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文檔簡介
甘肅省酒泉地區(qū)瓜州一中2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.2.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.3.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.4.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.5.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}6.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動作,預(yù)備時(shí),4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí),每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”,若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向,則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.67.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.8.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-311.一個(gè)頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有()A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人,高二年級有學(xué)生900人,高三年級有學(xué)生1500人,現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究,則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_____人.14.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍是______.15.在四面體中,分別是的中點(diǎn).則下述結(jié)論:①四面體的體積為;②異面直線所成角的正弦值為;③四面體外接球的表面積為;④若用一個(gè)與直線垂直,且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個(gè)多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為.其中正確的有_____.(填寫所有正確結(jié)論的編號)16.已知全集為R,集合,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?若在購物體驗(yàn)滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購物券.若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.18.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.19.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.21.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),對于任意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.3、D【解析】
先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
通過列舉法,列舉出同學(xué)的朝向,然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示,利用列舉法,可得下表,原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù),一般這類題型構(gòu)造較為巧妙,可通過列舉的方法直觀感受,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.8、C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點(diǎn),以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.10、D【解析】
畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題,即把y+1x-211、B【解析】
計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時(shí),若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯(cuò)誤故選:A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1.【解析】
先求得高三學(xué)生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學(xué)生占的比例為,所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
作出可行域,將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或,分別計(jì)算出與,再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,顯然當(dāng)時(shí),z=0;當(dāng)時(shí)將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或顯然,聯(lián)立,所以則或,故或綜上所述,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡單題.15、①③④.【解析】
補(bǔ)圖成長方體,在長方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積,和外接球的表面積,以及異面直線的夾角,作出截面即可計(jì)算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征,可以補(bǔ)圖成長方體設(shè)其邊長為,,解得補(bǔ)成長,寬,高分別為的長方體,在長方體中:①四面體的體積為,故正確②異面直線所成角的正弦值等價(jià)于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值,可得正弦值為,故錯(cuò);③四面體外接球就是長方體的外接球,半徑,其表面積為,故正確;④由于,故截面為平行四邊形,可得,設(shè)異面直線與所成的角為,則,算得,.故正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積,外接球的表面積,異面直線夾角和截面面積最值,關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理方法,補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法,平常需要積累常見幾何體的補(bǔ)圖方法.16、【解析】
先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和并集運(yùn)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);.【解析】
由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有個(gè),其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè),進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共個(gè).其中僅有1人是女顧客的基本事件有:,,,,,,,,共個(gè).所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)案例、卡方分布、概率等基本知識,考查概率統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ?,,所以恒成立,?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計(jì)算.20、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標(biāo)方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直
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