2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練14

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練14一．選擇題（共16小題）1．（2023?東城區(qū)校級模擬）在空間直角坐標系中．正四面體的頂點，分別在軸，軸上移動．若該正四面體的棱長是2，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，2．（2024?南湖區(qū)校級一模）正四面體的棱長為3，點，是它內切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當線段最長時，的最大值為A．2 B． C．3 D．3．（2024?金安區(qū)校級模擬）正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點，，，則的最小值為A．24 B．25 C．48 D．504．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設，，，是空間中給定的個不同的點，則使成立的點的個數(shù)為A．1 B． C．無窮多個 D．前面的說法都有可能5．（2024?皇姑區(qū)校級模擬）三棱錐所有棱長都等于2，動點在三棱錐的外接球上，且的最大值為，最小值為，則A．2 B． C． D．36．（2024?贛州模擬）已知球內切于正四棱錐，，是球的一條直徑，點為正四棱錐表面上的點，則的取值范圍為A．， B． C． D．7．（2024?重慶模擬）已知空間三點，2，，，1，，，，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為A．7 B． C． D．8．（2024?南充模擬）已知正方形的邊長為1，則A．0 B． C．2 D．9．（2023?江西模擬）已知點在棱長為2的正方體表面上運動，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為A． B． C． D．010．（2023?德陽模擬）已知，，表示共面的三個單位向量，，那么的取值范圍是A．， B．， C．， D．，11．（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點，動點在平面內，且．則下列說法正確的是A．存在點，使得直線與直線相交 B．存在點，使得直線平面 C．直線與平面所成角的大小為 D．平面被正方體所截得的截面面積為12．（2024?安慶二模）如圖，在長方體中，，點是棱上任意一點（端點除外），則A．不存在點，使得 B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條 C．過點與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條 D．過點與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條13．（2024?金東區(qū)校級模擬）已知矩形，，，沿對角線將△折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為A．1 B． C． D．14．（2024?東西湖區(qū)校級模擬）如圖所示是一個以為直徑，點為圓心的半圓，其半徑為4，為線段的中點，其中，，是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個以為頂點的圓錐的側面，則在該圓錐中下列結果正確的是A．為正三角形 B．平面 C．平面 D．點到平面的距離為15．（2024?衡陽縣校級模擬）已知在平行四邊形中，且，把三角形沿對角線折疊，使得，得到三棱錐，如圖所示，則下列說法中正確是A．點到平面的距離為 B．直線與直線不垂直 C．直線與平面所成角的正弦值等于 D．三棱錐外接球的表面積為16．（2024?建鄴區(qū)校級模擬）在長方體中，，，則異面直線與的距離為A． B． C． D．二．多選題（共3小題）17．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知正方體邊長為2，動點滿足，，，則下列說法正確的是A．當時，則直線平面 B．當時，的最小值為 C．當，，時，的取值范圍為 D．當，且時，則點的軌跡長度為18．（2024?民樂縣校級一模）下列命題錯誤的是A．對空間任意一點與不共線的三點，，，若，其中，，且，則，，，四點共面 B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 C．若，共線，則 D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得19．（2023?蕉城區(qū)校級模擬）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說法中正確的是A．、、、四點可以共面 B． C． D．三．填空題（共4小題）20．（2024?海珠區(qū)校級模擬）在空間直角坐標系中，定義點，，和點，，兩點之間的“直角距離”．若和兩點之間的距離是，則和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是．21．（2024?廣州模擬）已知，，是棱長為1的正方體表面上不同的三點，則的取值范圍是．22．（2024?中山市校級模擬）已知正四面體的棱長為2，若球與正四面體的每一條棱都相切，點為球面上的動點，且點在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運動，則的取值范圍為．23．（2024?拉薩一模）已知，，空間向量．若，則．四．解答題（共2小題）24．（2024?安徽模擬）一般地，元有序實數(shù)對，，，稱為維向量．對于兩個維向量，，，，，，定義兩向量的數(shù)量積為，向量的模，且取最小值時，稱為在上的投影向量．（1）求證：在上的投影向量為；（2）某公司招聘時對應聘者的語言表達能力、邏輯推理能力、動手操作能力進行測評，每門總分均為10分，測評結果記為一個三維向量，，而不同崗位對于各個能力需求的比重各不相同，對于每個崗位均有一個事先確定的“能力需求向量”，，，將在上的投影向量的模稱為該應聘者在該崗位的“適合度”．其中四個崗位的“能力需求向量”如下：崗位能力需求向量會計，2，技工，2，推銷員，2，售后維修員，1，（Ⅰ）應聘者小明的測評結果為，7，，試分析小明最適合哪個崗位．（Ⅱ）已知小紅在會計、技工和某崗位的適合度分別為，，，，2，．若能根據(jù)這三個適合度求出小紅的測評結果，求證：會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．25．（2022?湖北模擬）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為線段，上的動點．