2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)新定義問題 專題練習(xí)題匯編（含答案解析）

第第頁參考答案：1．(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)“三倍點”的定義，即可求得答案；（2）①將點代入，可得的值，再將代入，解方程即可；②利用二次函數(shù)的頂點式求得和的值，即可求得答案；（3）由題意可得，三倍點所在的直線為，將在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，轉(zhuǎn)化為在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)和至少有一個交點，即可求得答案．【詳解】（1）根據(jù)定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，可得．故答案為：．（2）①將點代入，得：，解得：，∴，將代入，得：，解得：，∴函數(shù)圖象上的“三倍點”坐標(biāo)為．②∵，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴．（3）由題意得，三倍點所在的直線為，在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“三倍點”，即在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)和至少有一個交點，令，整理得：，則，解得：；把代入得，代入得，∴，解得：；把代入得，代入得，∴，解得：，綜上，的取值范圍為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根的判別式的應(yīng)用和新定義“三倍點”的理解與應(yīng)用，根據(jù)“三倍點”的定義結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(1)不存在，理由見解析(2)見解析(3)且【分析】（1）根據(jù)定義解答即可；（2）先求出兩直線的關(guān)系式，再將代入關(guān)系式，討論得出結(jié)論；（3）由定義可知“1級變換點”都在函數(shù)的圖象上，再將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，根據(jù)圖像有交點求出，進而確定兩個圖象的交點為，然后分和兩種情況討論，即可得出答案．【詳解】（1）解：不存在，理由如下：根據(jù)定義可知的k級變換點為，將點代入函數(shù)，得，無解，所以不存在；（2）解：點的“k級變換點”為，∴直線和直線的關(guān)系式為，，當(dāng)時，，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：二次函數(shù)的圖象的點的“1級變換點”都在函數(shù)的圖象上，即，整理，得，，函數(shù)的圖象和直線有公共點，由的公共點是．當(dāng)時，，得，又，解得，∴且；當(dāng)，時，兩個圖象僅有一個公共點，不合題意，舍去．所以n的取值范圍是且．【點睛】本題主要考查了新定義的理解，反比例函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，理解“k級變換點”是解題的關(guān)鍵．3．(1)函數(shù)圖象上的“不動點”坐標(biāo)為和(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（1）在中，令求解即可判斷函數(shù)圖象上的“不動點”坐標(biāo)；；（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理建立方程，即可求解．（3）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)直線過點A時，符合題設(shè)條件，即可求解．【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，函數(shù)圖象上的“不動點”坐標(biāo)為和；（2）解：聯(lián)立和拋物線的表達式得：，∴則，，∵∴∴，解得：；（3）解：如圖所示，當(dāng)直線過點時，符合題意，令∴則將點代入，得解得：或（舍去）∴．4．(1)是“定點拋物線”(2)(3)【分析】（1）把點代入計算，再根據(jù)“定點拋物線”的定義判定即可求解；（2）根據(jù)“定點拋物線”的定義可得當(dāng)時，，再根據(jù)拋物線與直線交點的計算，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，得到，由此即可求解；（3）一次函數(shù)的圖象與定點拋物線有交點，聯(lián)立方程可得∴，即，根據(jù)橫坐標(biāo)的特點得到或，根據(jù)，得到，由此即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴是“定點拋物線”；（2）解：∵拋物線是定點拋物線，∴當(dāng)時，，∴，∵定點拋物線與直線只有一個公共點，∴，∴，∴，把代入得，，∴，解得，；（3）解：根據(jù)題意，，整理得，，∴，即，∴或，∴交點的橫坐標(biāo)為或，∵，∴，解得，，∴的取值范圍為：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)，一次函數(shù)圖形的性質(zhì)，交點坐標(biāo)的計算，求不等式的解集，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)交點聯(lián)立方程求解，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)①；②(2)①；②【分析】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義“倍點”，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“倍點”的概念．