2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級(jí)下冊(cè)第十八章 平行四邊形 專(zhuān)題18.1 平行四邊形（教師版）

2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)八年級(jí)下冊(cè)

專(zhuān)題18.1平行四邊形（教師版）1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理；2．掌握平行四邊形的判定定理；3．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問(wèn)題；4.掌握三角形中位線的概念與其性質(zhì)定理，并能用其進(jìn)行計(jì)算和證明。知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)】1）平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”注：只要滿足對(duì)邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形2）平行四邊形的高：一條邊上任取一點(diǎn)作另一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度稱作平行四邊形在該邊上的高。3）平行四邊形的性質(zhì)：考慮邊、角、對(duì)角線，有時(shí)還會(huì)涉及對(duì)稱性。如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：（1）性質(zhì)1（邊）：=1\*GB3①對(duì)邊相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD（4）性質(zhì)4（對(duì)稱性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形?！局R(shí)拓展1】平行四邊形的性質(zhì)例1．（2022·四川樂(lè)山·八年級(jí)期末）已知是平行四邊形，以下說(shuō)法不正確的是（）A．其對(duì)邊相等B．其對(duì)角線相互平分C．其對(duì)角相等D．其對(duì)角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴其對(duì)角線相互平分，其對(duì)邊相等，其對(duì)角相等，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，是解答的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2021·四川宜賓·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：A.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，D.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】利用平行四邊形的性質(zhì)求角度、長(zhǎng)度、面積例2．（2022·陜西碑林·九年級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16，AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AC交AD于E，則△DCE的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】先證明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周長(zhǎng)是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明AE＝EC是解本題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】1．（2022·常熟市八年級(jí)月考）如圖，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F(xiàn)是DB上兩點(diǎn)且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，則∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【答案】C【分析】可證明△BCF≌△DAE，則∠BCF＝∠DAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠DAE的度數(shù)，從而得出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．2．（2022·浙江八年級(jí)期中）如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長(zhǎng)為40，則S為_(kāi)_____．【答案】48【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面積的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程組，求出平行四邊形的各邊長(zhǎng)，再求其面積．【詳解】解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD的周長(zhǎng)為40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程組：，解得：∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案為：48．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與其面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)得到鄰邊的和，根據(jù)面積公式得到方程，再解方程組即可．【知識(shí)拓展3】利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)例3．（2022·廣東·深圳八年級(jí)期中）平行四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【答案】C【分析】作，求得、的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：作，如下圖：則在平行四邊形中，，∴∴為等腰直角三角形則，解得∴故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【即學(xué)即練】1．（2022·廣西·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是(0，0)，(5，0)，(2，3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【答案】A【分析】利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，先利用對(duì)邊平行，得到D點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，再求出CD=AB=5，得到C點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】四邊形ABCD為平行四邊形。且。C點(diǎn)和D的縱坐標(biāo)相等，都為3．A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），．D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），C點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要是考察了平行四邊形的性質(zhì)、利用線段長(zhǎng)求點(diǎn)坐標(biāo)，其中，熟練應(yīng)用平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，是解決與平行四邊形有關(guān)的坐標(biāo)題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】平行四邊形中的翻折問(wèn)題例4．（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，將沿AE折疊至處，與CE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得，，由三角形的外角性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅问瞧叫兴倪呅?，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】1．（2022·安徽阜陽(yáng)市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點(diǎn)A落在邊BC的三等分點(diǎn)處，則AE的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】設(shè)點(diǎn)A落在BC邊上的A′點(diǎn)，分兩種情況：①當(dāng)A′C=BC=2時(shí)；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時(shí)，過(guò)A′點(diǎn)作AB延長(zhǎng)線的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)A落在BC邊上的A′點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)A′C=BC=2時(shí)，A′B=4，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過(guò)A′點(diǎn)作A′M垂直于AB，交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時(shí)，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過(guò)A′點(diǎn)作A′N(xiāo)垂直于AB，交AB延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N(xiāo)=．在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．即AE=；所以AE的長(zhǎng)為5.6或．故答案為5.6或．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，同時(shí)考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．【知識(shí)拓展5】平行四邊形性質(zhì)的綜合（多結(jié)論問(wèn)題）例5．（2022·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，連接，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②：③；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD，即可判斷①；先證?AEF??DHF，再證?ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進(jìn)而得到，即可判斷④．【詳解】∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正確；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正確；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在線段上，∴,∴,∴，∴③錯(cuò)誤；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵點(diǎn)F，G分別是EH，EC的中點(diǎn)，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④垂直平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】C【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD=AD?BD；依據(jù)∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，進(jìn)而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依據(jù)O是BD中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．【詳解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等邊三角形，，∴E是AB的中點(diǎn)，∴DE=BE，，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD=AD?BD，故①正確；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正確；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③錯(cuò)誤；∵O是BD的中點(diǎn)，∴DO=BO,∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=AE=DE∵OE=OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正確；正確的有3個(gè)，故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的綜合運(yùn)用，三角形全等判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形判定定理，三角形全等判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．判定定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展6】平行線間距離的應(yīng)用例6．（2022·廣東廣州市·九年級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，則兩平行線AD與BC間的距離是_____．【答案】15【分析】利用等面積法,得2S△ABC=S四邊形ABCD,表示出面積即可.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴2S△ABC=S四邊形ABCD,設(shè)平行線AD與BC間的距離為h,即AC·BE=AD·h∵AC＝24，BE＝5，AD＝8，∴h=15.