（1）若為線段的中點，證明：平面平面；（2）若，且平面與平面所成角的余弦值為，試確定點的位置．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練14參考答案與試題解析一．選擇題（共16小題）1．（2023?東城區(qū)校級模擬）在空間直角坐標系中．正四面體的頂點，分別在軸，軸上移動．若該正四面體的棱長是2，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點】空間中的點的坐標【專題】數(shù)形結合；轉化法；空間位置關系與距離【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，固定正四面體的位置，則原點在以為直徑的球面上運動，原點到點的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑．【解答】解：如圖所示，若固定正四面體的位置，則原點在以為直徑的球面上運動，設的中點為，則；所以原點到點的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑；所以，即的取值范圍是，．故選：．【點評】本題主要考查了點到直線以及點到平面的距離與應用問題，也考查了數(shù)形結合思想的應用問題，是綜合題．2．（2024?南湖區(qū)校級一模）正四面體的棱長為3，點，是它內切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當線段最長時，的最大值為A．2 B． C．3 D．【答案】【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】計算題；轉化思想；數(shù)學運算；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；球【分析】設四面體的內切球球心為，為的中心，為的中點，連接，，則在上，連接，根據(jù)題意求出內切球的半徑，當為內切球的直徑時，最長，再化簡可求得其最大值．【解答】解：設正四面體的內切球球心為，為的中心，為的中點，連接，，則在上，連接，則．因為正四面體的棱長為3，所以，所以，設內切球的半徑為，則，，解得，當為內切球的直徑時最長，此時，，，因為為正四面體表面上的動點，所以當為正四體的頂點時，最長，的最大值為，所以的最大值為．故選：．【點評】本題考查的知識要點：錐體和球體的關系，向量的線性運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．3．（2024?金安區(qū)校級模擬）正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點，，，則的最小值為A．24 B．25 C．48 D．50【答案】【考點】空間向量及其線性運算；點、線、面間的距離計算【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】先由，再由，推出，，，再由向量的數(shù)量積的計算公式得到，結合基本不等式，即可求解結果．【解答】解：法一：因為正四面體的棱長為6，所以，同理可得，，又因為以為球心且半徑為1的球面上有兩點，，，所以，由，則，，，，，，因為，所以，當且僅當取等號，此時，所以．故的最小值為50．法二：由于，所以點在平面內，所以，由于，所以，由于，所以，當點為點在平面內的射影時，最小，由于棱長為6，所以，，，所以．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．4．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設，，，是空間中給定的個不同的點，則使成立的點的個數(shù)為A．1 B． C．無窮多個 D．前面的說法都有可能【答案】【考點】空間向量及其線性運算【專題】綜合法；平面向量及應用；對應思想；數(shù)學運算【分析】設出點的坐標，利用向量坐標運算得到方程，表達出點的坐標，得到答案．【解答】解：設，，，，，，由得，所以，，，所以，所以滿足條件的點的個數(shù)為1個．故選：．【點評】本題考查了向量的坐標運算，屬于中檔題．5．（2024?皇姑區(qū)校級模擬）三棱錐所有棱長都等于2，動點在三棱錐的外接球上，且的最大值為，最小值為，則A．2 B． C． D．3【答案】【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】空間向量及應用；轉化思想；計算題；數(shù)學運算；綜合法【分析】根據(jù)題意確定點的軌跡，結合余弦定理求的取值范圍．【解答】解：如圖：過作平面于，則正四面體的外接球球心（也是內切球球心）在線段上，設為，設內切球半徑為，外接球半徑為．則，，而，所以，．因為在的外接球上，且，所以在以為直徑的球面上，取中點為，則在圓上，圓所在的平面與垂直．在中，，，，過作于，則為正的中心，且，所以在中，，所以．設，則當點，，，共面時，取得最值，即，所以，在中，由余弦定理：．所以，所以，，．故選：．【點評】本題主要考查空間直線與平面位置關系的判斷及其應用等知識，屬于中檔題．6．（2024?贛州模擬）已知球內切于正四棱錐，，是球的一條直徑，點為正四棱錐表面上的點，則的取值范圍為A．， B． C． D．【答案】【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】數(shù)學運算；綜合法；空間位置關系與距離；轉化思想；計算題；邏輯推理；平面向量及應用【分析】根據(jù)給定條件，利用體積法求出球半徑，再利用向量數(shù)量積的運算律計算即得．【解答】解：令是正四棱錐底面正方形中心，則平面，而，則，正四棱錐的體積，正四棱錐的表面積，顯然球的球心在線段上，設球半徑為，則，即，在中，，于是，又是球的一條直徑，因此，顯然，則，，所以的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查的知識點：正四棱錐的性質，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．7．（2024?重慶模擬）已知空間三點，2，，，1，，，，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為A．7 B． C． D．【答案】【考點】空間向量的共線與共面【專題】轉化思想；邏輯推理；計算題；數(shù)學運算；解三角形；三角函數(shù)的求值；綜合法【分析】利用向量求出兩向量夾角的余弦值，確定夾角的度數(shù)，利用正弦定理求出，即可求出平行四邊形面積為．【解答】解：因為，2，，，1，，，，，所以，，所以，，所以，所以，平行四邊形面積為，在中由正弦定理有：，設平行四邊形的面積為，所以．