分式與分式方程高頻考點(diǎn)歸納期末復(fù)習(xí)講義2024－2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊(教師版)

專題1.分式與分式方程【題型歸納】經(jīng)典基礎(chǔ)題：（1）分式的判斷（2）分式有意義、值為0的條件（3）分式的基本性質(zhì)（4）最簡分式的判斷（5）找最簡公分母（6）分式的值常考能力提升題：分式的約分與通分分式的混合運(yùn)算解分式方程（4）分式的值（5）分式方程的實(shí)際應(yīng)用【經(jīng)典基礎(chǔ)題】【題型1】分式的判斷1．下列代數(shù)式是分式的是（

）A． B． C． D．【詳解】解：A、是分式，符合題意；B、是整式，不符合題意；C、是整式，不符合題意；D、是整式，不符合題意．2．下列式子是分式的是（

）A． B． C． D．【詳解】解：A、是單項(xiàng)式，是整式，不是分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B、是單項(xiàng)式，是整式，不是分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C、是分式，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D、是多項(xiàng)式，是整式，不是分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；3．在式子中，分式有（）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：式子中，分式有，共2個，4．下列代數(shù)式中，屬于分式的是（）A． B． C． D．【詳解】A、不是分式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是分式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是分式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是分式，故此選項(xiàng)符合題意；5．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．【分析】本題考查了分式的判斷，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．一般地，如果表示兩個整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式．【詳解】A、的分母中不含字母，不是分式，不合題意；B、的分母中不含字母，不是分式，不合題意；C、的分母中不含字母，不是分式，不合題意；D、是分式，符合題意；【題型2】分式有意義、值為0的條件1.若分式有意義，則x的取值范圍為（

）A．且 B．且 C． D．【詳解】解：根據(jù)題意，∵分式有意義，∴，∴且．2．分式的值存在的條件是（

）A．x=0 B． C． D．【分析】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式有意義的條件：分式有意義的條件是分母不等于零是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義的條件：分母不為0，判斷即可．【詳解】解：∵要使分式有意義，，即，3.若分式的值不存在，則的值為（

）A．3 B． C． D．【分析】本題考查了分式有意義的條件，能夠通過條件列出方程是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵分式的值不存在，∴分式無意義，即分母為0，∴，∴．4．若分式無意義，則x的值為（）A．2或 B．0 C．2 D．【分析】本題主要考查了分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義的條件是分母為0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式無意義，∴，∴，5．分式的值為0，x的值是（

）A．2 B． C． D．1【分析】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【詳解】解：由題意可得：且，解得．【題型3】分式的基本性質(zhì)1.如果把分式：中的x、y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值是（

）A．?dāng)U大10倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．縮小為原來的【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：把分式中的和都擴(kuò)大倍后可得：，縮小為原來的．2．若把分式中的，都擴(kuò)大為原來的倍，則分式的值（

）A．?dāng)U大為原來的倍 B．?dāng)U大為原來的倍C．縮小為原來的 D．不變【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母同乘或同除以一個不為0的整式，分式的值不變．a(chǎn)，b都擴(kuò)大成原來的3倍就是分別變成原來的3倍，變成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子與原來的式子的關(guān)系．【詳解】解：由題意得：，∴分式的值縮小為原來的，3．若把分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大到原來的2倍 B．不變C．縮小到原來的 D．縮小到原來的【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，把原分式中的x和y分別用和替換后約分化簡，再與原分式比較即可得到答案．【詳解】解：把分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍后變?yōu)?，∴若把分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍，那么分式的值縮小到原來的，故選：C．4．若將分式中的，都擴(kuò)大倍，則分式的值（

）A．不改變 B．縮小為原來的C．縮小為原來的 D．?dāng)U大為原來的倍【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】由題意得：，∴若將分式中的，都擴(kuò)大倍，則分式的值不變，5．將分式中x與y的值同時擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值（

