【八年級上冊數(shù)學(xué)華師大版】專題08 三角形最值問題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁08最值問題1．如圖，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，點(diǎn)F為射線上一點(diǎn)．若，則長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)到直線垂線段最短，∴時(shí)長有最小值，∵點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，，∴時(shí),故選：C．2．如圖：等腰的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，．是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，的長為的最小值，的周長的最小值為．故選：C．3．如圖，等邊三角形的邊長為2，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解：連接交于點(diǎn)，，，共線，過點(diǎn)作直線，，與關(guān)于直線對稱，，，，，，，，關(guān)于直線對稱，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為線段的長，故選：B．4．如圖，中，，垂直平分，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】解：∵垂直平分，∴關(guān)于對稱，設(shè)交于，∴當(dāng)和重合時(shí)，的值最小，最小值等于的長，的最小值是5.故選：B．5．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】解：垂直平分，，，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，，即的長度的最小值，的最小值為12，故選：．6．如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【詳解】解：過作于，交于，連接，則最小根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短，，，和關(guān)于直線對稱，，即，

∵，，∴，即，故選：B．7．如圖，在中，，，是的平分線，．若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，如圖所示：，是的平分線，，垂直平分，，要使取最小值，則當(dāng)時(shí)，為最小值，，又，，，故選：A．8．如圖，在等邊中，為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，，，在上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【詳解】解：是等邊三角形，，∵在等邊三角形中，D為AC的中點(diǎn)，∴BD為的中線，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交于，連接，此時(shí)的值最小，最小值EQ'=PQ'，，，DQ'=2，∴CQ'=，=AQ'=7，，是等邊三角形，∴PQ'=，的最小值為7，故選：A．9．如圖，過邊長為2的等邊的頂點(diǎn)C作直線，然后作關(guān)于直線l對稱的，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：如圖，連接，∵與關(guān)于直線l對稱，∴，∴，，∴，在和中，，，，∴，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即點(diǎn)B，P，共線時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為4．故選：A．10．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，作N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)O，過C作于E，∵平分∴在上，且∴，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得的最小值為，即C點(diǎn)到線段某點(diǎn)的連線，∴根據(jù)垂線段最短，的最小值為C點(diǎn)到的垂線段的長度，∵的面積為10∴∴故選B．11．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，垂直平分，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最小值是（

）A．12 B．13 C．15 D．20【答案】B【詳解】解：連接，垂直平分，，，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上，最短，最短距離為長．，，，即的最小值是13，故選：B．12．如圖，中，，，，平分，如果、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8【答案】A【詳解】過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，∴，∴，∵中，，，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故選A．13．如圖，在等腰中，，平分，平分，M、N分別為射線、上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．10【答案】C【詳解】過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)F，則的最小值為，延長兩線交于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴的最小值為5，故選D．14．如圖，在中，，，，、、分別是邊、、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值是______．【答案】【詳解】在中，∵，∴∵∴當(dāng)點(diǎn)、與點(diǎn)重合，且點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至?xí)r，值最?。唷摺唷啵蚀鸢笧椋海?5．如圖，點(diǎn)為內(nèi)部一定點(diǎn)，點(diǎn)、分別為邊、上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長最小值等于時(shí)，則_______．【答案】【詳解】如圖，作關(guān)于，的對稱點(diǎn)，連接．則當(dāng)是與的交點(diǎn)時(shí)，的周長等于．又∴當(dāng)周長最小值等于時(shí)，是等邊三角形，∴，根據(jù)對稱性可知故答案為：16．如圖，是等邊三角形，，在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，則的周長最小值是_____________．【答案】【詳解】解：∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周長為，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，當(dāng)，時(shí)，最小，過作于，∴，∴，∴的最小值為，∴的周長最小值是．故答案為：．17．如圖，等邊三角形中，是邊上的中線，F(xiàn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹荛L取得最小值時(shí)，的度數(shù)為________°．【答案】60【詳解】解：過E作，交于N，連接交于F，連接，∴，∵是等邊三角形，E是邊的中點(diǎn)．∴，∴，為等邊三角形，∴，∴，∵是邊上的中線，是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴E和M關(guān)于對稱，則此時(shí)的值最小，的周長最小，∵是等邊三角形，∴，∵，

