2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項題型專題5圓錐曲線中的斜率問題含答案及解析

專題5圓錐曲線中的斜率問題一、考情分析斜率問題也是高考圓錐曲線考查的熱點,主要有以下類型：利用斜率求解三點共線問題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問題；與斜率有關(guān)的定值問題；與斜率有關(guān)的范圍問題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點共線問題利用斜率判斷或證明點共線,通常是利用.【例1】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于,兩點,且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0,與交于兩個不同的點,,關(guān)于軸的對稱點為,為的右焦點,若,,三點共線,證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點.【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為,不妨設(shè),因為三角形的面積為,所以,所以,又,所以.（2）雙曲線的方程為：,所以右焦點的坐標為,若直線與軸交于點,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,則,聯(lián)立,得,且,化簡得且,所以,,因為直線的斜率存在,所以直線的斜率也存在,因為,,三點共線,所以,即,即,所以,因為,所以,所以,所以,化簡得,所以經(jīng)過軸上的定點.【例2】（2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左?右頂點分別為A,B,右焦點為F,直線.（1）若橢圓W的左頂點A關(guān)于直線的對稱點在直線上,求m的值；（2）過F的直線與橢圓W相交于不同的兩點C,D（不與點A,B重合）,直線與直線相交于點M,求證：A,D,M三點共線.【解析】（1）由題意知,直線的斜率存在,且斜率為,設(shè)點A關(guān)于直線對稱的點為,則,所以線段的中點在直線上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,當直線的斜率不存在時,：x=1,此時,有,所以直線,當時,,所以,所以,所以,即A、D、M三點共線；當直線的斜率存在時,設(shè)直線：,則,得,,設(shè),則,直線BC的方程為,令,得,所以直線AD、AM的斜率分別為,,上式的分子,所以,即A、D、M三點共線.綜上,A、D、M三點共線.(二)根據(jù)兩直線斜率之和為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.設(shè)點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點,2.設(shè)點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點；3.設(shè)點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點；【例3】（2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷）若點P在直線上,證明直線關(guān)于對稱,或證明直線平分,可證明.已知橢圓：的左、右焦點分別為,,點是橢圓的一個頂點,是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點分別作直線,交橢圓于A,兩點,設(shè)兩直線,的斜率分別為,,且,證明：直線過定點．【解析】（1）由題意點是橢圓的一個頂點,知,因為是等腰直角三角形,所以,即,所以橢圓的標準方程為：．（2）若直線的斜率存在,設(shè)其方程為,由題意知．由,得,由題意知,設(shè),,所以,,因為,所以,所以,整理得,故直線的方程為,即,所以直線過定點．若直線的斜率不存在,設(shè)其方程為,,．由題意得,解得,此時直線的方程為,顯然過點．綜上,直線過定點．【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知點在雙曲線上,直線l交C于兩點,直線的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若,求的面積.【解析】（1）將點代入中,得,即,解得,故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在,設(shè),設(shè),,則聯(lián)立直線與雙曲線得：,需滿足,故,,,化簡得：,故,即,即,由題意可知直線l不過A點,即,故l的斜率（2）設(shè)直線AP的傾斜角為,由,,得,（負值舍去）,由直線的斜率之和為,可知,即,則,得,即,聯(lián)立,及得,,將,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點為,其中為的準線上一點,是坐標原點,且.（1）求拋物線的方程；（2）過的動直線與交于兩點,問：在軸上是否存在定點,使得軸平分若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.【解析】（1）拋物線的焦點為設(shè),則因為,所以,得.所以拋物線的方程為;（2）假設(shè)在軸上存在定點,使得軸平分.設(shè)動直線的方程為,點,聯(lián)立,可得恒成立,設(shè)直線的斜率分別為,則由定點,使得軸平分,則,所以.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得,得.故存在滿足題意.綜上所述,在軸上存在定點,使得軸平分.(三)根據(jù)兩直線斜率之積為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.若點A,B是橢圓C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；若點A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.2.若圓錐曲線上任意一點P作兩條直線與該圓錐曲線分別交于點A,B,若為定值,則直線AB過定點.【例6】(2022屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點和右焦點分別為、和,直線與橢圓交于不同的兩點、,記直線、,的斜率分別為、、.（1）求證：為定值；（2）若,求的周長.【解析】（1）證明：設(shè),易知、,其中,則,為定值.（2）解：,即,設(shè)、,而,聯(lián)立,則,且,,.所以,,,,所以,,,故直線恒過橢圓的左焦點,所以,的周長為.【例7】（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）點在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點（異于點）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點,并求出該定點的坐標.【解析】（1）由題意點在雙曲線上,離心率可得；,解出,,所以,雙曲線的方程是（2）①當直線的斜率不存在時,則可設(shè),代入,得,則,即,解得或,當時,,其中一個與點重合,不合題意；當時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；②當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程代入,整理得,,設(shè),則,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,則,直線化為,過定點；若,則,直線化為,它過點,舍去綜上,直線恒過定點另解：設(shè)直線的方程為①,雙曲線的方程可化為,即②,由①②可得,整理可得,兩邊同時除以,整理得③,,則是方程③的兩個不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直線恒過定點.