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文檔簡介

第十一章

統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析

第一節(jié)隨機抽樣

[學習要求]1.通過實例,了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程,掌握兩種簡單隨機抽樣

方法,抽簽法和隨機數(shù)法.會計算樣本均值,了解樣本與總體的關(guān)系.2.通過實例,了解分層隨機

抽樣的特點和適用范圍,了解分層隨機抽樣的必要性,掌握各層樣本量比例分配的方法.

幅必備知識自主梳理

[知識梳理]

知識點簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣

1.簡單隨機抽樣

(1)抽取方式:逐個不放回抽取和放回抽?。?/p>

(2)每個個體被抽到的概率相等;

(3)常用方法:抽簽法和隨機數(shù)法.

2.分層隨機抽樣

(1)一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總

體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣

本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中,如果每層

樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配;

(2)分層隨機抽樣的應(yīng)用范圍:

當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層隨機抽樣.

[小題診斷]

1.某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品,第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1:2:1,用分層隨機

抽樣的方法從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試,由所得的測試結(jié)果算

得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980h,1020〃,1032〃,則抽取的100

件產(chǎn)品的平均使用壽命為()

A.1013hB.l014h

C.l016hD.l022h

答案:A

解析:由分層隨機抽樣的知識可知,從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品數(shù)量分別為25件,50

1

件,25件,則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為前X(980X25+1020X50+1032X25)=1

013(h).

2.我校高一、高二、高三共有學生1800名,為了了解同學們對某一授課軟件的意見,計劃采用分

層隨機抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人

數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù),則我校高三年級的人數(shù)為()

A.800B.750

C.700D.650

答案:D

解析:設(shè)從高三年級抽取的學生人數(shù)為2x人,則從高二、高一年級抽取的人數(shù)分別為2x—2,2x

-4.

由題意可得2x+(2x—2)+(2x—4)=72,

;.x=13.

設(shè)我校高三年級的學生人數(shù)為N,且高三抽取26人,

由分層隨機抽樣,得得第=||,

;.N=650(人).

3.已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖(1)和圖(2)所示.為了解該地區(qū)中小學生的近

視形成原因,用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中

生近視人數(shù)分別為()

A.100,10B.200,10

C.100,20D.200,20

答案:D

4.對于總數(shù)N的一批零件,抽取一個容量為30的樣本.若每個零件被抽到的可能性均為25%,則N

=()

A.120B.150

C.200D.240

答案:A

學生用書1第247頁

,關(guān)鍵能力重點探究二

考點一簡單隨機抽樣

[例1](1)某中獎號碼是從分別標有1,2,30的30個小球中逐個不放回地搖出7個小球來

按規(guī)則確定中獎情況,這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是()

A.分層隨機抽樣法B.抽簽法

C.隨機數(shù)法D.其他抽樣方法

(2)某校高一共有10個班,編號01至10,某項調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本,現(xiàn)用抽簽法抽

取樣本,每次抽取一個號碼,共抽3次,設(shè)五班第一次被抽到的可能性為°,第二次被抽到的可能

性為b,則()

_32_11

A.a=元,b=eB.q=元,b=G

_3311

C-.67]0,6=元D.a=茄,6=元

[答案](1)B(2)D

[解析](1)30個小球相當于號簽,攪拌均勻后逐個不放回地抽取,是典型的抽簽法.

(2)由簡單隨機抽樣的定義知,在每次抽取中每個個體都有相同的可能性被抽到,故五班在每次

抽樣中被抽到的可能性都是正,所以a=訪,

|方法總結(jié)|

簡單隨機抽樣的關(guān)注點

1.每個個體入樣機會均等.

2.用抽簽法,關(guān)鍵看兩點:一是制簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.

3.用隨機數(shù)法抽取樣本時,每個個體的編號位數(shù)要相同,同一編號被多次抽到,要剔除重復(fù)的編號.