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的夾角運算，三角形的面積公式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．8．（2024?南充模擬）已知正方形的邊長為1，則A．0 B． C．2 D．【答案】【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】綜合法；平面向量及應用；計算題；轉化思想；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】直接利用向量的線性運算和向量的模求出結果．【解答】解：正方形的邊長為1，所以正方形的對角線長為，，故．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的模，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．9．（2023?江西模擬）已知點在棱長為2的正方體表面上運動，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為A． B． C． D．0【答案】【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學運算；計算題；轉化思想；空間向量及應用；球【分析】首先利用球和正方體的關系求出正方體的外接球的直徑，進一步利用向量的線性運算和數(shù)量積運算求出結果．【解答】解：由題意知：正方體的外接球的球心為，正方體的外接球的直徑，則為的中點，所以，且，故，由于，所以的最小值．故選：．【點評】本題考查的知識要點：正方體和球的關系，向量的線性運算，向量的數(shù)量積，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題和易錯題．10．（2023?德陽模擬）已知，，表示共面的三個單位向量，，那么的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點】空間向量單位正交基底及其表示空間向量【專題】計算題；平面向量及應用【分析】運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，及向量模的公式，和向量數(shù)量積的定義，結合余弦函數(shù)的值域，即可計算得到．【解答】解：由，則，又，為單位向量，則，則，由，則的取值范圍是，．故選：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質，考查向量垂直的條件，考查余弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．11．（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點，動點在平面內，且．則下列說法正確的是A．存在點，使得直線與直線相交 B．存在點，使得直線平面 C．直線與平面所成角的大小為 D．平面被正方體所截得的截面面積為【答案】【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學運算；整體思想【分析】取的中點，連接，可求得，可知不存在點，使得直線與直線相交，進而可判斷，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量知識可判斷，根據(jù)正方體的結構特征可判斷．【解答】解：連接，，所以，取的中點，連接，所以，點到線段的最短距離大于1，所以不存在點，使得直線與直線相交，故不正確；以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，0，，所以，，，設平面的法向量為，，，所以，即，令，則，，所以，1，，所以點到平面的距離為，而，所以不存在點，使得直線平面，故不正確；因為，所以平面，連接交于點，所以為的中點，，所以為直線與平面所成角，因為，在中，，所以，因為△與全等，所以，故正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，取的中點，的中點，連接，，，則，，，平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為，所以截面面積為，故不正確．故選：．【點評】本題主要考查了利用空間向量證明線面垂直，以及求直線與平面所成的角，考查了正方體的結構特征，屬于中檔題．12．（2024?安慶二模）如圖，在長方體中，，點是棱上任意一點（端點除外），則A．不存在點，使得 B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條 C．過點與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條 D．過點與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條【答案】【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角【專題】邏輯推理；數(shù)形結合；綜合法；立體幾何【分析】當為的中點時判斷；作圖判斷；利用角平分面的特征判斷；建立空間直角坐標系，分析判斷．【解答】解：對于，當為的中點時，連接，則，即有，而平面，平面，則，又，，平面，因此平面，而平面，則，故錯誤；對于，連接，，，平面與直線交于，點在線段上，不含端點，則直線與直線相交，同理直線與直線相交，因此直線、分別與三條直線，，都相交，故錯誤；對于，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過點與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內過點與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過點與平面和平面所成角都等于的直線有3條，故錯誤；對于，建立如圖所示的空間直角坐標系，直線，，的方向向量分別為，0，，，1，，，0，，設過點的直線方向向量為，由直線分別與直線，，所成角都相等，得，于是，不妨令，有，1，或，1，或，，或，顯然使得成立的向量有8個，其余4個分別與上述4個向量共線，所以過點與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，故正確．故選：．【點評】本題考查空間中點、直線、平面的位置關系，直線與平面所成角，屬于中檔題．13．（2024?金東區(qū)校級模擬）已知矩形，，，沿對角線將△折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為A．1 B． C． D．