
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文檔簡介
第十一章
統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析
第一節(jié)隨機抽樣
[學習要求]1.通過實例,了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程,掌握兩種簡單隨機抽樣
方法,抽簽法和隨機數(shù)法.會計算樣本均值,了解樣本與總體的關(guān)系.2.通過實例,了解分層隨機
抽樣的特點和適用范圍,了解分層隨機抽樣的必要性,掌握各層樣本量比例分配的方法.
幅必備知識自主梳理
[知識梳理]
知識點簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣
1.簡單隨機抽樣
(1)抽取方式:逐個不放回抽取和放回抽?。?/p>
(2)每個個體被抽到的概率相等;
(3)常用方法:抽簽法和隨機數(shù)法.
2.分層隨機抽樣
(1)一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總
體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣
本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中,如果每層
樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配;
(2)分層隨機抽樣的應(yīng)用范圍:
當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層隨機抽樣.
[小題診斷]
1.某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品,第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1:2:1,用分層隨機
抽樣的方法從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試,由所得的測試結(jié)果算
得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980h,1020〃,1032〃,則抽取的100
件產(chǎn)品的平均使用壽命為()
A.1013hB.l014h
C.l016hD.l022h
答案:A
解析:由分層隨機抽樣的知識可知,從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品數(shù)量分別為25件,50
1
件,25件,則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為前X(980X25+1020X50+1032X25)=1
013(h).
2.我校高一、高二、高三共有學生1800名,為了了解同學們對某一授課軟件的意見,計劃采用分
層隨機抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人
數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù),則我校高三年級的人數(shù)為()
A.800B.750
C.700D.650
答案:D
解析:設(shè)從高三年級抽取的學生人數(shù)為2x人,則從高二、高一年級抽取的人數(shù)分別為2x—2,2x
-4.
由題意可得2x+(2x—2)+(2x—4)=72,
;.x=13.
設(shè)我校高三年級的學生人數(shù)為N,且高三抽取26人,
由分層隨機抽樣,得得第=||,
;.N=650(人).
3.已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖(1)和圖(2)所示.為了解該地區(qū)中小學生的近
視形成原因,用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中
生近視人數(shù)分別為()
A.100,10B.200,10
C.100,20D.200,20
答案:D
4.對于總數(shù)N的一批零件,抽取一個容量為30的樣本.若每個零件被抽到的可能性均為25%,則N
=()
A.120B.150
C.200D.240
答案:A
學生用書1第247頁
,關(guān)鍵能力重點探究二
考點一簡單隨機抽樣
[例1](1)某中獎號碼是從分別標有1,2,30的30個小球中逐個不放回地搖出7個小球來
按規(guī)則確定中獎情況,這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是()
A.分層隨機抽樣法B.抽簽法
C.隨機數(shù)法D.其他抽樣方法
(2)某校高一共有10個班,編號01至10,某項調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本,現(xiàn)用抽簽法抽
取樣本,每次抽取一個號碼,共抽3次,設(shè)五班第一次被抽到的可能性為°,第二次被抽到的可能
性為b,則()
_32_11
A.a=元,b=eB.q=元,b=G
_3311
C-.67]0,6=元D.a=茄,6=元
[答案](1)B(2)D
[解析](1)30個小球相當于號簽,攪拌均勻后逐個不放回地抽取,是典型的抽簽法.
(2)由簡單隨機抽樣的定義知,在每次抽取中每個個體都有相同的可能性被抽到,故五班在每次
抽樣中被抽到的可能性都是正,所以a=訪,
|方法總結(jié)|
簡單隨機抽樣的關(guān)注點
1.每個個體入樣機會均等.
2.用抽簽法,關(guān)鍵看兩點:一是制簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.
3.用隨機數(shù)法抽取樣本時,每個個體的編號位數(shù)要相同,同一編號被多次抽到,要剔除重復(fù)的編號.
