2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練21

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練21一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓2．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為A． B． C． D．3．（2024?大武口區(qū)校級一模）相距的，兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差，已知聲速是，炮彈爆炸點一定在曲線的方程上．A． B． C．或 D．4．（2024?海淀區(qū)校級三模）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點，點，點為卵圓上任意一點，有下列四種說法：①卵圓關(guān)于軸對稱；②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線對稱；③線段長度的取值范圍是，；④的面積最大值為1；其中正確說法的序號是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足，且，則下列說法正確的是A．點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2 C．點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為246．（2024?天河區(qū)校級模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點為，點為雙曲線右支上一點，直線交雙曲線于另一點，且，，直線經(jīng)過橢圓的下頂點，記的離心率為，的離心率為，則A． B． C． D．7．（2024?德州模擬）已知點為圓上一動點，點滿足，記點的軌跡為．直線上有一動點，直線與相切于點，則的最小值為A．2 B． C． D．8．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知是圓柱下底面的一條半徑，，，為該圓柱側(cè)面上一動點，垂直下底面于點，若，則對于下述結(jié)論：①動點的軌跡為橢圓；②動點的軌跡長度為；以下說法正確的為A．①②都正確 B．①正確，②錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①②都錯誤9．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．310．（2024?濟寧二模）已知是坐標(biāo)原點，，動點滿足，則的最大值為A． B． C．1 D．二．多選題（共5小題）11．（2024?李滄區(qū)校級二模）平面上到兩定點的距離之積為常數(shù)的動點的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知曲線是到兩定點，的距離之積為常數(shù)2的點的軌跡，設(shè)是曲線上的點，給出下列結(jié)論，其中正確的是A．曲線關(guān)于原點成中心對稱 B． C． D．△周長的最小值為12．（2024?衡陽縣校級模擬）已知，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點，動點與點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，其中，，為△的三邊長，且，設(shè)點為動點的軌跡上一點，且點不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時， B．若點在軸右側(cè)時，則△內(nèi)切圓的圓心在定直線上 C．使得△為等腰三角形的點有且僅有4個 D．△的面積為13．（2024?李滄區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物．關(guān)于曲線，則下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形 B．曲線關(guān)于軸，軸成軸對稱圖形 C．曲線上任意兩點之間的距離都不超過2 D．曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于14．（2024?潞州區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為，圖形如圖所示．當(dāng)時，點，，，在這條心形線上，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C． D．上有4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）15．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點，則三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點，點在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點，記上與點重合的點為，折痕為．過點再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線．曲線在點處的切線與交于點，則的面積的最小值為．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于6的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為．19．（2024?岳麓區(qū)校級一模）如果直線和曲線恰有一個交點，那么實數(shù)的取值范圍是．20．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級模擬）如圖，對于曲線所在平面內(nèi)的點，若存在以為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點，恒有成立，則稱角為曲線的相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點的“確界角”．已知曲線（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），點為坐標(biāo)原點，曲線的相對于點的“確界角”為，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅江區(qū)校級模擬）已知為圓的圓心，是圓上的動點，點，若線段的中垂線與相交于點．（1）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）過點的直線與點的軌跡分別相交于，兩點，且與圓相交于，兩點，求的取值范圍．22．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．23．（2024?