2024數(shù)學(xué)核按鈕考點突破第七章 立體幾何

第七章立體幾何

7.1基本立體圖形

課程標準有的放矢

1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組

合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡

單的實際問題.

3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡

單組合）的直觀圖.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.棱柱、棱錐、棱臺

棱柱棱臺

圖0.

形於、上底面

工

側(cè)棱

側(cè)面?,?

頂點7/方-^——3C

B下底面

定有兩個面互相平行,其余各面有一個面是多邊形，其用一個平行于棱錐底面的平

義都是四邊形,并且相鄰兩個四余各面都是有一個公共面去截棱錐，底面和截面之

邊形的公共邊都互.相平行,由頂點的：.角形,由這些間那部分多面體

這些面所圍成的多面體面所圍成的多面體

結(jié)底面互相平行且全等;側(cè)面都底面是一個多邊形；側(cè)上、下底面互相平行且相

構(gòu)

是平行四邊形;側(cè)棱都相等且面都是三角形;側(cè)面有似；各側(cè)棱延長線交于一

特

互相平行一個公共頂點點；各側(cè)面為梯形

征

分

①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱①按底面多邊形的邊①按底面多邊形的邊數(shù)：三

類

柱、四棱柱、五棱柱…數(shù)：三棱錐、四棱錐、棱臺、四棱臺、五棱臺…

②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱五棱錐…②正棱臺：由正棱錐截得的

垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,②正棱錐：底面是正多棱臺

邊形，并且頂點與底面

中心的

否則叫做斜棱柱.底面是正多邊連線垂直于底面的棱錐

形的直棱柱叫做正棱柱.底面是

平行四邊形的四棱柱也叫做壬

行六面體

2.圓柱、圓錐、圓臺、球

球

定義以維的一邊所在直以直角三角形的一條用玨于圓錐底面的以半圓的直徑所在

線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三直角邊所在的直線為平面去截圓錐，底面直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋

邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋與截面之間的部分轉(zhuǎn)一周所形成的曲

所圍成的旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)一周形成的面所圍面叫做球面,球面

成的旋轉(zhuǎn)體所圍成的旋轉(zhuǎn)體

結(jié)構(gòu)①母線互相平行且相①母線相交于一點①母線延長線交于二截面是圓面

特征等，并垂直于底面②軸截面是全等的笠點

②軸截面是全等的更腰三角形②軸截面是全等的笠

形③側(cè)面展開圖是扇形腰梯形

③側(cè)面展開圖是矩形③側(cè)面展開圖是扇環(huán)

簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體.其構(gòu)成形式主

要有：由簡單幾何體拼接，或由簡單幾何體截去或挖去一部分.

3.立體圖形的直觀圖

(1)概念：直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形，

立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：

①在已知圖形中取互相垂直的％軸和y軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，

把它們畫成對應(yīng)的/軸與y'軸，兩軸相交于點0',且使乙X'。夕'=立(或

135°),它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于％軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或

y'軸的線段.

③已知圖形中平行于王馳的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于工地

的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.

畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與％

軸、y軸都垂直的z軸,并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.

4.簡單幾何體的表面積與體積

(1)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積

側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式

其中r,r'為底面半徑，/為母線長.

（2）柱、錐、臺、球的表面積和體積

名稱表面積體積（S是底面積，/i是高）

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）s表面積=S側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底V=lSh

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=5側(cè)+S上+S卜.1/=|（S1-+S下+Js上S下）h

球（R是半徑）S=4TTR2y=4n/?3

3____

【常用結(jié)論】

5.常見四棱柱及其關(guān)系

底面是平側(cè)棱垂直

行四邊整平行于底面

底

是

四|A六面體正

桂

畛IX底面是正各棱長

導(dǎo)正方形■四都相箋

整側(cè)棱垂直有四底面是平<棱方

體

柱|鑄瓦苣］行四邊形及柱

6.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積是原圖形的￥倍，即

4

c—c

J直觀圖一7）原圖形?