咨.跟蹤訓練

1.下列抽樣試驗中,適合用抽簽法的有()

A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗

答案:B

解析:A,D中的總體中個數(shù)較多,不適宜用抽簽法,C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量可能有區(qū)別,也

不適宜用抽簽法.

2.用隨機數(shù)表法從100名學生(其中男生40名)中抽取20名參加一項文體活動,某男生被抽到的

可能性是()

11

A-1OB-2

12

C,5D,5

答案:c

201

解析:從容量為100的總體中抽取一個容量為20的樣本,每個個體被抽到的可能性都是同=不

考點二分層隨機抽樣

[例2](1)我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有衰分問題:今有北鄉(xiāng)八千一百人,西鄉(xiāng)七千四

百八十八人,南鄉(xiāng)六千九百一十二人,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百人,則北鄉(xiāng)遣()

A.104人B.108人

C.112人D.120人

(2)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)如表所示,采用比例分配分層隨機抽樣的方法調(diào)查教師的

身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為()

類別人數(shù)

老年教師900

中年教師1800

青年教師1600

合計4300

A.90B.100

C.180D.300

(3)某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件,根據(jù)分層隨機抽樣的結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)計員

制作了統(tǒng)計表格,如表所示:

產(chǎn)品類別ABC

產(chǎn)品數(shù)量(件)1300

樣本容量(件)130

由于不小心,表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被損壞,統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的

樣本容量多10,根據(jù)以上信息,可得C產(chǎn)品的數(shù)量是件.

[答案](1)B(2)C(3)800

[解析](1)由題意可知,這是一個分層隨機抽樣的問題,其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300X

81008100

8100+7488+6912—X22500~

320x

(2)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x.由題意得.=麗,.??x=180.

130

(3)抽取樣本容量3000X云加=300.

設(shè)C產(chǎn)品樣本容量為X,則A產(chǎn)品樣本容量為10+x,

.\x+10+x+130=300,x=80,

1

??80=元=800.

學生用書[第248頁

|方法總結(jié)|

分層隨機抽樣的關(guān)注點

1.分層原則:層內(nèi)樣本的差異要小,兩層之間的樣本差異要大,且互不重疊.

2.分層比:各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比,即

rij:N"=n:N.

3.分層隨機抽樣的有關(guān)計算,轉(zhuǎn)化為按比例列方程或算式求解.

否跟蹤訓練

3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件,為檢驗

產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應(yīng)從丙種型號

的產(chǎn)品中抽取件.

答案:18

解析:因為樣本容量〃=60,產(chǎn)品總數(shù)N=200+400+300+100=l000,所以玄=蕊=4,因此

3

應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300X^=18(件).

4.某工廠有A,B,C三個車間,A車間有600人,B車間有500人.若通過比例分配的分層隨機抽

樣方法得到一個樣本量為30的樣本,其中B車間10人,則樣本中C車間的人數(shù)為.

答案:8

解析:設(shè)C車間共有x人,樣本中C車間的人數(shù)為〃;由分層隨機抽樣的性質(zhì)得:600;器+x=0

400

,解行x=400.故"=30><500+600+400=8.

5.為了了解高一、高二、高三學生的身體狀況,現(xiàn)用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為

1200的樣本,三個年級學生人數(shù)之比依次為左:5:3,已知高一年級共抽取了240人,則高三年

級抽取的人數(shù)為

答案:360

2401k1

解析:因為高一年級抽取學生的比例為可=二,所以上+5+3=:,解得k=2,故高三年級抽取的人

3

數(shù)為1200義2+5+3=360?

學生用書[第437頁

■課時作業(yè)鞏固提個

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.為了解某地區(qū)的“健步走”活動情況,擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進行調(diào)查,事先已了解

到該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“健步走”活動情況有較大差異,而男、女“健步走”活

動情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()

A.抽簽法抽樣

B.按性別分層隨機抽樣

C.按年齡段分層隨機抽樣

D.利用隨機數(shù)法抽樣

答案:C

解析:由題意及分層隨機抽樣的概念知選C.

