第4講電磁感應(yīng) 物理競賽

第4講電磁感應(yīng)

專題十三法拉第電磁感應(yīng)定律專題十四動生電動勢專題十五感生電動勢和感生電場(渦旋電場)專題十六自感應(yīng)互感應(yīng)2021/6/271專題十三法拉第電磁感應(yīng)定律磁通匝鏈數(shù)或全磁通:Ψ=Φ1+Φ2+…+ΦN

(當Φ1=Φ2=…=ΦN=Φ時)通量法則2021/6/272例半徑為a的大圓線圈和半徑為b（b<<a)的小圓線圈共軸平行放置，兩線圈間距為h(如圖所示）。大線圈中通有恒定電流電流強度為I，小線圈的電阻為R。小線圈以一條直徑為軸，以角速度ω勻角速旋轉(zhuǎn)。試求：1、小線圈中的感應(yīng)電流強度；2、為使小線圈勻角速度旋轉(zhuǎn)，應(yīng)給小線圈加多大的外力矩？3、小線圈對大線圈感應(yīng)的電動勢是多少？解：1、2021/6/2732、載流線圈在磁場中受安培力矩為：3、現(xiàn)在很難求，利用互感應(yīng)部分就容易求了。則外加力矩2021/6/274例

磁懸浮列車是一種高速運載工具．它具有兩個重要系統(tǒng)：一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力(可由超導(dǎo)電磁鐵提供)使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸；另一是驅(qū)動

系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組(線圈)中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。

設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應(yīng)強度B隨時間

t和空間位置

x變化規(guī)律為

式中

，

均為己知常量，坐標軸x與軌道平行，在任一時刻t軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示.圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“·”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時B取正埴，“×”和“·”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為l，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感。2021/6/275解法二：通量法則2021/6/2762021/6/277當kd=(2n+1)π，即

當kd=2nπ，即

2021/6/278

長為L的導(dǎo)體棒在磁場中作切割磁感應(yīng)線運動而產(chǎn)生的動生電動勢，F(xiàn)L非靜電力的場強為：導(dǎo)體上Δl一段的電動勢為：或等于其上各上的電動勢的代數(shù)和，即專題十四動生電動勢非靜電力：或2021/6/279例

如圖所示，水平放置的金屬細圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細圓柱(其半徑比a小得多)的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細軸通過圓環(huán)的中心O。一質(zhì)量為m，電阻為R的均勻?qū)w細棒被圓杯和細圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細軸0上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運動，棒與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為μ，圓環(huán)處在磁感應(yīng)強度大小為B＝kr、方向豎向上的恒定磁場中，式中

k為大于零的常量，r為場點到軸線的距離。金屬細圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線

ed連接。不計棒與軸及與細圓柱端面的摩擦，也不計細圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場。問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度

勻速轉(zhuǎn)動。2021/6/2710解例：(1)(2)(3)(4)2021/6/2711(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)2021/6/2712例(27決)

如圖(a)所示,十二根均勻的導(dǎo)線桿聯(lián)成一邊長為l的剛性正方體,每根導(dǎo)線桿的電阻均為R,該正方體在勻強磁場中繞通過其中心且與abcd

面垂直的轉(zhuǎn)動軸作勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω。己知磁感應(yīng)強度大小為B,方向與轉(zhuǎn)動軸垂直,忽略電路的自感。當正方體轉(zhuǎn)動到如圖(b)所示的位置(對角線db與磁場方向夾角為θ)時，求1、通過導(dǎo)線

ba、ad、bc和cd

的電流強度。2、為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩。2021/6/2713解：1、設(shè)t時刻線圈如圖(b)所示，則(1)(2)根據(jù)電路的對稱性可知(3)根據(jù)基爾霍夫第一定律，有(4)(5)2021/6/2714根據(jù)基爾霍夫第二定律，有(7)(6)根據(jù)(1)—(7)解得(9)(8)2、當正方體轉(zhuǎn)動到任意位置(對角線db與磁場夾角為任意θ)時，通過a'a、cc'、b'b、dd'的電流2021/6/2715(13)(12)(11)(10)為維持正方體作勻速轉(zhuǎn)動所需的外力矩等于磁場對電路作用的合力矩，即2021/6/27162021/6/2717專題十五感生電動勢和感生電場(渦旋電場)感生電動勢的非靜電力？感生電動勢計算公式：