）A．?dāng)U大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．無法確定【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，用分別替換中的，求出替換后的分式，再與原分式比較即可得到答案．【詳解】解：用分別替換中的得：，∴將分式中x與y的值同時擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值縮小為原來的，【題型4】最簡分式的判斷1.在下列分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了最簡分式，根據(jù)分子分母沒有公因式的分式是最簡分式逐一判斷即可求解，掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、，不是最簡分式，不合題意；、，不是最簡分式，不合題意；、，不是最簡分式，不合題意；、，是最簡分式，符合題意；2．下列分式中，為最簡分式的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了最簡分式，最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．根據(jù)最簡分式的定義分別對每一項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案．【詳解】解：選項(xiàng)A、，不符合題意；選項(xiàng)B、，不符合題意；選項(xiàng)C、不能約分，符合題意；選項(xiàng)D、，不符合題意，故選：C．3．下列代數(shù)式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】本題考查了最簡分式的定義，根據(jù)最簡分式的定義逐一判斷即可，掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不是分式，故選項(xiàng)不符合題意；B、不是最簡分式，故選項(xiàng)不符合題意；C、不是最簡分式，故選項(xiàng)不符合題意；D、是最簡分式，故本選項(xiàng)符合題意；4．下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了最簡分式的判斷，解題關(guān)鍵是掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時叫最簡分式．根據(jù)最簡分式的定義，即可求出答案．【詳解】解：A、，不是最簡分式，不符合題意；B、，不是最簡分式，不符合題意；C、是最簡分式，符合題意；D、，不是最簡分式，不符合題意；5．下列分式中，是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查最簡分式的定義、分式的性質(zhì)，根據(jù)最簡分式是分式的分子和分母沒有公因式的分式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故不是最簡分式，不符合題意；B、，故不是最簡分式，不符合題意；C、，故不是最簡分式，不符合題意；D、是最簡分式符合題意．【題型5】找最簡公分母1.分式、的最簡公分母是．【分析】本題考查了分式的最簡公分母，因?yàn)榉质降姆帜钢杏校质降姆帜钢杏?，所以最簡公分母是．【詳解】解：因?yàn)閮蓚€分式的分母中分別含有和，所以分式的最簡公分母為．2．分式的最簡公分母是．【分析】本題考查的是最簡公分母的確定，求分式的最簡公分母就是將所有的分母分解因式，最簡公分母就是所有不同的因式最高次冪之積．此題只要將所有的分母分解因式，找出所有不同的因式最高次冪之積即可．【詳解】解：，，所以最簡公分母為，3．分式與的最簡公分母為．【分析】本題考查的是最簡公分母，當(dāng)各分母都是單項(xiàng)式時，即有最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．由題意直接根據(jù)最簡公分母的定義，即可得出答案．【詳解】解：∵分式的分母，都是單項(xiàng)式，∴分式與的最簡公分母是．故答案為：．4．與的最簡公分母是．【分析】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．據(jù)此求解即可．【詳解】解：分式與的分母分別是、，故最簡公分母是．故答案為：．5．分式的最簡公分母是．【分析】根據(jù)最簡公分母的確定方法問題可解，本題考查了分式的最簡公分母的概念，詳解時注意以下步驟：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式確定；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】解：因?yàn)?，，中的常?shù)項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)是，的最高次冪是，的最高次冪是，的最高次冪是，所以三分式的最簡公分母是．【題型6】分式基本性質(zhì)的應(yīng)用2化簡分式1．若，則下列分式化簡正確的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)分式基本性質(zhì)化簡即可判斷，掌握分式的基本性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】解：三個選項(xiàng)的分子分母不能約分，而選項(xiàng)，2．下列各式從左到右的變形正確的是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，變形計(jì)算解答即可．本題考查了分式的性質(zhì)，分式的化簡，熟練掌握性質(zhì)和化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.是錯誤的，不符合題意；B.是錯誤的，不符合題意；C.是錯誤的，不符合題意；

D.，正確，符合題意，3．不改變分式的值，下列各式中變形正確的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，平方差公式，分式乘方等知識，根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時乘以或除以一個不等于的整式，分式值不變，即可得出答案，掌握運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、，原選項(xiàng)變形錯誤，不符合題意；、，原選項(xiàng)變形錯誤，不符合題意；、，原選項(xiàng)變形錯誤，不符合題意；、，原選項(xiàng)變形正確，符合題意；4．下列式子從左到右變形正確的是（

）A． B． C． D．【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母只能同時乘或除以一個不等于0的數(shù)或整式，分式的值不變，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意；B、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意；C、，原式變形正確，符合題意；D、與不一定相等，原式變形錯誤，不符合題意；故選：C．5．下列各式從左到右變形正確的是（

）A． B． C． D．【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解并運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時乘以或除以一個不等于0的整式，分式值不變，即可得出答案．【詳解】解：A．，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，故本選項(xiàng)符合題意；【常考能力提升題】【題型7】分式的值1．已知，則等于（

）A．4 B．5 C．7 D．【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，分式有意義的條件，完全平方公式等知識點(diǎn)，利用等式的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．由得到，根據(jù)題意可知，因此可得，然后等式兩邊同時平方，稍加整理即可得解．【詳解】解：，，由題意可知：，，，，，2．若，則的值為（

）A． B． C．4 D．【分析】本題主要考查了分式的求值，根據(jù)可以通分得到，則．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，3．若分式的值為整數(shù)，則整數(shù)的值為（