2.(2024?山東青島模擬)某中學高中一年級有400人,高中二年級有320人,高中三年級有280

人,現(xiàn)從中抽取一個容量為200的樣本,則高中二年級被抽取的人數(shù)為()

A.28B.32C.40D.64

答案:D

3.某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的轎車,其產(chǎn)量之比為2:3:4,為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)

量,用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A種型號的轎車比B種型

號的轎車少8輛,則"=()

A.96B.72

C.48D.36

答案:B

32

解析:由題意得鏟一鏟=8,所以〃=72.

4.某林場有樹苗30000棵,其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長情況,采用分層隨機抽樣的方法

抽取一個容量為150的樣本,則樣本中松樹苗的數(shù)量為()

A.30B.25C.20D.15

答案:C

1501

解析:樣本中松樹苗為4000義O記UU而UU=4000義乙而UU=20(棵).

5.為了調(diào)研雄安新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況,某課題組對雄縣、容城、安新三縣空氣質(zhì)量進行調(diào)查,按地

域特點在三縣內(nèi)設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點,已知三縣內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為6,力z,依次構(gòu)成等差數(shù)

列,且6,“z+6成等比數(shù)列.若用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取12個觀測點的數(shù)據(jù),則容城

應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為()

A.8B.6

C.4D,2

答案:C

解析:?.?三縣內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為6,Kz,依次構(gòu)成等差數(shù)列,且6,Kz+6成等比數(shù)列,

,[y2=6(z;6)z=18.若用比例分配分層隨機抽樣抽取12個觀測點的數(shù)據(jù),則容城應(yīng)該

12

抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為6+12+18義12=4.

6.在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持

錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之,問各幾何?”其譯文為:今有甲持

560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢,要按照各人帶錢多

少的比例進行交稅,問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯誤的是()

A.甲應(yīng)付51荻錢

B.乙應(yīng)付32謝錢

C.丙應(yīng)付16同錢

D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少

答案:B

解析:依題意由分層隨機抽樣可知,100+(560+350+180)=同,則甲應(yīng)付礪X560=51而

10121056

(錢);乙應(yīng)付麗X350=32而(錢);丙應(yīng)付前X180=16(錢).

7.(多選)(2024?湖北襄陽模擬)某中學高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,

每班45人.甲就讀于高一,乙就讀于高二.學校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查,下

列說法中正確的有()

A.應(yīng)該采用分層隨機抽樣法

B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力

答案:ABD

2351

解析:由于各年級的年齡段不一樣,因此應(yīng)采用分層隨機抽樣法.由于比例為20X50+30X45=而,

乙UADUIOUAT'J±U

因此高一年級1000人中應(yīng)抽取100人,高二年級1350人中應(yīng)抽取135人,甲、乙被抽到的可能

性都是「,因此只有C不正確.

8.(多選)某單位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況的某項

指標,需從他們中間抽取一個容量為42的樣本,則下列說法正確的是()

A.用抽簽法比分層隨機抽樣更合理

B.老年人中每個人被抽到的可能性最小

7

C.中年人中每個人被抽到的可能性為方

D.老年人、中年人、青年人被抽到的人數(shù)之比為1:2:3

答案:CD

427

解析:用比例分配分層隨機抽樣更合理,故A錯誤,每個人被抽到的可能性都是為小市=》,

故B錯誤,C正確.

V27:54:81=1:2:3,故D正確.

9.某地有2000人參加自學考試,為了了解他們的成績,從中抽取一個樣本,若每個考生被抽到的

概率都是0.04,則這個樣本的容量是.

答案:80

解析:設(shè)樣本量為",根據(jù)簡單隨機抽樣,得70面=0.04,解得〃=80.

10.某商場有四類食品,食品類別和種數(shù)如表所示:

類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類

種數(shù)40103020

現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用比例分配分層隨機抽樣方法抽取樣本,

則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為.

