2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.8-解三角形的應(yīng)用舉例-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.8-解三角形的應(yīng)用舉例-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40km的速度沿南偏東40°的方向直線航行,2h后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.402km B.403km C.803km D.802km2.如圖所示,長為4m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處2m的地面上,另一端B在離堤足C處3m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tanα等于()A.2315 B.516 C.15 3.如圖,一架飛機(jī)從A地飛往B地,兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層,從A點(diǎn)起飛以后,就沿與原來的飛行方向AB成12°角的方向飛行,飛行到中途C點(diǎn),再沿與原來的飛行方向AB成18°角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程大約多飛了(sin12°≈0.21,sin18°≈0.31)()A.10km B.20km C.30km D.40km4.(多選題)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°,距離為126km;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離為83km.貨輪由A處向正北航行到D處時,再看燈塔B在南偏東60°,則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24kmB.燈塔C與D處之間的距離是83kmC.燈塔C在D處的南偏西30°D.D處在燈塔B的北偏西30°5.一條河流從某城市中穿過,其中一河段的兩岸基本上是平行的,根據(jù)城建工程計劃,需要測量出該河段的寬度,現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)A,B,并測得AB=a,選取對岸一目標(biāo)點(diǎn)C,并測得∠ABC=α,∠BAC=β,則該段河流的寬度為()A.asinαsinβC.asinαcos6.如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向前進(jìn)40km至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為km.

7.如圖,在寶塔山的山坡A處測得∠CAD=15°,從A處沿山坡直線往上前進(jìn)85m到達(dá)B處,在山坡B處測得∠CBD=30°,∠BCD=45°,則寶塔CD的高約為m.(2≈1.41,6≈2.45,結(jié)果取整數(shù))

8.通信衛(wèi)星在地球靜止軌道上運(yùn)行,地球靜止軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為hkm(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個球(球心為O,半徑為rkm),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù),點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面,在點(diǎn)A處放置一個仰角為θ的地面接收天線(仰角是天線對準(zhǔn)衛(wèi)星時,天線與水平面的夾角),若點(diǎn)A的緯度為北緯30°,則tanθ-3=.

9.如圖所示,A,B,C為三個村莊,AB=7km,AC=5km,BC=8km.(1)求∠ACB的大小;(2)若村莊D在線段BC的中點(diǎn)處,現(xiàn)在線段AC上選取一點(diǎn)E建一個加油站,求該加油站到村莊A,B,C,D的距離之和的最小值.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.為了測量某瀑布的某一處實際高度,李華同學(xué)設(shè)計了如下測量方案:有一段水平山道,且山道與瀑布不在同一平面內(nèi),瀑布底端與山道在同一平面內(nèi),可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直,在水平山道上A點(diǎn)位置測得瀑布頂端仰角的正切值為32,沿山道繼續(xù)走20m,抵達(dá)B點(diǎn)位置測得瀑布頂端的仰角為π3.已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為A.60m B.90m C.108m D.120m11.如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為3003m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn),現(xiàn)測得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P,Q兩點(diǎn)間的距離為m.