青原區(qū)校級模擬）如圖，為圓上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長至點，使得，點的軌跡記為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的兩條直線，分別交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點；（3）若曲線交軸正半軸于點，直線與曲線交于不同的兩點，，直線，分別交軸于，兩點．請?zhí)骄浚狠S上是否存在點，使得？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．（2024?紅谷灘區(qū)校級模擬）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點為雙曲線和橢圓的下頂點．（Ⅰ）若為橢圓的上頂點，直線與交于，兩點，證明：直線，的交點在雙曲線上；（Ⅱ）過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦長為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點，記的面積為，為坐標(biāo)原點），的面積為．求雙曲線的方程；證明：．25．（2024?赤峰模擬）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段的中點．證明：直線與曲線有且僅有一個交點；求的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練21參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】【考點】軌跡方程【專題】定義法；直線與圓；函數(shù)思想；邏輯推理【分析】設(shè)，，由，得到點坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)為，用點坐標(biāo)表示點坐標(biāo)，并代入圓，得到點的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關(guān)系判點的軌跡與圓的位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)，，由，可得，所以點坐標(biāo)為，，設(shè)點坐標(biāo)為，則，即，把代入圓，則點的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓．故選：．【點評】本題考查圓的軌跡方程，屬于中檔題．2．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為A． B． C． D．【答案】【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；軌跡方程【專題】空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】可得平面，可得點的軌跡為圓，由此即可得．【解答】解：以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，2，，，1，，，0，，，0，，，2，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因為，故平面，為平面上的動點，直線與直線的夾角為，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點的軌跡長度為．故選：．【點評】本題考查立體中的軌跡問題，屬于中檔題．3．（2024?大武口區(qū)校級一模）相距的，兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差，已知聲速是，炮彈爆炸點一定在曲線的方程上．A． B． C．或 D．【答案】【考點】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)雙曲線的定義進行求解即可．【解答】解：設(shè)炮彈爆炸點為，由題意可知：，顯然點的軌跡是以，的焦點的雙曲線，因此有，，可得：，，于是有，根據(jù)四個選項可知，只有選項符合．故選：．【點評】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?海淀區(qū)校級三模）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點，點，點為卵圓上任意一點，有下列四種說法：①卵圓關(guān)于軸對稱；②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線對稱；③線段長度的取值范圍是，；④的面積最大值為1；其中正確說法的序號是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】【考點】曲線與方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想【分析】由與均滿足方程即可判斷①；點，和都在卵圓上，列方程，解方程即可判斷②；對于③：，可借助導(dǎo)數(shù)求最值，即可判斷③；對于④：，可求最大值，即可判斷④．【解答】解：對于①：設(shè)是卵圓上的任意一個點，因為，所以點也在卵圓上，又點和點關(guān)于軸對稱，所以卵圓關(guān)于軸對稱，故①正確；對于②：設(shè)點，，則（1），若存在卵圓上點與關(guān)于對稱，則在卵圓上，滿足方程（2），（1）（2）聯(lián)立可得或，所以卵圓上存在、兩點恰好關(guān)于對稱，故②錯誤，對于③，由，得，所以，又，所以，設(shè)點，，，則，令，則，令，則或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，（2），且，所以，，即，，所以，，故③正確；對于④，點，，，，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時的面積取得最大值1，故④正確．故選：．【點評】本題考查了圓錐曲線的新定義問題，解決此類問題的關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答．5．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足，且，則下列說法正確的是A．點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2 C．點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】【考點】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；直線與圓；平面向量及應(yīng)用；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】設(shè)點坐標(biāo)為，由已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示可用，表示，，結(jié)合可得，的關(guān)系，進而可求點的軌跡方程，再由平行四邊形面積公式檢驗選項．