答案:6

解析:由題意可知,20X40+10+30+20^6.

11.一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如表

(單位:輛):

轎車A轎車B轎車C

舒適型100150Z

標準型300450600

按類型用分層隨機抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛,則z的值

為.

答案:400

解析:設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車"輛,

,?5010

由題意得元=100+300,所以"=2000,

貝Iz=2000-100-300-150-450-600=400.

學生用書[第438頁

12.(2024?北京模擬)某校高一年級三個班共有學生120名,這三個班的男生、女生人數(shù)如表所

示,已知在全年級中隨機抽取1名學生,抽到二班女生的概率是0.2,則工=;現(xiàn)用比例

分配分層隨機抽樣的方法在全年級抽取30名學生,則應(yīng)在三班抽取的學生人數(shù)為.

一班二班三班

女生人數(shù)20Xy

男生人數(shù)2020z

答案:249

解析:由題意可得面=0.2,解得x=24.三班總?cè)藬?shù)為120—20—20—24—20=36,用比例分配分

301

層隨機抽樣的方法在全年級抽取30名學生,每個學生被抽到的概率為痂=心故應(yīng)從三班抽取的

1

人數(shù)為36X2=9.

[B組能力提升練]

13.從某魚池中捕得130條魚,做了記號之后,再放回池中,經(jīng)過適當?shù)臅r間后,再從池中捕得100

條魚,計算其中有記號的魚為10條,試估計魚池中共有魚的條數(shù)大約為()

A.1000B.1200

C.130D.1300

答案:D

10130

解析:設(shè)魚池中共有魚的條數(shù)大約為",則同=〒,解得"=1300.

14.某中學400名教師的年齡分布情況如圖,現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本,若用分層隨機抽樣方

法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取()

A.40人B.200人C.20AD.10人

答案:C

40

解析:由圖知,40歲以下年齡段的人數(shù)為400X50%=200,若采用分層隨機抽樣應(yīng)抽取200X痂

=20(人).

15.(多選)從一群做游戲的小孩中抽出后人,每人分一個蘋果,讓他們返回繼續(xù)游戲,一段時間

后,再從中任抽出加人,發(fā)現(xiàn)其中有〃個小孩曾分過蘋果,則下列說法正確的是()

A.得到蘋果的小孩占總數(shù)的7

B.得到蘋果的小孩占總數(shù)的:

C.小孩的總數(shù)為方

D.小孩的總數(shù)為k+m—n

答案:BC

k22,JcTTl

解析:設(shè)一共有X個小孩,則城=為解得x=£.

16.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品,它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線,為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)

量,決定采用分層隨機抽樣(按比例分配樣本量)的方法進行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線

抽取的產(chǎn)品個數(shù)分別是a,b,c,且2b=a+c,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.

答案:5600

解析:設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線各生產(chǎn)了7甲,7乙,7丙件產(chǎn)品,則a:6:c=T甲:7乙:T丙,即

abc,?'T甲"丙=2%

因為26=a+c,所以

/甲/乙/丙r甲+7乙+7丙=16800,

16800

所以T乙=5600.

17.某班的數(shù)學老師要對該班一??荚嚨臄?shù)學成績進行分析,利用隨機數(shù)法抽取樣本時,先將該班

70名同學按00,01,02,…,69進行編號,然后從隨機數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀,則選

出的10個樣本中第8個樣本的編號是.

注:以下是隨機數(shù)表的第8行和第9行.

第8行:

6301637859169555671998

1050717512867358074439

523879

第9行:

3321123429786456078252

4207443815510013429966

027954

答案:38

解析:由隨機數(shù)表知選出的10個樣本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,第8個

樣本編號是38.

18.某地各項事業(yè)取得令人矚目的成就,以2023年為例,社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元,其

中包括中央項目、省屬項目、地(市)屬項目、縣(市)屬項目和其他項目.圖1、圖2分別是這五

個項目的投資額不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請完成下列問題.