【答案】【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【專題】轉化思想；向量法；轉化法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算【分析】過和分別作，，根據(jù)向量垂直的性質，利用向量數(shù)量積進行轉化求解即可．【解答】解：過和分別作，，，，，，，則，即，二面角的余弦值為，，，，，，則，即與之間距離為，故選：．【點評】本題主要考查空間兩點間距離的計算，利用向量數(shù)量積與長度之間的關系進行轉化求解是解決本題的關鍵，是中檔題．14．（2024?東西湖區(qū)校級模擬）如圖所示是一個以為直徑，點為圓心的半圓，其半徑為4，為線段的中點，其中，，是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個以為頂點的圓錐的側面，則在該圓錐中下列結果正確的是A．為正三角形 B．平面 C．平面 D．點到平面的距離為【答案】【考點】點、線、面間的距離計算；旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【專題】數(shù)學運算；轉化思想；綜合法；立體幾何【分析】對于，作出圖形，結合已知數(shù)據(jù)容易判斷；對于，假設平面，推出矛盾即可判斷；對于，由線面平行的判定可以判斷；對于，點到直線的距離即為到平面的距離，由此容易判斷選項．【解答】解：選項，該半圓圍成的圓錐，如圖所示，設圓錐底面半徑為，則，，，為的中點，為的中點，，且，，為等腰直角三角形，選項錯誤；選項，若平面，則，直角中，，，選項錯誤；選項，，平面，平面，平面，選項正確；選項，，，平面，平面平面，到直線的距離即為到平面的距離，又，到直線的距離等于到直線的距離，為，選項錯誤．故選：．【點評】本題考查線面垂直，線面平行以及點到平面的距離計算，考查空間想象能力以及運算求解能力，屬于中檔題．15．（2024?衡陽縣校級模擬）已知在平行四邊形中，且，把三角形沿對角線折疊，使得，得到三棱錐，如圖所示，則下列說法中正確是A．點到平面的距離為 B．直線與直線不垂直 C．直線與平面所成角的正弦值等于 D．三棱錐外接球的表面積為【答案】【考點】直線與平面所成的角【專題】綜合法；數(shù)學運算；轉化思想；空間位置關系與距離；直觀想象；空間角【分析】利用空間向量的數(shù)量積判斷的正誤；利用面積法判斷的正誤；通過數(shù)量積的求夾角，判斷的正誤；求解球的半徑，然后求解表面積，判斷的正誤．【解答】解：由題意知四邊形為菱形，△，△為正三角形，如圖所示，取的中點，連接，則①，過點做平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，連接，則，0，，，0，，，在直角△中，，，則，，，則，即，故錯；，②，由勾股定理得，則，0，，，0，，，在平面內，過點做，由①②知平面，，又，則平面，即為點到平面的距離，取的中點，連接，△為等腰三角形，，則，，故錯；，為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，故錯；，0，，，0，，，，設三棱錐外接球的球心為，，，則，由空間兩點間距離公式可得，整理得，解得，則，，，又，，解得，則，又，，解得，則，設三棱錐外接球的半徑為，則，故三棱錐外接球的表面積為，故對．故選：．【點評】本題考查空間向量的應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．16．（2024?建鄴區(qū)校級模擬）在長方體中，，，則異面直線與的距離為A． B． C． D．【答案】【考點】空間中點到直線的距離及兩平行直線間的距離【專題】綜合法；向量法；數(shù)學運算；空間位置關系與距離；轉化思想【分析】建系，利用向量法，向量數(shù)量積的運算，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可建系如圖：則，0，，，4，，，4，，，0，，，，，設與兩異面直線與都垂直的向量為，則，取，異面直線與的距離為：．故選：．【點評】本題考查異面直線的距離的求解，向量法的應用，屬中檔題．二．多選題（共3小題）17．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知正方體邊長為2，動點滿足，，，則下列說法正確的是A．當時，則直線平面 B．當時，的最小值為 C．當，，時，的取值范圍為 D．當，且時，則點的軌跡長度為【答案】【考點】空間向量及其線性運算【專題】邏輯推理；空間位置關系與距離；轉化思想；計算題；數(shù)學運算；綜合法【分析】由時，得到為的中點，可判定錯誤；在上取點，得到求得點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內，可判定正確；證得平面，求得的最大值與最小值，可判定正確；求得點的軌跡在△內，根據(jù)題意得到點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，且，可判定錯誤．【解答】解：對于中，由于時，則，此時為的中點，在正方體中，由平面，所以直線不會垂直平面，所以錯誤；對于中，在上取點，使，在上取點，使，因為，即，可得點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內，如圖（1）（2）所示，連接交于，此時，，三點共線，取到最小值即的長，由于，所以，則，所以，所以，即此時的最小值為，所以正確；對于中，當，，時，可得點的軌跡在平面內（包括邊界），在正方形中，可得，因為平面，平面，所以，又因為，且，平面，所以平面，所以，又由，所以的取值范圍為，所以正確；對于中，當時，可得點的軌跡在△內（包括邊界），由于平面，平面，可得，又因為，，，平面，故平面，因為平面，可得，同理可證，又因為，，平面，所以平面，設與平面交于點，由于，△為邊長為的正三角形，則點到平面的距離為，若，則，即點落在以為圓心，為半徑的圓上，此時點到△三邊的距離均為，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，又由，其軌跡長度為3倍的弧長，所以錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識點：正方體的性質，向量的線性運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．18．（2024?民樂縣校級一模）下列命題錯誤的是A．對空間任意一點與不共線的三點，，，若，其中，，且，則，，，四點共面 B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 C．若，共線，則 D．若，共線，則一定存在實數(shù)使得【答案】【考點】數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角；空間向量的共線與共面；空間向量及其線性運算【專題】綜合法；轉化思想；計算題；平面向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】直接利用向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運算判斷、、、的結論．