2023學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷2024.1（完卷時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空（1-6題各4分，7-12題各5分，共54分）1.橢圓的短軸長為______.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.3.雙曲線的漸近線方程為_________.4.已知球的表面積是，則該球的體積為________.5.已知空間向量，且與垂直，則等于______.6.如圖,在正方體中,M是的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,P是上的任意點(diǎn),則直線BM與OP所成的角為__________.7.將邊長分別為1cm和2cm的矩形，繞邊長為2cm的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱，則該圓柱的側(cè)面積為_____cm2．8.“共享單車，綠色出行”是近年來火爆的廣告詞，現(xiàn)對某市10名共享單車用戶一個(gè)月內(nèi)使用共享單車的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)的說法錯(cuò)誤的是__________.①極差為36；②眾數(shù)為34；③第50百分位數(shù)為27；④平均數(shù)為32.9.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，如果，，則______.10.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是________．11.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線C:的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線C的一條漸近線與直線AM垂直，則雙曲線C的離心率為______.12.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是__________.二、選擇題（13-14題各4分，15-16題各5分，共18分）13.直線的法向量可以為（）A.B.C. D.14.直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.15.如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，，，，其大小關(guān)系為（）A.B.C. D.16.已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A. B. C. D.三、簡答題17.如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).（1）求該圓錐的體積；（2）求直線CD與平面PAB所成角的大小.18.《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行.某社區(qū)為了解居民對民法典認(rèn)識程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測試（滿分：100分），并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中m的值；（2）估計(jì)該組測試成績的平均值；（3）該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，抽取5人.①根據(jù)此次分層隨機(jī)抽樣，成績位于區(qū)間和居民各抽取多少？②若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測試成績分別位于和”，求.19.如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)C和焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)Q，求的值；（3）若行車道總寬度AB為7米，請計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米）？20.已知橢圓C:左右焦點(diǎn)為，，M為橢圓C上一點(diǎn).（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且是鈍角，求橫坐標(biāo)的范圍；（3）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B.求證：為定值.21.我們把等軸雙曲線一部分與半圓合成的曲線稱作“異型”曲線，其中是焦距為的等軸雙曲線的一部分，如圖所示．（1）求“異型”曲線方程；（2）若直線與“異型”曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，為“異型”曲線上的點(diǎn)，求的最小值．2023學(xué)年上海第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)學(xué)科期末試卷（完卷時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空（1-6題各4分，7-12題各5分，共54分）1.橢圓的短軸長為______.【答案】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以橢圓的短軸長為.故答案為：.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)在軸上，從而可求準(zhǔn)線方程.【詳解】由拋物線，可得拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故答案為：.3.雙曲線的漸近線方程為_________.【答案】【分析】代入雙曲線的漸近線方程公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，，則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：4.已知球的表面積是，則該球的體積為________.【答案】【分析】設(shè)球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知球的表面積求體積，關(guān)鍵是求出半徑，再進(jìn)行求解，考查基礎(chǔ)知識掌握程度，屬基礎(chǔ)題.5.已知空間向量，且與垂直，則等于______.【答案】4【分析】由與垂直，得到，由此能求出的值.【詳解】因?yàn)?，且與垂直，所以，解得，故答案為：46.如圖,在正方體中,M是的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,P是上的任意點(diǎn),則直線BM與OP所成的角為__________.【答案】【分析】本題考查異面直線所成的角,涉及線面垂直的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是找到OP所在的某個(gè)平面,利用正方體的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定定理證明直線BM與此平面垂直.