2024-2025學(xué)年遼寧省七校協(xié)作體高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省七校協(xié)作體高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線M：x2a?y2a+8=1(a>0)的離心率為A.y=±3x B.y=±332.如圖，在三棱錐O?ABC中，OA=a,OB=b,OCA.12a+13b+163.某學(xué)習(xí)小組男女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人，分別去做3中不同的工作，共有90種不同的選法，則男女生人數(shù)為(

)A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，24.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=4，A.2142 B.2121 C.5.6名大學(xué)生分配到4所學(xué)校實習(xí)，每名大學(xué)生只分配到一所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名大學(xué)生，則不同的分配方案共有(

)A.65 B.1560 C.2640 D.45606.如圖，點P在正方體ABCD?A1B1C1D1的面對角線BC1上運動(P點異于A.異面直線BD與AB1所成角為60°

B.B1D⊥平面ACD1

C.三棱錐P?ACD1的體積不變7.已知動點P(x,y)滿足5(x?1)2+(y?1)A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線8.已知拋物線y2=8x的焦點為F，點P在拋物線上運動，點Q在圓(x?5)2+(y?1)A.6 B.7 C.8 D.9二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.直線xsinα?y+1=0的傾斜角的取值范圍為[0,π4]∪[3π4,π]

B.直線l：λx+y?3λ=0(λ∈R)恒過定點(3,0)

C.圓C1：x2+y2?4=010.關(guān)于空間向量，下列說法正確的是(

)A.若a,b共線，則|a|+|b|=|a?b|

B.已知a=(1,?2,2),b=(2,x,4)，若a⊥b，則x=5

C.若對空間中任意一點O，有OP=11.如圖，造型為“∞”的曲線C稱為雙紐線，其對稱中心為坐標(biāo)原點O，且曲線C上的點滿足：到點F1(?2,0)和F2(2,0)的距離之積為定值a.若點P(m,n)在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是A.|m|≤22 B.|PO|≤22

C.△PF1F三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數(shù)為______；恰有一個空盒子的方法數(shù)為______．13.已知圓C：x2+(y?2)2=1，點P在拋物線T：y=14x2上運動，過點P引圓C14.已知棱長為1的正四面體A?BCD的頂點都在球O上，過AB的平面截球O所得圖形面積的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

部隊是青年學(xué)生成長成才的大學(xué)校，是砥礪品格、增強意志的好課堂，是施展才華、成就事業(yè)的大舞臺，國防和軍隊現(xiàn)代化建設(shè)迫切需要一大批有責(zé)任、敢擔(dān)當(dāng)?shù)挠兄厩嗄陻y筆從戎、報效祖國.為響應(yīng)征兵號召，某高等院校7名男生和5名女生報名參軍，經(jīng)過逐層篩選，有5人通過入伍審核．

(1)若學(xué)生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？

(2)若至少有2名女生通過入伍審核，但入伍人員尚未接到通知，求所有可能結(jié)果有多少種？

(3)若通過入伍審核的5人恰好是海軍、空軍、陸軍、火箭軍、武警各1人，且入伍陸軍的是女生，入伍火箭軍的是男生，求所有可能結(jié)果有多少種？16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P為棱AD的中點，AD=2．

(1)若E為棱SB的中點，求證：PE//平面SCD；

(2)在棱SA上是否存在點M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為235？若存在，指出點17.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y23=1(a>3)的右焦點F到左頂點的距離為3．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點，過點F的直線與橢圓C交于A，B兩點(A,B不在x軸上)，若OE18.(本小題17分)

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E為中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置(P?平面ABCE)．

(1)證明：BC⊥平面POB；

(2)若PB=6，試判斷線段PB上是否存在一點Q(不含端點)，使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為155，若存在，求三棱錐19.(本小題17分)

已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點A為橢圓短軸的上端點，P為橢圓上異于A點的任一點，若P點到A點距離的最大值僅在P點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知b=1．