【解答】解：對于：由于，其中，，且，則，整理得：，故，所以，，，四點共面，故正確；對于：由于，，與的夾角為鈍角，故，且，故的取值范圍為，，，故錯誤；對于：若，共線且方向相反時，則，故錯誤；對于：若，共線，則一定存在實數(shù)使得，故錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識點：向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．19．（2023?蕉城區(qū)校級模擬）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說法中正確的是A．、、、四點可以共面 B． C． D．【答案】【考點】空間向量的共線與共面【專題】綜合法；轉化思想；計算題；數(shù)學運算；邏輯推理；平面向量及應用【分析】根據(jù)向量共面即可判斷點共面，進而可判斷，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解，根據(jù)模長的計算公式即可判斷，根據(jù)夾角公式即可求解．【解答】解：對于：單位向量，，兩兩夾角均為，所以，假設、、、四點可以共面，則共面，所以存在，，使得，分別用，，與數(shù)量積，則，由于該方程組無解，所以不存在，，使得共面，故、、、四點不共面，故錯誤；對于，，故正確；對于，由得，由得，所以，則，故正確；對于，，所以，故，故錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的數(shù)量積，向量的模，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）20．（2024?海珠區(qū)校級模擬）在空間直角坐標系中，定義點，，和點，，兩點之間的“直角距離”．若和兩點之間的距離是，則和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是，．【答案】，．【考點】空間兩點間的距離公式【專題】空間位置關系與距離；計算題；數(shù)學運算；轉化思想；方程思想；綜合法；立體幾何【分析】根據(jù)題意，求出的表達式，結合三角代換法、輔助角公式對其變形，利用正弦型函數(shù)的最值性質進行求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，因為和兩點之間的距離是，即，所以設，其中，則有，由于，所以，因此，設，則，，于是有，因為，所以，因此當且時，即當且時，有最大值，其最大值為，當且或時，取得最小值，此時，，所以的最小值，綜上，和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是，．故答案為：，．【點評】本題考查合情推理的應用，涉及三角恒等變形的應用，關鍵是利用三角代換的方法、運用正弦函數(shù)的最值的性質，屬于中檔題．21．（2024?廣州模擬）已知，，是棱長為1的正方體表面上不同的三點，則的取值范圍是，．【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】綜合法；數(shù)學運算；轉化思想；空間向量及應用【分析】根據(jù)正方體的性質可得，，結合夾角的定義可得，可得其最大值；根據(jù)數(shù)量積的運算可知，可得其最小值．【解答】解：正方體表面上任意兩點間距不超過體對角線長，則，，故，，而，，，故，建立如圖所示空間直角坐標系，取，0，，當，重合為，1，時，則，1，，1，，取得最大值3；由對稱性，設在下底面，，，，，由在下底面知，，，當且僅當，也在下底面時取等，此時，，共面，設中點為，則，，當且僅當，重合時取等，又因為，可得，例如，，0，，，1，，則，所以，不重合時，的取值范圍是，．故答案為：，．【點評】本題考查空間向量與立體幾何的綜合應用，屬中檔題．22．（2024?中山市校級模擬）已知正四面體的棱長為2，若球與正四面體的每一條棱都相切，點為球面上的動點，且點在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運動，則的取值范圍為．【答案】．【考點】空間向量的數(shù)量積運算【專題】數(shù)學運算；空間位置關系與距離；邏輯推理；轉化思想；計算題；綜合法【分析】將該正四面體補成正方體，則可得球為正方體的內切球，設為的中點，結合向量數(shù)量積的運算律將轉化為，結合四面體以及正方體和球的切接問題，求出的最大值以及最小值，即可求得答案．【解答】解：由題意知正四面體的棱長為2，故可將該正四面體補成如圖示正方體，正方體棱長為，四面體的每條棱皆為正方體的面對角線，由于球與正四面體的每一條棱都相切，故球為正方體的內切球，球的直徑為正方體的棱長，則半徑；設為的中點，則，則，由于點在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運動，故點位于的中點處時，最大，即為正方體內切球直徑，此時取到最大值；在正四面體中，設為中點，連接，，則，，，，平面，則平面，而平面，故平面平面，則球的球心在平面內，則的內切圓即為球的一個小圓，設該圓與的交點為，則點和都位于球的同一個大圓所在的平面上，此時該大圓上劣弧所對弦長最短，即點位于點時，最小；設內切圓圓心為，則內切圓半徑為，，則，中，，，故，在中，則，即的最小值為，故的最小值為，故的取值范圍為，故答案為：．【點評】關鍵點睛：解答本題的關鍵是將正四面體補成為正方體，將球轉化為正方體的內切球問題，結合多面體和球的切接問題，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．23．（2024?拉薩一模）已知，，空間向量．若，則1．【答案】1．【考點】空間向量的共線與共面；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【專題】平面向量及應用；數(shù)學運算；轉化思想；計算題；邏輯推理；綜合法【分析】根據(jù)，從而可求出，即可求解．【解答】解：因為，所以，即，得．故答案為：1．【點評】本題考查的知識要點：共線向量的坐標運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）24．（2024?安徽模擬）一般地，元有序實數(shù)對，，，稱為維向量．對于兩個維向量，，，，，，定義兩向量的數(shù)量積為，向量的模，且取最小值時，稱為在上的投影向量．（1）求證：在上的投影向量為；（2）某公司招聘時對應聘者的語言表達能力、邏輯推理能力、動手操作能力進行測評，每門總分均為10分，測評結果記為一個三維向量，，而不同崗位對于各個能力需求的比重各不相同，對于每個崗位均有一個事先確定的“能力需求向量”，，，將在上的投影向量的模稱為該應聘者在該崗位的“適合度”．