【解答】解：設(shè)點坐標(biāo)為，由已知條件，可得，又因為，所以點坐標(biāo)對應(yīng)軌跡方程為，，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．點對應(yīng)的軌跡如圖所示：，所以點的軌跡為菱形，，錯誤；原點到直線的距離為：，所以不正確．軌跡圖形是平行四邊形，面積為；正確．故選：．【點評】本題主要考查了點的軌跡的求解，考查了綜合解決問題的能力，屬于難題6．（2024?天河區(qū)校級模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點為，點為雙曲線右支上一點，直線交雙曲線于另一點，且，，直線經(jīng)過橢圓的下頂點，記的離心率為，的離心率為，則A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征；圓錐曲線的綜合【專題】計算題；數(shù)學(xué)運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)，，求解相關(guān)的長度，通過，求解橢圓與雙曲線的離心率，然后推出選項．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點為，點為雙曲線右支上一點，直線交雙曲線于另一點，得，關(guān)于原點對稱，，，設(shè)，，則由勾股定理得的中點為則為三角形對應(yīng)邊的中位線，則，且，，得，橢圓的下頂點為，則易得，解得，則的焦距滿足，則，同時，因此．故選：．【點評】本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形相似的判斷，是中檔題．7．（2024?德州模擬）已知點為圓上一動點，點滿足，記點的軌跡為．直線上有一動點，直線與相切于點，則的最小值為A．2 B． C． D．【答案】【考點】軌跡方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；直線與圓；方程思想【分析】設(shè)，，由在圓上，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得的軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合點到直線的距離公式，可得所求值．【解答】解：設(shè)，，由點滿足，可得，，即有，，由在圓上，可得，即，圓心，半徑，由直角三角形的勾股定理，可得，即，要求的最小值，只需求的最小值．由點到直線的距離公式，可得，則的最小值為．故選：．【點評】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．8．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知是圓柱下底面的一條半徑，，，為該圓柱側(cè)面上一動點，垂直下底面于點，若，則對于下述結(jié)論：①動點的軌跡為橢圓；②動點的軌跡長度為；以下說法正確的為A．①②都正確 B．①正確，②錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①②都錯誤【答案】【考點】軌跡方程【專題】邏輯推理；計算題；分析法；數(shù)學(xué)抽象；證明題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想【分析】將圓柱的側(cè)面展開得，可知點的軌跡為兩條互相垂直的線段，進而可以得到軌跡．【解答】解：以為原點將圓柱側(cè)面和底面展開如下圖，設(shè)，所以，，由題意，，所以當(dāng)時，同理時，所以點的軌跡在展開圖中為兩條互相垂直的線段，在圓柱面上不是橢圓，兩條線段的長度均為，故軌跡長為．故選：．【點評】本題考查立體幾何中的動點軌跡問題，屬于中檔題．9．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考點】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運算；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】將換為，換為，方程不變，可判斷①；方程變?yōu)?，由基本不等式可判斷②；由對稱性可考慮第一象限的交點個數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③．【解答】解：將換為，換為，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱，故①正確；由，可得，解得即有，故②正確；由曲線和曲線都關(guān)于原點對稱，都關(guān)于，軸對稱，可考慮第一象限的交點個數(shù)．由和，可得，設(shè)，由（1），，（2），可得在和各有一個零點，又和在遞減，則第一象限的交點個數(shù)為2，可得曲線與曲線有8個交點，故③錯誤．故選：．【點評】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．10．（2024?濟寧二模）已知是坐標(biāo)原點，，動點滿足，則的最大值為A． B． C．1 D．【答案】【考點】兩點間的距離公式；軌跡方程【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】設(shè)，可求點的軌跡方程，利用的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：設(shè)，由題意，可得，整理可得，即：，且圓心的坐標(biāo)，半徑，表示與的夾角的余弦值的2倍，要使得取得最大值，有與圓相切，切點在第一象限，此時，，可得的最大值為．故選：．【點評】本題考查點的軌跡的求法，考查向量的數(shù)量積的計算，是難題．二．多選題（共5小題）11．（2024?李滄區(qū)校級二模）平面上到兩定點的距離之積為常數(shù)的動點的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知曲線是到兩定點，的距離之積為常數(shù)2的點的軌跡，設(shè)是曲線上的點，給出下列結(jié)論，其中正確的是A．曲線關(guān)于原點成中心對稱 B． C． D．△周長的最小值為【答案】【考點】軌跡方程【專題】計算題；新定義；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；邏輯思維；運算求解【分析】根據(jù)題目所給定義，根據(jù)兩點間距離公式得到曲線方程，結(jié)合選項判斷即可．【解答】解：對于：根據(jù)題意有，兩邊平方整理可得，將換成方程不變，故曲線關(guān)于軸對稱，將換成方程也不變，故曲線關(guān)于軸對稱，故曲線關(guān)于原點成中心對稱；對于：整理可得，令，則，整理得，故當(dāng)時，，故，故錯誤；對于：由可知，當(dāng)時，，故正確；對于，若△周長的最小值為，則時等號成立，此時，不能構(gòu)成三角形，故錯誤．故選：．【點評】本題考查曲線方程的處理與軌跡方程的求解，屬于中檔題．12．（2024?