(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來表示,然后通過化簡或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過解不等式求范圍.【例8】（2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點分別為,.過與軸垂直的直線與橢圓交于點,點在軸上方,且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于,兩點,是否存在一定點使得為定值,若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以橢圓C的方程為.（2）如果存在點M,由于橢圓的對稱性可知點M一定在x軸上,設(shè)其坐標為(,0),因為橢圓右焦點F(1,0),直線斜率存在時設(shè)l的方程為,,則,將代入得：,所以,又由得：則當時,,當直線斜率不存在時,存在一定點使得為定值0.綜上:存在定點使得為定值0.【例9】（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點是圓上的動點,點是拋物線的焦點,點在線段上,且滿足.（1）求點的軌跡的方程；（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點,若線段的中點在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.【分析】（1）依題意,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達定理得到中點坐標,將點Q坐標代入拋物線方程得到,將此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知點是拋物線的焦點,,依題意,所以點軌跡是一個橢圓,其焦點分別為,長軸長為4,設(shè)該橢圓的方程為,則,,故點的軌跡的方程為.（2）易知直線1的斜率存在,設(shè)直線1：,由得：,,即①又,故,將,代,得：,將②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范圍為或.四、跟蹤檢測1．（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）已知點在橢圓：（）上,且點到橢圓右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點,是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由．2．（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為軸,軸,且過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點,直線交橢圓于（不與點重合）兩點,記直線的斜率分別為,若,證明：的周長為定值,并求出定值.3．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為,上頂點為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點,當點M的坐標為時,直線l恰好經(jīng)過D點.(1)求橢圓C的方程：(2)當l不過點D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.4．（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點,分別是的上頂點和左焦點.點在上,滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點,設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.5．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點,其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上,右頂點為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.6．（2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線和點.(1)斜率為且過原點的直線與雙曲線交于兩點,求最小時的值.(2)過點的動直線與雙曲線交于兩點,若曲線上存在定點,使為定值,求點的坐標及實數(shù)的值.7．（2023屆河北省邢臺市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試）已知、為橢圓C：的左右頂點,直線與C交于兩點,直線和直線交于點.(1)求點的軌跡方程.(2)直線l與點的軌跡交于兩點,直線的斜率與直線斜率之比為,求證以為直徑的圓一定過C的左頂點.8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點為,,且左焦點坐標為,為橢圓上的一個動點,的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點,點,記直線的斜率為,直線的斜率為,證明：.9.（2022屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓的左、右焦點分別為,橢圓的離心率為,橢圓上的一點滿足軸,且．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點為橢圓的左頂點,若點為橢圓上異于點的動點,設(shè)直線的斜率分別為,且,過原點作直線的垂線,垂足為點,問：是否存在定點,使得線段的長為定值？若存在,求出定點的坐標及線段的長；若不存在,請說明理由．10．（2022屆八省八校（T8聯(lián)考）高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)橢圓,圓,點,分別為E的左右焦點,點C為圓心,O為原點,線段的垂直平分線為l．已知E的離心率為,點關(guān)于直線l的對稱點都在圓C上．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點,問：是否存在實數(shù)m,使直線與的斜率之和為？若存在,求實數(shù)m的值；若不存在,說明理由．11．（2022屆上海市嘉定區(qū)高三一模）在平面直角坐標系中,已知橢圓：的左、右頂點分別為A、B,右焦點為F,且橢圓過點、,過點F的直線l與橢圓交于P、Q兩點（點P在x軸的上方）.（1）求橢圓的標準方程；（2）若,求點P的坐標；（3）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為、,是否存在常數(shù),使得?若存在,請求出的值；若不存在,請說明理由.12．(2022屆海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期考試)已知雙曲線的虛軸長為4,直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）記雙曲線C的左、右頂點分別為A,B,過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M,N(點M在第一象限),記直線MA斜率為,直線NB斜率為,求證：為定值．13．（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學(xué)期調(diào)研）已知橢圓C:的上下頂點分別為,過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點,直線與交于點.(1)設(shè)的斜率分別為,求的值;(2)求證：點在定直線上.14．（2023屆湖南省邵陽市高三上學(xué)期第三次月考）已知,直線的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點,為坐標原點,若直線的斜率之積為,證明:的面積為定值.15．（2023屆浙江省新高考研究高三上學(xué)期8月測試）已知橢圓C：的右焦點為,離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形,點為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為,且斜率均存在.求證：.