∴，，∴由軸對稱的性質(zhì)可得：，∴，故答案為：18．如圖，在等邊中，平分，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接、，且的最小值為，則______．【答案】13【詳解】解：如圖，連接，，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到垂直平分，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，取值最小，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．∵是等邊三角形中的平分線，∴垂直平分，∴，∴，由兩點(diǎn)間線段距離最短可知，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，取值最小，最小值為，∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴．故答案為：13．19．如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為______．【答案】8【詳解】解：連接，，∵腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點(diǎn)∴∴的周長為∴周長的最小值為∵等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)∴，∵，即∴解得∴周長的最小值為．故答案為：8．20．有一個(gè)四邊形場地，則的最大值為_____．【答案】25【詳解】解：以為邊向外作等邊三角形，連接，如圖所示：則，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；當(dāng)C、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，最大，∴的最大值為25，故答案為：25．21．如圖，長方形中，，，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接、，則的最小值為_____．【答案】15【詳解】作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，則的長即為的最小值．【分析】解：作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，則的長即為的最小值．∵長方形中，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即的最小值為15．故答案為：15．22．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作，使，為的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為______．【答案】2【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，當(dāng)時(shí)，有最小值，，，，∴，線段的最小值為．故答案為：．23．如圖，中，，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】【詳解】解：在中，，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)最小，又，解得，的最小值為，的最大值為，故答案為：．24．如圖，在中，，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的平分線，∴，則此時(shí)有最小值，最小值為的長，∵，，，，又∵，∴，∴的最小值是．故答案為：25．如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)G，連接，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是等邊三角形，∴，即，∴，∵是等邊三角形的高，∴，∴，又∵旋轉(zhuǎn)到，∴，在和中，，∴（），∴，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，即最短，此時(shí)，∴，∴，∴．∴線段長度的最小值是．故答案為：．26．如圖，將沿折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)D在上，點(diǎn)P在線段上移動(dòng)，若，則周長的最小值為________．【答案】【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M點(diǎn)為上一個(gè)固定點(diǎn)，則長度固定，∴，∵周長，∴要使得周長最小，即使得最小，∵，∴滿足最小即可，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足最小，此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，，∴周長最小值即為故答案為：12．27．如圖，在中，，，，點(diǎn)分別在邊上，且，則的最小值為__________．【答案】【詳解】解：過點(diǎn)作，截取，連接，過作，交的延長線于，則，∴，在和中，，∴，∴，∴的最小值，即為的長，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．28．如圖，A、B兩點(diǎn)在直線外的同側(cè)，A到的距離，B到的距離，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于___________．【答案】10【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)B作，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長．∵，∴，∴，∴的最大值等于10．故答案為：10．29．如圖，在中，，．的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長的最小值為7時(shí)，此時(shí)的面積是_____．【答案】10【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴A與B關(guān)于對稱，連接，交于點(diǎn)P，∵，∴，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，周長最小，∵周長的最小值為7，∴，∵F為邊的中點(diǎn)，，，∴，，∴，∴．故答案為：10．30．如圖，等腰的直角邊長為4，D、E分別為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值__________【答案】【詳解】解：由題意可得如圖所示：過點(diǎn)A作，且，連接，如圖所示，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)為最小時(shí)，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)C、D、H三點(diǎn)共線時(shí)即為最小，連接，交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴∴CD+BE的最小值為；故答案為∶．31．(1)如圖，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距200米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A，B，米，米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P，使得抽水點(diǎn)P到兩個(gè)菜園C，D的距離和最短．請?jiān)趫D中作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡，并求出的最小值．(2)借助上面的思考過程，請直接寫出當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值＝_____．【答案】(1)250米；(2)17【詳解】（1）作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)P，連接，點(diǎn)P即為所求；作交的延長線于E．在中，∵米，米，∴（米），∴的最小值為250米；（2）先作出點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接，作交的延長線于E．使，，，DF的長就是代數(shù)的最小值，∵∴代數(shù)式的最小值為17．故答案為：17．32．在中，，，，的中垂線交于D，交于點(diǎn)E．(1)如圖1，連接，請求出的長；(2)如圖2，延長交的延長線于點(diǎn)F，連接，請求出的長；(3)如圖3，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】(1)；(2)5；(3)【詳解】（1）∵是的中垂線，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即（2）∵是的中垂線，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長為5；（3）的最小值為理由：連接，過B作于M，交直線于，過作于，如圖3所示：∵是的中垂線，∴，∴，∵，，∴，則點(diǎn)M與關(guān)于對稱，此時(shí)，即的值最?。?，由（2）得，，∴，∵，∴的面積，∴即的最小值為故答案為：．33．如圖，在中，，的垂直平分線交于N，交于M，連接．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線與交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E；(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)；(3)若，，在直線上是否存在點(diǎn)P，使由P，B，C構(gòu)成的的周長值最?。咳舸嬖?，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求的周長最小值；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析；(2)；(3)存在；的周長的最小值為14cm【詳解】（1）解：即為所求作的角平分線，如圖所示：（2）解：∵，，∴，∴，∵垂直平分，，∴，∵平分，∴，∴．（3）解：存在；的周長的最小值為14cm．∵垂直平分，，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，的周長最小，∵，，的周長的最小值為：．34．如圖，在中，，的垂直平分線與，分別相交于點(diǎn)E，D，連接．(1)若，則的度數(shù)為______；(2)若，的周長為14．①求的長；②在直線