2024年中考數(shù)學幾何模型歸納講練 22 解直角三角形模型之實際應用模型 教師與學生版

專題22解直角三角形模型之實際應用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎。將實際問題轉化為數(shù)學問題是關鍵，通常是通過作高線或垂線轉化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線,構造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應用模型。模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關鍵.【重要關系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考數(shù)學真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

例2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．(1)求教學樓的高度．(2)若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．

例3．（2023年湖北中考數(shù)學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學真題）無人機在實際生活中的應用廣泛，如圖所示，某人利用無人機測最大樓的高度，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80米，點A處俯角為，樓頂C點處的俯角為，已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結果保留根號）

模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達樹的最高點．

(1)在圖1中，過點畫出水平線，并標記觀測的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測的仰角為（1）中的，向前走米到達處，此時觀測點的仰角為，求樹的高度．（注：，，）例2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．例3．（2023年山東省青島市中考數(shù)學真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點O是的中點，是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，，．該校學生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）

例4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題）某中學依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學樓的樓頂C的仰角，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點D，求的長（結果保留根號）．

模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的底部B點且俯角α為30°，從教學樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的頂部A點，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學樓AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．例3．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）某數(shù)學興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架上的點E處，然后沿著直線后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點D，于點F，于點B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

例4．（2023年天津市中考數(shù)學真題）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點E，C，A在同一條水平直線上．某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結果取整數(shù)）．

課后專項訓練1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當時，則點到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．2．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A．B．C．D．3．（2023年山東省日照市中考數(shù)學真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（

）（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米5．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．6．（2023·云南昆明·校考模擬預測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門高6.5米，學生身高1.5米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米7．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，某飛機于空中處探測到某地面目標在點處，此時飛行高度米，從飛機上看到點的俯角為飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行米到達點時，地面目標此時運動到點處，從點看到點的仰角為，則地面目標運動的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

8．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學真題）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結果保留根號）

9．（2023·浙江·校考三模）如圖1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD，BC是可轉動門寬，且AB＝2AD＝2BC．現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中，且點A，C，D在一條直線上，測得A，C間的距離為cm，則門寬AD＝_______．如圖3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，點P在AB上，且AP＝54cm，點M是AD上一動點，將點M繞點P順時針旋轉60°至M′，則CM′的最小距離是_______cm．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．(1)求的度數(shù)．(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）

11．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發(fā)射塔的高度．問題解決任務1分析規(guī)劃選擇兩個觀測位置：點_________和點_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．任務2推理計算計算發(fā)射塔的圖上高度．任務3換算高度樓房實際寬度為米，請通過測量換算發(fā)射塔的實際高度．注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1．12．（2023年浙江省麗水市中考數(shù)學真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

13．（2023年浙江省臺州市中考數(shù)學真題）教室里的投影儀投影時，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

14．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學真題）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點觀察所測物體最高點，當量角器零刻度線上兩點均在視線上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設仰角為，請直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點分別測得氣球的仰角為，為，地面上點在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）15．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學真題）問題：如何設計“倍力橋”的結構？圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動，結構穩(wěn)固．圖是長為，寬為的橫梁側面示意圖，三個凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計．

探究：圖是“橋”側面示意圖，為橫梁與地面的交點，為圓心，是橫梁側面兩邊的交點．測得，點到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側面示意圖的內(nèi)部形成一個多邊形．①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

16．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識別．社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）17．（2022·浙江嘉興·中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1，紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）。(1)連結，求線段的長．(2)求點A，B之間的距離．18．（2022·浙江紹興·中考真題）圭表（如圖是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”，當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽高度角（即為，夏至正午太陽高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為4米．(1)求∠BAD的度數(shù)．(2)求表AC的長（最后結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）19．（2022·浙江金華·中考真題）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，為吸熱塔，在地平線上的點B，處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點旋轉鏡面，使過中心點的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達吸熱器點F處．已知，在點A觀測點F的仰角為．（1）點F的高度為______m．（2）設，則與的數(shù)量關系是_______．20．（2023·浙江金華·?？家荒＃┙鹑A新金婺大橋是華東第一的獨塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的效果圖．2022年4月13日開始主塔吊裝作業(yè)．如圖2，我們把吊裝過程抽象成如下數(shù)學問題：線段為主塔，在離塔頂10米處有一個固定點米．在東西各拉一根鋼索和，已知等于214米．吊裝時，通過鋼索牽拉，主塔由平躺橋面的位置，繞點O旋轉到與橋面垂直的位置．中午休息時，此時一名工作人員在離M米的B處，在位于B點正上方的鋼索上A點處掛彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度為_____米，（精確到整數(shù)米）（2）吊裝過程中，鋼索也始終處于拉直狀態(tài)，因受場地限制和安全需要，與水平橋面的最大張角在到之間即，的取值范圍是_____．（注：，）．