）A．1 B． C．3 D．1或3【分析】本題主要考查了分式的值，根據(jù)分式的值為整數(shù)，確定出整數(shù)x的值即可．【詳解】解：∵分式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，∴，∴整數(shù)x的值為1或3，4．若正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．60 B．70 C．80 D．90【分析】本題考查的是分式的值為整數(shù)的情況，以及數(shù)的整除性問題，把用含的代數(shù)式表示，并分離其整數(shù)部分（簡稱分離整系數(shù)法）．再結(jié)合整除的知識，即可求出的最大值．【詳解】解：，，，為正整數(shù)，當(dāng)時，有最大值，最大值為，5.已知：，則．【答案】【分析】本題考查了求分式的值．熟練掌握求分式的值是解題的關(guān)鍵．由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，【題型8】分式的約分與通分1.約分∶【分析】本題考查了分式的約分，找出分子分母的公因式約去即可，掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．2．約分：．【分析】本題主要考查了分式的約分，分子和分母同時除以即可得到答案．【詳解】解：，3．約分．【分析】此題主要考查了約分，正確掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用分式的基本性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：．4．約分：．【分析】本題主要考查化簡分式，先將分式的分子與分母分別進(jìn)行分解因式，再約去公因式即可．【詳解】解：．故答案為：5．約分：（1）．（2）．【分析】本題考查了約分，約分的關(guān)鍵是找出分式分子分母的公因式．（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可；（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），6．的最簡公分母是，通分的結(jié)果為．【分析】此題考查分式的通分和最簡公分母，根據(jù)最簡公分母的定義和通分的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：的最簡公分母是，通分的結(jié)果是，故答案為：，7．通分：(1)與；(2)與．【分析】（1）本題考查分式的通分，根據(jù)最簡公分母確定分母，再根據(jù)分式的性質(zhì)分子分母同時乘以同一個不為0的式子即可得到答案；（2）本題考查分式的通分，根據(jù)最簡公分母確定分母，再根據(jù)分式的性質(zhì)分子分母同時乘以同一個不為0的式子即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，，最簡公分母是，∴，，∴答案為：，；（2）解：由題意可得，，的最簡公分母是，∴，，∴答案為：，．8．通分：(1)，；(2)，．【答案】(1)，(2)，【分析】此題考查了分式的通分，（1）確定公分母后利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分即可；（2）確定公分母后利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分即可．【詳解】（1）解：最簡公分母是，，（2）最簡公分母是，，9．通分：(1)，，；(2)，．【答案】(1)，，(2)，【分析】本題考查了通分，準(zhǔn)確熟練地找出最簡公分母是解題的關(guān)鍵．（1）先求出最簡公分母是，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）先求出最簡公分母是，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：最簡公分母是，所以；；；（2）解：最簡公分母是，所以；．10．通分：(1)，，；(2)，；(3)，，．【分析】本題考查了通分，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先求出最簡公分母是，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）先求出最簡公分母是，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）先求出最簡公分母是，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：最簡公分母是，所以，，；（2）解：最簡公分母是，所以，；（3）解：最簡公分母是，所以，，．【題型9】分式方程的判斷1..解方程：．解：，即：，去分母，兩邊同乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入，得：，不是原分式方程的解，原方程無解．2.解下列方程：.解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時，，∴是原方程的解.3.解下列方程：.解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時，，∴是原方程的增根，∴原方程無解.4.解方程：.解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，所以是分式方程的解.5．解方程：．解：，去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，經(jīng)檢驗(yàn)：不是原方程的解，原分式方程無解．【題型10】分式的運(yùn)算1.化簡，正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】本題考查了分式的乘除，能靈活運(yùn)用分式的乘除法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．先把分式的除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則求出答案即可．【詳解】解：，2.計(jì)算：．【分析】本題考查了分式的乘法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的乘法運(yùn)算，可得答案．【詳解】解：3.化簡的結(jié)果是．【分析】本題考查了分式除法運(yùn)算，先通分括號內(nèi)，再根據(jù)分式除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：，4.已知a，b是有理數(shù)，且，求【分析】設(shè)，相乘得，所以，求出a和b的值，即可得出答案．本題考查了分式的運(yùn)算和解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，，∴，∴，，解得，5．計(jì)算：(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘法運(yùn)算和分式的除法運(yùn)算，熟記分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的乘除法則，先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分化簡即可；（2）先將分子分母因式分解，再約分化簡即可．【詳解】（1）解：；（2）．【題型11】分式方程的應(yīng)用1.某校九年級學(xué)生去距學(xué)校的科技館研學(xué)，一部分學(xué)生乘甲車先出發(fā)，后其余學(xué)生再乘乙車出發(fā)，結(jié)果同時到達(dá)．已知乙車的速度是甲車速度的1.2倍，設(shè)甲車的速度為，根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．2.小王做90個零件所需要的時間與小李做120個零件所用的時間相同，且每小時小王與小李兩個人共做35個零件．問小王、小李每小時各做多少個零件？解：設(shè)小王每小時做x個零件，則小李每小時做（35﹣x）個零件．根據(jù)題意列方程得：90x解得x＝15．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解．答：小王每小時做15個零件，小李每小時做20個零件．3.某區(qū)在進(jìn)行雨水、污水管道改造工程招標(biāo)時，有甲、乙兩個工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測算，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需120天．若由乙先單獨(dú)做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．（1）求乙單獨(dú)完成該項(xiàng)工程需要多少天？（2）甲隊(duì)施工一天，需付1.5萬元工程費(fèi)，乙隊(duì)施工一天，需付2.5萬元工程費(fèi)，若該工程計(jì)劃在90天內(nèi)完成，在不超過工程計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢，還是由甲、乙全程共同完成更省錢，說明理由