2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題5圓錐曲線中的斜率問題含答案及解析

專題5圓錐曲線中的斜率問題一、考情分析斜率問題也是高考圓錐曲線考查的熱點(diǎn),主要有以下類型：利用斜率求解三點(diǎn)共線問題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問題；與斜率有關(guān)的定值問題；與斜率有關(guān)的范圍問題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點(diǎn)共線問題利用斜率判斷或證明點(diǎn)共線,通常是利用.【例1】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0,與交于兩個不同的點(diǎn),,關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,為的右焦點(diǎn),若,,三點(diǎn)共線,證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn).【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為,不妨設(shè),因?yàn)槿切蔚拿娣e為,所以,所以,又,所以.（2）雙曲線的方程為：,所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,若直線與軸交于點(diǎn),故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,則,聯(lián)立,得,且,化簡得且,所以,,因?yàn)橹本€的斜率存在,所以直線的斜率也存在,因?yàn)?,三點(diǎn)共線,所以,即,即,所以,因?yàn)?所以,所以,所以,化簡得,所以經(jīng)過軸上的定點(diǎn).【例2】（2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,直線.（1）若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上,求m的值；（2）過F的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,D（不與點(diǎn)A,B重合）,直線與直線相交于點(diǎn)M,求證：A,D,M三點(diǎn)共線.【解析】（1）由題意知,直線的斜率存在,且斜率為,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為,則,所以線段的中點(diǎn)在直線上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,當(dāng)直線的斜率不存在時,：x=1,此時,有,所以直線,當(dāng)時,,所以,所以,所以,即A、D、M三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線：,則,得,,設(shè),則,直線BC的方程為,令,得,所以直線AD、AM的斜率分別為,,上式的分子,所以,即A、D、M三點(diǎn)共線.綜上,A、D、M三點(diǎn)共線.(二)根據(jù)兩直線斜率之和為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn),2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn)；【例3】（2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷）若點(diǎn)P在直線上,證明直線關(guān)于對稱,或證明直線平分,可證明.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于A,兩點(diǎn),設(shè)兩直線,的斜率分別為,,且,證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）由題意點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),知,因?yàn)槭堑妊苯侨切?所以,即,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）若直線的斜率存在,設(shè)其方程為,由題意知．由,得,由題意知,設(shè),,所以,,因?yàn)?所以,所以,整理得,故直線的方程為,即,所以直線過定點(diǎn)．若直線的斜率不存在,設(shè)其方程為,,．由題意得,解得,此時直線的方程為,顯然過點(diǎn)．綜上,直線過定點(diǎn)．【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知點(diǎn)在雙曲線上,直線l交C于兩點(diǎn),直線的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若,求的面積.【解析】（1）將點(diǎn)代入中,得,即,解得,故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在,設(shè),設(shè),,則聯(lián)立直線與雙曲線得：,需滿足,故,,,化簡得：,故,即,即,由題意可知直線l不過A點(diǎn),即,故l的斜率（2）設(shè)直線AP的傾斜角為,由,,得,（負(fù)值舍去）,由直線的斜率之和為,可知,即,則,得,即,聯(lián)立,及得,,將,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點(diǎn)為,其中為的準(zhǔn)線上一點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),且.（1）求拋物線的方程；（2）過的動直線與交于兩點(diǎn),問：在軸上是否存在定點(diǎn),使得軸平分若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為設(shè),則因?yàn)?所以,得.所以拋物線的方程為;（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使得軸平分.設(shè)動直線的方程為,點(diǎn),聯(lián)立,可得恒成立,設(shè)直線的斜率分別為,則由定點(diǎn),使得軸平分,則,所以.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得,得.故存在滿足題意.綜上所述,在軸上存在定點(diǎn),使得軸平分.(三)根據(jù)兩直線斜率之積為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.若點(diǎn)A,B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的點(diǎn),則；若點(diǎn)A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上與A,B不重合的點(diǎn),則.2.若圓錐曲線上任意一點(diǎn)P作兩條直線與該圓錐曲線分別交于點(diǎn)A,B,若為定值,則直線AB過定點(diǎn).【例6】(2022屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為、和,直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,記直線、,的斜率分別為、、.（1）求證：為定值；（2）若,求的周長.【解析】（1）證明：設(shè),易知、,其中,則,為定值.（2）解：,即,設(shè)、,而,聯(lián)立,則,且,,.所以,,,,所以,,,故直線恒過橢圓的左焦點(diǎn),所以,的周長為.【例7】（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）點(diǎn)在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點(diǎn)（異于點(diǎn)）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意點(diǎn)在雙曲線上,離心率可得；,解出,,所以,雙曲線的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時,則可設(shè),代入,得,則,即,解得或,當(dāng)時,,其中一個與點(diǎn)重合,不合題意；當(dāng)時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程代入,整理得,,設(shè),則,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,則,直線化為,過定點(diǎn)；若,則,直線化為,它過點(diǎn),舍去綜上,直線恒過定點(diǎn)另解：設(shè)直線的方程為①,雙曲線的方程可化為,即②,由①②可得,整理可得,兩邊同時除以,整理得③,,則是方程③的兩個不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直線恒過定點(diǎn).