專題22解直角三角形模型之實際應用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎。將實際問題轉化為數(shù)學問題是關鍵，通常是通過作高線或垂線轉化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線,構造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應用模型。模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關鍵.【重要關系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考數(shù)學真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】該建筑物的高度約為米【分析】由題意可知，，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊的性質(zhì)，得到米，再利用銳角三角函數(shù)，求出米，即可得到該建筑物的高度．【詳解】解：由題意可知，，，，，，米，在中，米，米，答：該建筑物BC的高度約為米．

【點睛】本題考查的是解直角三角形——仰俯角問題，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握直角三角形的特征關鍵．例2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學樓的高度．(2)若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．【答案】(1)教學樓的高度為米(2)無人機剛好離開視線的時間為12秒【分析】（1）過點B作于點G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關系可得，即可求解；（2）連接并延長，交于點H，先求出米，進而得出，則，則米，即可求解．【詳解】（1）解：過點B作于點G，根據(jù)題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長為米，∴（米），答：教學樓的高度為米．（2）解：連接并延長，交于點H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無人機以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時間為：（秒），答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．例3．（2023年湖北中考數(shù)學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學真題）無人機在實際生活中的應用廣泛，如圖所示，某人利用無人機測最大樓的高度，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80米，點A處俯角為，樓頂C點處的俯角為，已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結果保留根號）

【答案】大樓的高度為．【分析】如圖，過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，∴，，由題意可得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴大樓的高度為．【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關鍵．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關鍵。【重要等量關系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達樹的最高點．

(1)在圖1中，過點畫出水平線，并標記觀測的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測的仰角為（1）中的，向前走米到達處，此時觀測點的仰角為，求樹的高度．（注：，，）【答案】(1)(2)樹的高度為5.25米【分析】(1)根據(jù)互余的性質(zhì)計算即可．(2)過點作，垂足為，則米．設米．解直角三角形求解即可．【詳解】（1）如圖1；；

（2）如圖，過點作，垂足為，則米．設米．在中，（米），在中，（米），（米），解得．答：樹的高度為米．【點睛】本題考查了仰角的解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的基本步驟是解題的關鍵．例2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點作于點，分別解、即可．【詳解】解：過點作于點．則四邊形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點睛】本題考查了關于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構造直角三角形是解題關鍵．例3．（2023年山東省青島市中考數(shù)學真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點O是的中點，是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，，．該校學生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】【分析】過點作于點，過點作于點，先證和均為等腰直角三角形，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設，則，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的長．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，如圖，

依題意得：，，，又和均為等腰直角三角形，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，，，為等腰直角三角形，，設，則，，，在中，，即：，，解得：，檢驗：是原方程的根．，在等腰中，由勾股定理得：，點為的中點，，答：太陽能電池板寬的長度約為．【點睛】此題主要考查了解直角三角形，理解題意，正確的作出輔助線構造直角三角形的，靈活運用銳角三角函數(shù)及勾股定理進行計算是解答此題的關鍵．例4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題）某中學依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學樓的樓頂C的仰角，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點D，求的長（結果保留根號）．

【答案】的長為米【分析】作于點，首先根據(jù)坡度求出，并通過矩形的判定確定出，然后通過解三角形求出，即可相加得出結論．【詳解】解：如圖所示，作于點，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，由題意，，，，，∴為等腰直角三角形，，設，則，在中，，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗，是上述方程的解，且符合題意，∴，∴，∴的長為米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，準確構造出直角三角形并求解是解題關鍵．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的底部B點且俯角α為30°，從教學樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點恰好看到教學樓AB的頂部A點，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學樓AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由題意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的長約為4.5米，教學樓AB的高度約為19.8米．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學真題）某數(shù)學興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架上的點E處，然后沿著直線后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點D，于點F，于點B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

【答案】4.1【分析】過點作水平線交于點，交于點，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出，再根據(jù)對應邊成比例解答即可．【詳解】過點作水平線交于點，交于點，如圖，