其中四個崗位的“能力需求向量”如下：崗位能力需求向量會計，2，技工，2，推銷員，2，售后維修員，1，（Ⅰ）應聘者小明的測評結果為，7，，試分析小明最適合哪個崗位．（Ⅱ）已知小紅在會計、技工和某崗位的適合度分別為，，，，2，．若能根據(jù)這三個適合度求出小紅的測評結果，求證：會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．【答案】（Ⅰ）證明過程見解答；（2）小明在會計崗位上的“適合度”最高，即小明最適合會計崗位；證明過程見解答．【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底【專題】數(shù)學運算；綜合法；轉化思想；空間向量及應用【分析】（Ⅰ）由已知得取最小值時，為在上的投影向量，由定義得，根據(jù)二次函數(shù)最小值即可求得，進而證明；（Ⅱ）分別求得小明在會計、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求量”上的投影向量的模，根據(jù)定義即可求解；設崗位的“能力需求向量”為，，，小紅的測評結果為，，，列出方程組，分析方程組解的情況即可證明．【解答】解：（Ⅰ）證明：取最小值時，為在上的投影向量，，是關于的二次函數(shù)，且二次項系數(shù)大于0，結合二次函數(shù)的性質，當且僅當時，取最小值，在上的投影向量為．（2）設小明在會計、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求向量”上的投影向量分別為，，，，則，，，，小明在會計崗位上的“適合度”最高，即小明最適合會計崗位；證明：由題意，設崗位的“能力需求向量”為，，，小紅的測評結果為，，，則，則求出小紅的測評結果的充分必要條件是這個關于，，的三元一次方程組有唯一解，記，，，則，設，，，則方程組變形為，②①得，則方程組化簡為，消去，化簡得⑥，若，則此時關于的方程要么無解要么有無窮多解，與題意不符，，又方程有且僅有一解，，即，若，由向量的共線定理得，使得，則，與假設矛盾，不成立，故與不共線，同理可知與不共線，，，可以作為空間中的一組基底，即會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．【點評】本題考查向量基本定理及空間向量的基底、投影向量、二次函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．25．（2022?湖北模擬）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為線段，上的動點．（1）若為線段的中點，證明：平面平面；（2）若，且平面與平面所成角的余弦值為，試確定點的位置．【答案】（1）證明見解答；（2）為的三等分點處．【考點】平面與平面垂直；空間向量運算的坐標表示【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；空間角；邏輯思維；運算求解【分析】（1）可證平面，從而，，平面，進而可證平面平面；（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，求平面與平面的法向量，利用向量法求的值，可知定點的位置．【解答】（1）證明：由底面，可得，又在正方形中，，且，則平面，有，由，為線段的中點，可得，又，則平面，從而平面平面；（2）解：以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，由（1）可知，0，為平面的法向量，由，可知，設，，則，1，，，0，，可得，，，，0，，設平面的一個法向量為，，，則，即，令，則，，平面的一個法向量為，1，，，，解得或，即為的三等分點處．【點評】本題考查面面垂直的證明，以及利用面面角確定點的位置，屬中檔題．

考點卡片1．數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當兩條向量與不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ＝．通過這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了．【解題方法點撥】例：復數(shù)z＝+i與它的共軛復數(shù)對應的兩個向量的夾角為60°．解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．∴復數(shù)z＝+i與它的共軛復數(shù)對應的兩個向量的夾角為60°．故答案為：60°．點評：這是個向量與復數(shù)相結合的題，本題其實可以換成是用向量（，1）與向量（，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結合起來，比方說復數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認真掌握．2．旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點的認識】旋轉體的結構特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面；該定直線叫做旋轉體的軸；封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認識圓柱③圓柱的特征及性質圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認識圓錐③圓錐的特征及性質與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h的關系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認識圓臺③圓臺的特征及性質平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：．3．平面與平面垂直【知識點的認識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質：性質定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．性質定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．4．