(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來表示,然后通過化簡或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過解不等式求范圍.【例8】（2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,.過與軸垂直的直線與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上方,且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),是否存在一定點(diǎn)使得為定值,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以橢圓C的方程為.（2）如果存在點(diǎn)M,由于橢圓的對稱性可知點(diǎn)M一定在x軸上,設(shè)其坐標(biāo)為(,0),因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)F(1,0),直線斜率存在時設(shè)l的方程為,,則,將代入得：,所以,又由得：則當(dāng)時,,當(dāng)直線斜率不存在時,存在一定點(diǎn)使得為定值0.綜上:存在定點(diǎn)使得為定值0.【例9】（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.【分析】（1）依題意,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線方程得到,將此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,依題意,所以點(diǎn)軌跡是一個橢圓,其焦點(diǎn)分別為,長軸長為4,設(shè)該橢圓的方程為,則,,故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）易知直線1的斜率存在,設(shè)直線1：,由得：,,即①又,故,將,代,得：,將②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范圍為或.四、跟蹤檢測1．（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）已知點(diǎn)在橢圓：（）上,且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由．2．（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為軸,軸,且過兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn),直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn),記直線的斜率分別為,若,證明：的周長為定值,并求出定值.3．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為,上頂點(diǎn)為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時,直線l恰好經(jīng)過D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過點(diǎn)D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.4．（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn),分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上,滿足.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.5．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上,右頂點(diǎn)為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.6．（2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線和點(diǎn).(1)斜率為且過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),求最小時的值.(2)過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若曲線上存在定點(diǎn),使為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.7．（2023屆河北省邢臺市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試）已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn),直線與C交于兩點(diǎn),直線和直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)直線l與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),直線的斜率與直線斜率之比為,求證以為直徑的圓一定過C的左頂點(diǎn).8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為,,且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,為橢圓上的一個動點(diǎn),的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明：.9.（2022屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為,橢圓上的一點(diǎn)滿足軸,且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),若點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的動點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,且,過原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為點(diǎn),問：是否存在定點(diǎn),使得線段的長為定值？若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長；若不存在,請說明理由．10．（2022屆八省八校（T8聯(lián)考）高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)橢圓,圓,點(diǎn),分別為E的左右焦點(diǎn),點(diǎn)C為圓心,O為原點(diǎn),線段的垂直平分線為l．已知E的離心率為,點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)都在圓C上．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問：是否存在實(shí)數(shù)m,使直線與的斜率之和為？若存在,求實(shí)數(shù)m的值；若不存在,說明理由．11．（2022屆上海市嘉定區(qū)高三一模）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,且橢圓過點(diǎn)、,過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為、,是否存在常數(shù),使得?若存在,請求出的值；若不存在,請說明理由.12．(2022屆海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期考試)已知雙曲線的虛軸長為4,直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)T(2,0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在第一象限),記直線MA斜率為,直線NB斜率為,求證：為定值．13．（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學(xué)期調(diào)研）已知橢圓C:的上下頂點(diǎn)分別為,過點(diǎn)P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點(diǎn),直線與交于點(diǎn).(1)設(shè)的斜率分別為,求的值;(2)求證：點(diǎn)在定直線上.14．（2023屆湖南省邵陽市高三上學(xué)期第三次月考）已知,直線的斜率之積為,記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線的斜率之積為,證明:的面積為定值.15．（2023屆浙江省新高考研究高三上學(xué)期8月測試）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為,離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形,點(diǎn)為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為,且斜率均存在.求證：.