(1)地(市)屬項目投資額為億元;

(2)在圖2中,縣(市)屬項目部分所占百分比為/%,對應(yīng)的圓心角為|3,則m=,P

=度(m,p均取整數(shù)).

答案:(1)830(2)1865

解析:(1)因為該地社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元,所以地(市)屬項目投資額為3730—

(200+530+670+1500)=830(億元).

(2)由條形統(tǒng)計圖可以看出縣(市)屬項目部分總投資為670億元,所以縣(市)屬項目部分所

670

占百分比為〃7%=.X100%p18%,即加=18,對應(yīng)的圓心角為13^360X0.18仁65(度).

學生用書1第248頁

第二節(jié)統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體

[學習要求]1.會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖,體會它們各自的特點.2

會計算數(shù)據(jù)標準差.3.能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特

征(如平均數(shù)、標準差),并作出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本

的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征;初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性.5.會用

隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想,解決一些簡單的實際問題;能通過對數(shù)據(jù)的分析為

合理的決策提供一些依據(jù),認識統(tǒng)計的作用,體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.

禍必備知識自主梳理

[知識梳理]

知識點一頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);

(2)決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

知識點二樣本的數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)

(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù):把,一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)).

(3)平均數(shù):如果有”個數(shù)據(jù)X1,無2,…,X.,那么這〃個數(shù)的平均數(shù)歹=———-——

(4)百分位數(shù):一般地,一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值,它使這組數(shù)據(jù)中至少有0%

的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100—O)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2.四分位數(shù)

第25百分位數(shù),第50百分位數(shù)(中位數(shù)),第75百分位數(shù),這三個分位數(shù)把一組由小到大排列

后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù),其中第25百分位數(shù)也稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),

第75百分位數(shù)也稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).

3.標準差、方差

(1)標準差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,s=

一土)之+(無2—又)2+…+(萬口一1)].

學生用書1第249頁

(2)方差:標準差的平方

52=-[(X)—X)2+(X2—x)2-\------(x?—x)2],其中即(i=l,2,3,…,〃)是樣本數(shù)據(jù),〃是

樣本容量,3是樣本平均數(shù).

4.總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)、方差

(1)總體平均數(shù):一般地,總體中有N個個體,它們的變量值分別為X,Y2,n,…,YN,則稱

-丫1+丫2+…1N位工,—士

丫=------N----------=小2X為總體均值.

i=1

如果總體的N個變量中,不同的值共有左(左WN)個,記為妨,Y2,Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力

_1k

(z=b2,k),則總體均值可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式,丫=N£月

i=1

(2)樣本平均數(shù):如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本,它們的變量值分別為力,”,…,

丫1+、2+…1n

外,則稱歹=——-——=%z%為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).

i=1

(3)比例分配的分層隨機抽樣中的平均數(shù):在分層隨機抽樣中,如果第1層和第2層包含的個體

數(shù)分別為初和M抽取的樣本量分別為加和",……a為第一層的平均數(shù),歹為第二層的平均

數(shù)),則可用

一M—N—m—n_,?、,、,,,一一、“,___

w=—再產(chǎn)土即y—=—而“土訴V—,估計總體平均數(shù)

[小題診斷]

1.若數(shù)據(jù)修,必,…M的方差為2,則數(shù)據(jù)2對,2工2,…,2時的方差為()

A.2B.4C.6D.8

答案:D

解析:根據(jù)方差的性質(zhì)可知,數(shù)據(jù)修,必,…,必的方差『=2,那么數(shù)據(jù)2對,2歷,…,2必的方

差為22s2=8.

2.某射擊運動員7次的訓練成績分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績的第80百分

位數(shù)()

A.88.5B.89

C.91D.89.5

答案:B

解析:7次的訓練成績從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,

7X80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù),即89.

3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上20,得到一組新數(shù)據(jù),

則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,方差是.