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等面積法,中等難度,利用等面積法是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】1．（2022·廣西桂林市·七年級(jí)期末）如圖，若表示三角形的面積，表示三角形的面積，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AEBC，DFBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得AE=DF，ABC與DBC分別以AE、DF為高，BC為底，同底同高的三角形面積相等，即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，作AEBC，DFBC，∵ADBC，∴AE=DF，且，，∴，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考察了平行線的性質(zhì)，即可說(shuō)明同底同高的三角形面積相等．知識(shí)點(diǎn)02平行四邊形的判定【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形ABCD：1）判定方法1（定義）：兩組對(duì)邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對(duì)邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對(duì)邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對(duì)角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（對(duì)角線的性質(zhì)）：兩組對(duì)角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對(duì)角線相關(guān)的2個(gè)條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對(duì)邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對(duì)邊平行，另一對(duì)邊相等，是無(wú)法判定為平行四邊形的?！局R(shí)拓展1】平行四邊形的判定例1．（2022·山東·八年級(jí)期末）下面關(guān)于平行四邊形的說(shuō)法中，不正確的是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．有一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形C．有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形D．有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、∵對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵有一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形，∴選項(xiàng)C符合題意；D、∵有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·廣東·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；C、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行四邊形的判定定理有：①有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．2．（2022·湖北遠(yuǎn)安·八年級(jí)期末）如圖四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO【答案】D【分析】A.證明，即可根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判斷；B.證明AB∥CD，即可根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷；C.可根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷；D.條件不足無(wú)法判斷；【詳解】∠DAC=∠BCA，四邊形是平行四邊形，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∠ABO=∠CDO又AB=CD，四邊形是平行四邊形，故B正確，不符合題意；AC=2AO，BD=2BO四邊形是平行四邊形，故C正確，不符合題意；D.條件不足無(wú)法判斷，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】添加一個(gè)條件成為平行四邊形例2．（2022·綿陽(yáng)市八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，若再添加下列其中一個(gè)條件后，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合已知條件可證明，從而可判斷，由結(jié)合已知條件可證明，從而可判斷，由結(jié)合已知條件可判斷，由結(jié)合已知條件仍不能判定四邊形為平行四邊形，從而可得到答案．【詳解】解：A、∵∠ADE=∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠E，∴∠ADE=∠E，∴AB∥CE，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE=BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)C不符合題意；D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四邊形DBCE為平行四邊形；故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·山東·寧津縣八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上．若從下列條件中只選擇一個(gè)添加到圖中的條件中．那么不能使四邊形是平行四邊形的條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件進(jìn)行逐一判斷即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故A不符合題意；∵BE=DF∴AF=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，故C不符合題意；∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE∴四邊形AECF是平行四邊形，故D不符合題意；由AE=CF，一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等，不能判斷四邊形AECF是平行四邊形，故B符合題意，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【知識(shí)拓展3】證明四邊形是平行四邊形例3．（2022·山西八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得就愛(ài)∠FAE=∠CDE，利用ASA即可證明△AEF≌△DEC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=DC，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論．【詳解】（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊互相平行；有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】1．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）已知，可得到，由得到，可證明出；（2）由（1）得，得到，，，推出，即可證明．【詳解】證明：（1），，即，，，在與中，，；（2）由（1）得：，，，，，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解例4．（2022·吉林長(zhǎng)春市·八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點(diǎn)O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，F(xiàn)C=2，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接證明可得：再證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得答案；（2）由BE=8，F(xiàn)C=2，結(jié)合AC=BF，求解再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案．【詳解】證明：（1）連接在與中，四邊形是平行四邊形，AD與BE互相平分；（2）【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】1．（2022·廣東·八年級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，先證∠DHC=90o，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結(jié)果．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60o，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60o，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90o，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題．【知識(shí)拓展5】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明例5．（2022·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：平行四邊形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：∥；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，聯(lián)結(jié)．求證：△是等腰三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB∥CD，AB=CD，又由點(diǎn)M為邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB的中點(diǎn)，即可得CM=AN，繼而可判定四邊形ANCM是平行四邊形，則可證得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，點(diǎn)N為邊AB的中點(diǎn)，可證得BH⊥CN，ME是△BAH的中位線，則可得CN是BH的垂直平分線，繼而證得△BCH是等腰三角形．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∥且．∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，∴，．∴．又∵∥，∴四邊形是平行四邊形∴∥．（2）設(shè)BH與CN交于點(diǎn)E，∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中點(diǎn)，∴EN是△BAH的中位線，∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分線，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【即學(xué)即練】1．（2022·遼寧旅順口·八年級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．連接，交于點(diǎn)．（1）探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由見(jiàn)解析；（2）AF=EF+CE，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)∠CAE=，先證∠EAB=∠EBA=45°，再證∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)DC交AE延長(zhǎng)線于G，連接BG，先證△CEA≌△GEB，再證四邊形ABGD是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：設(shè)∠CAE=，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+，∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；（2）AF=EF+CE，理由：延長(zhǎng)DC交AE延長(zhǎng)線于G，連接BG，∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE，又∵∠CEA=∠GEB=90°，∴△CEA≌△GEB，∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，∴∠CAE=∠GBE，∵∠GEB=90°，∴∠AGB+∠GBE=90°，∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，∴∠DAE=∠AGB，∴AD∥BG，∵DG∥AB，∴四邊形ABGD是平行四邊形，∴AF=GF，∵GF=EF+GE=EF+CE，∴AF=EF+CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展6】平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題例6．（2022·陜西榆林市·八年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）先證明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，則BQ即可用t表示；（2）由題意知AP∥BQ，根據(jù)AP=BQ，列出方程即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥AP，垂足為E，與BC交于F，利用三角形面積公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再說(shuō)明AP=2AE即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，

∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t；

（2）∵AP∥BQ，當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，即t=10-t，解得：t=5，∴當(dāng)t為5秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；（3）過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥AP，垂足為E，與BC交于F，在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4，∵S△ABC＝=，∴AB?AC=BC?EF，∴6×8=10×EF，

∴EF＝，∴OE=，∴AE==，當(dāng)時(shí)，AP=，∴2AE=AP，即點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，∴點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．【即學(xué)即練】1．（2022·湖南邵陽(yáng)市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始以2cm/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始以1cm/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，用t表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAQ是等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAQ為直角三角形？【答案】（1）t=2；（2）t=3或．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于t的方程，進(jìn)而即可求解．（2）根據(jù)△PAQ是直角三角形，分兩類(lèi)討論，分別列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．∵∠A=60°，∴當(dāng)△PAQ是等邊三角形時(shí)，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，∴當(dāng)t=2時(shí)，△PAQ是等邊三角形．（2）∵△PAQ是直角三角形，∴當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒），∴當(dāng)t=3或時(shí)，△PAQ是直角三角形．【定睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的定義以及平行四邊形的定義，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的定義，列出方程，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東惠城·八年級(jí)期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0＜t≤60）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)t＝30秒或40秒時(shí)，△DEF為直角三角形【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF，得到DF=AE，并由已知證得DF∥AE，則根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；（2）利用①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)；②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)；③當(dāng)∠EFD=90°時(shí)，分別分析得出即可．【詳解】（1）證明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，由題意得，CD＝t，AE＝t，∵DF⊥BC，∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°，∴DF＝AE，DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，如圖①，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝AE，即60﹣t＝t，解得，t＝30，②當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，如圖②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝AD，即t＝×（60﹣t），解得，t＝40，③當(dāng)∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在．綜上所述，當(dāng)t＝30秒或40秒時(shí)，△DEF為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)03三角形的中位線定理【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理：1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則DE//BC且DE=BC?！局R(shí)拓展1】與中位線相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題例1．（2022·福建·九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若∠EPF＝130°，則∠PEF的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得，從而PE=PF，則有∠PEF=∠PFE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴，∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∵∠EPF＝130°，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·山東濰坊市·八年級(jí)期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)可得△ACD為等腰三角形，再由結(jié)合“三線合一”性質(zhì)可得E為CD的中點(diǎn)，從而得到EF為△CBD的中位線，最終根據(jù)中位線定理求解即可．【詳解】∵，∴△ACD為等腰三角形，∵，∴E為CD的中點(diǎn)，（三線合一）又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴EF為△CBD的中位線，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷出中位線是解題關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】三角形的中位線與面積例2．（2022·長(zhǎng)春市格致中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，有一塊形狀為△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一個(gè)形狀為□的工件，使在邊BC上,、兩點(diǎn)分別在邊、上，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則的面積為_(kāi)________．【答案】12【分析】作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，根據(jù)可得，根據(jù)是邊的中點(diǎn)可知是的中位線，得，利用三角形面積，可得，，則根據(jù)，計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】如圖示，作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，∵∴∵是邊的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，又∵，即有，∴，∴，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的應(yīng)用，勾股定理，三角形的面積和平行四邊形的面積，熟悉相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．【即學(xué)即練】1．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，分別取三邊的中點(diǎn)，，，得△；再分別取△三邊的中點(diǎn)，，，得△；這樣依次下去，經(jīng)過(guò)第2021次操作后得△，則△的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可得．【詳解】解：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，，△的面積，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．【知識(shí)拓展3】與中位線相關(guān)的證明問(wèn)題例3．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】取的中點(diǎn)，連接，則DM是△ABF的中位線，利用中位線定理結(jié)合全等三角形的判定即可證得．【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，∵是邊的中線，∴是邊的中點(diǎn)，∴，．∴，．∵是的中點(diǎn)，∴，在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．【即學(xué)即練3】1．（2022·山東東平八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，AE平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：；（2）如圖2，中，，求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）利用ASA定理證明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根據(jù)三角形中位線定理解答；（2）分別延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，仿照（1）的過(guò)程解答．