專題5圓錐曲線中的斜率問題一、考情分析斜率問題也是高考圓錐曲線考查的熱點(diǎn),主要有以下類型：利用斜率求解三點(diǎn)共線問題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問題；與斜率有關(guān)的定值問題；與斜率有關(guān)的范圍問題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點(diǎn)共線問題利用斜率判斷或證明點(diǎn)共線,通常是利用.【例1】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0,與交于兩個不同的點(diǎn),,關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,為的右焦點(diǎn),若,,三點(diǎn)共線,證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn).【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為,不妨設(shè),因?yàn)槿切蔚拿娣e為,所以,所以,又,所以.（2）雙曲線的方程為：,所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,若直線與軸交于點(diǎn),故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,則,聯(lián)立,得,且,化簡得且,所以,,因?yàn)橹本€的斜率存在,所以直線的斜率也存在,因?yàn)?,三點(diǎn)共線,所以,即,即,所以,因?yàn)?所以,所以,所以,化簡得,所以經(jīng)過軸上的定點(diǎn).【例2】（2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,直線.（1）若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上,求m的值；（2）過F的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,D（不與點(diǎn)A,B重合）,直線與直線相交于點(diǎn)M,求證：A,D,M三點(diǎn)共線.【解析】（1）由題意知,直線的斜率存在,且斜率為,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為,則,所以線段的中點(diǎn)在直線上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,當(dāng)直線的斜率不存在時,：x=1,此時,有,所以直線,當(dāng)時,,所以,所以,所以,即A、D、M三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線：,則,得,,設(shè),則,直線BC的方程為,令,得,所以直線AD、AM的斜率分別為,,上式的分子,所以,即A、D、M三點(diǎn)共線.綜上,A、D、M三點(diǎn)共線.(二)根據(jù)兩直線斜率之和為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn),2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點(diǎn)；【例3】（2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷）若點(diǎn)P在直線上,證明直線關(guān)于對稱,或證明直線平分,可證明.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于A,兩點(diǎn),設(shè)兩直線,的斜率分別為,,且,證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）由題意點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),知,因?yàn)槭堑妊苯侨切?所以,即,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）若直線的斜率存在,設(shè)其方程為,由題意知．由,得,由題意知,設(shè),,所以,,因?yàn)?所以,所以,整理得,故直線的方程為,即,所以直線過定點(diǎn)．若直線的斜率不存在,設(shè)其方程為,,．由題意得,解得,此時直線的方程為,顯然過點(diǎn)．綜上,直線過定點(diǎn)．【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知點(diǎn)在雙曲線上,直線l交C于兩點(diǎn),直線的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若,求的面積.【解析】（1）將點(diǎn)代入中,得,即,解得,故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在,設(shè),設(shè),,則聯(lián)立直線與雙曲線得：,需滿足,故,,,化簡得：,故,即,即,由題意可知直線l不過A點(diǎn),即,故l的斜率（2）設(shè)直線AP的傾斜角為,由,,得,（負(fù)值舍去）,由直線的斜率之和為,可知,即,則,得,即,聯(lián)立,及得,,將,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點(diǎn)為,其中為的準(zhǔn)線上一點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),且.（1）求拋物線的方程；（2）過的動直線與交于兩點(diǎn),問：在軸上是否存在定點(diǎn),使得軸平分若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為設(shè),則因?yàn)?所以,得.所以拋物線的方程為;（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使得軸平分.設(shè)動直線的方程為,點(diǎn),聯(lián)立,可得恒成立,設(shè)直線的斜率分別為,則由定點(diǎn),使得軸平分,則,所以.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得,得.故存在滿足題意.綜上所述,在軸上存在定點(diǎn),使得軸平分.(三)根據(jù)兩直線斜率之積為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.若點(diǎn)A,B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的點(diǎn),則；若點(diǎn)A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上與A,B不重合的點(diǎn),則.2.若圓錐曲線上任意一點(diǎn)P作兩條直線與該圓錐曲線分別交于點(diǎn)A,B,若為定值,則直線AB過定點(diǎn).【例6】(2022屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為、和,直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,記直線、,的斜率分別為、、.