∵是水平線，都是鉛垂線．∴米，米，米，∴（米），又根據(jù)題意，得，∴，，即，解得：米，∴(米)．故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，通過作輔助線構造相似三角形，并利用相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．例4．（2023年天津市中考數(shù)學真題）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點E，C，A在同一條水平直線上．某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結果取整數(shù)）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進而可求解；②過點作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構造直角三角形解決問題是解答的關鍵．課后專項訓練1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當時，則點到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作于，過點作于，利用解直角三角形可得，，根據(jù)點到桌面的最大高度，即可求得答案．【詳解】如圖，過點作于，過點作于，

在中，，在中，，點到桌面的最大高度，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是添加輔助線，構造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．2．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個軸對稱圖形，∴m，，即，房頂A離地面的高度為，故選B．【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關鍵．3．（2023年山東省日照市中考數(shù)學真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（

）（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，得出，設，則，，在中，根據(jù)正切得出，求解即可得出答案．【詳解】解：在中，，，設，則，，在中，，，，燈塔的高度AD大約是．故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關鍵是弄清有關的直角三角形中的有關角的度數(shù)．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米【答案】B【詳解】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．設EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD為（600﹣250）米．故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用（仰角俯角和坡度坡角問題）；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；待定系數(shù)法的應用．5．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用坡度的定義得出的長，再利用勾股定理得出的長．【詳解】∵，，∴，解得：，則．故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實際應用．由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關鍵．6．（2023·云南昆明·?？寄M預測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門高6.5米，學生身高1.5米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米【答案】B【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出，即可得解．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，，在中，，，米．故選B．【點睛】此題考查解直角三角形的應用：仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．7．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，某飛機于空中處探測到某地面目標在點處，此時飛行高度米，從飛機上看到點的俯角為飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行米到達點時，地面目標此時運動到點處，從點看到點的仰角為，則地面目標運動的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，，，，，，，如圖所述，過點作于點，在中，根據(jù)正切的計算方法可求出的值，在中根據(jù)角的正切值可求出的值，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，，，∴如圖所述，過點作于點，

∵，即，且，，∴，∴四邊形是矩形，即，，在，，，∴，則，∴，在中，，，∴，則，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查運用仰俯角的正切值計算邊的長度，掌握構成直角三角形，三角函數(shù)的計算方法是解題的關鍵．8．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學真題）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結果保留根號）

【答案】/【分析】過點E作于點M，過點F作于點N，首先證明出四邊形是矩形，得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進而得到，然后利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解．【詳解】如圖所示，過點E作于點M，過點F作于點N，

由題意可得，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅樓頂部E的俯角為，∴，∴，∴，∵點A是的中點，∴，由題意可得四邊形是矩形，∴，∵尚美樓頂部F的俯角為，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用構建方程的思想思考問題．9．（2023·浙江·校考三模）如圖1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD，BC是可轉動門寬，且AB＝2AD＝2BC．現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中，且點A，C，D在一條直線上，測得A，C間的距離為cm，則門寬AD＝_______．如圖3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，點P在AB上，且AP＝54cm，點M是AD上一動點，將點M繞點P順時針旋轉60°至M′，則CM′的最小距離是_______cm．【答案】

90cm

【分析】（1）過點C作CE⊥AB，根據(jù)，設CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三邊表示出來，再根據(jù)勾股定理可求出x，即可求解；（2）根據(jù)垂線段最短，可以連接CD，連接，判斷當AP＝MP時，，此時最小，通過解直角三角形即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，∵，∴設CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，∴，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案為：90cm；（2）如圖，連接CD，可知∠ACB＝90°，當AP＝MP時，，此時最小，∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴，點在AB邊上，連接，此時，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，解題的關鍵是構造出直角三角形進行求解．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；（2）延長交于點，根據(jù)題意得出，解，求得，根據(jù)與比較即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）該運動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長交于點，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴該運動員能掛上籃網(wǎng)．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．11．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發(fā)射塔的高度．問題解決任務1分析規(guī)劃選擇兩個觀測位置：點_________和點_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．任務2推理計算計算發(fā)射塔的圖上高度．任務3換算高度樓房實際寬度為米，請通過測量換算發(fā)射塔的實際高度．注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1．【答案】規(guī)劃一：[任務1]選擇點和點；，，，測得圖上；[任務2]；[任務3]發(fā)射塔的實際高度為米；規(guī)劃二：[任務1]選擇點和點．[任務2]；[任務3]發(fā)射塔的實際高度為米；【分析】規(guī)劃一：[任務1]選擇點和點,根據(jù)正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上[任務2]如圖1，過點作于點，過點作于點，設．根據(jù)，，得出，．由，解得，根據(jù)，得出，即可求解；[任務3]測得圖上，設發(fā)射塔的實際高度為米．由題意，得，解得，規(guī)劃二：[任務1]選擇點和點．根據(jù)正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上；[任務2]如圖2，過點作于點，過點作，交的延長線于點，則，設．根據(jù)，，得出，．根據(jù)，得出，然后根據(jù)，得出，進而即可求解．[任務3]測得圖上，設發(fā)射塔的實際高度為米．由題意，得，解得，即可求解．【詳解】解：有以下兩種規(guī)劃，任選一種作答即可．規(guī)劃一：[任務1]選擇點和點．，，，測得圖上．[任務2]如圖1，過點作于點，過點作于點，