咨.跟蹤訓練
1.下列抽樣試驗中,適合用抽簽法的有()
A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗
B.從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗
C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗
D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗
答案:B
解析:A,D中的總體中個數(shù)較多,不適宜用抽簽法,C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量可能有區(qū)別,也
不適宜用抽簽法.
2.用隨機數(shù)表法從100名學生(其中男生40名)中抽取20名參加一項文體活動,某男生被抽到的
可能性是()
11
A-1OB-2
12
C,5D,5
答案:c
201
解析:從容量為100的總體中抽取一個容量為20的樣本,每個個體被抽到的可能性都是同=不
考點二分層隨機抽樣
[例2](1)我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有衰分問題:今有北鄉(xiāng)八千一百人,西鄉(xiāng)七千四
百八十八人,南鄉(xiāng)六千九百一十二人,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百人,則北鄉(xiāng)遣()
A.104人B.108人
C.112人D.120人
(2)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)如表所示,采用比例分配分層隨機抽樣的方法調(diào)查教師的
身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為()
類別人數(shù)
老年教師900
中年教師1800
青年教師1600
合計4300
A.90B.100
C.180D.300
(3)某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件,根據(jù)分層隨機抽樣的結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)計員
制作了統(tǒng)計表格,如表所示:
產(chǎn)品類別ABC
產(chǎn)品數(shù)量(件)1300
樣本容量(件)130
由于不小心,表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被損壞,統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的
樣本容量多10,根據(jù)以上信息,可得C產(chǎn)品的數(shù)量是件.
[答案](1)B(2)C(3)800
[解析](1)由題意可知,這是一個分層隨機抽樣的問題,其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300X
81008100
8100+7488+6912—X22500~
320x
(2)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x.由題意得.=麗,.??x=180.
130
(3)抽取樣本容量3000X云加=300.
設(shè)C產(chǎn)品樣本容量為X,則A產(chǎn)品樣本容量為10+x,
.\x+10+x+130=300,x=80,
1
??80=元=800.
學生用書[第248頁
|方法總結(jié)|
分層隨機抽樣的關(guān)注點
1.分層原則:層內(nèi)樣本的差異要小,兩層之間的樣本差異要大,且互不重疊.
2.分層比:各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比,即
rij:N"=n:N.
3.分層隨機抽樣的有關(guān)計算,轉(zhuǎn)化為按比例列方程或算式求解.
否跟蹤訓練
3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件,為檢驗
產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應(yīng)從丙種型號
的產(chǎn)品中抽取件.
答案:18
解析:因為樣本容量〃=60,產(chǎn)品總數(shù)N=200+400+300+100=l000,所以玄=蕊=4,因此
3
應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300X^=18(件).
4.某工廠有A,B,C三個車間,A車間有600人,B車間有500人.若通過比例分配的分層隨機抽
樣方法得到一個樣本量為30的樣本,其中B車間10人,則樣本中C車間的人數(shù)為.
答案:8
解析:設(shè)C車間共有x人,樣本中C車間的人數(shù)為〃;由分層隨機抽樣的性質(zhì)得:600;器+x=0
400
,解行x=400.故"=30><500+600+400=8.
5.為了了解高一、高二、高三學生的身體狀況,現(xiàn)用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為
1200的樣本,三個年級學生人數(shù)之比依次為左:5:3,已知高一年級共抽取了240人,則高三年
級抽取的人數(shù)為
答案:360
2401k1
解析:因為高一年級抽取學生的比例為可=二,所以上+5+3=:,解得k=2,故高三年級抽取的人
3
數(shù)為1200義2+5+3=360?
學生用書[第437頁
■課時作業(yè)鞏固提個
[A組基礎(chǔ)保分練]
1.為了解某地區(qū)的“健步走”活動情況,擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進行調(diào)查,事先已了解
到該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“健步走”活動情況有較大差異,而男、女“健步走”活
動情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()
A.抽簽法抽樣
B.按性別分層隨機抽樣
C.按年齡段分層隨機抽樣
D.利用隨機數(shù)法抽樣
答案:C
解析:由題意及分層隨機抽樣的概念知選C.
