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文檔簡介
寧夏銀川二中2025屆高三考前熱身數(shù)學試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知三棱錐中,為的中點,平面,,,則有下列四個結論:①若為的外心,則;②若為等邊三角形,則;③當時,與平面所成的角的范圍為;④當時,為平面內一動點,若OM∥平面,則在內軌跡的長度為1.其中正確的個數(shù)是().A.1 B.1 C.3 D.42.如圖所示程序框圖,若判斷框內為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.983.已知等邊△ABC內接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.24.設變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.25.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.復數(shù)的共軛復數(shù)記作,已知復數(shù)對應復平面上的點,復數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.7.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.8.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.29.為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強10.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.404011.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.12.已知,則下列關系正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為________.14.古代“五行”學認為:“物質分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)15.從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的概率為_______.16.某高校開展安全教育活動,安排6名老師到4個班進行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側面為等邊三角形,側棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.18.(12分)設函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調性;(2)若關于x的方程有唯一的實數(shù)解,求a的取值范圍.19.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查,獲得了一個容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200(2)調查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動,若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.21.(12分)如圖,直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點,直線y=p2與(1)求p的值;(2)設A是直線y=p2上一點,直線AM2交拋物線于另一點M3,直線M1M22.(10分)據(jù)《人民網(wǎng)》報道,美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和)單位:公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個地區(qū)中,從退化林修復面積超過一萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),記X為這兩個地區(qū)中退化林修復面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由線面垂直的性質,結合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形:若為的外心,則,平面,可得,即,①正確;若為等邊三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②錯誤;若,設與平面所成角為可得,設到平面的距離為由可得即有,當且僅當取等號.可得的最大值為,即的范圍為,③正確;取中點,的中點,連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上,而,可得④正確;所以正確的是:①③④故選:C【點睛】此題考查立體幾何中與點、線、面位置關系有關的命題的真假判斷,處理這類問題,可以用已知的定理或性質來證明,也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.2、C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可,屬于基礎題.3、D【解析】
如圖所示建立直角坐標系,設,則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系,則,,,設,則.當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.4、B【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得結論.【詳解】畫出約束條件,表示的可行域,如圖,由可得,將變形為,平移直線,由圖可知當直經(jīng)過點時,直線在軸上的截距最大,最大值為,故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬于簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.5、B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.6、A【解析】
根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù),進而得出,由得出可計算出,由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點,,則,,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算,考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法,考查計算能力,屬于基礎題.7、D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.8、D【解析】
設,,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質,考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.9、D【解析】
根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.10、D【解析】
計算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學生的計算能力和應用能力.11、C【解析】
設,根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設,,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當時,;當時,;綜上所述:.故選:C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.12、A【解析】
首先判斷和1的大小關系,再由換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為,,,所以,綜上可得.故選:A【點睛】本題考查了換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應用問題,是基礎題.14、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題.點評:本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題,解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景,利用分步原理正確計數(shù),本題較抽象,計數(shù)時要考慮周詳.15、【解析】
先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結果.【詳解】解:從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的事件數(shù)為9個,即為,,,其中滿足的有,,,共有8個,故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算,解題的關鍵是準確列舉出所有事件數(shù).16、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計算出對應的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個班,共有種,所以種.故答案為:.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,難度一般.對于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進行分析.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設中點為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結果.【詳解】(1)設中點為,連接、,因為,所以.又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因為,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜邊的中點,所以點是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點即為球心,記的中點為點,則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,同時也考查了三棱錐外接球體積的計算,找出外接球球心的位置是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.18、(1)當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2)或.【解析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標準,若不恒成立,求解,即可得出結論;(2)有解,即,令,轉化求函數(shù)只有一個實數(shù)解,根據(jù)(1)中的結論,即可求解.【詳解】(1),當時,恒成立,當時,,綜上,當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2),令,原方程只有一個解,只需只有一個解,即求只有一個零點時,的取值范圍,由(1)得當時,在單調遞增,且,函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當時,,此時函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當且遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;,當,有兩個零點,即原方程有兩個解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到單調性、零點、極值最值,考查分類討論和等價轉化思想,屬于中檔題.19、(1)見解析,有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)【解析】
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表,然后計算出,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結論;(2)由題意得概率為古典概型,根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則,所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)在城鎮(zhèn)居民140人中,經(jīng)常閱讀的有100人,不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人,則其中經(jīng)常閱讀的有5人,記為、、、、;不經(jīng)常閱讀的有2人,記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言,所有可能的情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21種,被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種,所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算,以及獨立性檢驗的應用,利用列舉法是解決本題的關鍵,考查學生的計算能力.對于古典概型,要求事件總數(shù)是可數(shù)的,滿足條件的事件個數(shù)可數(shù),使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)當時,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,所以,解得,當時,,函數(shù)的圖象與軸沒有交點,不符合題意;當時,,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,符合題意.綜上,可得.21、(1)p=4;(2)OA?【解析】試題分析:(1)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程y=2x-2x2=2py,化簡寫出根與系數(shù)關系,由于直線y=p2平分∠M1FM2,所以kM1F+kM2F=0,代入點的
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