則，設．∵，，∴，．∵，∴解得，∴．∵，∴，∴．[任務3]測得圖上，設發(fā)射塔的實際高度為米．由題意，得，解得，∴發(fā)射塔的實際高度為米．規(guī)劃二：[任務1]選擇點和點．，，，測得圖上．[任務2]如圖2，過點作于點，過點作，交的延長線于點，則，設．

∵，，∴，．∵，∴，解得，∴．∵，∴，∴．[任務3]測得圖上，設發(fā)射塔的實際高度為米．由題意，得，解得．∴發(fā)射塔的實際高度為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)關系是解題的關鍵．12．（2023年浙江省麗水市中考數(shù)學真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

【答案】18m【分析】如圖：過點作于點，由題意易得，進而求得，再通過解直角三角形可得，然后求出即可解答．【詳解】解：如圖：過點作于點，由題意，得，∵，∴．∵，∴．∴．即管道的總長為．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，理解題意求得是解答本題的關鍵．13．（2023年浙江省臺州市中考數(shù)學真題）教室里的投影儀投影時，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】的長約為【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可．【詳解】解：在中，，，，∴．∴的長約為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長是解本題的關鍵．14．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學真題）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點觀察所測物體最高點，當量角器零刻度線上兩點均在視線上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設仰角為，請直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點分別測得氣球的仰角為，為，地面上點在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案；（2）根據(jù)題意，，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到；在中，，由，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

由題意知，在中，，則，即，；（2）解：如圖所示：

，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，在中，，由，即，解得，氣球離地面的高度．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測高等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關知識點是解決問題的關鍵．15．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學真題）問題：如何設計“倍力橋”的結構？圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動，結構穩(wěn)固．圖是長為，寬為的橫梁側面示意圖，三個凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計．

探究：圖是“橋”側面示意圖，為橫梁與地面的交點，為圓心，是橫梁側面兩邊的交點．測得，點到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側面示意圖的內(nèi)部形成一個多邊形．①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

【答案】探究1：四邊形是菱形，；探究2：①；②【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長度，利用勾股定理即可求出長度，從而求出值．探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知，利用特殊角正切值求出長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù)，利用特殊角正切值求出和長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．【詳解】解：探究1：四邊形是菱形，理由如下：由圖1可知，，，為平行四邊形．橋梁的規(guī)格是相同的，∴橋梁的寬度相同，即四邊形每條邊上的高相等，∵的面積等于邊長乘這條邊上的高，每條邊相等，為菱形．②如圖1，過點作于點．

由題意，得，．∴．在中，，∴．∴．故答案為：．探究2：①如圖2，過點作于點．

由題意，得，．．又四邊形是菱形，∴．∴．故答案為：．②如圖3，過點作于點．

由題意，形成的多邊形為正邊形，外角．在中，．又，∴．形成的多邊形的周長為．故答案為：．【點睛】本題是一道生活實際應用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關鍵在于將生活實際和有關數(shù)學知識有效結合以及熟練掌握相關性質(zhì)．16．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識別．社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)(2)能，見解析【分析】（1）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，從而求出蹲下的高度．（2）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，即可求出長度，與踮起腳尖后的高度進行比較，即可求出答案．【詳解】（1）解：過點作的垂線分別交仰角、俯角線于點，，交水平線于點，如圖所示，

在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距離．（2）能，理由如下：過點作的垂線分別交仰角、俯角線于點，，交水平線于點，如圖所示，在中，．，，．，．小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋∪纛^頂超出點N的高度．小若墊起腳尖后能被識別．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，涉及到的知識點有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關鍵在于是否能根據(jù)生活實際題結合數(shù)學相關知識．解題的重點在于熟練掌握相關概念、性質(zhì)和全等方法．17．（2022·浙江嘉興·中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1，紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2