磁場隨量間變化時能在周圍空間激發(fā)電場。稱這種電場為感生電場或渦旋電場，用表示。或1、感生電動勢2021/6/2718(r≤R)(r＞R)(r≤R)(r＞R)r或長圓柱形均勻磁場區(qū)的渦旋電場顯然有2021/6/2719例半徑為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向外。磁感應(yīng)強度B隨時間均勻變化，變化率ΔB／Δt＝k(k為一正值常量），圓柱外沒有磁場。沿AC弦方向畫一直線，并向外延長，弦AC與圓柱橫截面半徑OA的夾角α＝π／4。設(shè)直線上任一點P與A點的距離為x，求直線上AP兩點簡的電動勢的大小。解P點在磁場區(qū)域內(nèi)，P點在磁場區(qū)域外,

2021/6/2720在ΔOCP中用正弦定理得：2021/6/2721例

如圖所示，一個用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為a1

、a2

，厚度可以忽略。兩個表面都帶有電荷，電荷面密度

隨離開環(huán)心距離r變化的規(guī)律均為

,為已知常量．薄圓環(huán)繞通過環(huán)心垂直環(huán)面的軸以大小不變的角加速度β減速轉(zhuǎn)動，

時刻的角速度為ω0。將一半徑為a0(a0<<a1)、電阻為R并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置。試求在薄圓環(huán)減速運動過程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力F與時間t的關(guān)系。2021/6/2722解

注意到例2021/6/27232021/6/2724例（29j5)如圖所示，一半徑為R的輕質(zhì)絕緣塑料薄圓盤水平放置，可繞過圓盤中心的豎直固軸無摩擦地自由轉(zhuǎn)動。一半徑為a的輕質(zhì)小圓線圈(a＜＜R)固定在盤面上，圓線圈與圓盤共軸。在盤邊緣處等間隔地固定4個質(zhì)量均為m的帶正電的金屬小球，每個小球所帶電荷量均為q。此裝置處在一磁感應(yīng)強度大小為Bo、方向豎直向上的均勻強磁場中。初始時圓盤靜止，圓線圈中通有恒定電流I，方向沿順時針方向（從上往下看）。若切斷圓線圈中的電流，則圓盤將發(fā)生轉(zhuǎn)動。求薄圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動后，圓盤在水平方向?qū)γ總€金屬小球的作用力的大小。假設(shè)金屬小球可視為質(zhì)點，不計小圓線圈的自感和帶電金屬小球因運動所產(chǎn)生的磁場。

已知固定在圓盤面上的半徑為a、通有電流I的圓線圈在圓盤面內(nèi)、距線圈圓心的距離為r處（r>>a）產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度的大小為：，式中km為已知常量，當線圈中的電流沿順時針方向時，盤面上磁場方向垂直盤平面且豎直向上。靜電力常量為ke。2021/6/2725解：電荷受的力：①切斷線圈中的電流時，變化的磁場將產(chǎn)生渦旋電場Ec，所以電荷受到渦旋電場力；②運動電荷受磁場洛侖力；③電荷受圓盤的約束力；④電荷間的相互作用力。