（1）求證：為定值；（2）若,求的周長.【解析】（1）證明：設(shè),易知、,其中,則,為定值.（2）解：,即,設(shè)、,而,聯(lián)立,則,且,,.所以,,,,所以,,,故直線恒過橢圓的左焦點(diǎn),所以,的周長為.【例7】（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）點(diǎn)在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點(diǎn)（異于點(diǎn)）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意點(diǎn)在雙曲線上,離心率可得；,解出,,所以,雙曲線的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時,則可設(shè),代入,得,則,即,解得或,當(dāng)時,,其中一個與點(diǎn)重合,不合題意；當(dāng)時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程代入,整理得,,設(shè),則,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,則,直線化為,過定點(diǎn)；若,則,直線化為,它過點(diǎn),舍去綜上,直線恒過定點(diǎn)另解：設(shè)直線的方程為①,雙曲線的方程可化為,即②,由①②可得,整理可得,兩邊同時除以,整理得③,,則是方程③的兩個不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直線恒過定點(diǎn).(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來表示,然后通過化簡或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過解不等式求范圍.【例8】（2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,.過與軸垂直的直線與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上方,且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),是否存在一定點(diǎn)使得為定值,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以橢圓C的方程為.（2）如果存在點(diǎn)M,由于橢圓的對稱性可知點(diǎn)M一定在x軸上,設(shè)其坐標(biāo)為(,0),因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)F(1,0),直線斜率存在時設(shè)l的方程為,,則,將代入得：,所以,又由得：則當(dāng)時,,當(dāng)直線斜率不存在時,存在一定點(diǎn)使得為定值0.綜上:存在定點(diǎn)使得為定值0.【例9】（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.【分析】（1）依題意,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線方程得到,將此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,依題意,所以點(diǎn)軌跡是一個橢圓,其焦點(diǎn)分別為,長軸長為4,設(shè)該橢圓的方程為,則,,故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）易知直線1的斜率存在,設(shè)直線1：,由得：,,即①又,故,將,代,得：,將②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范圍為或.四、跟蹤檢測1．（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）已知點(diǎn)在橢圓：（）上,且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由．【解析】（1）點(diǎn),在橢圓：（）上代入得：,點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為,則,解得,,故橢圓的方程為．（2）由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為（）,,,．聯(lián)立得．．∴,,∵直線與直線斜率之積為．∴,∴．化簡得,∴,化簡得,解得或．當(dāng)時,直線方程為,過定點(diǎn)．代入判別式大于零中,解得（）．當(dāng)時,直線的方程為,過定點(diǎn),不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．2．（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為軸,軸,且過兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn),直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn),記直線的斜率分別為,若,證明：的周長為定值,并求出定值.【解析】（1）由已知設(shè)橢圓方程為：,代入,得,故橢圓方程為.（2）設(shè)直線,由得,,,又,故,由,得,故或,①當(dāng)時,直線,過定點(diǎn),與已知不符,舍去；②當(dāng)時,直線,過定點(diǎn),即直線過左焦點(diǎn),此時,符合題意.所以的周長為定值.3．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為,上頂點(diǎn)為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時,直線l恰好經(jīng)過D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過點(diǎn)D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.【解析】（1）由題意知,離心率,所以,設(shè),兩式相減得,所以；所以直線為,即,所以,橢圓方程為；（2）設(shè)直線為,由得,則,,,所以,解得,,因?yàn)閘不過D點(diǎn),則,即則,化簡得,解得,,所以或.4．（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn),分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上,滿足.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.【解析】（1）因?yàn)?故可設(shè),因?yàn)?故,即,解得.又在橢圓上,故,解得,故.又,故,故,.故的方程為.（2）因?yàn)闄E圓方程為,故,當(dāng)斜率為0時或重合,不滿足題意,故可設(shè)：.聯(lián)立可得,設(shè),則.故故定值為5．