【詳解】如圖,取AD,BC的中點(diǎn)分別為E,F,連接EF,FB1,EA1,易得,∴BM⊥B1F,又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,∵BM?平面BCC1B1,∴EF⊥BM,又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,又∵OP?平面A1B1FE,∴BM⊥OP,∴BM與OP所成的角為90°,故答案為：90°.7.將邊長分別為1cm和2cm的矩形，繞邊長為2cm的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱，則該圓柱的側(cè)面積為_____cm2．【答案】4π【分析】確定圓柱底面半徑和母線長，利用側(cè)面積求解公式可得.【詳解】依題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，所以該圓柱的側(cè)面積為S＝2×2＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱側(cè)面積的求解，圓柱側(cè)面積的求解關(guān)鍵是確定半徑和母線長，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.“共享單車，綠色出行”是近年來火爆的廣告詞，現(xiàn)對某市10名共享單車用戶一個(gè)月內(nèi)使用共享單車的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)的說法錯(cuò)誤的是__________.①極差為36；②眾數(shù)為34；③第50百分位數(shù)為27；④平均數(shù)為32.【答案】③【分析】通過莖葉圖可直接得到最大值，最小值和出現(xiàn)次數(shù)較多的數(shù)據(jù)，即得極差和眾數(shù)，對于百分位數(shù)，則必須把數(shù)據(jù)按從小到大排列，再判斷第50百分位數(shù)是哪個(gè)數(shù)據(jù)還是哪兩個(gè)數(shù)據(jù)的均值，此題中因是整數(shù)，故應(yīng)是第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而平均數(shù)只需運(yùn)用公式計(jì)算即得.【詳解】由數(shù)據(jù)的莖葉圖可知，最大為53，最小為17，,則極差為53-17=36，故①正確；其中僅有數(shù)據(jù)34出現(xiàn)了兩次，其余數(shù)據(jù)都只有1次，故眾數(shù)為34，②正確；把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)據(jù)分別為27和32，該組數(shù)據(jù)共有10個(gè)，由是整數(shù)，故第50百分位數(shù)應(yīng)該是第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)，即，而不是27，故③錯(cuò)誤；運(yùn)用平均數(shù)公式可得平均數(shù)為，故④正確.故答案為：③.9.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，如果，，則______.【答案】0.56##【分析】根據(jù)獨(dú)立事件和對立事件的概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】由事件與事件相互獨(dú)立，則事件與事件相互獨(dú)立，又，，則.故答案為：．10.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是________．【答案】【分析】求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.【詳解】依題意，所以漸近線為，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.所求圓的方程為.故答案為：11.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線C:的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線C的一條漸近線與直線AM垂直，則雙曲線C的離心率為______.【答案】##【分析】利用拋物線焦點(diǎn)弦公式求得，從而得的坐標(biāo)，由題意得的坐標(biāo)，再計(jì)算直線的斜率，根據(jù)漸近線與其垂直，得到，用離心率公式求出即可．【詳解】∵拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離為5，∴，p=8，拋物線方程為y2=16x，m=±4.取,雙曲線的左頂點(diǎn)為,直線AM的斜率為，∵該雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，∴，且，解得：，則：.故答案為：12.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】畫出圖形，根據(jù)中位線性質(zhì)及橢圓定義，結(jié)合點(diǎn)位置，即可求得的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，畫出橢圓及各部分圖形如下圖所示：因?yàn)槭堑钠椒志€上一點(diǎn)，且，所以，即為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，由中位線性質(zhì)可得，在橢圓方程為，則，所以因?yàn)樗援?dāng)為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，又因?yàn)榕c橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)不重合綜上所述，.故答案為：二、選擇題（13-14題各4分，15-16題各5分，共18分）13.直線的法向量可以為（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)直線法向量與方向向量的關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜率式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由，可得，所以直線的斜率,所以直線的方向向量為，當(dāng)時(shí)，有，所以，不是直線的法向量，故A不正確；當(dāng)時(shí)，有，所以，不是直線的法向量，故B不正確；當(dāng)時(shí)，有，所以，不是直線的法向量，故C不正確；當(dāng)時(shí)，有，所以，是直線的法向量，故D正確.故選：D.14.直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)斜率分別計(jì)算兩條直線的傾斜角，進(jìn)而可得夾角.【詳解】兩直線的斜率，因?yàn)橹本€傾斜角范圍為則，故兩直線夾角，故選：．15.