（1）①根據(jù)“倍點”的定義，點的“倍點”為，即；②求出，即可得點的“倍點”的坐標(biāo)；（2）①由，得直線解析式為，設(shè)，可得，代入得，可得等式對任意的都成立，然后問題可求解；②設(shè)，若點的“倍點”為，則，可得；同理若點的“倍點”為得；若點的“倍點”為得；若點的“倍點”為得，故當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上，即可得到答案．【詳解】（1）解：（1）①根據(jù)“倍點”的定義，點的“倍點”為，即，故答案為：；②在中，令得，∴，點的“倍點”的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）解：①設(shè)直線的解析式為，則有：，解得：，∴直線解析式為，設(shè)，在直線上都有點，使得點為點的“倍點”，∴，把代入得：，∴，即對任意的都成立，∴，解得：；②設(shè)，若點的“倍點”為，則，解得，，∴；同理若點的“倍點”為，可得；若點的“倍點”為，可得；若點的“倍點”為，可得，當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上；當(dāng)時，的“倍點”在邊上；在四邊形的邊上存在點的“倍點”，且，的取值范圍是．6．（1）（2）（3）或；【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方程，矩形的性質(zhì)等知識點，數(shù)形結(jié)合并分類求解是解題的關(guān)鍵．（1）寫出的解析式，它是一個二次函數(shù)，將其改寫為頂點式，即可求出其最大值，于是可得原二次函數(shù)的圖象的“特征值”；（2）由題意可得點的坐標(biāo)，根據(jù)點和點的“坐標(biāo)差”相等，可得出點的坐標(biāo)，將點、的坐標(biāo)代入拋物線表達式可得，則；寫出的解析式，它是一個二次函數(shù)，將其改寫為頂點式，因其最大值等于，于是可得關(guān)于的一元二次方程，解得，即可得出，于是可得出原二次函數(shù)的解析式；（3）由“坐標(biāo)差”為可得一次函數(shù)解析式為，又因二次函數(shù)的圖象的頂點在該一次函數(shù)上，因此可將該二次函數(shù)解析式寫為，此時分兩種情況；第一種情況：當(dāng)拋物線頂點為點時，拋物線與矩形有三個交點，把代入，求出，即可求出此種情況下的二次函數(shù)解析式；第二種情況：當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，拋物線與矩形有三個交點，把代入，求出，即可求出此種情況下的二次函數(shù)解析式；當(dāng)時，，當(dāng)時，，據(jù)此即可求解．【詳解】解：（1），的“特征值”為；（2）由題意得：點的坐標(biāo)為，點和點的“坐標(biāo)差”相等，點的坐標(biāo)為，將點、的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，則，的“特征值”為，則，解得：，，此二次函數(shù)解析式為；（3）“坐標(biāo)差”為的一次函數(shù)，，，二次函數(shù)的圖象的頂點在該一次函數(shù)上，設(shè)為：，直線與交于點，第一種情況：當(dāng)拋物線頂點為點時，拋物線與矩形有三個交點，把代入，解得：，（不合題意，舍去），，此二次函數(shù)解析式為；第二種情況：當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，拋物線與矩形有三個交點，把代入，解得：，（不合題意，舍去），，此二次函數(shù)解析式為；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與矩形的邊只有三個交點時，此二次函數(shù)的解析式為或；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象與矩形的邊有四個交點．7．(1)有上確界，上確界為0(2)(3)或【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)上確界的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)上確界的定義，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)，有上確界，上確界為0；（2）解：∵，∴隨值的增大而增大，∵以10為上確界的有上界函數(shù)，∴，∴；（3）解：的對稱軸為直線，開口向下，當(dāng)時，則，的最大值為，為上確界，，解得：或（舍去）；當(dāng)時，則，的最大值為，∵為上確界，，解得：或（舍去）；當(dāng)時，則，的最大值為，為上確界，∴，∴，∴無解．