2025高考數學一輪復習-4.7.2-解三角形的綜合問題-專項訓練【含答案】

2025高考數學一輪復習-4.7.2-解三角形的綜合問題-專項訓練INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1.如圖,在四邊形ABCD中,BD<AD,sin(π3-A)cos(π6+A)=(1)求A;(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四邊形ABCD的面積.2.在△ABC中,內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,已知a2=3(b+c).(1)若A=π3(2)若b=3,證明:A=2B.3.△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2(c-acosB)=3b.(1)求角A;(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.4.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.5.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為3,D為BC的中點,且AD=1.(1)若∠ADC=π3(2)若b2+c2=8,求b,c.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】6.在①AB=25,②∠ADB=135°,③∠BAD=C這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,使得問題成立,并求BD的長和△ABC的面積.如圖,在△ABC中,D為BC邊上一點,AD⊥AC,AD=1,sin∠BAC=255,參考答案INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1.解:(1)因為(π3-A)+(π6+A)=所以sin(π3-A)=cos(π所以sin(π3-A)cos(π6+A)=14可化為sin2(π由二倍角公式可得cos(2π3-2A)=1因為BD<AD,所以A∈(0,π2所以(2π3-2A)∈(-π3,所以2π3-2A=π3,解得A=(2)在△ABD中,AB=3,AD=3,A=π6由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,即BD2=3+9-2×3×3×32所以BD=3.在△BCD中,由正弦定理得sinCsin∠CBD=BDCD=又因為C=2∠CBD,所以sin2∠CBD=3sin∠CBD,即cos∠CBD=32又因為∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=π6從而C=2∠CBD=π3所以∠BDC=π2因此四邊形ABCD的面積S=12AB·AD·sinA+12BD·CD=12×312+12×3×1=2.(1)解:因為A=π3,且a2由余弦定理可知,a2=3(b+c)=b2+c2-bc,所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤34(b+c)2當且僅當b=c時,等號成立,所以b+c≤12,所以a=3(即△ABC周長的最大值為12+6=18.(2)證明:因為a2=3(b+c),且b=3,所以a2=b2+bc,由余弦定理可知,b2+bc=b2+c2-2bccosA,所以b=c-2bcosA,由正弦定理可知,sinB=sinC-2sinBcosA,因為A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),又因為A,B∈(0,π),B+A-B=A≠π,所以B=A-B,即A=2B.3.解:(1)由2(c-acosB)=3b及正弦定理,得2(sinC-sinAcosB)=3sinB,所以2sin(A+B)-2sinAcosB=3sinB,即2cosAsinB=3sinB,因為sinB≠0,所以cosA=32又0<A<π,所以A=π6(2)法一因為a=2,所以由正弦定理,得b=4sinB,c=4sinC,所以S△ABC=12bcsinA=1因為C=π-(A+B)=5π6所以sinC=sin(5π6所以S△ABC=4sinBsin(5π6=4sinB(12cosB+3=2sinBcosB+23sin2B=sin2B-3cos2B+3=2sin(2B-π3)+3因為0<B<5π6,所以-π3<2B-π3所以-32<sin(2B-π所以0<S△ABC≤2+3,即△ABC面積的最大值是2+3.法二S△ABC=12bcsinA=1由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,b2+c2-3bc=4,因為b2+c2≥2bc(當且僅當b=c時,等號成立),所以2bc-3bc≤4,bc≤42-3S△ABC=12bcsinA=14bc≤2+即△ABC面積的最大值是2+3.4.(1)證明:因為BDsin∠ABC=asinC,所以由正弦定理,得BD·b=ac,又b2=ac,所以BD·b=b2,又b>0,所以BD=b.(2)解:如圖所示,過點D作DE∥BC交AB于點E,因為AD=2DC,所以AEEB=ADDC=2,DEBC所以BE=c3,DE=2在△BDE中,cos∠BED=BE2+DE2-在△ABC中,cos∠ABC=AB2+BC因為∠BED=π-∠ABC,所以cos∠BED=-cos∠ABC,所以c2+4a化簡得3c2+6a2-11ac=0,方程兩邊同時除以a2,得3(ca)2-11(c解得ca=23或當ca=23,即c=cos∠ABC=c2+a2-當cacos∠ABC=c2+a2-綜上,cos∠ABC=7125.解:(1)在△ABC中,因為D為BC的中點,∠ADC=π3則S△ADC=12AD·DCsin∠ADC=12×1×12a·32=38a=1在△ABD中,∠ADB=2π3由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB,即c2=4+1-2×2×1×(-12)=7,解得c=7,則cosB=7+4-1sinB=1-cos2B所以tanB=sinBcosB(2)在△ABD與△ACD中,由余弦定理得c兩式相加整理得12a2+2=b2+c2,而b2+c2則a=23,又S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=3解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=π2所以b=c=ADINCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】6.解:選條件①,sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=255,所以sin∠BAD=1-(2在△ABD中,由余弦定理,得BD=20+1-2×25在△ABD中,由正弦定理,得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD,即所以sin∠ADB=213所以sin∠ADC=21313,cos∠ADC=所以tan∠ADC=23,所以AC=2所以△ABC的面積為12×25×23×25選條件②,sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=25所以sin∠BAD=1-(2所以sinB=sin(∠BAD+135°)=55×(-22)+255×在△ABD中,由正弦定理,得ABsin135°=ADsinB=BDsin∠因為∠ADB=135°,所以∠ADC=45°,所以AC=1,所以△ABC的面積為12×5×1×2選條件③,sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=25所以sin∠BAD=1-(2因為∠BAD=C,所以sinC=55在Rt△ACD中,