2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.下列結(jié)論正確的是()A.梯形可以確定一個(gè)平面B.若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行C.若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥αD.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合2.在底面半徑為1的圓柱OO1中,過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD,其中母線AB=2,E是弧BC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),則()A.AE=CF,AC與EF是共面直線B.AE≠CF,AC與EF是共面直線C.AE=CF,AC與EF是異面直線D.AE≠CF,AC與EF是異面直線3.已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,A1在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn),則異面直線AB與CC1所成的角為()A.π6 B.π4 C.π34.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,則異面直線A1C與BC1所成角的余弦值為()A.12 B.C.14 D.6.已知a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)為.

①若a平行于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則a∥α;②若α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線;③若α∥β,a?α,則a∥β;④若α∩β=b,a?α,則a與β一定相交.7.如圖,在四棱錐PABCD中,O為CD上的動(dòng)點(diǎn),VP?OAB恒為定值,且△PDC是正三角形,則直線PD與直線AB所成角的大小是.

8.在四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長(zhǎng)為.9.如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點(diǎn),求AD與GF所成的角的余弦值.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】10.平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32 B.22 C.3311.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?12.如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AB,CC1的中點(diǎn).(1)求異面直線A1E與D1F所成角的余弦值;(2)求三棱錐A1D1EF的體積.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練】13.如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,E,F分別為AA1,CC1的中點(diǎn),M為AB上一點(diǎn).(1)若D1E與CM相交于點(diǎn)K,求證:D1E,CM,DA三條直線相交于同一點(diǎn);(2)若AB=2,AA1=4,∠BAD=π3,求點(diǎn)D1參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.解析:因?yàn)樘菪蔚纳稀⑾聝傻酌嫫叫?所以梯形是平面圖形,故A正確;若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線可能相交、平行或異面,故B錯(cuò)誤;當(dāng)直線和平面相交時(shí),該直線上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),故C錯(cuò)誤;如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)且它們共線,那么這兩個(gè)平面可能相交,故D錯(cuò)誤.故選A.2.解析:如圖,由已知得,AE=AB2+BEBC2+BF3.解析:連接A1D,AD,A1B(圖略),因?yàn)镃C1∥AA1,所以∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角.由題可知AD=4-1=3,A1D=9-3=(6)2+1=7,由余弦定理,可得cos∠A1AB=9+4-72×3×2=12,所以∠A4.解析:直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”?“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.故選A.5.解析:延長(zhǎng)AC至D使得CD=AC,連接C1D,BD,則CDA1C1,所以四邊形CDC1A1是平行四邊形,所以A1C∥C1D,所以∠BC1D是異面直線A1C與BC1所成的角或其補(bǔ)角,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以CC1⊥BC,同理CC1⊥CD,設(shè)AB=1,則A1C=BC1=C1D=2,∠BCD=120°,CD=AC=CB=1,∠CBD=∠CDB=30°,所以BD=2×1×cos30°=3,所以cos∠BC1D=BC12+C1D2-BD故選C.6.解析:①忽略了a在α內(nèi)這一情況,故①錯(cuò)誤;②直線a與b沒(méi)有交點(diǎn),所以直線a與b可能異面也可能平行,故②錯(cuò)誤;③直線a與平面β沒(méi)有公共點(diǎn),所以a∥β,故③正確;④直線a與平面β可能相交也可能平行,故④錯(cuò)誤.答案:③7.解析:因?yàn)閂P?OAB所以S△ABO為定值,即O到AB的距離為定值.因?yàn)镺為CD上的動(dòng)點(diǎn),所以CD∥AB,所以∠PDC為異面直線PD與AB所成的角.因?yàn)椤鱌DC為正三角形,所以∠PDC=60°.所以直線PD與直線AB所成的角為60°.答案:60°8.解析:如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF,由題意,得OE∥AC,OF∥BD,所以O(shè)E與OF所成的銳角即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成的角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當(dāng)∠EOF=60°時(shí),EF=OE=OF=12當(dāng)∠EOF=120°時(shí),取EF的中點(diǎn)M,則OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3答案:12或9.解:取DE的中點(diǎn)H,連接HF,GH.由題設(shè),HF∥AD且HF=12所以∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角).在△GHF中,可求HF=22,GF=GH=26,所以cos∠GFH=HF2+GF所以AD與GF所成的角的余弦值為36INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】10.解析:如圖所示,過(guò)點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCDA1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體,易知平面α為平面AF1E,則m,n所成的角為∠EAF1.因?yàn)椤鰽F1E為正三角形,所以sin∠EAF1=sin60°=3211.(1)證明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解:因?yàn)锽E12FA,G為FA的中點(diǎn),所以BEFG,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.12.解:(1)如圖,設(shè)BB1的中點(diǎn)為H,連接HF,EH,A1H,因?yàn)镕是CC1的中點(diǎn),所以A1D1∥CB∥HF,A1D1=CB=HF,因此四邊形A1D1FH是平行四邊形,所以D1F∥A1H,D1F=A1H,因此∠EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補(bǔ)角,又正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E是AB的中點(diǎn),所以A1E=A1H=22+12=5,EH=12A1E2+A1H2-EH(2)因?yàn)锳1D1∥HF,HF?平面A1D1E,A1D1?平面A1D1E,所以HF∥平面A1D1E,因此點(diǎn)H,F到平面A1D1E的距離相等,所以VA1?D=VD1?A1EH=1=13×2×(22-12×2×1×2-12×=1,所以三棱錐A1-D1EF的體積為1.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練】13.(1)證明:因?yàn)镈1E與CM相交于點(diǎn)K,所以K∈D1E,K∈CM,而D1E?平面ADD1A1,CM?平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,所以K∈AD,所以D1E,CM,DA三條直線相交于同一點(diǎn)K.(2)解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,AB=2,所以BC=CD=2,而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,所以CC1⊥底面A