空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標平面xOy，xOz，yOz內的點分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點P（a，b，c）關于x軸的對稱點的坐標為（a，﹣b，﹣c，）點P（a，b，c）關于y軸的對稱點的坐標為（﹣a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于z軸的對稱點的坐標為（﹣a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOy的對稱點為（a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOz的對稱點為（a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面yOz的對稱點為（﹣a，b，c，）；點P（a，b，c）關于原點的對稱點（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點坐標為（）5．空間兩點間的距離公式【知識點的認識】空間兩點間的距離公式：已知空間兩點P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），則兩點的距離為，特殊地，點A（x，y，z）到原點O的距離為．6．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為||，||特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作；②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如的相反向量記為﹣．5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定與任何向量平行；②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結合律．（1）交換律：（2）結合律：．3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量．1．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．①當λ＞0時，與的方向相同；②當λ＜0時，與的方向相反；③當λ＝0時，＝．④|λ|＝|λ|?||的長度是的長度的|λ|倍．2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）結合律：注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如等無法計算．7．空間向量的共線與共面【知識點的認識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作．與任意向量是共線向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個向量、（），的充要條件是存在實數(shù)λ，使得．（2）共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使得．【解題方法點撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使成立，或充分利用空間向量的運算法則，結合具體圖形，通過化簡、計算得出，從而．（2）表示與所在的直線平行或重合兩種情況．空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點共面、線共面問題，關鍵是熟練地進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉化．（2）空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對（x，y），使．滿足這個關系式的點P都在平面MAB內，反之，平面MAB內的任一點P都滿足這個關系式．這個充要條件常用以證明四點共面．證明三個向量共面的常用方法：（1）設法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果與為共線向量，則（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共線向量的條件，推出比例關系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）與＝（1，﹣2y，9）共線，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故選C．點評：本題考查共線向量的知識，考查學生計算能力，是基礎題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外的任一點，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根據(jù)共面向量定理，說明M、A、B、C共面，判斷選項的正誤．解答：由共面向量定理，說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯誤的，則D正確．故選D．點評：本題考查共線向量與共面向量，考查學生應用基礎知識的能力．是基礎題．8．空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量、，在空間中任取一點O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作＜，＞．2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量、，則||||cos＜，＞叫做向量與的數(shù)量積，記作?，即?＝||||cos＜，＞（2）幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積，或的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積．3．空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：＝λ（）＝?（）（2）分配律：．4．數(shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號，而不能用符號，也不能用（2）兩向量的數(shù)量積，其結果是個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當時，由＝0不能推出一定是零向量，這是因為任一個與垂直的非零向量，都有【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式||＝求解即可．特別注意準確求解已知兩向量之間的夾角大?。脭?shù)量積證明垂直關系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷時，須指明，；（2）證明兩直線的垂直可以轉化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量，，的線性形式，然后利用數(shù)量積說明兩直線的方向向量垂直，進而轉化為直線垂直．