專題5圓錐曲線中的斜率問題一、考情分析斜率問題也是高考圓錐曲線考查的熱點,主要有以下類型：利用斜率求解三點共線問題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問題；與斜率有關(guān)的定值問題；與斜率有關(guān)的范圍問題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點共線問題利用斜率判斷或證明點共線,通常是利用.【例1】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于,兩點,且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0,與交于兩個不同的點,,關(guān)于軸的對稱點為,為的右焦點,若,,三點共線,證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點.【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為,不妨設(shè),因為三角形的面積為,所以,所以,又,所以.（2）雙曲線的方程為：,所以右焦點的坐標為,若直線與軸交于點,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,則,聯(lián)立,得,且,化簡得且,所以,,因為直線的斜率存在,所以直線的斜率也存在,因為,,三點共線,所以,即,即,所以,因為,所以,所以,所以,化簡得,所以經(jīng)過軸上的定點.【例2】（2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左?右頂點分別為A,B,右焦點為F,直線.（1）若橢圓W的左頂點A關(guān)于直線的對稱點在直線上,求m的值；（2）過F的直線與橢圓W相交于不同的兩點C,D（不與點A,B重合）,直線與直線相交于點M,求證：A,D,M三點共線.【解析】（1）由題意知,直線的斜率存在,且斜率為,設(shè)點A關(guān)于直線對稱的點為,則,所以線段的中點在直線上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,當直線的斜率不存在時,：x=1,此時,有,所以直線,當時,,所以,所以,所以,即A、D、M三點共線；當直線的斜率存在時,設(shè)直線：,則,得,,設(shè),則,直線BC的方程為,令,得,所以直線AD、AM的斜率分別為,,上式的分子,所以,即A、D、M三點共線.綜上,A、D、M三點共線.(二)根據(jù)兩直線斜率之和為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.設(shè)點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點,2.設(shè)點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點；3.設(shè)點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,則時直線AB斜率為定值,若,則直線AB過定點；【例3】（2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷）若點P在直線上,證明直線關(guān)于對稱,或證明直線平分,可證明.已知橢圓：的左、右焦點分別為,,點是橢圓的一個頂點,是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點分別作直線,交橢圓于A,兩點,設(shè)兩直線,的斜率分別為,,且,證明：直線過定點．【解析】（1）由題意點是橢圓的一個頂點,知,因為是等腰直角三角形,所以,即,所以橢圓的標準方程為：．（2）若直線的斜率存在,設(shè)其方程為,由題意知．由,得,由題意知,設(shè),,所以,,因為,所以,所以,整理得,故直線的方程為,即,所以直線過定點．若直線的斜率不存在,設(shè)其方程為,,．由題意得,解得,此時直線的方程為,顯然過點．綜上,直線過定點．【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知點在雙曲線上,直線l交C于兩點,直線的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若,求的面積.【解析】（1）將點代入中,得,即,解得,故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在,設(shè),設(shè),,則聯(lián)立直線與雙曲線得：,需滿足,故,,,化簡得：,故,即,即,由題意可知直線l不過A點,即,故l的斜率（2）設(shè)直線AP的傾斜角為,由,,得,（負值舍去）,由直線的斜率之和為,可知,即,則,得,即,聯(lián)立,及得,,將,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點為,其中為的準線上一點,是坐標原點,且.（1）求拋物線的方程；（2）過的動直線與交于兩點,問：在軸上是否存在定點,使得軸平分若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.【解析】（1）拋物線的焦點為設(shè),則因為,所以,得.所以拋物線的方程為;（2）假設(shè)在軸上存在定點,使得軸平分.設(shè)動直線的方程為,點,聯(lián)立,可得恒成立,設(shè)直線的斜率分別為,則由定點,使得軸平分,則,所以.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得,得.故存在滿足題意.綜上所述,在軸上存在定點,使得軸平分.(三)根據(jù)兩直線斜率之積為定值研究圓錐曲線性質(zhì)1.若點A,B是橢圓C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；若點A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.2.若圓錐曲線上任意一點P作兩條直線與該圓錐曲線分別交于點A,B,若為定值,則直線AB過定點.