人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第一章《充要條件》教材梳理

皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1.如果A成立，那么B成立，即AB，就稱條件A是B成立的充分條件.也就是說，為使B成立，具備條件A就足夠了.2.如果B成立，那么A成立，即BA，就稱條件A是B成立的必要條件.也就是說，要使B成立，就必須A成立.3.如果既有AB，又有BA，即如果有AB，那么從AB可知A是B成立的充分條件，又從BA可知A是B成立的必要條件，就稱A是B成立的充分而且必要條件，簡稱充要條件.關(guān)鍵詞分析若AB，則A是B成立的充要條件，顯然B也是A成立的充要條件.“充要條件”與“原命題、逆命題、否命題、逆否命題”緊密相關(guān).為此，只要“原命題、逆命題”皆成立，即證明了充要條件.要點(diǎn)提示充要條件反應(yīng)了條件和結(jié)論間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題判斷時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①確定命題的條件和結(jié)論分別是什么；②確定條件是結(jié)論的什么條件；③要證明命題的條件是充要的，就是既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立.證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性.問題·探究問題生活中的一些名言名句與充要條件的關(guān)系.（1）驕兵必?cái)?（2）有志者事竟成;（3）明師出高徒;（4）春回大地，萬物復(fù)蘇;（5）玉不琢不成器;（6）蠟炬成灰淚始干探究:充要條件這個(gè)數(shù)學(xué)概念與人們?nèi)粘Ｉ钪械耐评砼袛嗝芮邢嚓P(guān)，從數(shù)學(xué)的角度重新審視生活中的名言名句，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)源自生產(chǎn)生活實(shí)際，是人類文化的結(jié)晶這一特點(diǎn).當(dāng)然，生活語言不可能像數(shù)學(xué)命題一樣準(zhǔn)確，只要推斷能在某種前提或某個(gè)角度下合乎情理，就應(yīng)該肯定，答案應(yīng)該是開放的，關(guān)鍵是要“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”.邏輯學(xué)不同于通常的數(shù)學(xué)習(xí)題和數(shù)學(xué)問題，具有濃郁的文化氣息.邏輯學(xué)可以教會(huì)人們從正反兩個(gè)方面來看待一句話或一個(gè)問題.數(shù)學(xué)無處不在，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的思維習(xí)慣.典題·熱題例1已知h>0,設(shè)命題甲為:兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足|a-b|<2h,命題乙為:兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足|a-1|<h且|b-1|<h,那么（）A.甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件B.甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件C.甲是乙的充分必要條件D.甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件思路分析：在判定充要條件時(shí),應(yīng)利用充要條件的定義.另外要結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|.因|a-1|<h且|b-1|<h,所以得到由①-②,得-2h<a-b<2h|a-b|<2h,即由命題乙成立可推出命題甲成立.所以甲是乙的必要條件.由于|a-2|<h且|b-2|<h,同理也可得|a-b|<2h,因此,命題甲成立不能確定命題乙一定成立,所以甲不是乙的充分條件.答案：B方法歸納①證明否定結(jié)論時(shí)可以舉一個(gè)反例即可.②由命題乙成立推出命題甲成立時(shí)還可證明如下:由性質(zhì)|a-b|<|a|+|b|，則|a-b|=|（a-1）-（b-1）|<|a-1|+|b-1|<h+h=2h.例2是的什么條件？并說明理由.思路分析：需要考慮兩個(gè)方面，即由條件是否能推出結(jié)論，由結(jié)論是否能推出條件，推不出的舉反例即可.解：由得但反之不成立.不妨取α=1,β=5,顯然滿足但不滿足,即由定義（即箭頭方向）可知，是的必要但不充分條件.方法歸納證明否定結(jié)論時(shí)可以舉一個(gè)反例即可.例3求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.思路分析：求充要條件一般從必要性入手找條件，即從已知方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根入手，此題是二次方程根的分布討論問題.解：（1）a=0時(shí)適合.（2）當(dāng)a≠0時(shí),顯然方程沒有零根,若方程有兩異號(hào)的實(shí)根,則a<0；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根,則必須滿足解得0<a≤1.綜上,若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根,則a≤1；反之,若a≤1,則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根.因此,關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是a≤1.方法歸納①a=0的情況不要忽視;②若令f（x）=ax2+2x+1,由于f（0）=1≠0,從而排除了方程有一個(gè)負(fù)根,另一個(gè)根為零的情形.變式方法本題還可從問題的反面考慮，即方程無負(fù)根的a的取值范圍，然后求其補(bǔ)集.例4設(shè)x,y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.思路分析：證明充要條件要證明兩個(gè)方面即有充分性和必要性.證明:充分性：如果xy=0,那么，①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,當(dāng)x>0,y>0時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|;當(dāng)x<0,y<0時(shí)，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|.總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，|x+y|=|x|+|y|.必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得（x+y）2=（|x|+|y|）2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2.