2024-2025學(xué)年度蘇科版八年級上期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之一次函數(shù)新定義綜合問題講義-學(xué)生版

20242025學(xué)年度蘇科版八年級上期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之一次函數(shù)新定義綜合問題典例一：在平面直角坐標(biāo)系中，作如下定義；點的坐標(biāo)為x1,y1，點的坐標(biāo)為x2,y2，若，則稱、兩點為“同和點”．如圖①，點、為“同和點”．(1)若點的坐標(biāo)為．①在點，、中，是點的“同和點”的是________．（填“C”、“D”或“E”）②若點在軸上，且、兩點為“同和點”，則點的坐標(biāo)為________．(2)如圖②，直線與軸、軸分別交于點、，點為線段上一動點．①若點與點為“同和點”，則點的坐標(biāo)為________．②若存在點與點為“同和點”，求的取值范圍．典例二：定義:對于一次函數(shù),我們稱函數(shù)為函數(shù)的“友好函數(shù)”.(1)若,試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“友好函數(shù)”,并說明理由;(2)設(shè)函數(shù)與的圖象相交于點M.①若,點M在函數(shù)的“友好函數(shù)”圖象的上方,求p的取值范圍;②若,函數(shù)的“友好函數(shù)”圖象經(jīng)過點M,是否存在大小確定的m值,對于不等于2的任意實數(shù)p,都有“友好函數(shù)”圖象與x軸交點Q的位置不變?若存在,請求出m的值及此時點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.一、單選題1．定義新運算：，例如：，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．點在函數(shù)圖象上B．圖象經(jīng)過第一、三、四象限C．函數(shù)圖象與軸的交點為D．若點、在函數(shù)圖象上，則2．新定義：是一次函數(shù)（，a，b為實數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”是的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．定義：點為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點，若滿足，則把點A叫做“零點”，例如都是“零點”．當(dāng)時，直線上有“零點”，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．對于實數(shù)，我們定義符號的意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：．若關(guān)于x的函數(shù)為，則該函數(shù)的最小值是（

）A． B．0 C．5 D．75．定義一種新運算：，例如：，，給出下列說法：①；②若，則或4；③的解集為或；④若函數(shù)的圖象與直線（m為常數(shù)）只有1個交點，則．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．定義：對于給定的一次函數(shù)（a，b為常數(shù)，且），把形如的函數(shù)稱為一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”，已知一次函數(shù)，若點在這個一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖象上，則m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．現(xiàn)定義一種新的距離：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標(biāo)為，當(dāng)取得最小值時，應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．8．定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，定義點和點的關(guān)聯(lián)值如下：若，，在一條直線上；若，，不在一條直線上．已知點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，有下列結(jié)論：①；②若，，則點坐標(biāo)為；③滿足的點，都在一三象限角平分線和二四象限角平分線上；④若平面中任意一點滿足，則滿足條件的點的全體組成的圖形面積為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．等腰中，，記，周長為y，定義為這個三角形的坐標(biāo)，如圖所示，直線將第一象限劃分為4個區(qū)域．下面四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）①對于任意等腰，其坐標(biāo)不可能位于區(qū)域Ⅰ中；②對于任意等腰，其坐標(biāo)可能位于區(qū)域Ⅳ中③若是等腰直角三角形，其坐標(biāo)位于區(qū)域Ⅲ中；④圖中點M所對應(yīng)的等腰三角形的底邊比點N所對應(yīng)的等腰三角形的底邊要長．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④二、填空題11．定義為一次函數(shù)的特征數(shù)，若特征數(shù)為的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，則為．12．定義：若，滿足，為常數(shù)）且對，則稱點為“妙點”，比如點．若函數(shù)的圖象上的“妙點”在第三象限，則的取值范圍為．13．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的“變換點”的坐標(biāo)定義如下：當(dāng)時，點坐標(biāo)為；當(dāng)時，點坐標(biāo)為．線段上所有點的“變換點”組成一個新的圖形，若直線與組成的新的圖形有兩個交點，則的取值范圍是．14．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和給出如下定義：如果那么稱點為點的“關(guān)聯(lián)點”，例如：點的“關(guān)聯(lián)點”為點，的“關(guān)聯(lián)點”為點．