衡陽縣校級模擬）已知，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點，動點與點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，其中，，為△的三邊長，且，設(shè)點為動點的軌跡上一點，且點不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時， B．若點在軸右側(cè)時，則△內(nèi)切圓的圓心在定直線上 C．使得△為等腰三角形的點有且僅有4個 D．△的面積為【答案】【考點】圓錐曲線的軌跡問題；雙曲線與平面向量；雙曲線的定義【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；直觀想象；邏輯推理；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；對應(yīng)思想【分析】根據(jù)題意可得動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理判斷；結(jié)合雙曲線的定義及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)判斷；由題意可得則必為腰，分象限討論點個數(shù)即可判斷；結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理及三角形面積公式即可判斷．【解答】解：由已知得，兩邊平方化簡得，又，所以△為直角三角形，則，即，代入式得，則，故動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，對于，根據(jù)雙曲線的定義可得，兩邊平方得，又，所以，則，即，故正確；對于，設(shè)△的內(nèi)切圓與其三邊、、的切點分別為、、，則，，，由雙曲線定義知，根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，，，則，又，聯(lián)立兩式得，又，所以，所以△內(nèi)切圓的圓心在定直線上，故正確；對于，根據(jù)雙曲線對稱性分析：要使△為等腰三角形，則必為腰，在第一象限雙曲線上有且僅有一個點使，，此時△為等腰三角形，也僅有一個點使，，此時△為等腰三角形，同理可得第二三四象限每個象限也有且僅有兩個點，一共8個，所以錯誤；對于，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，則，①由余弦定理可得，②，②①得，，所以，所以，所以正確．故選：．【點評】本題考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，考查了余弦定理及勾股定理，屬于中檔題．13．（2024?李滄區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物．關(guān)于曲線，則下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形 B．曲線關(guān)于軸，軸成軸對稱圖形 C．曲線上任意兩點之間的距離都不超過2 D．曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于【答案】【考點】曲線與方程【專題】對應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算【分析】分類討論去絕對值，可得曲線方程，從而可得曲線圖像，最后可對命題進行判斷．【解答】解：根據(jù)題意，將曲線轉(zhuǎn)化為方程組：如圖，圖象由四個圓的部分圖像和原點組成，且四個圓都可過原點，對于，將代入，整理得，所以關(guān)于原點對稱，故正確；對于，將代入，整理得，所以關(guān)于軸對稱，將代入，整理得，所以關(guān)于軸對稱，故正確；對于，如圖，曲線上任意兩點距離范圍為，即兩點距離范圍為，，故錯誤；對于，曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個半圓和一個正方形組成，設(shè)它的面積為，，故正確．故選：．【點評】本題考查曲線與方程相關(guān)知識，通過曲線方程得出曲線圖像，再經(jīng)過計算判斷命題是否正確，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力，是難題．14．（2024?潞州區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為，圖形如圖所示．當(dāng)時，點，，，在這條心形線上，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C． D．上有4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）【答案】【考點】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；分類討論；換元法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)三點共線可得直線過原點，聯(lián)立直線與曲線的方程，求解、，根據(jù)弦長公式求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解，利用換元法，結(jié)合判別式，即可求解方程的整數(shù)根．【解答】解：依題意，心形線的直角坐標(biāo)方程為，過原點，由，可知，，三點共線，設(shè)直線，由消去，得．不妨設(shè)，，則．所以，選項正確；，當(dāng)時，，選項錯誤；設(shè)點在心形線上，，角以軸非負(fù)半軸為起始邊，則心形線的方程轉(zhuǎn)化為，即，所以，又，所以，選項正確；由，可知．令，則心形線的方程可化為，△，所以，當(dāng)，，解得或，進而可得或0，當(dāng)時，方程無整數(shù)解；當(dāng)時，，解得，所以；所以上有4個整點，，，，選項正確．故選：．【點評】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力與推理判斷能力，是中檔題．15．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點，則【答案】【考點】曲線與方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；邏輯推理【分析】選項中，將換成，換成，即可判斷曲線是否關(guān)于原點對稱；選項中，討論，時，方程表示的曲線是圓在第一象限的部分，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積；選項中，根據(jù)圓的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法求出曲線上任意兩點間距離的最大值；選項中，利用數(shù)形結(jié)合法可判斷直線與曲線交于不同的四點時的取值范圍．【解答】解：對于，將換成，換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，選項正確；對于，當(dāng)，時，方程可化為，即，此時曲線所圍成的圖形是圓在第一象限的部分，面積不是，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積不是，選項錯誤；對于，由知曲線在第一象限的圖形是圓的一部分，圓上的點到原點的最大距離為，所以曲線上任意兩點間距離的最大值為，選項正確；對于，直線是過定點的直線，由圖形知：時，直線不過點，時，直線也不過點，由此判斷直線與曲線交于不同的四點時的取值范圍不是，選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為．