【例6】(2022屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點和右焦點分別為、和,直線與橢圓交于不同的兩點、,記直線、,的斜率分別為、、.（1）求證：為定值；（2）若,求的周長.【解析】（1）證明：設(shè),易知、,其中,則,為定值.（2）解：,即,設(shè)、,而,聯(lián)立,則,且,,.所以,,,,所以,,,故直線恒過橢圓的左焦點,所以,的周長為.【例7】（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）點在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點（異于點）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點,并求出該定點的坐標.【解析】（1）由題意點在雙曲線上,離心率可得；,解出,,所以,雙曲線的方程是（2）①當直線的斜率不存在時,則可設(shè),代入,得,則,即,解得或,當時,,其中一個與點重合,不合題意；當時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；②當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程代入,整理得,,設(shè),則,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,則,直線化為,過定點；若,則,直線化為,它過點,舍去綜上,直線恒過定點另解：設(shè)直線的方程為①,雙曲線的方程可化為,即②,由①②可得,整理可得,兩邊同時除以,整理得③,,則是方程③的兩個不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直線恒過定點.(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來表示,然后通過化簡或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過解不等式求范圍.【例8】（2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點分別為,.過與軸垂直的直線與橢圓交于點,點在軸上方,且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于,兩點,是否存在一定點使得為定值,若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以橢圓C的方程為.（2）如果存在點M,由于橢圓的對稱性可知點M一定在x軸上,設(shè)其坐標為(,0),因為橢圓右焦點F(1,0),直線斜率存在時設(shè)l的方程為,,則,將代入得：,所以,又由得：則當時,,當直線斜率不存在時,存在一定點使得為定值0.綜上:存在定點使得為定值0.【例9】（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點是圓上的動點,點是拋物線的焦點,點在線段上,且滿足.（1）求點的軌跡的方程；（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點,若線段的中點在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.【分析】（1）依題意,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達定理得到中點坐標,將點Q坐標代入拋物線方程得到,將此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知點是拋物線的焦點,,依題意,所以點軌跡是一個橢圓,其焦點分別為,長軸長為4,設(shè)該橢圓的方程為,則,,故點的軌跡的方程為.（2）易知直線1的斜率存在,設(shè)直線1：,由得：,,即①又,故,將,代,得：,將②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范圍為或.四、跟蹤檢測1．（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）已知點在橢圓：（）上,且點到橢圓右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點,是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由．【解析】（1）點,在橢圓：（）上代入得：,點到橢圓右頂點的距離為,則,解得,,故橢圓的方程為．（2）由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為（）,,,．聯(lián)立得．．∴,,∵直線與直線斜率之積為．∴,∴．化簡得,∴,化簡得,解得或．當時,直線方程為,過定點．代入判別式大于零中,解得（）．當時,直線的方程為,過定點,不符合題意．綜上所述：直線過定點．2．（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為軸,軸,且過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點,直線交橢圓于（不與點重合）兩點,記直線的斜率分別為,若,證明：的周長為定值,并求出定值.【解析】（1）由已知設(shè)橢圓方程為：,代入,得,故橢圓方程為.（2）設(shè)直線,由得,,,又,故,由,得,故或,①當時,直線,過定點,與已知不符,舍去；②當時,直線,過定點,即直線過左焦點,此時,符合題意.所以的周長為定值.3．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為,上頂點為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點,當點M的坐標為時,直線l恰好經(jīng)過D點.(1)求橢圓C的方程：(2)當l不過點D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.