山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式第三講簡單的線性規(guī)劃學(xué)案含解析

PAGE16-第三講簡潔的線性規(guī)劃ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線Ax＋By＋C＝0將平面內(nèi)的全部點(diǎn)分成三類：一類在直線Ax＋By＋C__＝0__上，另兩類分居直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)，其中一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿意Ax＋By＋C__>0__，另一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿意Ax＋By＋C__<0__．(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的平面區(qū)域且不含邊界，作圖時(shí)邊界直線畫成__虛線__，當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，此時(shí)邊界直線畫成__實(shí)線__．學(xué)問點(diǎn)二二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，常常采納“直線定界，特別點(diǎn)定域”的方法．(1)直線定界，即若不等式不含__等號__，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有__等號__，把直線畫成實(shí)線．(2)特別點(diǎn)定域，由于在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的值的符號都__相同__，故為確定Ax＋By＋C的值的符號，可采納__特別點(diǎn)法__，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等點(diǎn)，由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的__公共部分__．學(xué)問點(diǎn)三線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的__不等式(組)__線性約束條件由x，y的__一次__不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)__解析式__，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的__一次__解析式可行解滿意約束條件的解__(x，y)__可行域全部可行解組成的__集合__最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得__最大值__或__最小值__的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的__最大值__或__最小值__問題eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．推斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化為y>kx＋b或y<kx＋b的形式．(1)若y>kx＋b，則區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0上方．(2)若y<kx＋b，則區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0下方．2．最優(yōu)解與可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不肯定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不肯定存在，存在時(shí)不肯定唯一．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列命題正確的是(BC)A．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域肯定在直線Ax＋By＋C＝0的上方B．點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0C．最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解D．目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距題組二走進(jìn)教材2．(必修五P86T3改編)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是(C)[解析]x－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)C所示部分．3．(必修5P91練習(xí)T1(1)改編)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分別是(C)A．3，－3 B．2，－4C．4，－2 D．4，－4[解析]作出可行域如圖中陰影部分所示．A(2，－1)，B(－1，－1)，明顯當(dāng)直線l：z＝2x＋y＋1經(jīng)過A時(shí)z取得最大值，且zmax＝4，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值，且zmin＝－2，故選C．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·浙江，12)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2，))則z＝x＋3y的最小值是__－2__，最大值是__8__．[解析]本小題考查簡潔的線性規(guī)劃．由約束條件得可行域是以A(1,1)，B(2,2)，C(4，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖．當(dāng)直線y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)過點(diǎn)C(4，－2)時(shí)，z＝x＋3y取得最小值－2，過點(diǎn)B(2,2)時(shí)，z＝x＋3y取得最大值8．5．(2024·北京)若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≥－1，,4x－3y＋1≥0，))則y－x的最小值為__－3__，最大值為__1__．[解析]由線性約束條件畫出可行域，為圖中的△ABC及其內(nèi)部．易知A(－1，－1)，B(2，－1)，C(2,3)．設(shè)z＝y(tǒng)－x，平移直線y－x＝0，當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，zmax＝3－2＝1，當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，zmin＝－1－2＝－3．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動探究考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域——自主練透例1(1)(2024·鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤|y|，,|x|<1))的點(diǎn)(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的(C)(2)(2024·四川江油中學(xué)月考)已知實(shí)數(shù)x，y滿意線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0,x－2y－3≤0，,0≤x≤4))則其表示的平面區(qū)域的面積為(D)A．