人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《6.2排列與組合》同步測(cè)試題含答案

第第頁(yè)人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《6.2排列與組合》同步測(cè)試題含答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．排列(1)排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.

②兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.

③定義中“一定的順序”就是說(shuō)排列與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件進(jìn)行判斷，這一點(diǎn)要特別注意.

(3)排列的判斷

判斷一個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題的關(guān)鍵：判斷是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)且是從n個(gè)不同的元素中任取m(mn，n,m∈)個(gè)元素的問(wèn)題就是排列問(wèn)題，否則就不是排列問(wèn)題.而檢驗(yàn)一個(gè)問(wèn)題是否與順序有關(guān)的依據(jù)就是變換不同元素的位置，看其結(jié)果是否有變化，若有變化就與順序有關(guān)，就是排列問(wèn)題；若沒(méi)有變化，就與順序無(wú)關(guān)，就不是排列問(wèn)題.2．排列數(shù)(1)排列數(shù)定義

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)排列數(shù)公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.(3)排列數(shù)公式的理解

①排列數(shù)公式推導(dǎo)的思路：第1步，排第1個(gè)位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個(gè)位置的元素，有(n-1)種排法；第3步，排第3個(gè)位置的元素，有(n-2)種排法；；第m步，排第m個(gè)位置的元素，有(n-m+1)種排法.因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.

②排列數(shù)公式的特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1，共有m個(gè)因數(shù).3．全排列和階乘(1)全排列

特別地，我們把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，這時(shí)公式中m=n，即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.

(2)階乘

正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)可以寫(xiě)成=n!，規(guī)定0!=1.

(3)排列數(shù)公式的階乘表示

==.4．組合(1)組合的定義

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合概念的理解

①組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn)：要求n個(gè)元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個(gè)元素與順序無(wú)關(guān)，無(wú)序性是組合的特征性質(zhì).

②兩個(gè)組合相同：只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，無(wú)論元素的順序如何，都是相同的組合.

(3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素.

區(qū)別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關(guān)系，而組合只要把元素取出來(lái)就可以，取出的元素與順序無(wú)關(guān).可總結(jié)為：有序排列，無(wú)序組合.5．組合數(shù)與組合數(shù)公式(1)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示：

==.

這里，n,m∈，并且mn.

②階乘表示：=.

規(guī)定：=1.6．組合數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：=

這個(gè)性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性，其實(shí)際意義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素后，剩下(n-m)個(gè)元素，因而從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合，與剩下的(n-m)個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的，因此取法是一樣多的.

利用這個(gè)性質(zhì)，當(dāng)m>時(shí)，我們可以不直接計(jì)算，而是改為計(jì)算，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(2)性質(zhì)2：=+

這個(gè)性質(zhì)可以理解為分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素時(shí)，對(duì)于某一個(gè)特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個(gè)元素，則只需從剩下的n個(gè)元素中再取(m-1)個(gè)元素，有種取法；如果不取這個(gè)元素，則需從剩下的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，有種取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：=+.

在應(yīng)用中，要注意這個(gè)性質(zhì)的變形、逆用等.

【題型1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟：轉(zhuǎn)化：將有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式轉(zhuǎn)化為普通方程或不等式；求解：求轉(zhuǎn)化后的普通方程或不等式解或解集；檢驗(yàn)：代入原方程或原不等式中檢驗(yàn)，尤其注意條件n,m∈，并且mn對(duì)未知數(shù)取值的限制.【例1】（2022春·重慶永川·高二階段練習(xí)）計(jì)算：(1)A6(2)解方程5A【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程：(1)A2x+1(2)3A【變式1-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程或不等式．(1)3(2)A【題型2有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】利用組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）若C28x=（2）求C4【變式2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求值：C（2）求關(guān)于n的不等式7C【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知1C5m（2）已知Cnx=Cn【變式2-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求證：Cn（2）求證：Cn（3）若m、n、r均為正整數(shù)，試證明：Cn+m【題型3無(wú)限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】求解排列問(wèn)題時(shí)，正確理解題意是最關(guān)鍵的一步，要善于把題目中的文字語(yǔ)言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語(yǔ)；正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理也是十分重要的；還要注意分類時(shí)不重不漏，分步時(shí)只有依次做完各個(gè)步驟，事情才算完成.【例3】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項(xiàng)不同的工作，則選派方案共有（