如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，，，，其大小關(guān)系為（）A.B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的離心率的性質(zhì)即可解決．【詳解】由題意得到橢圓①，②的b值相同，a值①比②小，則，可以知道，；根據(jù)雙曲線的開口越大離心率越大，則．所以，故選：A．16.已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先通過位置關(guān)系的證明說明在平面內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出的長度，根據(jù)的長度確定出在平面內(nèi)的軌跡形狀，由此求解出對應(yīng)的軌跡長度.【詳解】如圖所示：連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，所以平面，所以，同理可知：，又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，根?jù)題意可知：，所以為正三角形，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以即為與平面的交點(diǎn)，由題意可知：平面，所以，所以，再如下圖所示：在正三角形中，高，所以內(nèi)切圓的半徑，且，取的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接，所以，所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，在內(nèi)部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半為，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中軌跡問題的解答思路：（1）根據(jù)已知條件確定和待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直關(guān)系；（2）通過數(shù)量關(guān)系定量分析待求點(diǎn)的軌跡的形狀；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長度等其他量.三、簡答題17.如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).（1）求該圓錐的體積；（2）求直線CD與平面PAB所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算出圓錐的體積.（2）作出直線CD與平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【小問1詳解】依題意可知圓錐的底面半徑，高，所以圓錐的體積為.【小問2詳解】連接，由于是的中點(diǎn)，所以，由于是弧的中點(diǎn)，所以，根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)可知，所以平面，所以是直線CD與平面PAB所成角的平面角.在中，，所以.即直線CD與平面PAB所成角的大小為.18.《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行.某社區(qū)為了解居民對民法典認(rèn)識程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測試（滿分：100分），并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中m的值；（2）估計(jì)該組測試成績的平均值；（3）該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，抽取5人.①根據(jù)此次分層隨機(jī)抽樣，成績位于區(qū)間和的居民各抽取多少？②若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人測試成績分別位于和”，求.【答案】（1）（2）76.2（3）①3人，2人；②【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)，長方形面積之和為１，構(gòu)造方程，求出即可．（2）運(yùn)用平均值公式求出即可．（3）①概率比值即為人數(shù)分層比；②運(yùn)用古典概型概率公式求解即可．【小問1詳解】已知，則.【小問2詳解】測試成績的平均數(shù).【小問3詳解】①根據(jù)題意，知道兩層和人數(shù)的概率之比為，則測試分?jǐn)?shù)位于這兩個(gè)區(qū)間的人數(shù)之比為，則間抽取3人，間抽取2人；②根據(jù)題意，.19.如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)C和焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)Q，求的值；（3）若行車道總寬度AB為7米，請計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米）？【答案】（1）（2）（3）4.1米【分析】（1）設(shè)該拋物線方程為，代入點(diǎn)可得答案；（2）直線與拋物線聯(lián)立求出、可得答案；（3）設(shè)車輛高為h，代入拋物線方程可得答案.【小問1詳解】如圖所示.依題意，設(shè)該拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以該拋物線的方程為；【小問2詳解】，，，設(shè)，令，所以直線與拋物線聯(lián)立，由解得，，，則；【小問3詳解】設(shè)車輛高為h，則，故，代入拋物線方程，解得，所以通過隧道的車輛限制高度為4.1米.20.已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)為，，M為橢圓C上一點(diǎn).（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且是鈍角，求橫坐標(biāo)的范圍；（3）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B.求證：為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，求出的值，再求的面積.（2）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，先明確的關(guān)系，再由余弦定理，表示出，由求的范圍.（3）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，并用它們表示出，進(jìn)行化簡整理即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，，所?【小問2詳解】如圖：因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以，由余弦定理得因?yàn)槭氢g角，所以，又因?yàn)?，所以，解得，的范圍?【小問3詳解】如圖：設(shè)，，由得，，，，又，，所以，即有為定值.21.我們把等軸雙曲線的一部分與半圓合成的曲線稱作“異型”曲線，