7.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

（1）長、寬、高分別為a,b,。的長方體的體對角線長等于外接球的直

徑，即Ja2+b2+c2=2R.

（2）正方體的棱長為a,球的半徑為R,若球為正方體的外接球，則2R=

V3a；若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；若球與正方體的各棱相切，則

2R=y/2a.

（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3:1.

自主評價?牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“J”，錯誤的畫“X

（1）有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）

（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體.（X）

（4）用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，原圖形面積S與其直觀圖面積S'的

關(guān)系為s'=fs.（V）

（5）圓錐的體積等于底面積與高之積.（X）

2.（教材習題改編）三棱錐的四個面中，下列說法不正確的是（A）

A.不能都是直角三角形B.可能都是銳角三角形

C.可能都是等腰三角形D.可能都是鈍角三角形

［解析］解：正方體中三棱錐/-的各面都是直角三角形，故A不正確；

正四面體，四個面中，都是等邊三角形，故B,C正確；三棱錐的四個面中，

可能都是鈍角三角形，即D正確.故選A.

3.如圖，長方體ABCO-AB'C'D'被截去一部分，其中E"〃力'D',則剩下的幾

何體是（C）

［解析］解：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

4.［2022屆江蘇南通高三開學(xué)考試］已知圓錐的軸截面是斜邊為2百的直角三角

形，該圓錐的體積為（C）

A.—B.-C.V3TTD.3V31T

32

［解析］解：由題意，知該圓錐的軸截面是等腰直角三角形，其底面圓半徑為國,

高為V5,所以該圓錐的體積為V=1TTX（V3）2xV3=V3TT.故選C.

核心考點?精準突破

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1下列說法正確的是（B）

A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.在圓臺的上、下兩底面圓周上各任取一點，則這兩點的連線不一定是圓臺的

母線

C.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾

何體叫圓錐

［解析］解：對于A,如圖1符合條件但卻不是棱柱；B顯然正確；

對于C,如圖2,其側(cè)棱不相交于一點，故不是棱臺;

圖3

對于D,如圖3,以直角三角形的斜邊4B為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個同底的圓錐.故

選B.

【點撥】解決此類問題的基本方法：①定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，

熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，

變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定;②反例

法：學(xué)會通過反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設(shè)法舉出一

個反例即可.

變式1.【多選題】下列命題中正確的是（BC）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱

柱

C.存在每個面都是直角三角形的四面體

D.棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等

［解析］解：A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但

不一定全等.B正確，由線面平行的性質(zhì)定理,知兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平

行于側(cè)棱，又垂直于底面.C正確，如圖，

正方體4BC0-4B1GD1中的三棱錐G-力BC的四個面都是直角三角形.D不

正確，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長線交于

一點，但側(cè)棱長不一定相等.故選BC.

例2［2020新高考I卷H卷］日皆是中國古代用來測定時間的儀器，利用與辱面

垂直的暑針投射到屠面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），

地球上一點/的緯度是指04與地球赤道所在平面所成角，點4處的水平面是指

過點/且與OA垂直的平面.在點/處放置一個日辱，若愚面與赤道所在平面平

行，點/處的緯度為北緯40。，則號針與點力處的水平面所成角為（B）

A.20°B.40°C.50°D.90°

［解析］解：畫出截面圖如圖所示,

其中CO是赤道所在平面的截線，1是點/處的水平面的截線，依題意可知OA_L

LAB是號針處所在直線，m是唇面的截線，依題意，辱面和赤道平面平行，#

針與髻面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得加〃CO,根據(jù)線面垂直的定義可

得/B_Lm.由于Z40C=40。，m//CD,所以zOAG=zAOC=40。，由于

Z.OAG+Z.GAE=乙BAE+Z.GAE=90°,所以MAE=^OAG=40°,也即替

針與點力處的水平面所成角為ZBAE=40。.故選B.