綜上所述：的值為或．8．(1)(2)，(3)，或，【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握兩點間的距離公式，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“和諧點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的邊上；（2）把代入求出解析式，再求于的交點即為；（3）根據(jù)“和諧點”的定義求出點，的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，當(dāng)“和諧點”在或上時，“和諧點”應(yīng)滿足且或，當(dāng)“和諧點”在或上時，“和諧點”應(yīng)滿足且或，點是矩形的“和諧點”，點、不是矩形的“和諧點”，故答案為：；（2）解：點是反比例函數(shù)圖象上的一個“和諧點”，把代入得，∴，“和諧點”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，“和諧點”都在的圖象上，聯(lián)立得：，解得或，，直線的解析式為，故答案為：，；（3）解：點，是拋物線上的“和諧點”，，即，解得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點，的坐標(biāo)為，或，，故答案為：，或，．9．(1)①，；②(2)【分析】（1）①首先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)最小覆蓋點的概念求解即可；②根據(jù)題意分當(dāng)左下方覆蓋點在直線上時和當(dāng)右上方覆蓋點在直線上時兩種情況討論，然后分別求解即可；（2）首先求出的最小覆蓋點為?1,1，，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后轉(zhuǎn)化成頂點式求解即可．【詳解】（1）①如圖所示，分別過點A，B，C作x軸和y軸的垂線，∴圍成的矩形的左下角的點的坐標(biāo)為，右上角的點的坐標(biāo)為∴由最小覆蓋點的概念可得，的最小覆蓋點為，；②當(dāng)左下方覆蓋點在直線上時，分情況如下：a．當(dāng)時，，∵，m隨x增大而增大，∴；b．當(dāng)時，，∵，∴，∴當(dāng)左下方覆蓋點在直線上時，；當(dāng)右上方覆蓋點在直線上時，分情況如下：a．當(dāng)時，，∵，m隨x增大而增大，；b．當(dāng)時，，∵，；∴當(dāng)右上方覆蓋點在直線上時，；綜上所述，當(dāng)時，的其中一個覆蓋點在直線上；（2）如圖所示，由題意得的最小覆蓋點為?1,1，，代入，得解得∴該拋物線頂點坐標(biāo)為．【點睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)和幾何綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．10．(1)①②(2)的值為或或或；(3)【分析】（1）根據(jù)“平衡點”的定義求解即可；（2）先求得；，，從而得，，，然后分類討論秋季即可；（3）設(shè)，由，得拋物線的頂點為，從而得點關(guān)于的對稱點為，旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為，再根據(jù)新定義列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)“平衡點”的定義，“平衡點”的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，在中，令得，∴x=1或x=?1，∴當(dāng)x=1時y=?1，當(dāng)x=?1時，，∴的圖象上存在“平衡點”?1,1和，同理可得，，的圖象上不存在“平衡點”，的圖象上存在“平衡點”；故答案為：①②；（2）解：在中，令得，解得或，，；在中，令得，解得，當(dāng)時，，，，，若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得或（此時，重合，舍去）；的值為或或或；（3）解：設(shè)，，拋物線的頂點為，點關(guān)于的對稱點為，旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為，在中，令得：，，旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有個“平衡點”有兩個相等實數(shù)根，，即，，∴的縱坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)求自變量的值，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．(1)，或(2)(3)，【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．（1）分別令，然后求得方程的解即可；（2）令，可得時拋物線與直線有兩個交點；（3）令，根據(jù)判別式等于0可得的值，從而可得點坐標(biāo)，令可得點，的橫坐標(biāo)，根據(jù)即可得出的值．