）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種【變式3-1】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）從5本不同的書(shū)中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送書(shū)方法的種數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．60【變式3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)火車(chē)站有8股岔道，每股道只能停放1列火車(chē)，現(xiàn)需停放4列不同的火車(chē)，則不同的停放方法共有（

）A．84種 B．48種 C．C84種【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從4名大學(xué)生中選三個(gè)人分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)分配1名大學(xué)生，不同的分配方法數(shù)為（

）A．120 B．24 C．48 D．6【題型4有限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】在解有限制條件的排列應(yīng)用題時(shí)，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，當(dāng)限制條件較多時(shí)，要抓住關(guān)鍵條件(主要矛盾)，通過(guò)正確分類、分步，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題.【例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)有7本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本?英語(yǔ)書(shū)2本?數(shù)學(xué)書(shū)3本.現(xiàn)在該同學(xué)把這7本書(shū)放到書(shū)架上排成一排，要求2本語(yǔ)文書(shū)相鄰?2本英語(yǔ)書(shū)相鄰?3本數(shù)學(xué)書(shū)中任意2本不相鄰，則不同的排法種數(shù)（

）A．12 B．24 C．48 D．720【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，五個(gè)音分別稱為宮?商?角?徵?羽，如果將這五個(gè)音排成一排，宮?羽兩個(gè)音不相鄰，且位于角音的同側(cè)，則不同的排列順序有（

）A．20種 B．24種 C．32種 D．48種【變式4-2】（2022春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（

）A．960種 B．720種 C．480種 D．240種【變式4-3】（2022春·湖南衡陽(yáng)·高二階段練習(xí)）在某場(chǎng)新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則四位專家的不同發(fā)言順序共有（

）A．12種 B．8種 C．6種 D．4種【題型5組合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】(1)特殊元素問(wèn)題：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無(wú)特殊元素及有多少特殊元素作為分類依據(jù).(2)含有“至多”“至少”的問(wèn)題：要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解.(3)分類討論思想的應(yīng)用：解題的過(guò)程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解.【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門(mén)學(xué)科中隨機(jī)選三門(mén)參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【變式5-1】（2022春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【變式5-2】（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．68 D．96【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）今年中國(guó)空間站將進(jìn)入到另一個(gè)全新的階段—正式建造階段，首批參加中國(guó)空間站建造的6名航天員，將會(huì)分別搭乘著神舟十四號(hào)和神舟十五號(hào)載人飛船，接連去往中國(guó)空間站，并且在上面“會(huì)師”.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種【題型6排列、組合的綜合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決先選后排問(wèn)題,應(yīng)遵循三大原則：(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.【例6】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）4月1日，根據(jù)當(dāng)前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發(fā)布通告，要求我市全域內(nèi)除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區(qū)（村）等待全員核酸檢測(cè)．為了保障廣大居民的生活需要，某小區(qū)征集了多名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負(fù)責(zé)一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)共計(jì)有7大項(xiàng)?15個(gè)分項(xiàng)以及109個(gè)小項(xiàng)目，其中北京承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有的雪上項(xiàng)目北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.現(xiàn)有4名同學(xué)要報(bào)名參加冰雪興趣小組，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有1人參加，則不同的報(bào)名方案有（

）A．8 B．14 C．6 D．20【變式6-2】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二階段練習(xí)）消除貧困、改善民生、逐步實(shí)現(xiàn)共同富裕，是社會(huì)主義的本質(zhì)要求，是中國(guó)共產(chǎn)黨的重要使命．某中學(xué)積極參與脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，決定派6名教師到A、B、C、D、E五個(gè)貧困山區(qū)支教，每位教師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一名教師前去支教學(xué)?？紤]到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，決定派教師甲到山區(qū)A，同時(shí)考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（