【點撥】課程標準要求考生認識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，并能描述現(xiàn)實生

活中的簡單物體結(jié)構(gòu)，高考常與數(shù)學(xué)文化結(jié)合考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，也體現(xiàn)生

活中處處有數(shù)學(xué).

變式2.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：

“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”

其意思為“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長

2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）（C）

A.12000立方尺B.11000立方尺C.10000立方尺D.9000立方尺

［解析］解：過上棱兩端點向底面作垂面，則垂面與上棱垂直，兩垂面將幾何體

分成兩個四棱錐和一個直三棱柱，如圖所示.

則三棱柱的體積，1=1X3X2X2=6,兩個四棱錐的體積之和為彩=1x2x

3x2=4.

所求體積V=匕+%=10（立方丈）=10000（立方尺）.故選C.

考點二空間多面體的面積、體積

命題角度1空間多面體的面積

例3側(cè)面是正三角形的正四棱錐，體積為營，則它的全面積是1+6.

6

［解析］解：如圖，P-ABC0為正四棱錐,

設(shè)底面邊長為a,過P作PG_LBC于G,作P。1底面4BC0,垂足為。，

連接。G.在內(nèi)△POG中，PG=—a,PO=l—--=^.a,

2y442

因為體積為立，即3xa2x^a=^,則a=i.

6326

所以正四棱柱的全面積為4x^a2+a2=l+V3.

4

故填1+

【點撥】求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩

形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元

素間的關(guān)系，通過建立未知量與已知量間的關(guān)系進行求解.

變式3.如圖1所示的正方體的棱長為1,沿對角面（圖中陰影部分）將其分割

成兩塊，重新拼接成如圖2所示的斜四棱柱，則所得的斜四棱柱的表面積是生土

2V2.

圖1圖2

1解析〕解：由拼接規(guī)律得：斜四棱柱的上下兩個底面為矩形，長為1,寬為

V2；左右為兩個正方形，邊長為1；前后為兩個平行四邊形，相鄰兩邊長為1

與V2,一個內(nèi)角為45。，從而斜四棱柱的表面積是2x1x注+2X#+2x

1xV2xsin45°=4+2&，故填4+242.

命題角度2空間多面體的體積

例4如圖，在多面體中，已知/BCO是邊長為1的正方形，

ADE,ABCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為（A）

［解析］解：如圖，過B兩點分別作/M,BN垂直于EF,垂足分別為M,

N,連接DM,CN,

可證得DM1EF,CNLEF,貝U多面體/BCOEF分為三部分，即多面體的體積

^ABCDEF=^AMD-BNC+^E-AMD+^F-BNC-

依題意知4EFB為等腰梯形.

易知Rt△DME=RtACNF,所以EM=NF=［.

又BF=1,所以BN=

作N”垂直于BC,則，為BC的中點，所以NH=^.

所以SABNC=”C-NH=3.

zq

所以%-BNC=|-S&BNC,NF=今，

企yj2

^E-AMD—^F-BNC=京，^AMD-BNC=^ABNC'MN=~.

所以匕BCDEF=￥，故選A.

【點撥】求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補法和等積變換法（等體

積法）：①割補法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐

體的體積，從而得出要求的幾何體的體積.②等積變換法：特別地，對于三棱

錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來

求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”.

變式4.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方

體4BCD-&B1G2挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中0為長方體

的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AAr=

4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cn?,不考慮打印損耗，制作該模型所需

原料的質(zhì)量為118.8g.

2

［解析懈：由題意得，S^m^EFGH=4x6-4x|x2X3=12(cm),

因為四棱錐。一EFGH的高為3cm,

所以％-EFGH=,X12x3=12(cm3).

又長方體ABC。-的體積為/=4x6x6=144(cm3),所以該模型

3

體積為V=V2-V0_EFGH=144-12=132(cm),其質(zhì)量m=0.9x132=

118.8(g).故填118.8.

