人教八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形《角平分線的性質(zhì)》示范公開(kāi)課教學(xué)課件

12.3角的平分線的性質(zhì)（2）

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十二章

全等三角形知識(shí)回顧角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何表示：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐教學(xué)目標(biāo)1.探究并證明角的平分線的判定.2.會(huì)用角的平分線的判定解決實(shí)際問(wèn)題.3.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運(yùn)用.新知導(dǎo)入

我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，反過(guò)來(lái)，它的逆命題“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”是否成立呢？新知探究知識(shí)點(diǎn)1

角平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．猜想:如果

，那么

。1、改寫(xiě)為：在角的內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊距離相等這個(gè)點(diǎn)在角的平分線上2、畫(huà)圖，并用幾何語(yǔ)言將“如果”“那么”改寫(xiě)為“已知”“求證”BADOPE┐已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.新知探究證明猜想已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.即OP為∠AOB的平分線

在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP新知探究角平分線判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.新知典例例1如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm，D即為所求.O方法點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).新知典例例2.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐BE=CF，DB=DC.

Rt△BDE≌Rt△CDF.

DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF.AD是∠BAC的平分線.

分析：

（直角三角形全等（HL））（三角形全等的性質(zhì)）（角的平分線的判定）思考從問(wèn)題出發(fā)

作答從已知開(kāi)始新知典例例2.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BE=CF，

DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD是∠BAC的平分線.課堂練習(xí)證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.1、如圖，已知，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF，CE交于點(diǎn)D.

求證：AD平分∠BAC.新知探究

問(wèn)題1：分別畫(huà)出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2

問(wèn)題2：那這一點(diǎn)到三角形三邊的距離是否一樣？到三條邊的距離一樣你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？新知探究已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.DEFABCPNM證明結(jié)論新知探究

問(wèn)題3

點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？∵PD⊥AB,PF⊥AC，且PD=PF∴點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.DEFABCPNM新知典例MENABCPOD

例3

如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.∵AP平分∠BAC，OM=4∴OE=OM=4同理OE=ON∴OE=OM=ON=4∴點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和為12BCA解：過(guò)O做OE⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為E、N兩點(diǎn)P由（1）可知OM=ON=OE=4∵△ABC的周長(zhǎng)為32∴AB+BC+AC=32∴新知典例解：連接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.

例3.如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，若OM＝4.新知探究點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定定理是證明兩個(gè)角相等的依據(jù).角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)3新知典例例3、已知：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，連接AP，求∠EAP的度數(shù)．解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF；（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠EAP＝＝30°課堂練習(xí)

1.如圖，

直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路，

現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，

要求它到三條公路的距離相等，

可選擇的地址有幾處?畫(huà)出它的位置.P1P2P3P4l1l2l3課堂總結(jié)角平分線的判定學(xué)會(huì)用添加輔助線的方法解題判定定理應(yīng)用角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上綜合利用角的平分線的性質(zhì)和判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題課堂練習(xí)1．如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PCB課堂練習(xí)2．如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，∠A＝64°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．58° B．64° C．122° D．124°C課堂練習(xí)3．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4C課堂練習(xí)4．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，點(diǎn)D為射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，若PC＝9，則PD的長(zhǎng)度的取值范圍是

．PD≥9解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA∴PH＝PC＝9∵點(diǎn)D為射線OB上一動(dòng)點(diǎn)∴PD≥PH∴PD的取值范圍是：PD≥9，