中考數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)沖刺專(zhuān)題24正方形存在性問(wèn)題鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

正方形存在問(wèn)題鞏固練習(xí)1．已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，①當(dāng)點(diǎn)E（x，y）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？②在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到D、B兩點(diǎn)的距離之和d＝MD+MB最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖2，若四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線的平行四邊形．是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=72的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和（1）求拋物線的解析式及拋物線與x軸的另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）D為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E（x，y）是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形．①當(dāng)?OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷?OEAF是矩形嗎？是菱形嗎？②是否存在點(diǎn)E，使?OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M′．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；（3）是否存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，PO交于⊙O于點(diǎn)E．（1）試判斷∠APB與∠BAC的數(shù)量關(guān)系；（2）若⊙O的半徑為4，P是⊙O外一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PAOB為正方形？若存在，請(qǐng)求出PO的長(zhǎng)，并判斷點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及其滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線MN∥x軸，設(shè)MN分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F．（1）求證：EB＝BF；（2）當(dāng)OBOA為何值時(shí)，四邊形AEOF（3）是否存在點(diǎn)A、B，使四邊形AEOF為正方形？若存在，求點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交y正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．（1）求直線AM的函數(shù)解析式．（2）試在直線AM上找一點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△AOM，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)C在直線AM上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖1，以一塊等腰直角三角板的兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，OA＝OB＝3，過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖2，如果將三角板的直角頂點(diǎn)C在x軸上滑動(dòng)，一直角所在的直線過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊與拋物線交點(diǎn)為E，其橫坐標(biāo)為4，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，M為拋物線在x軸上方圖象上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD＝CD，∠ABC＝90°，A、B在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，若tan∠OAD=43，（1）求直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)Q、P分別從點(diǎn)C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，P點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PQE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)作PQ的垂線交直線CD于點(diǎn)M，在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否在平面內(nèi)有一點(diǎn)N，使四邊形QPMN為正方形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，拋物線y＝ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且PC⊥PB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在兩點(diǎn)E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，已知拋物線y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．（1）求a的值；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，作點(diǎn)N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個(gè)，則分別記作N1、N2、N3、…；（3）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB∥x軸交拋物線左側(cè)部分于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，點(diǎn)B、C分別在x，y軸的正半軸上，OB，OC的長(zhǎng)分別為x2﹣8x+12＝0的兩個(gè)根，且OC＞OB，將△COB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)A處，點(diǎn)B落在y軸正半軸的點(diǎn)D處，連接AC．（1）求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；（2）直接寫(xiě)出tan∠CAD的值；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)Q從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連接PQ．求S△CPQ的最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．