考點三空間旋轉(zhuǎn)體的面積、體積

命題角度1空間旋轉(zhuǎn)體的面積

例5如圖四邊形ABCD為梯形，AD//BC,乙4BC=90。，以A為圓心，AD為

半徑畫一個扇形，則圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為

687T.

［解析］解：依題意，形成的幾何體是一個圓臺從上面挖出一個半球,

S半球=-x4nx22=8TT,又CD=-y(5—2)2+42=5，所以S圓臺側(cè)=nx

(24-5)x5=35n，S圓臺底=25n.

故所求幾何體的表面積S表=8TT+35TT+25TT=68n.故填68n.

【點撥】求旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.直角梯形繞直角腰旋

轉(zhuǎn)一周形成的是圓臺，四分之一圓繞半徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的是半

球，所以陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺挖去半球，5表=

S圓臺側(cè)+S下底面+S半球表?

變式5.如圖，在四邊形/BCD中，/.DAB=90°,乙4DC=135°,AB=5,

CD=242,AD=1,則四邊形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為

25(72+l)ir.

因為乙4DC=135。,所以ZEDC=45。,所以△CDE是等腰直角三角形，

因為CO=2V2，所以EC=ED=2.

又40=1，所以4E=AD+DE=3.

所以BC=,(5—2)2+32=3V2.

四邊形/BCO繞40旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐.其中圓臺

的上下底面圓的半徑分別為EC,AB,高為/E；圓錐的底面圓的半徑為EC,高

為DE.所以所得幾何體的表面積S=7TX52+7TX(2+5)X3V2+TTX2X

2V2=25(72+1)11.故填25(四+l)n.

命題角度2空間旋轉(zhuǎn)體的體積

例6已知4(0,0),。(1,0),C(2,l),0(0,3),將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)

一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積是(A)

［解析］解：過C作y軸的垂線交y軸于￡■,則^OCE是直角三角形，四邊形

ABCE是直角梯形，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個圓錐和一個

圓臺的組合體，易求得AB=1,BC=V2,CE=2,AE=1,ED=2,DC=

2V2,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=|XTTX22X2+^（1+1x2+22）X1=5TI.

故選A.

【點撥】求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體

積所需要的幾何量.求旋轉(zhuǎn)體的體積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢

記.

變式6.《烏鴉喝水》的寓言故事，鼓勵人們遇到困難要運用智慧、認真思考才

能讓問題迎刃而解.如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶，上面部分是圓

柱體，下面部分是圓臺，瓶口直徑為3cm,瓶底直徑為9cm,瓶口距瓶頸為

2V3cm,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為手cm.現(xiàn)將1顆石子投

入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移fem.若只有當水位線到達瓶口時，烏鴉才能喝到

水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是（石子體積均視為一致）（C）

9cm

A.2顆B.3顆C.4顆D.5顆

［解析］解：如圖所示，AB=9cm,EF=GH=3cm,LO=3V3cm,所以

乙4=60。.原水位線直徑CO=6cm,投入石子后，水位線直徑〃=5cm，則由

圓臺公式得到，

p=a.MN<CN2+IM2+CN?/M)=*Wen?.同理，空瓶體積是由空瓶

圓臺加圓柱體得到，即，空瓶=，空圓臺+%柱體=*LN.(CN2+EL2+CN-

2

￡L)4-IT-EL-KL==^cm3,則需要石子的個數(shù)為&=

888卜一

石子

99后(1

志=￡'"=答6(3,4),則至少需要4顆石子.故選C.

~24

考點四與球相關(guān)的切、接問題

命題角度1幾何體的外接球

例7

(1)已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=3,

PA1PB,則三棱錐P-ABC的外接球的體積為(B)

A.—B.也包C.27V31TD.27TT

22

［解析］解：因為在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=

3,所以△PAB=△PBC=△PAC.