【詳解】（1）解：，解得：，∴一次函數(shù)的圖像的“2倍點”的坐標(biāo)是，，解得：或，∴二次函數(shù)的圖像的“2倍點”的坐標(biāo)是或，故答案為：；或；（2）解：∵若關(guān)于x的二次函數(shù)（c為常數(shù)）的圖像在上存在兩個“2倍點”，∴令，則有兩不等根，∴，解得：，∴時拋物線與直線有兩個交點，∴c的取值范圍為；（3）解：令，則，關(guān)于的函數(shù)的圖象上有且只有一個“2倍點”，，．將代入得，解得，，令，解得或x=2，∵，∴，∵點B在點C的左側(cè)，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，解得，綜上，，．12．(1)存在，(2)或(3)【分析】（1）設(shè)的正等距點為，且正等距為m，根據(jù)正等距點的定義推算出x和y關(guān)于m的表達式，再帶入反比例函數(shù)建立方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)正等距等于4求出正等距的坐標(biāo)，再帶入一次函數(shù)的解析式即可求得答案；（3）假設(shè)存在，且A的正等距點，可得它的軌跡是直線，求直線和拋物線的交點，根據(jù)當(dāng)時無解，建立不等式即可求得答案．【詳解】（1）解：設(shè)的正等距點為，且正等距為m，由，可得，，∴若反比例函數(shù)的圖像上，得，解方程得，則，，∵，∴，故∴；（2）解：由題意得，，∴或，故或，分別代入，∴或；（3）解：假設(shè)存在，則A的正等距點，∴它的軌跡是直線，∴，整理得，，∵它與拋物線無交點，∴，∴．【點睛】本題綜合考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)互為正等距點的定義設(shè)坐標(biāo)計算，需要注意互為正等距點與正等距之間的符號區(qū)別．13．(1)(2)交點坐標(biāo)為或，為拋物線的“梅嶺點”(3)【分析】（1）將代入中求解即可；（2）聯(lián)立，解得：或，得出交點或，由“梅嶺點”定義即可判斷；（3）根據(jù)求出，不妨令、，再求出，然后將三角形放到矩形中進行求解面積．【詳解】（1）解：點是一次函數(shù)的圖象上的梅嶺點，，解得：，故答案為：；（2）解：聯(lián)立，解得：或，即交點坐標(biāo)為或，根據(jù)“梅嶺點”的定義可知，或為拋物線的“梅嶺點”；（3）解：，，解得：，即、，又因為頂點，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解應(yīng)用新定義“梅嶺點”．14．初步理解：；理解應(yīng)用：，；知識遷移：為定值【分析】本題考查了恒過定點的直線，拋物線以及相似三角形的性質(zhì)：初步理解：解析式變形為，求解即可；理解應(yīng)用：由二次函數(shù)變形為，求解即可；知識遷移：由題意可得：，，作輔助線如解析圖，則，，，，，，構(gòu)建相似三角形，找出比例關(guān)系即可．【詳解】解：初步理解：由一次函數(shù)變形為，當(dāng)時，無論m值如何變化，，故一次函數(shù)必過一定點．故答案為：．理解應(yīng)用：由二次函數(shù)變形為，當(dāng)時，無論m值值如何變化，當(dāng)時，無論值如何變化，，故二次函數(shù)必過定點，．所以二次函數(shù)落在x軸負(fù)半軸的定點A的坐標(biāo)是，落在x軸正半軸的定點B的坐標(biāo)是；故答案為：，．知識遷移：是定值，定值為2由題意得，由上一小題得：，作軸交直線于點E，作軸交直線于點F，則，，，，分別過點P、B作直線的垂線，垂足為Q、C，則，，，，，，，，即為定值．15．(1)存在，或或；(2)；(3)．【分析】本題考查新定義題型的理解，掌握一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)理解題意是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中“等距點”的定義列出方程求解即可；（2）先求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上的“等距點”，然后由三角形面積列出方程求解即可；（3）根據(jù)“等距點”列出一元二次方程，再由題意中恰好有2個“等距點”，利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】（1）解：存在“等距點”，令，解得，，函數(shù)的圖象上有兩個“等距點”或，令，解得，，函數(shù)的圖象上有兩個“等距點”或，綜上所述，函數(shù)的圖象上有三個“等距點”或或；（2）解：令，解得，，則，，，令，解得：，則點，，，，即，解得：，則；（3）解：令，整理得：，△，當(dāng)時，△，此時在一、三象限有2個“等距點”．令，整理得，，則△，則當(dāng)時，△，此時在二四象限有2個“等距點”．函數(shù)圖象恰存在2個“等距點”，∴．16．(1)②(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點”的定義逐個進行判斷即可；（2）設(shè)，則，把代入得，根據(jù)圖象恰有1個“n倍平點”，得出，即可求出答案；（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，分兩種情況，根據(jù)函數(shù)圖象的“n倍平點”的定義分別計算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時，①設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點”．