}利用錯位相減法求和即可．解答：證明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴＝＝為定值．∴{an}為等比數(shù)列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）當(dāng)時，．（8分）Sn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）?2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n?2n+2+（n+1）?2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）?2n+3（12分）＝﹣（n+1）?2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n?2n+3﹣2n+3．∴Sn＝n?2n+3．（14分）點(diǎn)評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．13．?dāng)?shù)列與不等式的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解題方法點(diǎn)撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：＞|a|；＞n；（2）將分子或分母放大（或縮小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性．（7）常見模型：①等差模型；②等比模型；③錯位相減模型；④裂項(xiàng)相消模型；⑤二項(xiàng)式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足＝n+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：對于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，當(dāng)n≥2時，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不適合上式．綜上得；（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時，．∴＝．∴當(dāng)n≥2時，．題型二：裂項(xiàng)相消模型典例2：數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．分析：（1）根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，從而得證．解答：（1）由已知：對于n∈N*，總有2Sn＝an+①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝an+﹣an﹣1﹣，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n＝1時，2S1＝a1+，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時候只對數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）．（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象．所以對放縮法，只需要了解，不宜深入．14．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4