因為P4J.PB,所以P4_LPC,PCLPB.

以PA,PB,PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外

接球即三棱錐P-ABC的外接球.

A

\.X/

lx

PB

因為正方體的體對角線長為J32+3?+32=3V3,

所以其外接球半徑R=W.

3

因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V=?義(管)=等.故選B.

(2)設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三

角形且其面積為9百，則三棱錐0-ABC體積的最大值為(B)

A.12V3B.18V3C.24V3D.54V3

［解析］解：由等邊三角形4BC的面積為98,可得B，所以/B=

4

6,所以等邊三角形的外接圓的半徑為r=fAB=2b.

設(shè)球的半徑為R,球心到△ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=VR2一產(chǎn)=

V16-12=2.所以三棱錐0-ABC高的最大值為2+4=6,所以三棱錐0-

ABC體積的最大值為］X9V3X6=18V3.故選B.

【點撥】幾何體的外接球問題關(guān)鍵是確定球心位置，主要方法有：①將幾何體

還原或補為正方體或長方體，進而確定球心；②幾何體的外接球球心一定在過

底面的外心與底面垂直的直線上；③球心到各頂點的距離都相等；④球心一定

在外接球的直徑上.

變式7.

(1)已知直三棱柱ABC-的6個頂點都在球。的球面上，若=3,

AC=4,ABLAC,AAr=12,則球。的表面積為1691T.

［解析］解：設(shè)球。的半徑為R.將直三棱柱補形為長方體/BEC-AB'E'C',則球

。是長方體4BEC-4B'E'C'的外接球，所以體對角線BC'為球。的直徑.因此

2R=V32+42+122=13,故S球=4K/?2=169n.故填169n.

(2)［2020年全國I卷］已知/,B,C為球。的球面上的三個點，OR為AABC

的外接圓，若。內(nèi)的面積為411,AB=BC=AC=001,則球。的表面積為

(A)

A.647TB.48nC.36TTD.32n

［解析］解：設(shè)圓名的半徑為r,球的半徑為R,依題意，得71產(chǎn)=4冗，所以r=

2,因為△ABC為等邊三角形，由正弦定理可得=2rsin60。=，所以

001=AB=2由,根據(jù)球的截面性質(zhì)。011平面/BC,所以00110xA,R=

0A=J00/+。142=J+「2=4,所以球0的表面積S=4TTR2=64n.故

選A.

(3)［2022年全國乙卷］已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個

頂點均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為子.

［解析］解：由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為

所以該四棱錐的體積最大時，其高九=Jl-^=斤］=曰?故填

命題角度2幾何體的內(nèi)切球

例8已知正三棱錐的高為1,底面邊長為2百，則該棱錐的內(nèi)切球的半徑為

但一1.

［解析］解：如圖，在正三棱錐P—ABC中，過點P作PD1平面4BC于點0,連

接40并延長，交BC于點E,連接PE,易知。為&ABC的中心.

因為AB=2V3,PD=1，所以S“BC=3V3,DE=1,PE=^2.所以S^BC=

|x2V3xV2=V6.所以三棱錐的體積V=|x3V3x1=V3.

設(shè)內(nèi)切球半徑為R,則V=Vo-ABC+%-PBC+^0-PAC+^0-PAB=g^A/lBC-R+

3X|SAPBC-/?=(V3+V6)/?=V3,可得R=V2-1.

故填在-1.

變式8.

(1)已知三棱錐P-ABC,若24,PB,PC兩兩垂直，且PA=2,PB=

PC=1,則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為；

4

［解析］解：由題意，設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r,球心為。，則由等

體積得Vp_ABC=^0-PAB+^0-PAC+^0-PBC+^0-ABC,即］XyX2XlXl=

ixix2xlxrx2+-x-xlxlxr+-x-xV2x/5--xr,解得r=L

323232y24

故內(nèi)切球的表面積為4n/=；故填％

44

(2)在四棱錐P—A8C0中，底面A8C0是邊長為2a的正方形，PD1底面

ABCD,且P0=2a.若在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為

(2-⑨a.