2.(2024?山東青島模擬)某中學高中一年級有400人,高中二年級有320人,高中三年級有280
人,現(xiàn)從中抽取一個容量為200的樣本,則高中二年級被抽取的人數(shù)為()
A.28B.32C.40D.64
答案:D
3.某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的轎車,其產(chǎn)量之比為2:3:4,為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)
量,用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A種型號的轎車比B種型
號的轎車少8輛,則"=()
A.96B.72
C.48D.36
答案:B
32
解析:由題意得鏟一鏟=8,所以〃=72.
4.某林場有樹苗30000棵,其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長情況,采用分層隨機抽樣的方法
抽取一個容量為150的樣本,則樣本中松樹苗的數(shù)量為()
A.30B.25C.20D.15
答案:C
1501
解析:樣本中松樹苗為4000義O記UU而UU=4000義乙而UU=20(棵).
5.為了調(diào)研雄安新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況,某課題組對雄縣、容城、安新三縣空氣質(zhì)量進行調(diào)查,按地
域特點在三縣內(nèi)設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點,已知三縣內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為6,力z,依次構(gòu)成等差數(shù)
列,且6,“z+6成等比數(shù)列.若用比例分配分層隨機抽樣的方法抽取12個觀測點的數(shù)據(jù),則容城
應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為()
A.8B.6
C.4D,2
答案:C
解析:?.?三縣內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為6,Kz,依次構(gòu)成等差數(shù)列,且6,Kz+6成等比數(shù)列,
,[y2=6(z;6)z=18.若用比例分配分層隨機抽樣抽取12個觀測點的數(shù)據(jù),則容城應(yīng)該
12
抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為6+12+18義12=4.
6.在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持
錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之,問各幾何?”其譯文為:今有甲持
560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢,要按照各人帶錢多
少的比例進行交稅,問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯誤的是()
A.甲應(yīng)付51荻錢
B.乙應(yīng)付32謝錢
C.丙應(yīng)付16同錢
D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少
答案:B
解析:依題意由分層隨機抽樣可知,100+(560+350+180)=同,則甲應(yīng)付礪X560=51而
10121056
(錢);乙應(yīng)付麗X350=32而(錢);丙應(yīng)付前X180=16(錢).
7.(多選)(2024?湖北襄陽模擬)某中學高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,
每班45人.甲就讀于高一,乙就讀于高二.學校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查,下
列說法中正確的有()
A.應(yīng)該采用分層隨機抽樣法
B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力
答案:ABD
2351
解析:由于各年級的年齡段不一樣,因此應(yīng)采用分層隨機抽樣法.由于比例為20X50+30X45=而,
乙UADUIOUAT'J±U
因此高一年級1000人中應(yīng)抽取100人,高二年級1350人中應(yīng)抽取135人,甲、乙被抽到的可能
性都是「,因此只有C不正確.
8.(多選)某單位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況的某項
指標,需從他們中間抽取一個容量為42的樣本,則下列說法正確的是()
A.用抽簽法比分層隨機抽樣更合理
B.老年人中每個人被抽到的可能性最小
7
C.中年人中每個人被抽到的可能性為方
D.老年人、中年人、青年人被抽到的人數(shù)之比為1:2:3
答案:CD
427
解析:用比例分配分層隨機抽樣更合理,故A錯誤,每個人被抽到的可能性都是為小市=》,
故B錯誤,C正確.
V27:54:81=1:2:3,故D正確.
9.某地有2000人參加自學考試,為了了解他們的成績,從中抽取一個樣本,若每個考生被抽到的
概率都是0.04,則這個樣本的容量是.
答案:80
解析:設(shè)樣本量為",根據(jù)簡單隨機抽樣,得70面=0.04,解得〃=80.
10.某商場有四類食品,食品類別和種數(shù)如表所示:
類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類
種數(shù)40103020
現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用比例分配分層隨機抽樣方法抽取樣本,
則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為.
答案:6
解析:由題意可知,20X40+10+30+20^6.