【答案】．【考點】軌跡方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；立體幾何；綜合法【分析】取中點，由題可得平面，設(shè)點軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得．【解答】解：取中點，連接，，則，，，，，平面，所以平面，又因為，則，，作于，設(shè)點軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，的中心分別為，，可知平面，平面，且，，，四點共面，由題可得，在△中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為．故答案為：．【點評】本題考查多面體與外接球的綜合運用，考查點的軌跡的面積的求法，屬中檔題．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點，點在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點，記上與點重合的點為，折痕為．過點再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線．曲線在點處的切線與交于點，則的面積的最小值為．【答案】．【考點】軌跡方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】計算題；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】連接，可得，可知點在以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，求出拋物線方程，然后利用導(dǎo)數(shù)求出點處的切線，將的面積表示為關(guān)于點的橫坐標(biāo)的式子，進而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出面積的最小值．【解答】解：連接，由與關(guān)于對稱，可得，所以點在以為焦點、直線為準(zhǔn)線的拋物線上，以中點為原點，過與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線，可得拋物線的方程為，即，求導(dǎo)數(shù)得，設(shè)，則拋物線在點處的切線斜率，切線方程為，與直線交于點，，所以，可得，設(shè)（a），其中，可得（a），當(dāng)時，（a），因為時（a），，（a），所以（a）在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增．因此，當(dāng)時，（a）有最小值，即的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線、函數(shù)的單調(diào)性與最值求法等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于6的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為2．【答案】2．【考點】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算【分析】設(shè)，討論時和時，分別求出點的軌跡方程，設(shè)點到直線的距離為，由此計算的最小值即可．【解答】解：設(shè)，當(dāng)時，，所以，化簡得：，，，即；當(dāng)時，，所以，整理得：，，，即；對于曲線上任意一點，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點時取“”，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即點的坐標(biāo)為時，取得最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了點的軌跡應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（2024?岳麓區(qū)校級一模）如果直線和曲線恰有一個交點，那么實數(shù)的取值范圍是．【考點】直線與圓錐曲線的綜合【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)題意化簡曲線的方程，得到雙曲線在軸上方（含頂點）的部分，以及橢圓在軸下方（不含頂點）的部分，而直線表示經(jīng)過定點且斜率為的直線，因此將曲線方程與直線方程聯(lián)解，利用一元二次方程根的判別式與雙曲線的漸近線加以計算，可得實數(shù)的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，直線即，可知直線經(jīng)過定點，斜率為．曲線，即或，因此在坐標(biāo)平面內(nèi)作出曲線，如圖所示，該曲線由如下三部分構(gòu)成：①當(dāng)時，曲線是雙曲線在軸左側(cè)的一支，且在軸上方（含頂點）的部分；②當(dāng)時，曲線是橢圓在軸下方（不含左、右頂點）的部分；③當(dāng)時，曲線是雙曲線在軸右側(cè)的一支，且在軸上方（含頂點）的部分．分以下三種情形討論：（1）當(dāng)時，直線，與曲線有兩個交點、，不符合題意；（2）當(dāng)時，先研究曲線的第②部分與直線的交點情況，將直線與消去，整理得，可得△，當(dāng)時，△，曲線的第②部分與直線有2個交點；當(dāng)時，△，曲線的第②部分與直線有唯一公共交點；當(dāng)時，△，曲線的第②部分與直線有0個公共點．而曲線的第①、③部分對應(yīng)雙曲線，其漸近線為，觀察圖象可得：當(dāng)時，曲線的第①、③部分與直線都沒有交點；當(dāng)時，曲線的第①部分與直線沒有交點，且曲線的第③部分與直線有唯一交點；因此，當(dāng)時，若曲線與直線有唯一交點，則或；（3）當(dāng)時，曲線的第③部分與直線恰有1個交點，且曲線的第②部分與直線的沒有交點．若，則曲線的第①部分與直線沒有交點；當(dāng)時，曲線的第①部分與直線有唯一交點．因此，當(dāng)時，若曲線與直線有唯一交點，則．綜上所述，若曲線與直線有唯一交點，則或或，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．20．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級模擬）如圖，對于曲線所在平面內(nèi)的點，若存在以為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點，恒有成立，則稱角為曲線的相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點的“確界角”．