［解析］解：由題意知，當球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時球的半徑r

最大，如圖1.作出其左視圖，如圖2.

圖1圖2

由“等面積法”，S"AD=|x2ax2a=1x2axrx2+1x2>/2axr,故球

的半徑r=（2-V2）a.

故填（2-V2）a.

課時作業(yè)知能提升

【鞏固強化】

1.如圖所示的幾何體是柱體的有(B)

［解析］解：①③⑤不是柱體，②是圓柱，④是以左、右面為底面的棱柱.故選B.

2.將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括

(D)

A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓臺、一個圓柱

C.兩個圓柱、一個圓臺D.一個圓柱、兩個圓錐

［解析］解：從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成

了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線

旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓柱、兩個圓錐所組成的幾何體，如圖.故選D.

3.下面四個圖形中，可作為三棱柱的平面展開圖的是(A)

［解析］解：A是三棱柱的平面展開圖；B是三棱錐的平面展開圖；C是四棱錐的

平面展開圖；D作為三棱柱的平面展開圖，一側(cè)多了一個底，另一側(cè)少了一個

底.故選A.

4.如圖，矩形O'/'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中。勿，=

6cm,CD'=2cm,則原圖形是（C）

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四邊形

［解析］解：如圖，在原圖形。ABC中,有00=20'D'=2X2V2=4V2,CD=

CD'=2.

所以0c=y/OD24-CD2=

所以O(shè)A=OC,所以四邊形tMBC是菱形.

故選C.

5.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6,點P到底面4BC的距離為3,則三

棱錐的表面積是(C)

A.9V3B.18V3C.27V3D.36次

1解析］解：由題意可知底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為!X餐X

6=V3,所以正三棱錐的斜高為J32+（囪1=2遍,所以這個正三棱錐的側(cè)

面積為3X|x6x2V3=18-73,底面積為］x62xsin60°=9V3.所以正三棱

錐P-ABC的表面積為18百+9V3=27V3.故選C.

6.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，

則該圓柱的體積為（B）

A.ITB.—C.-D.-

424

［解析］解：圓柱的軸截面如圖所示，

由題意可得，AC=l,AB=l，結(jié)合勾股定理，底面半徑r=一?）2=

y,由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是P=nr2/i=nx（?）x1=.故

選B.

7.已知過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且

AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面積和體積.

［答案］解:因為4B:BC-.AC=18:24:30=3:4:5,

所以△ABC是直角三角形，=90°.

又球心0在截面上的投影。'為截面圓的圓心（如圖所示），也是由△

ABC的外接圓的圓心，

所以斜邊4C為截面圓?！闹睆?

設(shè)O'C=r,OC=R,

在RtZkO'CO中，由題設(shè)知sinzO'CO=婦=工，所以zO'CO=30。，

OC2

所以？=cos30°=/,即R=專r,(*)

又2丁=4C=30,所以r=15,代入(*)得R=10^/3.所以球的表面積為S=

2

4TTR2=4TTX(10V3)=12001T.

球的體積為V=加3=/x(10V3)3=4000V3n.

8.在意大利，有一座滿是''斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂

的奇特小屋名叫Trullon,于1996年列入世界文化遺產(chǎn)名景(如圖1).現(xiàn)測量

一個屋頂，得到圓錐S。的底面直徑長為12m,母線SA長為18m(如圖

2).C是母線54的一個三等分點(靠近點S).

(1)現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個屋

頂(不含底面)大約需要多少朵鮮花(n取3.14,結(jié)果精確到個位)；

［答案］解：圓錐的側(cè)面積為S=n?篆S4=3.14x6xl8=339.12(m2),又每

平方米大約需要鮮花60朵，于是得339.12x60《20347(朵)，所以裝飾這

個屋頂大約需要20347朵鮮花.