11.一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如表
(單位:輛):
轎車A轎車B轎車C
舒適型100150Z
標準型300450600
按類型用分層隨機抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛,則z的值
為.
答案:400
解析:設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車"輛,
,?5010
由題意得元=100+300,所以"=2000,
貝Iz=2000-100-300-150-450-600=400.
學生用書[第438頁
12.(2024?北京模擬)某校高一年級三個班共有學生120名,這三個班的男生、女生人數(shù)如表所
示,已知在全年級中隨機抽取1名學生,抽到二班女生的概率是0.2,則工=;現(xiàn)用比例
分配分層隨機抽樣的方法在全年級抽取30名學生,則應(yīng)在三班抽取的學生人數(shù)為.
一班二班三班
女生人數(shù)20Xy
男生人數(shù)2020z
答案:249
解析:由題意可得面=0.2,解得x=24.三班總?cè)藬?shù)為120—20—20—24—20=36,用比例分配分
301
層隨機抽樣的方法在全年級抽取30名學生,每個學生被抽到的概率為痂=心故應(yīng)從三班抽取的
1
人數(shù)為36X2=9.
[B組能力提升練]
13.從某魚池中捕得130條魚,做了記號之后,再放回池中,經(jīng)過適當?shù)臅r間后,再從池中捕得100
條魚,計算其中有記號的魚為10條,試估計魚池中共有魚的條數(shù)大約為()
A.1000B.1200
C.130D.1300
答案:D
10130
解析:設(shè)魚池中共有魚的條數(shù)大約為",則同=〒,解得"=1300.
14.某中學400名教師的年齡分布情況如圖,現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本,若用分層隨機抽樣方
法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取()
A.40人B.200人C.20AD.10人
答案:C
40
解析:由圖知,40歲以下年齡段的人數(shù)為400X50%=200,若采用分層隨機抽樣應(yīng)抽取200X痂
=20(人).
15.(多選)從一群做游戲的小孩中抽出后人,每人分一個蘋果,讓他們返回繼續(xù)游戲,一段時間
后,再從中任抽出加人,發(fā)現(xiàn)其中有〃個小孩曾分過蘋果,則下列說法正確的是()
A.得到蘋果的小孩占總數(shù)的7
B.得到蘋果的小孩占總數(shù)的:
C.小孩的總數(shù)為方
D.小孩的總數(shù)為k+m—n
答案:BC
k22,JcTTl
解析:設(shè)一共有X個小孩,則城=為解得x=£.
16.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品,它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線,為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)
量,決定采用分層隨機抽樣(按比例分配樣本量)的方法進行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線
抽取的產(chǎn)品個數(shù)分別是a,b,c,且2b=a+c,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.
答案:5600
解析:設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線各生產(chǎn)了7甲,7乙,7丙件產(chǎn)品,則a:6:c=T甲:7乙:T丙,即
abc,?'T甲"丙=2%
因為26=a+c,所以
/甲/乙/丙r甲+7乙+7丙=16800,
16800
所以T乙=5600.
17.某班的數(shù)學老師要對該班一??荚嚨臄?shù)學成績進行分析,利用隨機數(shù)法抽取樣本時,先將該班
70名同學按00,01,02,…,69進行編號,然后從隨機數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀,則選
出的10個樣本中第8個樣本的編號是.
注:以下是隨機數(shù)表的第8行和第9行.
第8行:
6301637859169555671998
1050717512867358074439
523879
第9行:
3321123429786456078252
4207443815510013429966
027954
答案:38
解析:由隨機數(shù)表知選出的10個樣本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,第8個
樣本編號是38.
18.某地各項事業(yè)取得令人矚目的成就,以2023年為例,社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元,其
中包括中央項目、省屬項目、地(市)屬項目、縣(市)屬項目和其他項目.圖1、圖2分別是這五
個項目的投資額不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請完成下列問題.
(1)地(市)屬項目投資額為億元;
(2)在圖2中,縣(市)屬項目部分所占百分比為/%,對應(yīng)的圓心角為|3,則m=,P
=度(m,p均取整數(shù)).