②設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點在的圖象上．∴該函數(shù)圖象存在“2倍平點”．③設(shè)，則，當(dāng)時，，∴點不在的圖象上．∴該函數(shù)圖象不存在“2倍平點”．故答案是②；（2）設(shè)，則，把代入得，，即，∵圖象恰有1個“n倍平點”，∴．∴．∵，∴．（3）當(dāng)時，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．當(dāng)時，，設(shè)，則，把代入得，，解得：，∴，．∴，．綜上所述，函數(shù)圖象的“3倍平點”的坐標(biāo)是或．【點睛】本題主要考查了新定義，正確理解新定義：函數(shù)圖象的“n倍平點”是解題的關(guān)鍵．17．(1)①②③(2)(3)存在，中點坐標(biāo)為或【分析】(1)根據(jù)定義，把點，分別代入函數(shù)解析式，解方程組即可；(2)根據(jù)題意，用的代數(shù)式將坐標(biāo)表示出來，然后根據(jù)列出方程求出即可；(3)假設(shè)存在一對“反射對稱點”，，由此得到線段中點坐標(biāo)為，再將，兩點代入中聯(lián)立方程組求出的值即可．【詳解】（1）解：對于，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，此時方程組有無數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無數(shù)對“反射對稱點”；對于，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，此時方程組有無數(shù)組解，∴函數(shù)圖像上存在無數(shù)對“反射對稱點”；對于函數(shù)，若，是一對“反射對稱點”，則，得到，∴函數(shù)圖像上存在唯一一對“反射對稱點”，故答案為：①②③；（2）解：聯(lián)立方程組，∴，∴，∵且點在第一象限，∴，∵點和點為一對“反射對稱點”，∴，設(shè)直線解析式為，代入兩點坐標(biāo)，∴，解得，∴直線解析式為，設(shè)直線與軸交于點，過作于點，過作于點，如下圖所示，則，∴整理得到：，又已知，∴，解得；（3）解：假設(shè)拋物線上存在一對“反射對稱點”，，則線段的中點坐標(biāo)為，∴，①－②并整理得到：，當(dāng)即時，回代方程①得到，解得或，若此時重合，舍去；若時，，線段中點坐標(biāo)為；當(dāng)時，即時，回代方程①得到，解得或，當(dāng)時，，此時，，此時線段中點坐標(biāo)為；當(dāng)時，，此時，，此時線段中點坐標(biāo)為；綜上所述，線段中點坐標(biāo)為或．【點睛】本題是反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能理解應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．18．(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分別寫出三個點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到的點的坐標(biāo)，逐個驗證是否在一次函數(shù)圖象上即可；（2）把點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到的點的坐標(biāo)代入即可得到答案；（3）先求出點A、B、C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點D繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，根據(jù)點是二次函數(shù)圖象的“直旋點”且在直線上，得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得到點D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：①繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故不是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，②繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，③繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)時，，故是一次函數(shù)圖象的“直旋點”，故答案為：②③（2）點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∵點為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，∴點滿足，代入可得，，解得；（3）當(dāng)時，，解得∴點，當(dāng)時，，∴點,設(shè)直線的解析式為，則解得，∴直線的解析式為，設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點D繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，∵點是二次函數(shù)圖象的“直旋點”且在直線上，∴點在二次函數(shù)圖象上，在直線上，∴，解得，，∴點坐標(biāo)為或【點睛】此題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、待定系數(shù)法、點的旋轉(zhuǎn)等知識，讀懂題意，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．