(1)若a=52，判斷橢圓Γ是否為“圓橢圓”；

(2)若橢圓Γ是“圓橢圓”，求a的取值范圍；

(3)若橢圓Γ是“圓橢圓”，且a取最大值，Q為P關(guān)于原點O的對稱點，Q也異于A點，直線AP、參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.BC

10.BCD

11.ABC

12.35

175

13.314.π4．15.解：(1)因為學(xué)生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人員尚未接到通知，

所以從學(xué)生甲和乙以外的10人中任選3人，

所以所有的可能結(jié)果有C103=120種．

(2)從12人中任選5人的所有可能結(jié)果有C125種，

選出的5人中沒有女生所有可能結(jié)果有C75種，

選出的5人中有1名女生所有可能結(jié)果有C74C51種，

所以至少有2名女生被選出的選法數(shù)為C1216.(1)證明：取SC中點F，連EF、DF，

∵E，F(xiàn)為棱SB，SC的中點，∴EF/?/BC，且EF=12BC，

∵四邊形ABCD是矩形，P為棱AD的中點，

∴PD/?/BC，PD=12BC，

∴EF/?/PD，EF=PD，∴四邊形PEFD是平行四邊形，

∴PE//FD，

又∵FD?平面SCD，PE?平面SCD，

∴PE//平面SCD；

(2)解：假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意，

在等邊三角形SAD中，P為AD的中點，所以SP⊥AD，

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，

SP?平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，

以點P為原點，PA的方向為x軸正方向，PS的方向為z軸的正方向，

過P作AB的平行線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，S(0,0,3)，

∴PA=(1,0,0)，PB=(1,1,0)，AS=(?1,0,3)，

設(shè)AM=λAS=(?λ,0,3λ)(0≤λ≤1)，

∴PM=PA+AM=(1?λ,0,3λ)，

設(shè)平面PMB的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?PM=(1?λ)x+3λz=0n?PB17.解：(1)根據(jù)題意得，b2=3a+c=3b2=a2?c2，

解得a=2，c=1，

所以橢圓的方程為：x24+y23=1．

(2)設(shè)l：x=ty+1，

則由l與C的方程消x得：(3t2+4)y2+6ty?9=0，

設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)，18.解：(1)證明：在原圖中，連接BE，由于AB//DE，AB=DE，

所以四邊形ABED是平行四邊形，由于AB=AD，所以四邊形ABED是菱形，

所以AE⊥BD，

由于AB//CE，AB=CE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，

所以BC/?/AE，所以BC⊥BD，

在翻折過程中，AE⊥OP，AE⊥OB保持不變，

即BC⊥OP，BC⊥OB保持不變，

由于OP∩OB=O，OP，OB?平面POB，

所以BC⊥平面POB；

(2)由上述分析可知，在原圖中，BC⊥BD，所以BD=42?22=23，

所以O(shè)B=OD=3，

折疊后，若PB=6，則PO2+OB2=PB2，

所以PO⊥OB，

由于PO⊥OE，OB∩OE=O，OB，OE?平面ABCE，

所以PO⊥平面ABCE，

由于OB，OE?平面ABCE，所以PO⊥OB，PO⊥OE，

所以O(shè)E，OB，PO兩兩相互垂直，

由此以O(shè)為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

OE=OA=1，

P(0,0,3)，C(2,3,0)，A(?1,0,0)，E(1,0,0)，

設(shè)Q(0,t,3?t)，0≤t≤3，PC=(2,3,?3)，

AE=(2,0,0)，AQ=(1,t,3?t)，

設(shè)平面AEQ的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥AEn⊥AQ，則n?AE=2x=0n?AQ=x+ty+(19.解：(1)由題意得橢圓方程為4x25+y2=1，所以A(0,1)，

設(shè)P(x,y)(?1≤y≤1)，則|PA|2=x2+(y?1)2=54(1?y2)+(y?1)2=?14y2?2y+94，

二次函數(shù)開口向下，對稱軸為y=?4，所以函數(shù)在[?1,1]上單調(diào)遞減，

所以y=?1時，函數(shù)取最大