答案:484

解析:設(shè)該組數(shù)據(jù)為修,尤2,…,X,,,

則新數(shù)據(jù)為修+20,必+20,…,x?+20,記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為h',

__x1+x2+...+xn

因為x=---------------=28,

+20+%2+20+…+%九+20

所以h'=---------------------------------=20+28=48.

1___

22

因為52=讓(X[—X)+(x2-%)2H------H(x?—%)]=4,

1___

222

所以s2=*[xi+20-(x+20)]+[X2+20-(X+20)12H------b[%?+20-(x+20)]}=5=4.

4.某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位:cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,

180,179,則中位數(shù)為.

答案:178.5

解析:把10名旗手的身高從小到大排列為175,175,176,176,178,179,179,179,180,

180,

178+179,,

則一2—=178.5,所以所求中位數(shù)為178.5.

,關(guān)鍵能力重點探究立

考點一頻率分布直方圖

[例1]隨著新課程改革和高考綜合改革的實施,高中教學以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向,學習

評價更關(guān)注學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.為此,某市于2022年舉行第一屆高中數(shù)學學科素養(yǎng)競賽,

競賽結(jié)束后,為了評估該市高中學生的數(shù)學學科素養(yǎng),從所有參賽學生中隨機抽取1000名學生的

成績(單位:分)作為樣本進行估計,將抽取的成績整理后分成五組,依次記為[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)請補全頻率分布直方圖,并估計這1000名學生成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值作代表);

(2)該市決定對本次競賽成績排在前180名的學生給予表彰,授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱

號,一名學生本次競賽成績?yōu)?9分,請你判斷該學生能否被授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號.

[解](1)成績在[60,70)的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.057=0.40,補全的頻率分布直

方圖如圖.

頻率

樣本的平均數(shù)±=55X0.30+65X0.40+75X0.15+85X0.10+95X0.05=67.

(2)因為百麗=0.18,

所以由頻率分布直方圖可以估計獲得“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號學生的最低成績?yōu)?0-

0.18-0.05-0.10

~0.015~78(分).

因為79>78,所以該學生能被授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號.

學生用書1第250頁

I方法總結(jié)I

1.由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時,需掌握的兩個關(guān)系式

頻率

(1)記記X組距=頻率;

組距

頻數(shù)頻數(shù)

(2)殍[上口=頻率,此關(guān)系式的變形為黑=樣本容量,樣本容量x頻率=頻數(shù).

樣本容重頻率

2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)的估計值;

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的;

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底

邊中點的橫坐標之和.

|再跟蹤訓練

1.(2024?深圳模擬)某市衛(wèi)健委為了解社區(qū)服務(wù)志愿者的服務(wù)時長(單位:小時),對參加過社

區(qū)服務(wù)的志愿者隨機抽樣調(diào)查,將樣本中個體的服務(wù)時長進行整理,得到如圖所示的頻率分布直

方圖.據(jù)此估計,7.2萬名參加過社區(qū)服務(wù)的志愿者中服務(wù)時長超過32小時的約有()

A.3.3萬人B.3.4萬人

C.3.8萬人D.3.9萬人

答案:A

解析:依題意樣本中服務(wù)時長超過32小時的個體頻率為1—4X(0.005+0.04+0.09)=0.46.由樣

本估計總體,可得總體中服務(wù)時長超過32小時的個體數(shù)為7.2X0.46=3.312心3.3(萬人).

考點二總體百分位數(shù)的估計

⑥角度(一)離散型

[例2]抽查30袋洗衣粉,測量它們的凈重如下(單位:g)

482485485508508509497497498

499500485486488490501502505

490491492493495495495496500

506508509

估計第25,75百分位數(shù)分別是,.