19．(1)的圖象上不存在“互反點”；是的圖象上的“互反點”(2)或(3)或【分析】（1）由定義可知，函數(shù)與的交點即為“互反點”；（2）求出，，可得，求出b的值；（3）函數(shù)關(guān)于直線的對稱拋物線解析式為，聯(lián)立方程組，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；函數(shù)與直線的交點為，當(dāng)點在直線上時，解得或，結(jié)合圖象可知：時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”．【詳解】（1）解：中，，∴的圖象上不存在“互反點”；中，當(dāng)時，，解得或，是的圖象上的“互反點”；（2）解：中，當(dāng)時，，解得，，中，當(dāng)時，，解得，，，∴，解得或；（3）解：函數(shù)關(guān)于直線的對稱拋物線解析式為，由定義可知，“互反點”在直線上，聯(lián)立方程組，整理得，，解得，當(dāng)時，與沒有交點，此時與有兩個交點，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；當(dāng)時，，∴函數(shù)與直線的交點為，當(dāng)點在直線上時，，解得或，當(dāng)時，兩部分組成的圖象上恰有3個“互反點”，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；當(dāng)時，兩部分組成的圖象上恰有1個“互反點”，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；綜上所述：或時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．(1)（﹣5，2）(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)定義直接解答即可；（2）根據(jù)定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．【詳解】（1）∵-5<0，∴，∴點的“可控變點”坐標(biāo)為（-5，2），故答案為（﹣5，2）；（2）依題意，圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)．的圖象上．∵“可控變點”Q的縱坐標(biāo)y′是7，∴當(dāng)時，解得x=3；當(dāng)，解得x=-；綜上所述“可控變點”Q的橫坐標(biāo)為或3．（3）依題意，圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)的圖象上（如圖）．∵，∴．∴x=．當(dāng)x=-5時，當(dāng)=9時，x=，∴a的取值范圍是．【點睛】此題考查的是新定義題型，根據(jù)可控變點的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案.21．(1)點是點，的伴D融合點；(2)①存在，；②【分析】（1）根據(jù)融合點的定義計算即可；（2）①設(shè)，由點是點Q，P的伴Q融合點，可用含m和p的式子表示出x和y，整理后得到y(tǒng)關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②由判別式可知：方程?有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)韋達定理化簡計算，結(jié)合，即可求出m的范圍．【詳解】（1）解：依題意，點，，．∵，，∴點是點，的伴D融合點；（2）解：①存在，理由如下：由題意設(shè)，∵點是點Q，P的伴Q融合點，∴，，∴，∴，∵，∴開口向下，在時，取最大值，且該點的坐標(biāo)為∴存在最高點；②∵，即∴∴方程有兩個不相等的實數(shù)根∵點Q是直線上且在第三象限的一動點，∴，∴，，∴∵，即：，∴，即：，∴，即：．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，理解題中的定義并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．22．(1)和(2)(3)最大值為12，最小值為5【分析】（1）根據(jù)“伴隨點”的定義，畫出每個點繞點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，進行判斷即可；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，證明，求出的坐標(biāo)，再求出點在線段上和在線段上時，的值，即可得出結(jié)論；（3）將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)拋物線上存在關(guān)于原點O的“伴隨點”，得到當(dāng)拋物線過點時有最小值，當(dāng)拋物線過點時有最大值，即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴軸，如圖所示，點繞點順時旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點分別為：，