矩形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，連接AB，AD平分∠BAO交y軸于點(diǎn)D，線段OD的長(zhǎng)是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，sin∠DAO=5（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，若雙曲線y=kx的一個(gè)分支經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，求（3）點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)P在直線AB上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否在點(diǎn)Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．正方形存在問(wèn)題鞏固練習(xí)1．已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，①當(dāng)點(diǎn)E（x，y）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？②在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到D、B兩點(diǎn)的距離之和d＝MD+MB最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖2，若四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線的平行四邊形．是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x2﹣6x+5），S＝S△OEB=12?OB?yE=?52（x2﹣6x+5），即可求解；②連接B′D交y軸于點(diǎn)M，此時(shí)，（3）當(dāng)四邊形OEBF為正方形，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（52，?52），當(dāng)x=52時(shí)，y＝x2【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，則函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），則5a＝5，即a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣6x+5；（2）①設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x2﹣6x+5）S＝S△OEB=12?OB?yE=?52（x∵a=?5當(dāng)x=?b2a=②找到點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（﹣5，0），連接B′D交y軸于點(diǎn)M，此時(shí)，M到D、B兩點(diǎn)的距離之和d＝MD+MB最小，y＝x2﹣6x+5，頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，﹣4），設(shè)直線B′D的表達(dá)式為：y＝mx+n，將點(diǎn)B′、D的坐標(biāo)代入上式得：?4=3m+m0=?5m+n，解得：m=?則直線B′D的表達(dá)式為：y=?12x令x＝0，則y=?52，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，（3）當(dāng)四邊形OEBF為正方形，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（52，?當(dāng)x=52時(shí)，y＝x2﹣6x+5＝（52）2﹣6×即點(diǎn)E不在拋物線上，故不存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到三角形的面積計(jì)算、特殊四邊形基本性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是一道中等難度的題目．2．如圖1，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=72的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和（1）求拋物線的解析式及拋物線與x軸的另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）D為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E（x，y）是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形．①當(dāng)?OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷?OEAF是矩形嗎？是菱形嗎？②是否存在點(diǎn)E，使?OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定C（1，0），然后利用交點(diǎn)式求出拋物線解析式為y=23x2?（2）分類(lèi)討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)利用平移確定D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，連結(jié)EF，①根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)E（x，23x2?143x+4），利用?OEAF的面積為24和三角形面積公式得到12×6×[﹣（23x2?143x+4）]＝12，解得分類(lèi)討論：當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）時(shí)，易得F（3，4），于是得到EF≠OA，OE與OA互相垂直平分，根據(jù)特殊平行四邊形的判定方法得到平行四邊形OEAF不是矩形，而是菱形；當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣4）時(shí)，易得F（2，4），于是有EF≠OA，OE與OA不垂直，則可判斷平行四邊形OEAF不是矩形，也不是菱形；②根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)OA⊥EF，且OA＝EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），由于坐標(biāo)為（3，﹣3）的點(diǎn)不在拋物線上，所以不存在這樣的點(diǎn)E使平行四邊形OEAF為正方形．【解答】解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=72的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴拋物線過(guò)點(diǎn)C（1，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣6），把B（0，4）代入得6a＝4，解得a=2∴拋物線解析式為y=23（x﹣1）（x﹣6）=23x（2）如圖1，AC＝6﹣1＝5，當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，D1（5，4）；當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，D2（﹣5，4）；當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，由于B（0，4）點(diǎn)向下平移4個(gè)單位，向右平移1個(gè)得到C（1，0），則A（6，0）點(diǎn)向下平移4個(gè)單位，向右平移1個(gè)得到得到D3（7，﹣4），即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4）或（﹣5，4）或（7，﹣4）；（3）如圖2，連接EF，①點(diǎn)E（x，23x2?14∵?OEAF的面積為24，∴S△AOE＝12，∴12×6×[﹣（23x2?143x+4）]＝12，解得x∴E（3，﹣4）或（4，﹣4），當(dāng)E（3，﹣4）時(shí)，則F（3，4），則EF≠OA，OE與OA互相垂直平分，所以平行四邊形OEAF不是矩形，而是菱形；當(dāng)E（4，﹣4）時(shí)，則F（2，4），則EF≠OA，OE與OA不垂直，所以平行四邊形OEAF不是矩形，也不是菱形；②不存在．