【解析】（1）由題意知,離心率,所以,設(shè),兩式相減得,所以；所以直線為,即,所以,橢圓方程為；（2）設(shè)直線為,由得,則,,,所以,解得,,因為l不過D點,則,即則,化簡得,解得,,所以或.4．（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點,分別是的上頂點和左焦點.點在上,滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點,設(shè)直線的斜率分別為,求證：為定值.【解析】（1）因為,故可設(shè),因為,故,即,解得.又在橢圓上,故,解得,故.又,故,故,.故的方程為.（2）因為橢圓方程為,故,當斜率為0時或重合,不滿足題意,故可設(shè)：.聯(lián)立可得,設(shè),則.故故定值為5．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點,其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上,右頂點為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號,所以直線不垂直于軸,故可設(shè),由可得,,所以,,而,即,化簡可得,,化簡得,所以或,所以直線或,因為直線不經(jīng)過點,所以直線經(jīng)過定點.設(shè)定點,因為,所以,設(shè),所以,當且僅當即時取等號,即面積的最大值為.6．（2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線和點.(1)斜率為且過原點的直線與雙曲線交于兩點,求最小時的值.(2)過點的動直線與雙曲線交于兩點,若曲線上存在定點,使為定值,求點的坐標及實數(shù)的值.【解析】（1）由對稱性可設(shè),則,因為點在雙曲線上,所以,即,且所以,當時,為直角,當時,為鈍角,所以最小時,.（2）設(shè),由題意知動直線一定有斜率,設(shè)點的動直線為,設(shè)聯(lián)立得,所以,解得且,,即,即,化簡得,,化簡得,由于上式對無窮多個不同的實數(shù)都成立,所以將①代入②得,從而如果時,那么,此時不在雙曲線上,舍去,因此,從而,代入,解得,此時在雙曲線上,綜上,,或者.7．（2023屆河北省邢臺市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試）已知、為橢圓C：的左右頂點,直線與C交于兩點,直線和直線交于點.(1)求點的軌跡方程.(2)直線l與點的軌跡交于兩點,直線的斜率與直線斜率之比為,求證以為直徑的圓一定過C的左頂點.【解析】（1）由題意得,,設(shè),,,則,,即,,得,又∵點在C上,即,得,∴；（2）∵,設(shè)直線方程為,則方程為,聯(lián)立,得（且）,設(shè),得,,同理設(shè),得,,,,∴,即,∴以MN為直徑的圓一定過C的左頂點.8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點為,,且左焦點坐標為,為橢圓上的一個動點,的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點,點,記直線的斜率為,直線的斜率為,證明：.【解析】（1）因為左焦點坐標為,所以,當點在上?下頂點時,最大,又的最大值為.所以,由得,所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率為0時,直線的方程為,直線與橢圓沒有交點,與條件矛盾,故可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得,,化簡可得,所以,由已知方程的判別式,又直線過點,所以,所以,所以,設(shè),則,,因為所以,所以方法二：設(shè)直線的方程為,由橢圓的方程,得.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,得,即,,所以.因為直線過定點,所以,代入,得.9.（2022屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓的左、右焦點分別為,橢圓的離心率為,橢圓上的一點滿足軸,且．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點為橢圓的左頂點,若點為橢圓上異于點的動點,設(shè)直線的斜率分別為,且,過原點作直線的垂線,垂足為點,問：是否存在定點,使得線段的長為定值？若存在,求出定點的坐標及線段的長；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由橢圓上的一點滿足軸,且,可得,即,又由橢圓的離心率為,可得,即,因為,聯(lián)立方程組,可得,所以橢圓的標準方程為.（2）由橢圓,可得,設(shè)直線的方程為,則,聯(lián)立方程組,整理得,則,由,可得,即,可得,整理得,所以,所以或（舍去）,所以直線的方程為,即,當時,,可得直線過定點,因為,所以點在以為直徑的圓上,所以當點為線段的中點時,線段的長為定值,此時線段的長為,點.10．（2022屆八省八校（T8聯(lián)考）高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)橢圓,圓,點,分別為E的左右焦點,點C為圓心,O為原點,線段的垂直平分線為l．已知E的離心率為,點關(guān)于直線l的對稱點都在圓C上．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點,問：是否存在實數(shù)m,使直線與的斜率之和為？若存在,求實數(shù)m的值；若不存在,說明理由．【解析】（1）由已知,,則設(shè)點關(guān)于直線l的對稱點分別為M,N,因為點O,C關(guān)于直線l對稱,O為線段的中點,則C為線段的中點,從而線段為圓C的一條直徑,所以,即,即．于是,所以橢圓E的方程是．（2）因為原點O為線段的中點,圓心C為線段的中點,直線l為線段的垂直平分線,所以點O與C也關(guān)于直線l對稱,因為點,則線段的中點為,直線的斜率為2,又直線l為線段的垂直平分線,所以直線l的方程為,即．將代入