答案:(1)830(2)1865
解析:(1)因為該地社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元,所以地(市)屬項目投資額為3730—
(200+530+670+1500)=830(億元).
(2)由條形統(tǒng)計圖可以看出縣(市)屬項目部分總投資為670億元,所以縣(市)屬項目部分所
670
占百分比為〃7%=.X100%p18%,即加=18,對應(yīng)的圓心角為13^360X0.18仁65(度).
學生用書1第248頁
第二節(jié)統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體
[學習要求]1.會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖,體會它們各自的特點.2
會計算數(shù)據(jù)標準差.3.能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特
征(如平均數(shù)、標準差),并作出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本
的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征;初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性.5.會用
隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想,解決一些簡單的實際問題;能通過對數(shù)據(jù)的分析為
合理的決策提供一些依據(jù),認識統(tǒng)計的作用,體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.
禍必備知識自主梳理
[知識梳理]
知識點一頻率分布直方圖
作頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);
(2)決定組距與組數(shù);
(3)將數(shù)據(jù)分組;
(4)列頻率分布表;
(5)畫頻率分布直方圖.
知識點二樣本的數(shù)字特征
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)
(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).
(2)中位數(shù):把,一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)
據(jù)的平均數(shù)).
(3)平均數(shù):如果有”個數(shù)據(jù)X1,無2,…,X.,那么這〃個數(shù)的平均數(shù)歹=———-——
(4)百分位數(shù):一般地,一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值,它使這組數(shù)據(jù)中至少有0%
的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100—O)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
2.四分位數(shù)
第25百分位數(shù),第50百分位數(shù)(中位數(shù)),第75百分位數(shù),這三個分位數(shù)把一組由小到大排列
后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù),其中第25百分位數(shù)也稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),
第75百分位數(shù)也稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).
3.標準差、方差
(1)標準差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,s=
一土)之+(無2—又)2+…+(萬口一1)].
學生用書1第249頁
(2)方差:標準差的平方
52=-[(X)—X)2+(X2—x)2-\------(x?—x)2],其中即(i=l,2,3,…,〃)是樣本數(shù)據(jù),〃是
樣本容量,3是樣本平均數(shù).
4.總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)、方差
(1)總體平均數(shù):一般地,總體中有N個個體,它們的變量值分別為X,Y2,n,…,YN,則稱
-丫1+丫2+…1N位工,—士
丫=------N----------=小2X為總體均值.
i=1
如果總體的N個變量中,不同的值共有左(左WN)個,記為妨,Y2,Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力
_1k
(z=b2,k),則總體均值可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式,丫=N£月
i=1
(2)樣本平均數(shù):如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本,它們的變量值分別為力,”,…,
丫1+、2+…1n
外,則稱歹=——-——=%z%為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).
i=1
(3)比例分配的分層隨機抽樣中的平均數(shù):在分層隨機抽樣中,如果第1層和第2層包含的個體
數(shù)分別為初和M抽取的樣本量分別為加和",……a為第一層的平均數(shù),歹為第二層的平均
數(shù)),則可用
一M—N—m—n_,?、,、,,,一一、“,___
w=—再產(chǎn)土即y—=—而“土訴V—,估計總體平均數(shù)
[小題診斷]
1.若數(shù)據(jù)修,必,…M的方差為2,則數(shù)據(jù)2對,2工2,…,2時的方差為()
A.2B.4C.6D.8
答案:D
解析:根據(jù)方差的性質(zhì)可知,數(shù)據(jù)修,必,…,必的方差『=2,那么數(shù)據(jù)2對,2歷,…,2必的方
差為22s2=8.
2.某射擊運動員7次的訓練成績分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績的第80百分
位數(shù)()
A.88.5B.89
C.91D.89.5
答案:B
解析:7次的訓練成績從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,
7X80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù),即89.
3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上20,得到一組新數(shù)據(jù),
則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,方差是.