理由如下：當(dāng)OA⊥EF，且OA＝EF時(shí)，□OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），而坐標(biāo)為（3，﹣3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E使□OEAF為正方形．（9分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形與特殊平行四邊形的判定方法判定方法；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．3．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M′．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；（3）是否存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．【解答】解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得1?b+c=09+3b+c=0解得b=?2c=?3拋物線的解析式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得y＝（x﹣1）2﹣4，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），M′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)AM′的解析式為y＝kx+b，將A、M′點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得?k+b=0①k+b=4②解得k=2b=2AM′的解析式為y＝2x+2，聯(lián)立AM′與拋物線，得y=2x+2y=解得x1=?1C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）．S△ABC=1（3）存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①當(dāng)頂點(diǎn)P（1，﹣2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2＝0，解得a=1拋物線的解析式為y=12（x﹣1）②當(dāng)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2+2＝0，解得a=?1拋物線的解析式為y=?12（x﹣1）綜上所述：y=12（x﹣1）2﹣2或y=?12（x﹣1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出M′的解析式，利用待定系數(shù)法得出AM′的解析式，利用解方程組得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（3）利用正方形的性質(zhì)得出P、Q點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意要分類(lèi)討論，以防遺漏．4．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，PO交于⊙O于點(diǎn)E．（1）試判斷∠APB與∠BAC的數(shù)量關(guān)系；（2）若⊙O的半徑為4，P是⊙O外一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PAOB為正方形？若存在，請(qǐng)求出PO的長(zhǎng)，并判斷點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及其滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）連接BA，如圖1，先根據(jù)切線的性質(zhì)得∴∠OAP＝∠OBP＝90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠APB+∠AOB＝180°，而∠AOB+∠BOC＝180°，則∠BOC＝∠APB，利用三角形外角性質(zhì)得∠BOC＝2∠BAC，所以∠APB＝2∠BAC，（2）由PA、PB為⊙O的切線得∠OAP＝∠OBP＝90°，所以當(dāng)OA⊥OB時(shí)，四邊形PAOB為矩形，加上OA＝OB，于是可判斷四邊形PAOB為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OP=2OA＝42；由此得到這樣的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，當(dāng)點(diǎn)P在以O(shè)點(diǎn)為圓心，42為半徑的圓上時(shí)，四邊形PAOB【解答】解：（1）連接BA，如圖1，∵PA、PB為⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠APB+∠AOB＝180°，而∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA，而OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠BOC＝2∠BAC，∴∠APB＝2∠BAC；（2）存在．∵PA、PB為⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴OA⊥OB時(shí)，四邊形PAOB為矩形，而OA＝OB，∴四邊形PAOB為正方形，∴OP=2OA＝42這樣的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，當(dāng)點(diǎn)P在以O(shè)點(diǎn)為圓心，42為半徑的圓上時(shí)，四邊形PAOB為正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了正方形的判定．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線MN∥x軸，設(shè)MN分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F．（1）求證：EB＝BF；（2）當(dāng)OBOA為何值時(shí)，四邊形AEOF（3）是否存在點(diǎn)A、B，使四邊形AEOF為正方形？若存在，求點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）證明：由OF平分OA與x軸正方向的夾角得∠1＝∠3，由MN∥x軸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，則根據(jù)等腰三角形的判定得BO＝BF，同樣的方法可得BE＝BO，于是有BE＝BF；（2）由于MN分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F，根據(jù)平角的定義得到∠EOF＝90°，根據(jù)矩形的判定方法得當(dāng)四邊形AEOF為平行四邊形時(shí)，四邊形AEOF為矩形，而B(niǎo)E＝BF，根據(jù)平行四邊形的判定，當(dāng)OB＝AB時(shí)，四邊形AEOF為平行四邊形，于是得到OBOA=1（3）由于四邊形AEOF是矩形，根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)OA⊥EF時(shí)，四邊形AEOF為正方形，而EF∥x軸，則OA⊥x軸，所以點(diǎn)A在y軸上，易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），利用BO＝BA可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．