(2)從點/到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度.

［答案］將圓錐SO的側(cè)面沿母線SA剪開得其展開圖為如圖所示的扇形S44',連

接AC,則AC為所求最小長度.

A<^\

C

S

44'的長度為IT?AB=12n,得扇形圓心角4ASA=為=空，在△ASC中，

183

SA'=18,SC=^SA=6,由余弦定理得AC?=SA'2+SC2-2SA'?

SCcoszA'SC=182+62-2x18x6cos—=468,所以AC=6V13,

3

所以燈光帶的最小長度為6mm.

【綜合運用】

9.［2022年新高考H卷］已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為38和

4V3,其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(A)

A.100-rtB.128TTC.1447TD.1927T

［解析］解：設(shè)正三棱臺上、下底面所在圓面的半徑分別為T1,「2，則2rl=

宅,2r2=冬，即々=3/2=4,設(shè)球心到上、下底面的距離分別為

2

di,d2,球的半徑為R,則￡=V/?—9,d2=、R2—16,由|￡—=1或

222

di+d2=1,EP|V/?-9-V/?-16|=1或JR?-9+V/?-16=1,解得

R2=25，符合題意.所以球的表面積為S=4TTR2=1001T.故選A.

10.［2022年新高考I卷］南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其

中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為

140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為180.0krM,將該水庫

在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到

157.5m時，增加的水量約為(近《2.65)(C)

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

［解析］解：如圖，依題意可知棱臺的高八=MN=157.5-148.5=9(m),所以

增加的水量即為棱臺的體積，.

棱臺下底面積S=140.0km2=140x106m2,

上底面積S'=180.0km2=180x106m2,

所以v=|h(s+s,+Vs?)=|x9x(140x106+180xIO6+

V140x180x1012)=3x(320+60V7)x106a(96+18x2.65)x107=

1.437xIO9x1.4x109(m3).故選C.

11.［2022年全國甲卷］甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和

為2n,側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為4和吆.若9=2,則?=（C）

乙乙

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

［解析］解：設(shè)母線長為L甲圓錐底面半徑為「1，乙圓錐底面圓半徑為丁2,則

S甲=E=「1=2

所以1=2r2.

乙

S7tr2lr2

由圓心角之和為2n,得竿+軍=2TT,則牛=1,所以「］=”及=?,

所以甲圓錐的高上=1/2_泉2=爭,乙圓錐的高電=卜_*=爭,所

以包=扣殺1=*學(xué)=

V10.故選C.

U乙5拗2目2x乎I

12.［2022屆山東日照月考］某市民廣場有一批球形路障球（如圖1所示），現(xiàn)公

園管理處響應(yīng)市民要求，決定將每個路障球改造成方便市民歇腳的立方八面體

石凳（如圖2所示）.其中立方八面體有24條棱、12個頂點、14個面（6個正

方形、8個正三角形），它是將立方體“切”去8個“角”后得到的幾何體.經(jīng)

過測量，這批球形路障球每個直徑為60cm,若每個路障球為改造后所得立方

八面體的外接球，則每個改造后的立方八面體的表面積為5400+1800Vl

cm2.

圖1圖2

［解析］解：由題意知，立方八面體表面有8個正三角形，再加上6個小正方形,

且正方形邊長與正三角形邊長相等，因為路障球為立方八面體的外接球，則圖

中EG為外接球的直徑，設(shè)立方八面體棱長為a，在正六邊形EAOGPN中，EG=

2a,即2a=60,則a=30.

Q

所以立方八面體的表面積S=6a2+8x^a2=5400+1800V3(cm2).故填

4

5400+1800V3.