【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運算法則的應用，任何有關數(shù)量積計算問題都離不開運算律的運用．例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），則?＝﹣7分析：通過2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐標，然后進行向量的數(shù)量積的坐標運算．解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），∴＝（1，﹣3，1），∴?＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；故答案為：﹣7．點評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題．9．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識點的認識】空間向量基本定理如果三個向量，，不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，，，都叫做基向量．【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進行判斷．假設不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得，若存在，則假設成立；若不存在，則假設不成立．【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．10．空間向量單位正交基底及其表示空間向量【知識點的認識】1．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{，，}表示．2．空間向量的坐標表示對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量＝，由空間向量基本定理可知，存在有序實數(shù)組{x，y，z}，使得＝．把x，y，z稱作向量在單位正交基底，，下的坐標，記作＝（x，y，z）．【解題方法點撥】1．空間向量的坐標表示用坐標表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系；（3）進行計算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計算；（4）確定結果：將所求向量用已知的基向量表示出來．2．用基底表示向量用基底表示向量時，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進行．（2）若沒給定基底時，首先選擇基底．選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．【命題方向】﹣單位正交基底表示：考查如何使用單位正交基底表示空間中的向量．11．空間向量運算的坐標表示【知識點的認識】1．空間向量的坐標運算規(guī)律：設空間向量，，則（1）（2）（3）（4）．2．空間向量的坐標表示：設空間兩點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）3．空間向量平行的條件：（1）?，λ∈R（2）若x2y2z2≠0，則?4．空間向量垂直的條件：?x1x2+y1y2+z1z2＝0【解題方法點撥】空間向量的坐標運算：空間向量的坐標運算和平面向量的坐標運算類似，兩個向量的加、減、數(shù)乘運算就是向量的橫坐標、縱坐標、豎坐標分別進行加、減、數(shù)乘運算；空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和．坐標運算解決向量的平行與垂直問題：用坐標運算解決向量平行、垂直有關問題，要注意以下兩個等價關系的應用：（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（為非零向量），則∥?（λ∈R）．若時，必有∥，必要時應對是否為進行討論．（2）?x1x2+y1y2+z1z2＝0坐標運算解決夾角與距離問題：在幾何體中建立空間直角坐標系時，要充分利用幾何體本身的特點，以使各點的坐標易求．利用向量的坐標運算，可使復雜的線面關系的論證、角及距離的計算變得簡單．【命題方向】（1）考查空間向量的坐標表示例：已知：平行四邊形ABCD，其中三個頂點坐標為A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），則第四個頂點D的坐標為分析：設第四個頂點D的坐標為（x，y）．由平行四邊形ABCD，可得，解出即可．解答：設第四個頂點D的坐標為（x，y）．∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．由平行四邊形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．∴D（﹣2，9，1）．故答案為（﹣2，9，1）．點評：熟練掌握平行四邊形的向量表示是解題的關鍵．（2）考查空間向量的坐標運算例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），則（+）?＝．分析：根據(jù)向量坐標形式的運算律進行計算即可解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），則+＝（7，0，9）又由＝（0，5，1），則（+）?＝（7，0，9）?（0，5，1）＝9故答案為9點評：本題考查向量坐標形式的運算，掌握其運算律是解題的關鍵．（3）考查空間向量平行或垂直的條件例：已知，，若∥，則λ與μ的值可以是（）A．B．C．﹣3，2D．2，2．分析：直接利用向量平行，推出向量坐標關系，求出λ與μ的值即可．解答：因為，，∥，所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．所以λ與μ的值可以是：或﹣3，；故選A．點評：本題考查空間向量的坐標運算，向量的平行的應用，考查計算能力．12．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識點的認識】一、空間向量及其有關概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個向量，（≠0），∥?存在λ∈R，使＝λ．共面向量定理若兩個向量，不共線，則向量與向量，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使＝x+y．空間向量基本定理（1）定理：如果三個向量、、c不共面，那么對空間任一向量，存在有序實數(shù)組{x，y，z}使得＝x+y+z．（2