已知曲線（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），點為坐標(biāo)原點，曲線的相對于點的“確界角”為，則1．【答案】1．【考點】曲線與方程【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，對每一段函數(shù)分別求其過原點的切線方程，得出兩切線垂直，利用“確界角”的定義，得出角，即可得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，因為，，所以該函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，過原點作的切線，設(shè)切點，由，可得切線的斜率為，由直線過，可得，即，即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個交點，且當(dāng)時滿足方程，故方程有唯一解，則；過原點作的切線，設(shè)切點，由，得切線的斜率，由切線過原點，可得，解得，則，則有，所以兩切線垂直，曲線的相對于點的“確界角”為，則．故答案為：1．【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬難題．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅江區(qū)校級模擬）已知為圓的圓心，是圓上的動點，點，若線段的中垂線與相交于點．（1）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）過點的直線與點的軌跡分別相交于，兩點，且與圓相交于，兩點，求的取值范圍．【答案】，．【考點】軌跡方程【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）利用幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，即可求得橢圓方程；（2）分兩種情況：當(dāng)直線的斜率不存在時，求得、、、的坐標(biāo)，即可求出的值；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得，再結(jié)合相交弦公式求得，進而可求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得是線段的垂直平分線，所以，所以點的軌跡是以，為焦點，2為焦距，為長軸長的橢圓，即有，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可得，橢圓右焦點為，①若直線的斜率不存在時，直線方程為，則，，，，所以，，則；②若直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，得，則，，所以，因為圓心到直線距離，所以，所以，因為，，所以，，綜上：，．【點評】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的綜合，韋達定理的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用等，屬于中檔題．22．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進而計算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進而可得，，，，，進而由可得，，，進而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點為雙曲線的左頂點，此方程有一根為，，解得，點在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．23．（2024?青原區(qū)校級模擬）如圖，為圓上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長至點，使得，點的軌跡記為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的兩條直線，分別交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點；（3）若曲線交軸正半軸于點，直線與曲線交于不同的兩點，，直線，分別交軸于，兩點．請?zhí)骄浚狠S上是否存在點，使得？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；分類討論；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解【分析】（1）由題意，設(shè)，先求出點的坐標(biāo)，代入圓中，化簡求得曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，將直線，的方程與曲線的方程聯(lián)立，求得，的坐標(biāo)，對進行分類討論，由此可得直線過定點并求得定點坐標(biāo)；（3）假設(shè)存在點使得，先求得，設(shè)出，的坐標(biāo)，利用直線和直線的方程求得，兩點的坐標(biāo)，結(jié)合在曲線上求得點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）不妨設(shè)，，，此時，，，因為，所以，此時，，，即因為點在圓上，所以，則，故曲線的方程為；（2）證明：易知直線，與坐標(biāo)軸不平行，不妨設(shè)直線的方程為，此時直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），所以，此時，同理得，當(dāng)時，直線的斜率存在，此時，所以直線的方程為，易知直線過定點；當(dāng)時，直線斜率不存在，此時直線的方程為，則直線過定點，綜上，直線過定點；（2）假設(shè)存在點使得，不妨設(shè)，因為，所以，此時，即，所以，因為直線與曲線交于不同的兩點、，易知、關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，，，，，易知，所以直線方程為，令，解得，而直線方程為，令，解得，因為，所以，因為點在橢圓上，所以，解得，故存在點，使得．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力．24．（2024?紅谷灘區(qū)校級模擬）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點為雙曲線和橢圓的下頂點．（Ⅰ）若為橢圓的上頂點，直線與交于，兩點，證明：直線，的交點在雙曲線上；（Ⅱ）過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦長為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點，記的面積為，為坐標(biāo)原點），的面積為．求雙曲線的方程；證明：．【答案】詳見解答過程；（Ⅱ）；詳見解答過程．