【解答】（1）證明：∵OF平分OA與x軸正方向的夾角，∴∠1＝∠3，∵M(jìn)N∥x軸，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BO＝BF，同理可得BE＝BO，∴BE＝BF；（2）當(dāng)OBOA的值為12時(shí)，四邊形∵OBOA=12，即而B(niǎo)E＝BF，∴四邊形AEOF為平行四邊形，∵M(jìn)N分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F．∴∠EOF=1∴四邊形AEOF是矩形；（3）存在．∵四邊形AEOF是矩形，∴當(dāng)OA⊥EF時(shí)，四邊形AEOF為正方形，而EF∥x軸，∴OA⊥x軸，∴點(diǎn)A在y軸上，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），∵BO＝BA，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形、矩形和正方形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；同時(shí)會(huì)運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；記住坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交y正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．（1）求直線AM的函數(shù)解析式．（2）試在直線AM上找一點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△AOM，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)C在直線AM上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）通過(guò)函數(shù)y＝﹣2x+12求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，又由點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線AM的函數(shù)解析式；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求得AP的長(zhǎng)，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，求得B點(diǎn)到AM的距離，然后由S△ABP＝S△AOM，可得方程12×2|x（3）分OA是正方形的一條邊和OA是正方形的一條對(duì)角線兩種情況討論可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12）．又∵M(jìn)為線段OB的中點(diǎn)，∴M（0，6）．設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx+b，則6k+b=0b=6解得：k=?1b=6故直線AM的解析式y(tǒng)＝﹣x+6；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，﹣x+6），∴AP=(x?6)2過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AM于點(diǎn)H，∵OA＝OM，∠AOM＝90°，∴∠AMO＝45°，∴∠BMH＝45°，∴BH＝BM?sin45°＝6×22=∵S△ABM＝S△AOM，S△AOM=12OA?OMS△ABP=12AP?BH=12×∴12×2|x解得：x＝0或12，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，6）或（12，﹣6）．（3）當(dāng)OA是正方形的一條邊，以A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，6）；當(dāng)OA是正方形的一條對(duì)角線，以A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的一次解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．7．如圖1，以一塊等腰直角三角板的兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，OA＝OB＝3，過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖2，如果將三角板的直角頂點(diǎn)C在x軸上滑動(dòng)，一直角所在的直線過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊與拋物線交點(diǎn)為E，其橫坐標(biāo)為4，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，M為拋物線在x軸上方圖象上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，列方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）存在．本問(wèn)分為5種情形，需要分類(lèi)討論，分別計(jì)算，如答圖3所示．【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，∴設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）2+k由題意可知：A（3，0）、B（0，3），代入上式得：4a+k=0a+k=3解得：a＝﹣1，k＝4，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）令x＝4，則y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，∴E（4，﹣5）．如答圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則EF＝5，OF＝4．設(shè)C（m，0）（m＜0），則OC＝﹣m，CF＝OF+OC＝4﹣m．易證△BOC∽△CFE，則有OBCF=OC解得：m1＝2?19，m2＝2+∵m＜0，∴m＝2?19∴C（2?19（3）存在．（i）若以AP、AM為正方形的兩邊：①若點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，如答圖3﹣1所示．設(shè)M（x，y）（y＞0）過(guò)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，易證△MFA≌△ACP，∴MF＝AC＝2，∴﹣x2+2x+3＝2，解方程得：x＝1±2（負(fù)值舍去），∴M（1+2②若點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，如答圖3﹣2所示．同理可求得：M（1?2（ii）若以MP、MA為正方形的兩邊：①若點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，如答圖3﹣3所示．設(shè)M（x，y）（y＞0）過(guò)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，易證△MFA≌△MGP，∴MF＝MG，∴OF＝CF+OC＝MG+OC＝MF+OC，即x＝y(tǒng)+1．∴x＝（﹣x2+2x+3）+1，解方程得：x=?1±∴M（1+172，②若點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，如答圖3﹣4所示．同理可求得：M（3?172，（iii）若以AM為正方形的對(duì)角線：如答圖3﹣5所示，可求得M（2，3）．