【詳解】解：（1）證明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；（2）解：分別延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE=EH，AH=AB=9，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=CH=(AH-AC)=2．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022·貴州銅仁市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線.對(duì)于下列各值：①點(diǎn)到直線的距離；②的周長(zhǎng)；③的面積；④的大?。渲胁粫?huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷①；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化可判斷②④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷③；進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵直線，∴①點(diǎn)到直線的距離不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；∵PA、PB的長(zhǎng)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，∴②△PAB的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化，④∠APB的大小會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；∵點(diǎn)到直線的距離不變，AB的長(zhǎng)度不變，∴③△PAB的面積不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；綜上，不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是①③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·大慶市北湖學(xué)校八年級(jí)期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，則m的取值范圍是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12【答案】C【分析】作出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可確定m的取值范圍．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，在中，，∴，即，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)．給出下列四組條件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有（）A．1組； B．2組； C．3組； D．4組．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法對(duì)①②③④分別作出判斷即可求解．【詳解】①∥，∥，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；②，，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；；③，，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；④∥，，無(wú)法判定四邊形是平行四邊形．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的定義和判定定理是解題關(guān)鍵．4．（2022·重慶江北區(qū)·字水中學(xué)九年級(jí)月考）下列命題是假命題的是（）A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，A是真命題；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，B是真命題；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，C是假命題對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，D是真命題；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，熟練掌握平行四邊形的判定是解本題的關(guān)鍵5.（2022·河南·淅川縣九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于點(diǎn)D．延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)N．若AB＝4，DM＝1，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】證明△ADB≌△ADN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=DN，AN=AB=4，根據(jù)三角形中位線定理求出NC，計(jì)算即可．【詳解】解：在△ADB和△ADN中，，∴△ADB≌△ADN（ASA）∴BD=DN，AN=AB=4，∵BM=MC，BD=DN，∴NC=2DM=2，∴AC=AN+NC=6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．6．（2022·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期末）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BC，的面積為48，OA＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．12 D．13【答案】B【分析】由平行四邊形對(duì)角線互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC邊長(zhǎng).【詳解】解：∵在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA=OC，∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的面積，掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.7．（2022·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A，B兩點(diǎn)，“九曲橋”的每一段與AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，則此“九曲橋”的總長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】200m【分析】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M，則四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形，△ABC是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M由題意可知，四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形∵∠A＝∠B＝60°∴∴△ABC是等邊三角形∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH∴“九曲橋”的總長(zhǎng)度是AE+EB＝2AB＝200m故答案為：200m．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．8．（2022·渝中區(qū)·重慶九年級(jí)期末）已知：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD和BC上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，且BF=DE，AH=CG，連接FH、HE、BG、FG．（1）求證：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，F(xiàn)H平分∠CFG，F(xiàn)G//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）77°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，通過(guò)證明≌即可得證；（2）利用角平分線的定義可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，利用三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴≌，∴FG=EH；（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，∴，∵FG//AB，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇鹽城市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的平分線交于點(diǎn)D；②作邊的中點(diǎn)E，連接；（2）在（1）所作的圖中，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）6.5【分析】（1）①以A為圓心，小于AB的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓，交AB、AC于兩個(gè)點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心，一樣的半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，連接這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A，即可得到的平分線，再畫(huà)出它與BC的交點(diǎn)D；②作線段AC的垂直平分線，即可找到線段AC的中點(diǎn)E，連接DE；（2）由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得，，用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到DE的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）①如圖所示：②如圖所示：（2）∵，AD平分，∴，，在中，，∵E、D分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴，故答案是：6.5．