【考點】直線與圓錐曲線的綜合【專題】邏輯推理；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；綜合法【分析】（Ⅰ）先由已知求出，，求出直線，的方程，聯(lián)立方程可求兩直線的交點坐標(biāo)，進而可證；（Ⅱ）由已知結(jié)合漸近線方程及已知弦長可求，，進而可求雙曲線方程；聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及三角形的面積公式可求，然后表示，代入到進行化簡即可證．【解答】證明：依題意可知，，聯(lián)立不妨取，，則直線的方程為，①直線的方程為，②聯(lián)立①②可得，，又成立，所以直線，的交點在雙曲線上．因為過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦長為，所以．③因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以．④聯(lián)立③④，解得，，所以雙曲線的方程為．證明：由得點，．設(shè)直線的斜率為，，，，，則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去得，則△，所以，，則，故．又，所以，解得或（舍，因為，所以，即．【點評】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象核心素養(yǎng)，屬于難題．25．（2024?赤峰模擬）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段的中點．證明：直線與曲線有且僅有一個交點；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（ⅱ），．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解【分析】（1）由題意，得到，結(jié)合雙曲線的定義以及，，的關(guān)系列出等式求出和的值，進而可得曲線的方程；（2）設(shè)，，，，，，結(jié)合（1）中信息得到雙曲線的漸近線方程，整理得，結(jié)合以及點在曲線上，求出直線的方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)△即可得證；（ⅱ）結(jié)合中信息，將雙曲線的漸近線方程與直線的方程聯(lián)立，求出的表達式，同理得的表達式，推出，將轉(zhuǎn)化成有關(guān)的不等式，再進行求解即可．【解答】解：（1）因為點為的垂直平分線上一點，所以，此時，則點的軌跡為以，為焦點的雙曲線，且，，所以，則，則曲線的方程為；（2）證明：不妨設(shè)，，，，，，易知曲線的漸近線方程為，，兩式相加得，兩式相減得，所以，即，易知，所以，，則，即，所以直線的方程為，即，因為點在曲線上，所以，此時，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，故與有且僅有一個交點；（ⅱ）聯(lián)立，解得，同理得，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為，所以的取值范圍為，．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【知識點的認(rèn)識】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【解題方法點撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．異面直線及其所成的角【知識點的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：4．兩點間的距離公式【知識點的認(rèn)識】﹣距離公式：兩點（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由公式：這是平面直角坐標(biāo)系中常用的距離計算公式．【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入公式：將兩點的坐標(biāo)代入距離公式．2．簡化計算：計算平方差的和，開方得到距離．【命題方向】﹣距離計算：?？疾橛嬎銉牲c間的直線距離，尤其在幾何題目中經(jīng)常出現(xiàn)．5．雙曲線的定義【知識點的認(rèn)識】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（focus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標(biāo)準(zhǔn)方程①（a，b＞0），表示焦點在x軸上的雙曲線；②（a，b＞0），表示焦點在y軸上的雙曲線．性質(zhì)這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：①焦點為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．【解題方法點撥】例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．故答案為：y＝±2x．這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果實在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設(shè)雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），∵雙曲線過點P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達式來，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達式了．【命題方向】這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來說，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．6．雙曲線的幾何特征【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝07．雙曲線與平面向量【知識點的認(rèn)識】雙曲線與平面向量的關(guān)系涉及到向量在雙曲線方程中的應(yīng)用，如切線和法線的計算．【解題方法點撥】1．向量計算：利用向量計算雙曲線上的切線和法線．2．應(yīng)用方程：將向量應(yīng)用到雙曲線的方程中．【命題方向】﹣給定向量，計算雙曲線上的相關(guān)向量性質(zhì)．﹣利用向量分析雙曲線的性質(zhì)．8．曲線與方程【知識點的認(rèn)識】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以為半徑的圓．④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點的時候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．9．直線與圓錐曲線的綜合【知識點的認(rèn)識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個關(guān)系的變形去求解．【解題方法點撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點到兩定