高二數(shù)學(xué)高效課堂資料平面的法向量(用)

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市實驗中學(xué)數(shù)學(xué)組3.2.2平面的法向量與平面的向量表示高中數(shù)學(xué)選修2－1沈陽二中1.直線與平面垂直的定義

2.平面的法向量：

如果向量

的基線與平面垂直，則向量叫平面

的法向量。幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量與平面平行或在平面內(nèi)，則有A給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.l3.平面的向量表示：

練：已知平面α內(nèi)有一個點M(1,－1,2)，平面α的一個法向量是

＝(6,－3,6)，則下列點P中在平面α內(nèi)的是(

)A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3,－3,4)A4.兩平面平行或重合、垂直的充要條件

例1、設(shè)平面α的法向量為(1,2,－2),平面β的法向量為(－2,－4,k),

若α//β，則k=

；若α⊥β,則k=

。4－51、已知l//α，且l的方向向量為(2,m,1)，平面α的法向量為(1,,2),則m=

.－82、已知l⊥α，且l的方向向量為(2,1,m),平面α的法向量為(1,,2),則m=

.4練習(xí)待定系數(shù)法例2．已知點A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，如圖，求平面ABC的一個法向量。=(bc，ac，ab)6.有關(guān)平面的斜線概念，三垂線定理及其逆定理P104什么叫平面的斜線、垂線、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量,只要證為三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理的逆定理：

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PaAoα1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。對三垂線定理的說明：三垂線定理4、三垂線定理的圖形是由“四線一面”五個部件組成——垂線、斜線、射影、面內(nèi)一線、平面

關(guān)于三垂線定的應(yīng)用：關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)及垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。第一、定平面(基準(zhǔn)面)第二、找平面垂線（電線桿）

第三、看斜線，射影可見第四、證明直線a垂直于射影線，從而得出a與b垂直。

強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對同一個平面而言。2°定理的關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和“電線桿”。三垂線定的作用：用來證線線垂直（例：課后鞏固1）變式：求證：A1D1C1B1ACBDFE證明:設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系xyzA1D1C1B1ACBDFE小結(jié)1.直線與平面垂直的定義

2.平面的法向量：

3.平面的向量表示：

4.兩平面平行或重合、垂直的充要條件

6.有關(guān)平面的斜線概念，三垂線定理及其逆定理P104鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交1、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓(xùn)練31．如圖，正方體中，

E為的中點，證明：//平面AEC練習(xí):用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC

中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

A

D

、D

C

、DD的中點，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD

⊥平面EFGABCDA

B