[答案]490502

[解析]把30個數(shù)據(jù)從小到大排列為

482485485485486488490490491492493495495495496497497

498499500500501502505506508508508509509

由25%X30=7.5,75%X30=22.5,

可知樣本數(shù)據(jù)的第25,75百分位數(shù)分別為第8,23項數(shù)據(jù),所以估計30袋洗衣粉第25,75百分

位數(shù)分別為490,502.

|方法總結(jié)|

設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為,,&,…,龍小計算i=^P%得知,如果i不是整數(shù),設(shè)

%+%+1

i。為大于i的比鄰整數(shù),取、為第p百分位數(shù);如果i是整數(shù),取一一為第p百分位數(shù).

夠角度(二)連續(xù)型

[例3]為了解學生在課外讀物方面的支出情況,抽取了100個同學進行調(diào)查,結(jié)果顯示這些同學

的支出都在[10,50](單位:元),其中支出在[30,50](單位:元)的同學有67人,其頻率分布

直方圖如圖所示,估計學生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù).

[解]由頻率分布直方圖可得支出在[40,50]的頻率為1一(0.01+0.023+0.037)X10=0.3,

又支出在[30,50](單位:元)的同學有67人,支出在[30,40)的頻率為0.37,

因此,支出在[40,50]的同學共有67X拓陋=30(人).

所以第65百分位數(shù)應(yīng)位于[30,40)內(nèi),因為課外讀物支出在[10,40)的占70%,

0.65-0.33

所以30+10><不U./—=數(shù)U.SJ七38.65.所以估計學生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為38.65.

I方法總結(jié)I

頻率分布直方圖中的百分位數(shù),根據(jù)頻率計算.

學生用書1第251頁

滓跟蹤訓練

2.(2024?江蘇南通模擬)“雙減”政策實施后,學生的課外閱讀增多.某班50名學生到圖書館借書

數(shù)量統(tǒng)計如下:

借書數(shù)量(單位:本)5678910

頻數(shù)(單位:人)58131194

則這50名學生的借書數(shù)量的第75百分位數(shù)是()

A.8B.8.5

C.9D.10

答案:C

解析:由50X75%=37.5,故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人,又5+8+13

+11=37<38<5+8+13+11+9=46,故第75百分位數(shù)是9.

3.某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用比例分配的分層隨機抽

樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40)

,[80,90],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計分數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù);

(2)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計

總體中女生的人數(shù).

解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)X10=0.6,

0.3

所以樣本中分數(shù)小于的頻率為小于的頻率為

701—0.6=04,800.8,70+U=.U=477.5,

所以其分數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)估計值為77.5.

(2)由題意可知,樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)X10X100=60,

所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60X:=30,

所以樣本中的男生人數(shù)為30X2=60,女生人數(shù)為100—60=40,

40

估計總體中女生人數(shù)為400義訴=160.

考點三樣本的數(shù)字特征

[例4](2021?全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指

標有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為又和歹,樣本方差分別記為《和原

(1)求五y,s;s,

2.2

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹一檜2則認

為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認為有顯著提高).

[解](1)由表格中的數(shù)據(jù)易得:

--0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3

%=-----------------而------------------1-10.0=10.0,

-0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5

y=--------------------------------------------------------1-10.0=10.3,

21

s:=訕X[(9.7-10,0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-

10,0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036,

21

s2=iox[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5

-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得少一歹=10.3—10.0=0.3,而2=J0.0304,顯然有少一

%>2忙之成立,所以認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

10

I方法總結(jié)I

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準

差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.

學生用書[第252頁

咨跟蹋訓練

4.(多選)(2021?新高考I卷)有一組樣本數(shù)據(jù)xi,M,…,X,"由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)為,

夕2,…,為,其中%=Xf+c(z=l,2,???,n),c為非零常數(shù),貝!J()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

答案:CD

1九_1Tl1n1n

解析:A項,設(shè)歹E處則歹(巷+C)因為CWO,所以歹=±+C,

1=11=11=11=1

所以又W歹,所以A選項錯誤.

B項,因為%=樂+。(i=l,2,,,,,〃),所以為,以,…,為的中位數(shù)是修,x2

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