）A．120種 B．216種 C．336種 D．360種【變式6-3】（2022秋·遼寧·高三階段練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，需要派5位教研員去某地重點(diǎn)高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，現(xiàn)知該地有3所重點(diǎn)高中，每個(gè)教研員只能去1所學(xué)校調(diào)研，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①不同的調(diào)研方案有243種②若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排方案有150種③若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，至多去兩位教研員，則不同調(diào)研安排方案有60種④若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員且甲?乙兩位教研員不去同一所高中，則不同調(diào)研安排方案有114種A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)參考答案【題型1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟：轉(zhuǎn)化：將有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式轉(zhuǎn)化為普通方程或不等式；求解：求轉(zhuǎn)化后的普通方程或不等式解或解集；檢驗(yàn)：代入原方程或原不等式中檢驗(yàn)，尤其注意條件n,m∈，并且mn對(duì)未知數(shù)取值的限制.【例1】（2022春·重慶永川·高二階段練習(xí)）計(jì)算：(1)A6(2)解方程5A【解題思路】（1）根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算求解；（2）由排列數(shù)公式化簡(jiǎn)，解方程即可得解.【解答過(guò)程】(1)A6(2)∵5A4x=6A5化簡(jiǎn)得x2?11x+24=0，且解得x=8（舍去）或x=3，所以方程的解為x|x=3．【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【解題思路】（1）利用排列數(shù)公式后解不等式，求出x的范圍，再由x∈N?可求出（2）利用排列數(shù)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可【解答過(guò)程】（1）由題意得3x+2x+1+12x即2x?1x?3≤0，所以因?yàn)閤≥2，且x∈N?，所以不等式的解集為（2）易知2x+1≥4x≥3x∈N?所以由A2x+14=140化簡(jiǎn)得4x解得x1=3，x2所以原方程的解為x=3．【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程：(1)A2x+1(2)3A【解題思路】（1）（2）根據(jù)排列數(shù)公式化簡(jiǎn)解方程即可．【解答過(guò)程】(1)由排列數(shù)公式，原方程可化為(2x+1)×2x×(2x?1)×(2x?2)=140x(x?1)(x?2)，化簡(jiǎn)得4x2?35x+69x?1x=0，解得x=3或x=因?yàn)閤滿足2x+1≥4,2x+1∈所以x的取值范圍為xx≥3,x∈N?.所以原方程的解為x=3(2)由3A8x=4A化簡(jiǎn)得x2?19x+78=0，解得x1因?yàn)?<x≤8且0<x?1≤9，所以原方程的解為x=6．【變式1-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）解下列方程或不等式．(1)3(2)A【解題思路】（1）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式化簡(jiǎn)已知條件，由此求得方程的解.（2）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式化簡(jiǎn)已知條件，由此求得不等式的解集..【解答過(guò)程】（1）由于3A所以3×8!8?x整理得x2解得x=6或x=13（舍去）.（2）由于Ax?2所以x?2x?3整理得x?22由于x?2≥2，所以x≥4，所以不等式的解集為x∈N【題型2有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】利用組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）若C28x=（2）求C4【解題思路】（1）根據(jù)組合數(shù)的定義及組合數(shù)的性質(zhì)1即可求解；（2）根據(jù)組合數(shù)的定義及組合數(shù)的性質(zhì)2即可求解；【解答過(guò)程】（1）由C28x=C282x?8，得{x≤28實(shí)數(shù)x的值為8或12.（2）由組合數(shù)的性質(zhì)知，C=C所以C43+【變式2-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求值：C（2）求關(guān)于n的不等式7C【解題思路】（1）根據(jù)題意可得3n≥38?n21+n≥3n（2）根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可得出答案.【解答過(guò)程】解：（1）由C3n3n≥38?n21+n≥3nn∈N則C3n（2）不等式7C即不等式7nn?1解得?2<n<11，又因n≥6，所以關(guān)于n的不等式7Cn4【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知1C5m（2）已知Cnx=Cn【解題思路】（1）（2）根據(jù)組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【解答過(guò)程】解：（1）由1C5m即m!5?m可得1?6?m6=7?m6?m10×6，整理可得因?yàn)?≤m≤5，所以m=2，所以C=C（2）由Cnx=Cn2x可得所以Cnn3化簡(jiǎn)得11?n3+1?n3=3?【變式2-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求證：Cn（2）求證：Cn（3）若m、n、r均為正整數(shù)，試證明：Cn+m【解題思路】（1）直接根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算得到證明.（2）直接根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算得到證明.（3）構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明：Cn+mr表示從n+m個(gè)不同元素中每次取【解答過(guò)程】（1）左式=C右式==n!m!n?m!（2）因?yàn)镃nm?1=所以左邊==C（3）構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明：Cn+mr表示從n+m個(gè)不同元素中每次取將n+m個(gè)不同元素分為兩組，其中A組n個(gè)元素，B組m個(gè)元素，從n+m個(gè)不同元素中每次取r個(gè)元素，可分類完成，依次為：A組取0個(gè)，B組取r個(gè)，有Cn0Cmr種取法；A組取1個(gè)，B組取r?1個(gè)，有Cn1Cm由加法原理知共有Cn所以Cn+m【題型3無(wú)限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】求解排列問(wèn)題時(shí)，正確理解題意是最關(guān)鍵的一步，要善于把題目中的文字語(yǔ)言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語(yǔ)；正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理也是十分重要的；還要注意分類時(shí)不重不漏，分步時(shí)只有依次做完各個(gè)步驟，事情才算完成.【例3】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項(xiàng)不同的工作，則選派方案共有（