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定理，以及角平分線和垂直平分線的作法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些幾何的性質(zhì)定理以及作圖方法．10．（2022·黑龍江肇源·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）平行四邊形DEFB的周長(zhǎng)＝【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，BC＝2DE，再證DE＝BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE//BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，∴BD＝EF，∵D是AC的中點(diǎn)，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），∴平行四邊形DEFB的周長(zhǎng)＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形DEFB為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·山東青島市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，，且，，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】解根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°?56°＝68°，∴∠AED＝180°?56°?56°＝68°，∴∠AEB＝180°?68°?28°＝84°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC解答．2．（2022·山東濰坊市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，平分，則平行四邊形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDE=∠CED，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CE=CD，然后利用平行四邊形對(duì)邊相等求出CD、BC的長(zhǎng)度，再求出?ABCD的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴?ABCD的周長(zhǎng)=6+6+4+4=20．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)邊相等的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明CE=CD是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東梅州市·九年級(jí)期末）點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心，，、分別是邊上的點(diǎn)，且；、分別是邊上的點(diǎn)，且；若，分別表示和的面積，則，之間的等量關(guān)系是__________．【答案】【分析】如圖，連接OA，OB，OC．設(shè)平行四邊形的面積為4S．求出S1，S2（用s表示）即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，OC．設(shè)平行四邊形的面積為4S．∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，∴S△AOB=S△BOC=S平行四邊形ABCD=S，∵EF=AB，GH=BC，∴S1=S，S2=S，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．（2022·北京·人大附中八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C為頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先畫(huà)出坐標(biāo)系，再分別以AC、AB、BC為對(duì)角線通過(guò)線段平移作出平行四邊形，進(jìn)而可得D點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，以BC為對(duì)角線，將AB向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置為（﹣2，3）就是第四個(gè)頂點(diǎn)D1；以AB為對(duì)角線，將BC向下平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置為（0，﹣3）就是第四個(gè)頂點(diǎn)D2；以AC為對(duì)角線，將AB向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置為（6，3）就是第四個(gè)頂點(diǎn)D3；∴第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案為：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【點(diǎn)睛】本題考查圖形與坐標(biāo)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·山東東營(yíng)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，再依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，，按這樣的規(guī)律下去，的周長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】【分析】由再利用中位線的性質(zhì)可得：再總結(jié)規(guī)律可得：從而運(yùn)用規(guī)律可得答案．【詳解】解：探究規(guī)律：AB=8，BC=6，AC=7，分別為的中點(diǎn)，同理：總結(jié)規(guī)律：運(yùn)用規(guī)律：當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形周長(zhǎng)的規(guī)律探究，三角形中位線的性質(zhì)，掌握探究規(guī)律的方法與三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江西撫州市·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD，連接OE交BC于點(diǎn)F，若BC＝4，則CF＝_____．【答案】1【分析】作OG∥BC交DC于G點(diǎn)，則根據(jù)可得G為DC的中點(diǎn)，同理在△OGE中，運(yùn)用中位線定理可得CF的長(zhǎng)度．【詳解】如圖，作OG∥BC交DC于G點(diǎn)，∵O為BD的中點(diǎn)，∴G為DC的中點(diǎn)，即OG是△BDC的中位線，∴，又∵，∴，即C為EG的中點(diǎn)，∵CF∥OG，∴CF為△OGE的中位線，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線定理，熟練掌握中位線的判斷以及靈活運(yùn)用中位線定理是解題關(guān)鍵．7．（2022·江蘇射陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）AD=3【分析】（1）由題意易得AD∥EC，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的判定定理可求解；（2）由題意易得EF=3，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得EC=EF=3，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC，∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，∴BF＝4，∵EF⊥AB，∴由勾股定理可得：，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴EC=EF=3，∵四邊形AECD是平行四邊形，∴EC=AD=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南衛(wèi)輝·九年級(jí)期中）（教材呈現(xiàn)）如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容．（定理證明）（1）請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫(xiě)出證明過(guò)程．（定理應(yīng)用）（2）如圖②，四邊形中，、、分別為、、的中點(diǎn)，邊、延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，則的度數(shù)是_______．（3）如圖③，矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，是線段的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)的最大值和最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）長(zhǎng)的最大值為，最小值為．【分析】（1）延長(zhǎng)至，使，連接，根據(jù)題意證明，然后證明四邊形為平行四邊形，即可得出，；（2）首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，然后由三角形中位線的性質(zhì)得到，，可得到，由即可求出的度數(shù)．（3）延長(zhǎng)至，使，連接，，可得，可得當(dāng)FH最小或最大時(shí)，MB最小或最大，由題意可得當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)度，然后即可求出線段長(zhǎng)的最大值和最小值．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)至，使，連接，在和中，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，；（2）∵、、分別為、、的中點(diǎn)，∴是△DAB的中位線，是△BCD的中位線，∴，，∴，，