eq\f(9,4) B．eq\f(27,2)C．9 D．eq\f(27,4)(3)(2024·河南鄭州重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考)若直線l：y＝kx－2k＋1將不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0,y－1≤0,x＋2y－2≥0))，表示平面區(qū)域的面積分為1∶2兩部分，則實(shí)數(shù)k的值為(A)A．1或eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)或eq\f(3,4)C．eq\f(1,3)或eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)或eq\f(1,3)[解析](1)|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y軸的兩個(gè)區(qū)域；|x|<1表示x＝±1所夾含y軸的區(qū)域．故選C．(2)線性約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(0,3)，B(0，－eq\f(3,2))，C(3,0)，∴S＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×3＝eq\f(27,4)，故選D．(3)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0,y－1≤0,x＋2y－2≥0))表示的平面區(qū)域如圖所示：∵直線l：y＝kx－2k＋1恒過A(2,1)，可得：當(dāng)直線l：y＝kx－2k＋1過BC的三等分點(diǎn)E(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))或D(eq\f(4,3)，eq\f(1,3))時(shí)，故kAE＝eq\f(1－\f(2,3),2－\f(2,3))＝eq\f(1,4)，kAD＝eq\f(1－\f(1,3),2－\f(4,3))＝1，故選A．名師點(diǎn)撥?(1)畫平面區(qū)域的步驟：①畫線：畫出不等式所對應(yīng)的方程表示的直線．②定側(cè)：將某個(gè)區(qū)域內(nèi)的特別點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式，依據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)，常用的特別點(diǎn)為(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．③求“交”：假如平面區(qū)域是由不等式組確定的，則在確定了各個(gè)不等式所表示的區(qū)域后，再求這些區(qū)域的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域，這種方法俗稱“直線定界，特別點(diǎn)定域”．(2)計(jì)算平面區(qū)域的面積時(shí)，通常是先畫出不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域，然后視察區(qū)域的形態(tài)，求出有關(guān)的交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長度，最終依據(jù)相關(guān)圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，假如是不規(guī)則圖形，則可通過割補(bǔ)法計(jì)算面積．(3)推斷不等式表示的平面區(qū)域和一般采納“代點(diǎn)驗(yàn)證法”．考點(diǎn)二簡潔的線性規(guī)劃問題——多維探究角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(2024·課標(biāo)全國Ⅰ，13)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0.))則z＝3x＋2y的最大值為__6__．[解析]本題主要考查線性規(guī)劃．由x，y滿意的約束條件畫出對應(yīng)的可行域(如圖中陰影部分所示)．由圖知當(dāng)直線3x＋2y－z＝0經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2×3＝6．[引申1]本例條件下z＝3x＋2y的最小值為__－18__．[解析]由例2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x－2y－2＝0))，∴B(－4，－3)，當(dāng)直線y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)z，過點(diǎn)B時(shí)，z最小，即zmin＝－18．[引申2]本例條件下，z＝3x－2y的范圍為__[－6,6]__．[解析]z＝3x－2y變形為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)z，由本例可行域知直線y＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)z，過A點(diǎn)時(shí)截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6．過B點(diǎn)時(shí)截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6，∴z＝3x－2y的范圍為[－6,6]．[引申3]本例條件下，z＝|3x－2y＋1|的最大值為__7__，此時(shí)的最優(yōu)解為__(2,0)__．[解析]由引申2得－6≤3x－2y≤6，∴－5≤3x－2y＋1≤7，∴0≤z≤7，z最大值為7，此時(shí)最優(yōu)解為(2,0)．名師點(diǎn)撥?利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的方法：方法1：①作圖——畫出線性約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的隨意一條直線l.(留意表示目標(biāo)函數(shù)的直線l的斜率與可行域邊界所在直線的斜率的大小關(guān)系)．②平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)的位置．③求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．方法2：解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值．角度2由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)例3(1)(2024·東北三省三校模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,－x＋2y－2≤0，,2x＋y－2≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(a>0)最大值為5，取到最大值時(shí)的最優(yōu)解是唯一的，則a的取值是(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1(2)變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，,mx－y≤0，))若z＝2x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m等于(C)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析](1)線性約束條件可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,x－2y＋2≥0，,2x＋y－2≥0，))作可行域如圖所示．