）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種【解題思路】利用排列的定義直接列式求解.【解答過(guò)程】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項(xiàng)不同的工作，則選派方案共A6故選:D．【變式3-1】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）從5本不同的書(shū)中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送書(shū)方法的種數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．60【解題思路】計(jì)算從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)即可.【解答過(guò)程】此問(wèn)題相當(dāng)于從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即共有A5故選：C.【變式3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)火車(chē)站有8股岔道，每股道只能停放1列火車(chē)，現(xiàn)需停放4列不同的火車(chē)，則不同的停放方法共有（

）A．84種 B．48種 C．C84種【解題思路】根據(jù)題意，分析可得即從8股中選4股進(jìn)行排列即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橐粋€(gè)火車(chē)站有8股岔道，每股道只能停放1列火車(chē)，現(xiàn)要停放4列不同的火車(chē)，則有A8故選：D.【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從4名大學(xué)生中選三個(gè)人分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)分配1名大學(xué)生，不同的分配方法數(shù)為（

）A．120 B．24 C．48 D．6【解題思路】由題意即從4個(gè)不同元素中選出3個(gè)元素的排列問(wèn)題，由排列的定義即可求解.【解答過(guò)程】從4名大學(xué)生中選三個(gè)人分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)分配1名大學(xué)生.則不同的分配方法數(shù)為A4故選：B.【題型4有限制條件的排列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】在解有限制條件的排列應(yīng)用題時(shí)，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，當(dāng)限制條件較多時(shí)，要抓住關(guān)鍵條件(主要矛盾)，通過(guò)正確分類、分步，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題.【例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)有7本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本?英語(yǔ)書(shū)2本?數(shù)學(xué)書(shū)3本.現(xiàn)在該同學(xué)把這7本書(shū)放到書(shū)架上排成一排，要求2本語(yǔ)文書(shū)相鄰?2本英語(yǔ)書(shū)相鄰?3本數(shù)學(xué)書(shū)中任意2本不相鄰，則不同的排法種數(shù)（

）A．12 B．24 C．48 D．720【解題思路】根據(jù)捆綁法、插空法進(jìn)行排列計(jì)算即可得解.【解答過(guò)程】先將2本語(yǔ)文書(shū)看成一個(gè)元素，2本英語(yǔ)書(shū)看成一個(gè)元素，然后排成一排，有A2再將3本數(shù)學(xué)書(shū)插到這2個(gè)元素形成的3個(gè)空隙中，有A3有A2有A2得共有A2故選：C.【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，五個(gè)音分別稱為宮?商?角?徵?羽，如果將這五個(gè)音排成一排，宮?羽兩個(gè)音不相鄰，且位于角音的同側(cè)，則不同的排列順序有（