（1）點的“關(guān)聯(lián)點”為，則．（2）如果點是一次函數(shù)圖象上點的“關(guān)聯(lián)點”，那么點的坐標(biāo)為．15．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于的點，叫做該函數(shù)圖象的“階和點”．例如，為一次函數(shù)的“階和點”．（1）若點是關(guān)于的正比例函數(shù)的“階和點”，則；（2）若關(guān)于的一次函數(shù)的圖象有且僅有個階和點，則的取值范圍為．16．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于這個函數(shù)的所有函數(shù)值y，都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．函數(shù)的邊界值為．若函數(shù)（，）的邊界值是5，且這個函數(shù)的最大值也是5，則b的取值范圍為．17．定義：對于給定的一次函數(shù)（a，b為常數(shù)，且），把形如的函數(shù)稱為一次函數(shù)的“相對函數(shù)”．（1）若點在一次函數(shù)的“相對函數(shù)”圖象上，則m的值是；（2）若點在一次函數(shù)的“相對函數(shù)”圖象上，則n的值是．18．定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點稱為一次函數(shù)的“不動點”．例如求的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動點”為，（1）由定義可知，一次函數(shù)的“不動點”為；（2）若直線與軸交于點，與軸交于點，且直線上沒有“不動點”，若點為軸上一個動點，使得，求滿足條件的P點坐標(biāo)三、解答題19．當(dāng)、為兩個不相等的常數(shù)，且時，定義一次函數(shù)與互為“友好函數(shù)”．如：與互為“友好函數(shù)”．(1)點在的“友好函數(shù)”的圖象上，求的值；(2)若點既是函數(shù)圖象上的點，又是它的“友好函數(shù)”圖象上的點，求點的坐標(biāo)．20．定義：對于一次函數(shù)、，我們稱函數(shù)為函數(shù)、的“星辰函數(shù)”．(1)已知函數(shù)為函數(shù)、的“星辰函數(shù)”，求，的值；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象相交于點．過點作軸的垂線，交函數(shù)、的“星辰函數(shù)”的圖象于點．①若，函數(shù)、的“星辰函數(shù)”圖象經(jīng)過點，求的值；②若，點在點的上方，求的取值范圍．21．閱讀理解：對于線段和點，定義：若，則稱點為線段的“等距點”；特別地，若，則稱點是線段的“完美等距點”．解決問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點是直線上一動點．(1)已知3個點：，則這三點中，可以做線段的“等距點”是，線段的“完美等距點”是；(2)若坐標(biāo)原點O為線段AP的“等距點”，求出點P的坐標(biāo)；(3)若，點在軸上，且是線段的“等距點”，求點的坐標(biāo)；(4)當(dāng)m>0，是否存在這樣的點，使點是線段的“等距點”，也是線段的“完美等距點”，請直接寫出所有這樣的點P的坐標(biāo)．22．已知直線．(1)當(dāng)為何值時，直線經(jīng)過原點？(2)若直線不經(jīng)過原點，設(shè)直線與軸交于點，與軸交于點，當(dāng)為何值時，，并求出此時的面積；(3)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某個點到軸、軸的距離之和為2，則稱該點為“元元點”，如點，，都是“元元點”．若直線上至少有一個“元元點”，求的取值范圍．23．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Mx,y和點當(dāng)時，，當(dāng)時，則稱點N為點M的變換點．例如：點變換點的坐標(biāo)是，點?3,2變換點的坐標(biāo)是．(1)則點的變換點的坐標(biāo)是；(2)已知點M在函數(shù)的圖象上，點M的變換點N的縱坐標(biāo)為5，求點M的坐標(biāo)．(3)已知點M在函數(shù)的圖象上，其變換點N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求k的取值范圍．24．定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點稱為一次函數(shù)（）的“亮點”．例如求的“亮點”，聯(lián)立方程：，解得，則的“亮點”為．(1)由定義可知，一次函數(shù)的“亮點”為___________．(2)一次函數(shù)的“亮點”為，求p，q的值．(3)若直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線上沒有“亮點”，點P在x軸上，使，求滿足條件的點P的坐標(biāo)．25．在平面直角坐標(biāo)系中，對于線段，給出如下定義：直線經(jīng)過線段的一個端點，直線經(jīng)過線段的另一個端點，若直線與交于點，且點不在線段上，則稱點為線段的“雙線關(guān)聯(lián)點”．(1)已知，線段的兩個端點分別為和，則在點，中，線段的“雙線關(guān)聯(lián)點”是___________：(2)是直線上的兩個動點．①點是線段的“雙線關(guān)聯(lián)點”，其縱坐標(biāo)為，直接寫出點的橫坐標(biāo)___________；②正方形的四個頂點的坐標(biāo)分別為，其中．若所有線段的“雙線關(guān)聯(lián)點”中，有且僅有兩個點在正方形的邊上，直接寫出的取值范圍___________．26．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點A和點B，給出如下定義：若，則稱B為A的雅值點，例如：點的雅值點為點．(1)點的雅值點坐標(biāo)是；若點A的雅值點為，則點A的坐標(biāo)是；(2)如圖1，點C、點D是y軸上的動點，若點D的雅值點E在直線上，的面積為，求點C的坐標(biāo)；(3)點M是直線y=2x上一點，點N是點M的雅值點，若x軸上存在點P，使得是等腰直角三角形且，請求出滿足條件的P點坐標(biāo)．27．平面直角坐標(biāo)系中