又∵，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)至，使，連接，，，，，由勾股定理得，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，最小值為，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，最大值為，長(zhǎng)的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，線段最值問(wèn)題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，．作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，記的度數(shù)為，，．則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．B．的度數(shù)為C．若，則四邊形的面積為平行四邊形面積的一半D．若，則平行四邊形的周長(zhǎng)為【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，得出，求出，得出；由平行四邊形的面積得出；若，則，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，，求出平行四邊形的周長(zhǎng)；求出的面積，的面積，平行四邊形的面積，得出四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；即得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，；平行四邊形的面積，，，，；若，則，，，，，，平行四邊形的周長(zhǎng)；的面積，的面積，平行四邊形的面積，四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；綜上所述，選項(xiàng)、、不符合題意，選項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)月考）如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，將沿折疊至，與交于點(diǎn)F，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠B=52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF=72°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴∠D=∠B=52°，

由折疊的性質(zhì)得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，

∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，

∴∠FED′=108°-72°=36°；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出∠AEF和∠AED′是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于E，在線段AB上，連接EF、CF．則下列結(jié)論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正確的是（

）A．②④ B．①②④

C．①②③④

D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)易得DF=CD，由平行四邊形的性質(zhì)AD∥BC即可對(duì)①作出判斷；延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，可證明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可對(duì)②作出判斷；由△AEF≌△DMF可得這兩個(gè)三角形的面積相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC，從而③是錯(cuò)誤的；設(shè)∠FEC=x，由已知及三角形內(nèi)角和可分別計(jì)算出∠DFE及∠AEF，從而可判斷④正確與否．【詳解】①∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正確；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF，故③錯(cuò)誤；④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，構(gòu)造輔助線證明三角形全等是本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．4．（2022·黑龍江·雞西市九年級(jí)期中）在平行四邊形中，，于，于，，BF相交于H，BF與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，下面給出四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】先判斷△DBE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可推導(dǎo)得出BD=BE，可判斷①不正確；根據(jù)∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判斷②正確；證明△BEH≌△DEC，從而可得BH=CD，再由AB=CD，可判斷③正確；利用對(duì)應(yīng)邊不等可判斷④不正確，據(jù)此即可得到選項(xiàng)．【詳解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正確；∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，又∵在?ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正確；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正確；∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，∴不能得到△BCF≌△DCE，故④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）中，點(diǎn)D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，作．若的面積是12，則的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】過(guò)A作AH⊥BC于H，取BH中點(diǎn)為G，連結(jié)DG，EM⊥DF于M，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)可得，，DF∥BC，由D、G為AB、BH中點(diǎn)，可得DG∥AH，且DG=，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得DG=ME=，利用三角形面積公式S△ABC=，再求即可．【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，取BH中點(diǎn)為G，連結(jié)DG，EM⊥DF于M，