）A．20種 B．24種 C．32種 D．48種【解題思路】根據(jù)角音所在的位置分兩類，根據(jù)分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)角音所在的位置按從左到右依次為位置一?二?三?四?五分兩類：第一類，角音排在位置一或五，則不同的排列順序有2A第二類，角音排在位置二或四，則不同的排列順序有2A根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的排列順序共有24+8=32（種）.故選：C.【變式4-2】（2022春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（

）A．960種 B．720種 C．480種 D．240種【解題思路】本題是一個(gè)分步問(wèn)題，采用插空法，先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個(gè)空中，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答過(guò)程】解：先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個(gè)空中，則不同的排法有A44故選：C．【變式4-3】（2022春·湖南衡陽(yáng)·高二階段練習(xí)）在某場(chǎng)新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則四位專家的不同發(fā)言順序共有（

）A．12種 B．8種 C．6種 D．4種【解題思路】先排甲，再將丙、丁捆綁在一起當(dāng)一個(gè)元素排，再排乙.【解答過(guò)程】當(dāng)甲排在第一位時(shí)，共有A2當(dāng)甲排在第二位時(shí)，共有A2所以一共有4+2=6種不同的發(fā)言順序.故選：C.【題型5組合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】(1)特殊元素問(wèn)題：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無(wú)特殊元素及有多少特殊元素作為分類依據(jù).(2)含有“至多”“至少”的問(wèn)題：要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解.(3)分類討論思想的應(yīng)用：解題的過(guò)程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解.【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門(mén)學(xué)科中隨機(jī)選三門(mén)參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【解題思路】分兩種情況即物理或歷史中選一門(mén)和物理和歷史都選兩種情況分類求解即可.【解答過(guò)程】解：由題意得：物理或歷史中選一門(mén)：C2物理和歷史都選：C4物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省份每位考生的選法共有12+4=16種選法；故選：C.【變式5-1】（2022春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【解題思路】先將剩下的3名志愿者分為兩組，再把小明和小李分別放在兩組中，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.【解答過(guò)程】先將剩下的3名志愿者分為兩組有C3最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”有2種，則共有3×2×2=12種.故選：C.【變式5-2】（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．68 D．96【解題思路】先從六個(gè)小球中選出三個(gè)小球放入與自己相同序號(hào)的盒子中，剩下的三個(gè)小球再錯(cuò)位排在與自己編號(hào)不同的盒子里即可.【解答過(guò)程】六個(gè)小球中選出三個(gè)小球放入與自己相同序號(hào)的盒子中，先選后排：先選：組合有C63種方法，后排：排列只有則利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得有C6先選：組合有C33種方法，排列：錯(cuò)位排有2種方法，則利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得有最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有20×2=40種方法．故選：B.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）今年中國(guó)空間站將進(jìn)入到另一個(gè)全新的階段—正式建造階段，首批參加中國(guó)空間站建造的6名航天員，將會(huì)分別搭乘著神舟十四號(hào)和神舟十五號(hào)載人飛船，接連去往中國(guó)空間站，并且在上面“會(huì)師”.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種【解題思路】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，利用間接法即可求解.【解答過(guò)程】解：由題意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人，共有C6若甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙做實(shí)驗(yàn)，則有C41C所以甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則共有C6故選：A.【題型6排列、組合的綜合問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解決先選后排問(wèn)題,應(yīng)遵循三大原則：(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.【例6】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）4月1日，根據(jù)當(dāng)前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發(fā)布通告，要求我市全域內(nèi)除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區(qū)（村）等待全員核酸檢測(cè)．為了保障廣大居民的生活需要，某小區(qū)征集了多名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負(fù)責(zé)一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【解題思路】先分組再分配，分組又分為3,1,1和2,2,1兩類，第二類涉及平均分組，需要去重.【解答過(guò)程】先分組:按照居民樓人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類，3,1,1:從5名志愿者中選出3名作為一個(gè)組,其余2人各自一組,有C532,2,1:從5名志愿者中選出4名平均分為兩組,剩下1人一組,有C52再分配:3個(gè)組到三棟居民樓有A33所以總的分派方法數(shù)有(10+15)×