答案:484
解析:設(shè)該組數(shù)據(jù)為修,尤2,…,X,,,
則新數(shù)據(jù)為修+20,必+20,…,x?+20,記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為h',
__x1+x2+...+xn
因為x=---------------=28,
+20+%2+20+…+%九+20
所以h'=---------------------------------=20+28=48.
1___
22
因為52=讓(X[—X)+(x2-%)2H------H(x?—%)]=4,
1___
222
所以s2=*[xi+20-(x+20)]+[X2+20-(X+20)12H------b[%?+20-(x+20)]}=5=4.
4.某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位:cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,
180,179,則中位數(shù)為.
答案:178.5
解析:把10名旗手的身高從小到大排列為175,175,176,176,178,179,179,179,180,
180,
178+179,,
則一2—=178.5,所以所求中位數(shù)為178.5.
,關(guān)鍵能力重點探究立
考點一頻率分布直方圖
[例1]隨著新課程改革和高考綜合改革的實施,高中教學以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向,學習
評價更關(guān)注學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.為此,某市于2022年舉行第一屆高中數(shù)學學科素養(yǎng)競賽,
競賽結(jié)束后,為了評估該市高中學生的數(shù)學學科素養(yǎng),從所有參賽學生中隨機抽取1000名學生的
成績(單位:分)作為樣本進行估計,將抽取的成績整理后分成五組,依次記為[50,60),[60,
70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)請補全頻率分布直方圖,并估計這1000名學生成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中
點值作代表);
(2)該市決定對本次競賽成績排在前180名的學生給予表彰,授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱
號,一名學生本次競賽成績?yōu)?9分,請你判斷該學生能否被授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號.
[解](1)成績在[60,70)的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.057=0.40,補全的頻率分布直
方圖如圖.
頻率
樣本的平均數(shù)±=55X0.30+65X0.40+75X0.15+85X0.10+95X0.05=67.
(2)因為百麗=0.18,
所以由頻率分布直方圖可以估計獲得“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號學生的最低成績?yōu)?0-
0.18-0.05-0.10
~0.015~78(分).
因為79>78,所以該學生能被授予“數(shù)學學科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號.
學生用書1第250頁
I方法總結(jié)I
1.由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時,需掌握的兩個關(guān)系式
頻率
(1)記記X組距=頻率;
組距
頻數(shù)頻數(shù)
(2)殍[上口=頻率,此關(guān)系式的變形為黑=樣本容量,樣本容量x頻率=頻數(shù).
樣本容重頻率
2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)的估計值;
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的;
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底
邊中點的橫坐標之和.
|再跟蹤訓練
1.(2024?深圳模擬)某市衛(wèi)健委為了解社區(qū)服務(wù)志愿者的服務(wù)時長(單位:小時),對參加過社
區(qū)服務(wù)的志愿者隨機抽樣調(diào)查,將樣本中個體的服務(wù)時長進行整理,得到如圖所示的頻率分布直
方圖.據(jù)此估計,7.2萬名參加過社區(qū)服務(wù)的志愿者中服務(wù)時長超過32小時的約有()
A.3.3萬人B.3.4萬人
C.3.8萬人D.3.9萬人
答案:A
解析:依題意樣本中服務(wù)時長超過32小時的個體頻率為1—4X(0.005+0.04+0.09)=0.46.由樣
本估計總體,可得總體中服務(wù)時長超過32小時的個體數(shù)為7.2X0.46=3.312心3.3(萬人).
考點二總體百分位數(shù)的估計
⑥角度(一)離散型
[例2]抽查30袋洗衣粉,測量它們的凈重如下(單位:g)
482485485508508509497497498
499500485486488490501502505
490491492493495495495496500
506508509
估計第25,75百分位數(shù)分別是,.
