題型17 5類數(shù)列求和（分組求和、裂項相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項、周期與類周期綜合）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型17手把手教學(xué)答題模板之5類數(shù)列求和（分組求和、裂項相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項、周期與類周期綜合）技法0技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧技法02裂項相消的應(yīng)用及解題技巧技法03錯位相減（萬能公式）的應(yīng)用及解題技巧技法04奇偶并項的應(yīng)用及解題技巧技法05周期與類周期的綜合應(yīng)用及解題技巧技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧分組求和是分組求和是把數(shù)列分為兩組求和，一般為等差+等比，此類題型較簡單，利用公式求和即可，也是高考中的?？伎键c，需強加練習(xí)例1．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，記的前項和為，求.（1）（2）.所以的前項和.1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，且，，是等比數(shù)列的前三項．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．2．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．技法02裂項相消的應(yīng)用及解題技巧裂項相消求和是裂項相消求和是把數(shù)列拆分，然后抵消后即可求和，此類題型較簡單，也是高考中的?？伎键c，需強加練習(xí)知識遷移常見的裂項技巧：指數(shù)型對數(shù)型例2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．（1）的通項公式；（2）∴1．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，當(dāng)時，．若對于任意，有，求的取值范圍．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．3．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．5．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知正項數(shù)列的前項和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證．技法03錯位相減的應(yīng)用及解題技巧錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，是高考中的高頻考點，需強加練習(xí)知識遷移萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．（1）．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．也可以用萬能公式求出A、B、C直接求解1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項和，，且是公差為1的等差數(shù)列．正項等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前項和．2．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知兩個正項數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項公式；(2)用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項和．3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和．技法04奇偶并項的應(yīng)用及解題技巧有關(guān)數(shù)列奇偶項的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強化練習(xí)有關(guān)數(shù)列奇偶項的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強化練習(xí)例4-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．（1）.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.例4-2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．（1）.（2）由（1）得：，即，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：.1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為1，公差為2．正項數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．2．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若求數(shù)列的前項和.3．（天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．4．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項的和.5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.技法05周期綜合的應(yīng)用及解題技巧數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，需強化學(xué)習(xí)例5-1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項的積為（

）A．2 B．3 C． D．依題意，，，所以，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，，所以數(shù)列前項的積為，故選：B例5-2．（2023下·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.則的前60項的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760由，故，，，，….故，，，….從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；，，，….從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.例5-3．（2023·安徽模擬）數(shù)列的通項，其前項和為，則為（

）A． B． C． D．由二倍角公式得出，，，.故選：A.1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，則.2．（2023·四川廣元·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則.3．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列和的前項和分別為和，若，則（

）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項和等于A． B． C． D．5．（2021