綜上所述，存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1+2，2），（1?2，2），（1+172，?1+17【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)、相似三角形、正方形等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，計(jì)算量大，有一定的難度．本題難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，需要具備較強(qiáng)的分類(lèi)討論思維以及空間想象能力，避免漏解．8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD＝CD，∠ABC＝90°，A、B在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，若tan∠OAD=43，（1）求直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)Q、P分別從點(diǎn)C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，P點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PQE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)作PQ的垂線交直線CD于點(diǎn)M，在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否在平面內(nèi)有一點(diǎn)N，使四邊形QPMN為正方形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)正切值表示出AO、DO，由勾股定理求出AD，由條件可以表示出CD，由CD＝OB，求出點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出直線AC的解析式；（2）先求出∠BAC的正弦值，然后根據(jù)三角形的面積公式分段進(jìn)行計(jì)算就可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，而求出結(jié)論；【解答】解：（1）∵tan∠OAD=43，且tan∠OAD∴DOAO設(shè)DO＝4x，AO＝3x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝4x．∵AD＝CD，∴CD＝5x，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠DOB＝∠ODC＝∠DCB＝90°，∴四邊形OBCD是矩形，∴OB＝CD＝5x．∵B（5，0），∴OB＝5，∴5x＝5，∴x＝1，∴AO＝3，DO＝4，∴A（﹣3，0），C（5，4）．設(shè)直線AC的解析式為，y＝kx+b，由題意得0=?3k+b4=5k+b解得：k=1故直線AC的解析式為：y=1（2）∵當(dāng)x＝0時(shí)，y=3∴E（0，32∴OE=3∴DE=5在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得：CE=552，∴AC＝45．∵OA＝3，OB＝5，∴AB＝8，∵BC＝4，∴tan∠BAC=12，sin∠BAC∴當(dāng)0＜t＜52時(shí)，S=2t(45?5當(dāng)52＜t≤4時(shí)，S=2t×32綜上所述，∴S=?（3）①如圖1，作NH⊥CD與H，MG⊥AB與G，QR⊥AB與R，∴∠MHN＝∠MGP＝∠PRQ＝90°，∵四邊形QPMN為正方形，∴MP＝MN＝PQ，∠NMP＝∠MPQ＝90°，∴∠NMH＝∠GMP＝∠QPR，∵在△MHN和△PRQ中，∠MHN=∠PRQ∠NMH=∠QPR∴△MHN≌△PRQ（AAS）．∴NH＝QR．在△GMP和△RPQ中，∠MGP=∠PRQ∠GMP=∠QPR∴△GMP≌△RPQ（AAS），∴GM＝RP．GP＝QR．∵GM＝OD＝4cm，∴RP＝4cm．∵AR4∴AR＝8﹣2t，∴PR＝8﹣2t﹣2t＝4，∴t＝1，∴AR＝6，AP＝2，∴PO＝1，∵QR∴QR＝3，∴GO＝4，∴HN＝3，MH＝4，．∴H、O在同一直線上，∴N（0，7）②如圖2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，∴∠NSM＝∠QHP＝∠PRM＝90°，∵四邊形PQNM是正方形，∴∠QPM＝∠PMN＝90°，PQ＝PM＝MN，∴∠HPQ＝∠PMR＝∠NMS，∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，∴NS＝QH＝PR，HP＝MR＝SM＝4，∵AHAQ∴AH4∴AH＝8﹣2t，∴2t﹣（8﹣2t）＝4，∴t＝3，∴AH＝2，HO＝1，∴QH＝SN＝1，OR＝4，∴SM＝OR，∴S在y軸上，∴N（0，5）綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，7）或（0，5）【點(diǎn)評(píng)】本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，拋物線y＝ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且PC⊥PB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在兩點(diǎn)E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）已知Rt△AOB≌Rt△CDA，因此OB＝AD＝2，OA＝CD＝1，據(jù)此可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（2）連接BC，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，則設(shè)OP＝x，若PC⊥PB則∠CPB＝90°，所以三角形BPC是直角三角形，由勾股定理可得PC2+PB2＝BC2，求出OP的值進(jìn)而得到P的坐標(biāo)；（3）存在，可以AB為邊在拋物線的右側(cè)作正方形ABEF，過(guò)E作EH⊥y軸，過(guò)F作FG垂直x軸于G，不難得出三角形ABO和三角形BHE和三角形AFG都全等，據(jù)此可求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出E、F是否在拋物線上．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，∴OA＝1，AD＝BO＝2，∴OD＝AO+AD＝2+1＝3，∵∠D＝90°，∴CD⊥OD∴CD＝1，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴1＝a（﹣3）2+a（﹣3）﹣2，∴a=1∴拋物線的解析式為y=12x2+（2）設(shè)OP＝x，∵Rt△AOB≌Rt△CDA，∴∠CAD＝∠ABO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠CAB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∴BC=A∵PC⊥PB，∴∠CPB＝90°，∴△BPC是直角三角形，∴PB2+PC2＝BC2，∵PB2＝OP2+BO2，PC2＝CD2+DP2，∴OP2+BO2+CD2+DP2＝BC2，即x2+22+12+（3﹣x）2＝10，解得：x＝1或2，由題意可知：P在x的負(fù)半軸，∴P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣2，0）；（3）存在，在拋物線上存在點(diǎn)E、F，使四邊形ABEF是正方形．以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABEF，過(guò)E作EH⊥OB于H，F(xiàn)G⊥x軸于G，可證△EHB≌△AFG≌△BAO，∴HE＝AG＝BO＝2，BH＝FG＝AO＝1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）．由（1）拋物線y=12x2+12x﹣2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1；當(dāng)∴E、F在拋物線上．