目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y可化為y＝－ax＋z，因?yàn)閥＝－ax＋z表示斜率為－a的直線，且－a<0，由圖象可知當(dāng)y＝－ax＋z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取到最大值，這時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3，))C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)，代入z＝ax＋y得到a＝eq\f(1,2).故選C．(2)解法一：當(dāng)m≤0時(shí)，可行域(示意圖m<－1)如圖中陰影部分所示，z＝2x－y?y＝2x－z，明顯直線的縱截距不存在最小值，從而z不存在最大值，不合題意，當(dāng)m>0時(shí)，可行域(示意圖)如圖中陰影部分所示．若m≥2，則當(dāng)直線z＝2x－y過原點(diǎn)時(shí)，z最大，此時(shí)z＝0，不合題意(故選C．)若0<m<2，則當(dāng)直線z＝2x－y過點(diǎn)A時(shí)z取最大值2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2m－1)，,y＝\f(2m,2m－1)，))即A(eq\f(2,2m－1)，eq\f(2m,2m－1))．∴eq\f(4,2m－1)－eq\f(2m,2m－1)＝2，解得m＝1.故選C．解法二：畫出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0))的可行域，如圖，作直線2x－y＝2，與直線x－2y＋2＝0交于可行域內(nèi)一點(diǎn)A(2,2)，由題知直線mx－y＝0必過點(diǎn)A(2,2)，即2m－2＝0，得m＝1.故選C．[引申]在本例(1)的條件下，若z＝ax＋y的最大值為4a＋3，則a的取值范圍是[－eq\f(1,2)，∞)．名師點(diǎn)撥?求參數(shù)的值或范圍：參數(shù)的位置可能在目標(biāo)函數(shù)中，也可能在約束條件中．求解步驟為：①留意對參數(shù)取值的探討，將各種狀況下的可行域畫出來；②在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解．也可以干脆求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過各頂點(diǎn)時(shí)對應(yīng)參數(shù)的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)，找出符合題意的參數(shù)值．角度3線性規(guī)劃中無窮多個(gè)最優(yōu)解問題例4(多選題)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為(AD)A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[分析]利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有多數(shù)個(gè)，即目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與可行域的邊界重合．[解析]作出可行域(如圖)，為△ABC內(nèi)部(含邊界)．由題設(shè)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域某一邊界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝eq\f(1,2)可得a＝－1或a＝2或a＝eq\f(1,2)，驗(yàn)證：a＝－1或a＝2時(shí)，成立；a＝eq\f(1,2)時(shí)，不成立．故選A、D．[引申]若z＝y(tǒng)－ax取得最小值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為eq\f(1,2)．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2024·課標(biāo)全國Ⅱ，14)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0.))則z＝x＋y的最大值為__9__．(2)(角度2)(2024·福建莆田模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,2x－y－1≥0,x＋y－m≤0))，且目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m＝__2__．(3)(角度3)已知實(shí)數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋2y－8≤0,x≤3))，若使得ax－y取得最小值的可行解有多數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為1或－eq\f(1,2)．[解析](1)本題考查簡潔的線性規(guī)劃．由線性約束條件畫出可行域(如圖所示的陰影部分)，由圖可知，當(dāng)直線x＋y－z＝0經(jīng)過點(diǎn)A(5,4)時(shí)，z＝x＋y取得最大值，最大值為9．(2)由線性約束條件畫出可行域(如圖所示)，∵目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最大值為2，由圖象知z＝x－y經(jīng)過平面區(qū)域的A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2,y＝0))，解得A(2,0)，∴2－m＝0，則m＝2，故答案為2．(3)作出可行域如圖中陰影部分所示，記z＝ax－y?y＝ax－z.當(dāng)直線y＝ax－z縱截距最大時(shí)，z最小，此時(shí)a＝1或－eq\f(1,2)．考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用——師生共研例5(2024·寧夏銀川一中月考)某汽車公司的A，B兩個(gè)裝配廠可裝配甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時(shí)可裝配1輛甲型車和2輛乙型車，B廠每小時(shí)可裝配3輛甲型車和1輛乙型車，現(xiàn)要裝配40輛甲型車和40輛乙型車，若要使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少，則這兩個(gè)裝配廠的工作時(shí)數(shù)分別為(A)A．16,8 B．15,9C．17,7 D．14,10[分析]依據(jù)條件列可行域與目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖象確定最小值取法，即得結(jié)果．[解析]設(shè)A廠工作x小時(shí)，B廠工作y小時(shí)，總工作時(shí)數(shù)為z，則目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y，約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≥40，,2x＋y≥40，,x≥0，,y≥0.))作出可行域如圖所示，由圖知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)，z取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝40，,2x＋y＝40，))可得Q(16,8)，故A廠工作16小時(shí)，B廠工作8小時(shí)，可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少．