13.如圖所示，四棱錐P—/BCO中，P/_L菱形ABCO所在的平面，Z.ABC=

(1)求證：平面/EF_L平面24。；

則△ABC是正三角形，又E是BC的中點，即有2E1BC,又AD“BC,于是

AELAD,因P41平面/BCD,AEu平面/BCO,則P/LAE,PAHAD=

A,從而得/E1平面PAO,又/Ec平面/EF,所以平面4E尸1平面PAD.

(2)當AB=AP=2時，求多面體P/BEF的體積.

［答案］由（1）知力E=百,SAABE=［BETE=￥，S^PAF=^S^AD=^X^

YBE

PA-AD=1,而P41平面ABE,AE1平面PAF,于是有"=|SA/1BF-

P4=g,VE_PAF=（S“AF.4E=?，所以多面體P-ABEF的體積“TBEF=

^P-ABE+^E-PAF=■

【拓廣探索】

14.［2022年新高考I卷］已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.

若該球的體積為36ir,且3W1W3H，則該正四棱錐體積的取值范圍是（C）

AJ18,號B.?勺C.《勺D.［18,27］

［解析］解：如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為R,正四棱錐的底邊長為a,高為

（I2=h2+（—a），［h=

由題意及圖可得412，解得《6

卜=（"3）2+（會），卜=2/2一總

所以正四棱錐的體積U="仁乂2〃一X?=E（2-（3W"38）.

（方法一）,=33-2=33（4-?）（3WE工3b）,令7=0,得/=2①，

所以當3W2<2歷時，，>0；當2傷<2W38時，V<0,所以函數(shù)卜=

^（2--j|）（3</<3V3）在［3,2遍）上單調(diào)遞增，在（2①3回上單調(diào)遞減.又

當［=3時，V=-；當1=26時，V=上；當1=3百時，V=-；所以該正

434

四棱錐的體積的取值范圍是.

（方法二）用S（2.）=72X**（2Y”72X左坐小若

（當且僅當芻=2-捻，即2=2痣時取等號），所以正四棱錐的體積的最大值

3618

為空，排除A,B,D.故選C.

7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

課程標準?有的放矢

借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象

出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，并了解基本事實1-3.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.平面的基本性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

基本事文字語言圖形語言符號語言作用

實

基本事過不在?條直線上的三個A,B,C三點確定平面；判

實1點，有且只有一個平面不共線=存定點線共面等

在唯一的平

面a使4，

基本事如果一條直線上的兩個點在確定直線在平

實2一個平面內(nèi)，那么這條直線面內(nèi)；判定點

在這個平面內(nèi)在平面內(nèi)等

基本事如果兩個不重合的平面有一判定兩平面相

實3個公共點,那么它們有且只交；判定點在

有一條過該點的公共直線直線上等

（2）基本事實1與2的推論

推論文字語言圖形語言符號語言

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一AC1=有且只有一個平面

點，有且只有一個平面a,使4ea,Ica

推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有an6=P=有且只有一個

一個平面平面a,使aca,bua

推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有a//b0有且只有一個平面

一個平面a,使aua,bua

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

（1）空間中直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)

共面直線相交直線在同一個平面內(nèi)1

平行直線在同一個平面內(nèi)0

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)0

（2）空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行

公共點個數(shù)無數(shù)個10

當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外.

（3）空間中平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩個平面相交兩個平面平行

公共點個數(shù)有一條公共直線0

符號表示

圖形表示

【常用結(jié)論】

3.唯一性定理

（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

（2）過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

（3）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

（4）過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

4.異面直線的兩個常用判定

（1）與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線.

（2）分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“，錯誤的畫“X”.

（1）如果兩個不重合的平面a,。有一條公共直線a,就說平面a,夕相交，

并記作a0/?=a.（J）

（2）兩個平面a,夕有一個公共點4,就說a,0相交于過/點的任意一條直

線.（X）

（3）兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.（X）

（4）兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.（X）

（5）若a,b是兩條直線，a,/?是兩個平面，且aua,bu0,則a,b是

異面直線.（X