先求電荷受的渦旋電場力和力矩。由對稱性知圓盤邊緣處的渦旋電場處處相等，則有（1）2021/6/2726（2）（3）切斷電流，磁場消失，磁鑀改變量：由（1）、（2）、（3）得2021/6/2727渦旋電場沿順時針方向，渦旋電場對4個電荷作用力的合力為零，合力矩L不為零，小球帶動圓盤轉(zhuǎn)動。（4）（5）4個小球的沖量矩為（6）設(shè)小球的轉(zhuǎn)動角速度為ω，則由角動量定理得（7）（8）2021/6/2728金屬小球轉(zhuǎn)動時受B0的磁場力，其方向沿圓盤半徑指向圓心，大小為（9）任一金屬小球受另外三個金屬小球的電場力沿圓盤半徑方向，大小為（10）設(shè)圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動后，在水平方向?qū)γ總€金屬小球作用力的大小為f,則（11）2021/6/2729專題十六自感應(yīng)互感應(yīng)（1）、自感系數(shù):（2）、自感電動勢:例:質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒橫跨在寬度為l的傾斜光滑平行金屬導(dǎo)軌上(如圖),若開關(guān)依次接通1、2、3，不計導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻，當從靜止釋放導(dǎo)體棒后，求在三種情況下穩(wěn)定運動的狀態(tài)。解:（1）接通R，導(dǎo)體棒受力為1、自感應(yīng):2021/6/2730穩(wěn)定運動條件：棒勻速運動速度：（2）接通C，流過電容器的電流為導(dǎo)體棒受力為：棒的運動方程為：導(dǎo)體棒作勻加速運動的加速度為：2021/6/2731（3）接通L，電感電壓、電流關(guān)系為：（初值為零）將坐標原點移至A點，導(dǎo)體棒下滑至距A點x’處時受力為棒的運動方程為：受力為零時導(dǎo)體棒作簡諧振動，頻率、振幅和運動方程分別為2021/6/2732故證明以上結(jié)果令2021/6/2733例圖

Oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標系，在x＞0的一側(cè)，存在勻強磁場，磁場方向垂直于Oxy平面向里，磁感應(yīng)強度的大小為B．在x＜0的一側(cè)，一邊長分別為l1、和l2的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上，框內(nèi)無電流，框的一對邊與x軸平行．線框的質(zhì)量為m，自感為L．現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x軸方向以初速度v0進人磁場區(qū)域．試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度v0大小的關(guān)系（假定線框在運動過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）2021/6/2734①框的初速度v0較小，簡諧振動，有

振動的振幅：例2021/6/2735運動方程為：

半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度v0向左勻速運動。因為在這種情況下xm的最大值是l1，故有發(fā)生第①種情況要求：

②當時運動方程不變，線框剛?cè)窟M入磁場的時刻為t1線框全部進入磁場區(qū)域后勻速前進，由

求得運動速度：2021/6/2736例（30j5）如圖，處于超導(dǎo)態(tài)、半徑為r0

、質(zhì)量為m、自感為L的超導(dǎo)細圓環(huán)處在豎直放置的圓柱形磁棒上方，圓環(huán)的對稱軸與磁棒的對稱軸重合，圓環(huán)附近的磁場具有軸對稱性。磁棒磁感應(yīng)強度B可用一豎直分量BZ＝B0（1－2αZ）和一個徑向分量Br＝B0αr近似描述，這里B0、α為大于零的常量，z、r分別為豎直和徑向位置坐標。在t=0時刻，環(huán)心的坐標為z=0、r=0，環(huán)上電流為I0（規(guī)定環(huán)中電流的流向與z的正方向滿足右手規(guī)則）。此時釋放圓環(huán)開始向下運動，運動過程中環(huán)對稱軸始終保持豎直。處于超導(dǎo)態(tài)的超導(dǎo)圓環(huán)具有這樣的性質(zhì)：穿過環(huán)的總磁通保持不變。1、環(huán)作何種運動？給出環(huán)心的z坐標與時間的關(guān)系；2、求t時刻環(huán)中電流的表達式。2021/6/2737解：1、設(shè)t時刻圓環(huán)中電流為I，則圓環(huán)中的磁通為（1）（3）（4）（2）由于超導(dǎo)圓環(huán)磁通保持不變，故有，即由（3）式解得2021/6/2738t時刻圓環(huán)電流所受軸向安培力的大小為（6）（7）（5）式中作用在圓環(huán)上的合力為設(shè)圓環(huán)平衡位置在z0

處，則2021/6/2739（10）（9）（8）圓環(huán)t時刻的坐標為由是給初始條件得（11）（12）2021/6/2740（14）（13）2、將（13）式代入（4）式得2021/6/2741例一圓柱形小永久磁棒豎直放置(如圖)

，在其正上方離棒中心