選A．名師點(diǎn)撥?利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一般步驟(1)審題：細(xì)致閱讀，明確題意，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系．(2)設(shè)元：設(shè)問題中要求其最值的量為z，起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x，y，并列出約束條件，寫出目標(biāo)函數(shù)．(3)作圖：精確作出可行域，確定最優(yōu)解．(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)．(5)檢驗(yàn)：依據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋．〔變式訓(xùn)練2〕(2024·四川廣安、眉山、遂寧、內(nèi)江診斷)某車間租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品8件和B類產(chǎn)品15件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品10件和B類產(chǎn)品25件，已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)300元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)400元，現(xiàn)車間至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品100件，B類產(chǎn)品200件，所需租賃費(fèi)最少為__3_800__元．[解析]設(shè)需租賃甲種設(shè)備x天，乙種設(shè)備y天，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8x＋10y≥100,15x＋25y≥200,x∈N，y∈N))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥50,3x＋5y≥40,x∈N，y∈N))，目標(biāo)函數(shù)為z＝300x＋400y．有可行域，易知當(dāng)x＝10，y＝2時(shí)，z＝300x＋400y有最小值3800元．故答案為：3800．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題例6(1)(2024·江蘇高考)已知實(shí)數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0，))則x2＋y2的取值范圍是[eq\f(4,5)，13]．(2)(2024·河南中原名校質(zhì)量考評)若方程x2＋ax＋2b＝0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則eq\f(b－3,a－2)的取值范圍是(D)A．[eq\f(2,5)，1] B．[1，eq\f(5,2)]C．(1，eq\f(5,2)) D．(eq\f(2,5)，1)[分析](1)本題中x2＋y2的幾何意義是點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，不能遺漏平方；(2)eq\f(b－3,a－2)表示點(diǎn)(a，b)與(2,3)連線的斜率k，依據(jù)題意列出a、b應(yīng)滿意的約束條件，在此約束條件下求k的取值范圍即可．[解析](1)不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)(0,2)，(1,0)，(2,3)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如圖所示．因?yàn)樵c(diǎn)到直線2x＋y－2＝0的距離為eq\f(2,\r(5))，所以(x2＋y2)min＝eq\f(4,5)，又當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(2,3)時(shí)，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范圍是[eq\f(4,5)，13]．(2)記f(x)＝x2＋ax＋2b，則由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，,f2>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0，,a＋2b＋1<0，,a＋b＋2>0.))作出可行域如圖中陰影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0,a＋b＋2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝1，))∴C(－3,1)，明顯A(－1,0)，B(－2,0)eq\f(b－3,a－2)表示點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(2,3)連線的斜率，由圖可知當(dāng)(a，b)取(－1,0)時(shí)，eq\f(b－3,a－2)＝1；當(dāng)(a，b)取(－3,1)時(shí)，eq\f(b－3,a－2)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(b－3,a－2)的取值范圍是(eq\f(2,5)，1)，故選D．[引申]在本例(1)條件下：①x2＋(y＋1)2的最小值為__2__；②eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍是[eq\f(1,2)，3]；③eq\f(x＋2y＋1,x＋3)的取值范圍是[eq\f(1,2)，eq\f(9,5)]．[解析]①由圖可知當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(1,0)時(shí)，x2＋(y＋1)2取最小值2；②eq\f(y＋1,x＋1)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－1，－1)連線的斜率．由圖可知當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(1,0)時(shí)，eq\f(y＋1,x＋1)取最小值eq\f(1,2)，當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(0,2)時(shí)，eq\f(y＋1,x＋1)取最大值3，∴eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍是[eq\f(1,2)，3]．③eq\f(x＋2y＋1,x＋3)＝1＋2·eq\f(y－1,x＋3)，eq\f(y－1,x＋3)表示(x，y)與點(diǎn)(－3,1)連線的斜率，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,3x－y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))∴B(2,3)．由圖可知(x，y)取(1,0)時(shí)eq\f(y－1,x＋3)，取最小值－eq\f(1,4)，(x，y)取點(diǎn)(2,3)時(shí)，eq\f(y－1,x＋3)取最大值eq\f(2,5)．∴eq\f(x＋2y＋1,x＋3)的取值范圍是[eq\f(1,2)，eq\f(9,5)]．名師點(diǎn)撥?非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解(1)對形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的平方的最值問題．(2)對形