其中點，在線段上，∴和是線段關(guān)于原點O的“伴隨點”；（2）解：∵，∴在第一象限，∵點是關(guān)于原點O的“伴隨點”；∴點在第二象限，過點作軸于點，過點作軸于點，

則：，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵在第一象限，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，當(dāng)在上時，，解得：；當(dāng)在上時，，解得：；∴當(dāng)時，點是關(guān)于原點O的“伴隨點”；（3）解：如圖：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其中．

∵拋物線上存在關(guān)于原點O的“伴隨點”，∴當(dāng)過，即，解得：，n的最小值為；同理，當(dāng)過，得到n的最大值為．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“伴隨點”的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．23．(1)，(2)①；②【分析】（1）把點代入，待定系數(shù)法求解析式，令，解方程，即可求得點的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律，得出解析式即可求解；②設(shè)拋物線的焦點為，延長交直線y=?1于點，連結(jié)、，交拋物線于點，由拋物線焦點和準(zhǔn)線的性質(zhì)可得，可知，又，故當(dāng)點與點重合時，的值最小，由勾股定理可得的最小值，即可求解．【詳解】（1）解：把代入得：，解得：，拋物線的解析式為，在中，令得或，；（2）①解：根據(jù)題意，拋物線解析式為故答案為：．②，拋物線的焦點為，，準(zhǔn)線為y=?1，設(shè)拋物線的焦點為，延長交直線y=?1于點，連結(jié)、，交拋物線于點，如圖：由拋物線焦點和準(zhǔn)線的性質(zhì)可得，，，；，當(dāng)點與點重合時，的值最小，此時的值最?。?，，，，，的最小值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，新定義等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，能熟練應(yīng)用拋物線上任意一點到焦點的距離與它到準(zhǔn)線的距離相等解決問題．24．(1)①；②；(2)【分析】（1）①分別求出當(dāng)時，時，時，時，兩個函數(shù)的函數(shù)值，再根據(jù)“如意點”的定義判斷即可；②根據(jù)題意可得點E和點D關(guān)于直線對稱，則當(dāng)點D到直線的距離最大時，有最大值，根據(jù)“如意點”的定義可知，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的所有點到時拋物線C的如意點，則當(dāng)平行于直線的直線與拋物線恰好有一個交點時，且當(dāng)點D與該交點重合時滿足題意，據(jù)此求出點D的坐標(biāo)，進而求出點D到直線的距離即可得到答案；（2）由（1）可得，拋物線C的“如意點”組成的區(qū)域即為直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域（包括邊界），則拋物線C的“稱心點”一定在直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域外面，則正方形邊上的點全部是“如意點”時b的值一定要比正方形邊上的點部分是“如意點”，部分時“稱心點”時b的值大，故當(dāng)恰好正方形上的點一半是“如意點”，一半是“稱心點”時b最小，即直線一定經(jīng)過正方形的一條對角線，此時關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則可得到，把代入中得，則，即b的最小值即為．【詳解】（1）解：①在中，當(dāng)時，，時，，時，，時，；在中，當(dāng)時，，時，，時，，時，；∵，，，，∴只有，是拋物線C的“如意點”，故答案為：；②點E是點D與拋物線C的“稱心點”，∴點E和點D關(guān)于直線對稱，∴的長等于點D到直線的距離的兩倍，∴當(dāng)點D到直線的距離最大時，有最大值，根據(jù)“如意點”的定義可知，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的所有點到時拋物線C的如意點，∴當(dāng)平行于直線的直線與拋物線恰好有一個交點時，且當(dāng)點D與該交點重合時滿足題意，設(shè)直線恰好與拋物線有一個交點，聯(lián)立得，∴，解得，∴，解得，∴此時點D與原點重合；如圖所示，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于G、H，則，∴，∴，設(shè)交于H，則，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：由（1）可得，拋物線C的“如意點”組成的區(qū)域即為直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域（包括邊界），∴拋物線C