故在拋物線上存在點(diǎn)E（2，1）、F（1，﹣1），使四邊形ABPQ是正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大．10．如圖，已知拋物線y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．（1）求a的值；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，作點(diǎn)N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個(gè)，則分別記作N1、N2、N3、…；（3）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB∥x軸交拋物線左側(cè)部分于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）拋物線y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，把坐標(biāo)（0，0）代入拋物線解析式，求出a的值即可；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上作出所有使得△OMN為等腰三角形的N點(diǎn)即可；（3）假如存在，設(shè)點(diǎn)P（x，y），分別討論點(diǎn)P在第一象限和第四象限時(shí)，矩形PACB恰好為正方形得PA＝PB，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴把（0，0）代入y＝（a+2）x2+4ax+a2﹣1，解得a＝±1，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x大于0，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1不合題意，舍去；a＝﹣1符合題意，∴a＝﹣1；（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4∴M（2，﹣4），∴OM＝25，符合題意的點(diǎn)N共有4個(gè)，N1等腰三角形N1OM的頂點(diǎn)，（2，﹣1.5），N2是等腰三角形N2OM底邊上的點(diǎn)，（2，4）；N3是等腰三角形OMN3底邊上的點(diǎn)，（2，﹣4﹣25）；N4是等腰三角形OMN4底邊上的點(diǎn)，（2，25?如圖：（3）設(shè)P（x，y）．①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，如圖1，由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB＝PA，PA＝x2﹣4x，PB＝2（x﹣2），得x2﹣4x＝2（x﹣2），解得x＝3+5，x＝3?∴P（3+5，2+25②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限，如圖2：由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB＝PA，得4x﹣x2＝2（x﹣2），解得x＝1+5，x＝1?∴P（1+5，2﹣25∴存在P1（3+5，2+25）、P2（1+5，2﹣25），使得矩形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)、正方形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、熟練掌握正方形的性質(zhì)，此題難度一般．11．如圖，點(diǎn)B、C分別在x，y軸的正半軸上，OB，OC的長(zhǎng)分別為x2﹣8x+12＝0的兩個(gè)根，且OC＞OB，將△COB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)A處，點(diǎn)B落在y軸正半軸的點(diǎn)D處，連接AC．（1）求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；（2）直接寫(xiě)出tan∠CAD的值；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)Q從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連接PQ．求S△CPQ的最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，故點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)C（0，6），由圖象的旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，2）；再用待定系數(shù)法即可求解；（2）由S△ACD=12×CD×AO=12×AC×HD，即12×4×6=1（3）由S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×2t（6﹣t）（4）分AD是正方形的對(duì)角線、AD是正方形的邊兩種情況，利用三角形全等即可求解．【解答】解：（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，故點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)C（0，6），由圖象的旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，2）；設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式中得36a?6b+c=04a+2b+c=0c=6，解得故拋物線的表達(dá)式為y=?12x2﹣2（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，則S△ACD=12×CD×AO=12×AC×HD解得HD＝22，根據(jù)勾股定理得，AH=AD2故tan∠CAD=1（3）∵OA＝OC，則∠ACO＝45°，由題意得：PC＝2t，CQ＝6﹣t，則|xP|＝PC?cos45°=2t則S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×2t（6﹣t）∵?22＜0，故S△CPQ有最大值，當(dāng)t當(dāng)t＝3時(shí)，PC＝6，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6﹣32，故點(diǎn)P（﹣32，6﹣32）；（4）①當(dāng)AD是正方形的對(duì)角線時(shí)，則正方形為ANDM′，設(shè)M′N(xiāo)交AD于R，交x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)R是AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)R（﹣3，1），在Rt△AOD中，tan∠DAO=ODAO=則設(shè)直線M′N(xiāo)的表達(dá)式為y＝﹣3x+b，將點(diǎn)R的坐標(biāo)代入上式并解得b＝﹣8，故直線M′N(xiāo)的表達(dá)式為y＝﹣3x﹣8，設(shè)點(diǎn)N（m，﹣3m﹣8），過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)K，∵∠DNK+∠ANG＝90°，∠ANG+∠NAG＝90°，∴∠NAG＝∠DNK，∵∠NGA＝∠DKN＝90°，AN＝DN，∴△NGA≌△DKN（AAS），∴GN＝DK，即m+6＝2+3m+8，解得m＝﹣2，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；②當(dāng)AD是正方形的邊時(shí)，當(dāng)DN′是邊時(shí)，同理可得：△DSN′≌△AOD（AAS），∴N'S＝OD＝2，DS＝AO＝6，故點(diǎn)N′（﹣2，8）；當(dāng)AN是邊時(shí)，點(diǎn)N對(duì)