[答案]490502
[解析]把30個數(shù)據(jù)從小到大排列為
482485485485486488490490491492493495495495496497497
498499500500501502505506508508508509509
由25%X30=7.5,75%X30=22.5,
可知樣本數(shù)據(jù)的第25,75百分位數(shù)分別為第8,23項數(shù)據(jù),所以估計30袋洗衣粉第25,75百分
位數(shù)分別為490,502.
|方法總結(jié)|
設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為,,&,…,龍小計算i=^P%得知,如果i不是整數(shù),設(shè)
%+%+1
i。為大于i的比鄰整數(shù),取、為第p百分位數(shù);如果i是整數(shù),取一一為第p百分位數(shù).
夠角度(二)連續(xù)型
[例3]為了解學生在課外讀物方面的支出情況,抽取了100個同學進行調(diào)查,結(jié)果顯示這些同學
的支出都在[10,50](單位:元),其中支出在[30,50](單位:元)的同學有67人,其頻率分布
直方圖如圖所示,估計學生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù).
[解]由頻率分布直方圖可得支出在[40,50]的頻率為1一(0.01+0.023+0.037)X10=0.3,
又支出在[30,50](單位:元)的同學有67人,支出在[30,40)的頻率為0.37,
因此,支出在[40,50]的同學共有67X拓陋=30(人).
所以第65百分位數(shù)應(yīng)位于[30,40)內(nèi),因為課外讀物支出在[10,40)的占70%,
0.65-0.33
所以30+10><不U./—=數(shù)U.SJ七38.65.所以估計學生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為38.65.
I方法總結(jié)I
頻率分布直方圖中的百分位數(shù),根據(jù)頻率計算.
學生用書1第251頁
滓跟蹤訓練
2.(2024?江蘇南通模擬)“雙減”政策實施后,學生的課外閱讀增多.某班50名學生到圖書館借書
數(shù)量統(tǒng)計如下:
借書數(shù)量(單位:本)5678910
頻數(shù)(單位:人)58131194
則這50名學生的借書數(shù)量的第75百分位數(shù)是()
A.8B.8.5
C.9D.10
答案:C
解析:由50X75%=37.5,故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人,又5+8+13
+11=37<38<5+8+13+11+9=46,故第75百分位數(shù)是9.
3.某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用比例分配的分層隨機抽
樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40)
,[80,90],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計分數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù);
(2)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計
總體中女生的人數(shù).
解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)X10=0.6,
0.3
所以樣本中分數(shù)小于的頻率為小于的頻率為
701—0.6=04,800.8,70+U=.U=477.5,
所以其分數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)估計值為77.5.
(2)由題意可知,樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)X10X100=60,
所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60X:=30,
所以樣本中的男生人數(shù)為30X2=60,女生人數(shù)為100—60=40,
40
估計總體中女生人數(shù)為400義訴=160.
考點三樣本的數(shù)字特征
[例4](2021?全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指
標有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:
舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7
新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為又和歹,樣本方差分別記為《和原
(1)求五y,s;s,
2.2
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹一檜2則認
為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認為有顯著提高).
[解](1)由表格中的數(shù)據(jù)易得:
--0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3
%=-----------------而------------------1-10.0=10.0,
-0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5
y=--------------------------------------------------------1-10.0=10.3,
21
s:=訕X[(9.7-10,0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-
10,0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036,
21
s2=iox[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5
-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得少一歹=10.3—10.0=0.3,而2=J0.0304,顯然有少一
%>2忙之成立,所以認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
10
I方法總結(jié)I
利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題
平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準
差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.
學生用書[第252頁
咨跟蹋訓練
4.(多選)(2021?新高考I卷)有一組樣本數(shù)據(jù)xi,M,…,X,"由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)為,
夕2,…,為,其中%=Xf+c(z=l,2,???,n),c為非零常數(shù),貝!J()
A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同
D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
答案:CD
1九_1Tl1n1n
解析:A項,設(shè)歹E處則歹(巷+C)因為CWO,所以歹=±+C,
1=11=11=11=1
所以又W歹,所以A選項錯誤.
B項,因為%=樂+。(i=l,2,,,,,〃),所以為,以,…,為的中位數(shù)是修,x2
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