的“稱心點”一定在直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域外面，∵邊長為的正方形邊上的點都是拋物線C的“如意點”或某點與拋物線C的“稱心點”，∴正方形邊上的點全部是“如意點”時b的值一定要比正方形邊上的點部分是“如意點”，部分時“稱心點”時b的值大，∴當(dāng)恰好正方形上的點一半是“如意點”，一半是“稱心點”時b最小，即直線一定經(jīng)過正方形的一條對角線，此時有軸，∴此時關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即關(guān)于直線對稱，∴的橫坐標(biāo)為，在中，當(dāng)時，，∴，把代入中得，∴，∴b的最小值即為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，解題的關(guān)鍵在于理解題意得到拋物線C的“如意點”組成的區(qū)域即為直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域（包括邊界）．25．(1)(2)(3)或【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，點的坐標(biāo)和二次函數(shù)的最值，新定義“基準(zhǔn)偶和點”的理解和運用，能夠理根據(jù)題干當(dāng)中的定義靈活運用二次函數(shù)的相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）運用“基準(zhǔn)偶和點”的概念作答即可；（2）由題意得，得出，再由拋物線（m、n均為常數(shù)）與直線只有一個交點，且該點是“基準(zhǔn)偶和點”，列立方程組求解即可；（3）拋物線（a、b均為常數(shù)，）的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”，可得進而可得，再運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）解：①由得：直線只有一個“基準(zhǔn)偶和點”：②由無解③由無解由得故答案為：（2）解：由題意得即即（3）由題意得即有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”即，①當(dāng)時，即時，w在時取得最小值即解得或(舍去)②當(dāng)時，w時取得最小值，即③當(dāng)時，w在時取得最小值即解得或(舍去)綜上所述：或26．(1)的值為(2)的取值范圍是(3)點不在該雙曲線上，理由見解析【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，新定義，一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)等知識；（1）由，，，可得，故，求出的值為；（2）“輪換點”滿足，即，由拋物線上存在“輪換點”，可得有實數(shù)解，故，可解得的取值范圍是；（3）根據(jù)雙曲線上存在輪換點，可得在有解，故，而且“輪換點”需滿足，可得，從而判斷不在該雙曲線上．【詳解】（1）解：，，，，，當(dāng)，時，，，的值為；（2）由（1）可知，“輪換點”滿足，即，拋物線上存在“輪換點”，有實數(shù)解，即有實數(shù)解，，即，解得；的取值范圍是；（3）點不在該雙曲線上，理由如下：雙曲線上存在“輪換點”，在有解，整理得，且“輪換點”需滿足，，∵所在雙曲線解析式為，點不在該雙曲線上．27．(1)①③(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“縱三倍點”的定義逐項判斷即可；（2）根據(jù)定義可得“縱三倍點”為，代入得出①，聯(lián)立根據(jù)題意得出②，聯(lián)立①②，即可求解；（3）聯(lián)立，依題意得出得出，當(dāng)時，的最小值為1，根據(jù)題意，即可求解．本題主要考查了先定義運算，一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是理解“縱三倍點”的定義，任意的一個“縱三倍點”一定在正比例函數(shù)的圖象上．【詳解】（1）解：①聯(lián)立，解得：，∴一次函數(shù)的圖象上的“縱三倍點”為，故①符合題意；②聯(lián)立，解得：，，故②不合題意；③聯(lián)立，解得：，∴二次函數(shù)的圖象上只有一個“縱三倍點”，故③正確；綜上分析可知，正確的是①③．故答案為：①③．（2）解：解得：依題意經(jīng)過，則①聯(lián)立∴∵拋物線（均為常數(shù)）與直線只有一個交點，∴②聯(lián)立①②得解得：∴拋物線解析式為；（3）解：聯(lián)立即依題意，，∴∴∴當(dāng)時，的最小值為1，∵當(dāng)時，的最小值恰好等于，∴．28．(1)①③(2)①或或；②a的值為2，，．【分析】（1）函數(shù)圖象的“1級方點”是指函數(shù)圖象上落在以原點為中心，邊長為2且一邊平行于x軸的正方形上的點，根據(jù)定義分別進行求解即可；（2）①先求出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)圖象的“2級方點”是指函數(shù)圖象上落在以原點為中心，邊長為4且一邊平行于x軸的正方形上的點，進行解答即可；②二次函數(shù)，則拋物線的開口向下，頂點為，分拋物線頂點在和拋物線經(jīng)過點兩種情況進行求解即