12.如圖,一艘船從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行60km后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15°的方向航行30km后到達(dá)海島C.下次若直接從A出發(fā)到達(dá)C.(1)需要航行多少千米?(2)此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行(角度精確到0.1°)?參考數(shù)據(jù):sin7.2°≈721,sin19.1°≈2114,sin40.9°≈13.為了測量隧道口A,B間的距離,開車從A點(diǎn)出發(fā),沿正西方向行駛4002m到達(dá)D點(diǎn),然后從D點(diǎn)出發(fā),沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)C點(diǎn),再從C點(diǎn)出發(fā),沿東南方向行駛400m到達(dá)隧道口B點(diǎn)處,測得B,D間的距離為1000m.(1)若隧道口B在點(diǎn)D的北偏東θ的方向上,求cosθ的值;(2)求隧道口A,B間的距離.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級應(yīng)用創(chuàng)新練】14.(多選題)某同學(xué)為測量教學(xué)樓的高度,先在地面選擇一點(diǎn)C,測量出教學(xué)樓AB的仰角∠ACB=α,再分別執(zhí)行如下四種測量方案,則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有()A.從點(diǎn)C向教學(xué)樓前進(jìn)a到達(dá)點(diǎn)D,測量出∠ADB=βB.在地面上另選點(diǎn)D,測量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=aC.在地面上另選點(diǎn)D,測量出∠BDC=β,CD=aD.從過點(diǎn)C的直線上(不過點(diǎn)B)另選點(diǎn)D,E,測量出CD=2DE=a,∠ADB=β,∠AEB=γ參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1.解析:由題意可得如圖所示的示意圖,且∠SAB=40°,∠SAC=70°,即∠BAC=30°,由圖知,∠ABC=105°,則C=45°,又AB=80km,所以BCsin30°=ABsin452.解析:由題意可得,在△ABC中,AB=4m,AC=2m,BC=3m,且α+∠ACB=π.由余弦定理可得,cos∠ACB=AC2+則cosα=14,所以sinα=15所以tanα=sinαcosα3.解析:在△ABC中,由A=12°,B=18°,得C=150°,由正弦定理得500sin150°=BCsin12所以BC=500sin150°·sin12AC=500sin150°·sin18所以AC+BC-AB≈20(km).故選B.4.解析:在△ABD中,由已知,得∠ADB=60°,∠DAB=75°,則B=45°.由正弦定理,得AD=ABsinBsin∠24km,故A正確;在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,又AC=83,所以CD=83,所以燈塔C與D處之間的距離為83km,故B正確;因為AC=CD=83,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以燈塔C在D處的南偏西30°,故C正確;因為燈塔B在D處的南偏東60°,所以D處在燈塔B的北偏西60°,故D錯誤.故選ABC.5.解析:在△ABC中,由正弦定理,得ACsin∠ABC=asinαsin[π6.解析:連接AB(圖略),由題意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,∠ADB=60°,在△ACD中,由正弦定理得ADsin30°=40sin45∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=2CD=402.在△ABD中,由余弦定理得AB=800+3200-答案:2067.解析:因為∠CAD=15°,∠CBD=30°,所以∠ACB=15°,所以AB=BC=85,因為∠BCD=45°,所以∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-30°-45°=105°,sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°·sin60°=22×12+22×3在△BCD中,由正弦定理得BCsin∠BDC=所以CD·sin105°=85sin30°,所以CD=85×(6-答案:448.解析:依題意,作出圖形,如圖,∠AOB=30°,∠CAD=θ,OA=OB=r,BC=h,則∠OAC=90°+θ,C=60°-θ,在△OAC中,由正弦定理得OAsinC=即rsin(60于是得r?+r=sin(60°-θ所以tanθ-3=-2r答案:-29.解:(1)在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=AC2+BC又0°<∠ACB<180°,所以∠ACB=60°.(2)如圖,作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F,連接DE,EF,BE,CF,則DE=FE,DC=FC=4km,∠ACB=∠ACF=60°,所以∠BCF=120°,當(dāng)且僅當(dāng)B,E,F三點(diǎn)共線時,BE+EF最小.此時BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos∠BCF=82+42-2×8×4×(-12所以BF=47km.所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF≥AC+BF=(5+47)km,當(dāng)且僅當(dāng)B,E,F三點(diǎn)共線時,等號成立.所以該加油站到村莊A,B,C,D的距離之和的最小值為(5+47)km.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.解析:根據(jù)題意作出示意圖,其中tanα=32,β=θ=πRt△AOH中,tanα=OHOA,所以O(shè)A=23OH.在Rt△BOH中,tanβ=OHOB,所以O(shè)B=33OH.在△AOB中,由余弦定理,得OB2=OA2+AB2-2OA·ABcosθ,即13OH2=49OH2+202-2×260m.故選A.11.解析:因為∠PAB=90°,∠PAQ=60°,所以∠BAQ=30°,在△ABQ中,因為∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,所以BQ=AB=3003m.由正弦定理,得ABsin∠AQB=所以AQ=900m.在Rt△ABP中,AP=ABtan60°=900m,所以AQ=AP=900m,又∠PAQ=60°,所以△APQ是等邊三角形,所以PQ=900m,即P,Q兩點(diǎn)間的距離為900m.答案:90012.解:(1)在△ABC中,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根據(jù)余弦定理知,AC=A=6=307(km),即需要航行307km.(2)在△ABC中,根據(jù)正弦定理知BCsin∠CAB=BCsin∠ABCAC=30sin120°307=2114,所以∠CAB≈19.1°13.解:(1)在△BCD中,由正弦定理,得BDsinC=即1000sin45所以sin∠CDB=25由題可知0°<∠CDB<90°,所以cos∠CDB=235,即cosθ=23(2)由(1)可知,cos∠ADB=sin∠CDB=25在△ABD中,由余弦定理,得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=10002+(4002)2-2×1000×4002×25所以AB=1000,故隧道口A,B間的距離