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上,右頂點(diǎn)為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號,所以直線不垂直于軸,故可設(shè),由可得,,所以,,而,即,化簡可得,,化簡得,所以或,所以直線或,因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn),所以直線經(jīng)過定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn),因?yàn)?所以,設(shè),所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即面積的最大值為.6．（2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線和點(diǎn).(1)斜率為且過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),求最小時的值.(2)過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若曲線上存在定點(diǎn),使為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）由對稱性可設(shè),則,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即,且所以,當(dāng)時,為直角,當(dāng)時,為鈍角,所以最小時,.（2）設(shè),由題意知動直線一定有斜率,設(shè)點(diǎn)的動直線為,設(shè)聯(lián)立得,所以,解得且,,即,即,化簡得,,化簡得,由于上式對無窮多個不同的實(shí)數(shù)都成立,所以將①代入②得,從而如果時,那么,此時不在雙曲線上,舍去,因此,從而,代入,解得,此時在雙曲線上,綜上,,或者.7．（2023屆河北省邢臺市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試）已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn),直線與C交于兩點(diǎn),直線和直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)直線l與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),直線的斜率與直線斜率之比為,求證以為直徑的圓一定過C的左頂點(diǎn).【解析】（1）由題意得,,設(shè),,,則,,即,,得,又∵點(diǎn)在C上,即,得,∴；（2）∵,設(shè)直線方程為,則方程為,聯(lián)立,得（且）,設(shè),得,,同理設(shè),得,,,,∴,即,∴以MN為直徑的圓一定過C的左頂點(diǎn).8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為,,且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,為橢圓上的一個動點(diǎn),的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明：.【解析】（1）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)坐標(biāo)為,所以,當(dāng)點(diǎn)在上?下頂點(diǎn)時,最大,又的最大值為.所以,由得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時,直線的方程為,直線與橢圓沒有交點(diǎn),與條件矛盾,故可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得,,化簡可得,所以,由已知方程的判別式,又直線過點(diǎn),所以,所以,所以,設(shè),則,,因?yàn)樗?所以方法二：設(shè)直線的方程為,由橢圓的方程,得.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,得,即,,所以.因?yàn)橹本€過定點(diǎn),所以,代入,得.9.（2022屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為,橢圓上的一點(diǎn)滿足軸,且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),若點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的動點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,且,過原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為點(diǎn),問：是否存在定點(diǎn),使得線段的長為定值？若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由橢圓上的一點(diǎn)滿足軸,且,可得,即,又由橢圓的離心率為,可得,即,因?yàn)?聯(lián)立方程組,可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓,可得,設(shè)直線的方程為,則,聯(lián)立方程組,整理得,則,由,可得,即,可得,整理得,所以,所以或（舍去）,所以直線的方程為,即,當(dāng)時,,可得直線過定點(diǎn),因?yàn)?所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,所以當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時,線段的長為定值,此時線段的長為,點(diǎn).10．（2022屆八省八校（T8聯(lián)考）高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)橢圓,圓,點(diǎn),分別為E的左右焦點(diǎn),點(diǎn)C為圓心,O為原點(diǎn),線段的垂直平分線為l．已知E的離心率為,點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)都在圓C上．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問：是否存在實(shí)數(shù)m,使直線與的斜率之和為？若存在,求實(shí)數(shù)m的值；若不存在,說明理由．【解析】（1）由已知,,則設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)分別為M,N,因?yàn)辄c(diǎn)O,C關(guān)于直線l對稱,O為線段的中點(diǎn),則C為線段的中點(diǎn),從而線段為圓C的一條直徑,所以,即,即．于是,所以橢圓E的方程是．（2）因?yàn)樵c(diǎn)O為線段的中點(diǎn),圓心C為線段的中點(diǎn),直線l為線段的垂直平分線,所以點(diǎn)O與C也關(guān)于直線l對稱,因?yàn)辄c(diǎn),則線段的中點(diǎn)為,直線的斜率為2,又直線l為線段的垂直平分線,所以直線l的方程為,即．將代入