題型25 8類排列組合與4類二項式定理解題技巧（捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色、項、系數(shù)、三項展開式、二項式乘積解題技巧）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納（解析）

題型258類排列組合與4類二項式定理解題技巧技法01技法01捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色解題技巧技法02項、系數(shù)、三項展開式、二項式乘積解題技巧技法01捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色解題技巧排列組合排列組合是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點復(fù)習(xí).知識遷移求解排列應(yīng)用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．(2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子環(huán)排問題(1)把個不同的元素圍成一個環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個不同的元素圍成一圈，個元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個不同的元素圍成一圈，個元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可。例1-1．（2023春·重慶·高三?？迹┯?名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．108種不同排法種數(shù)為種例1-2．（2023秋·黑龍江·高三?？迹┘?、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）A．12 B．36 C．48 D．72先排丙、丁、戊三人，共有種排法，甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，共有種排法，故排法種數(shù)為．例1-3．（2023·全國·高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數(shù)是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160第一步，先從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，共有種方法，第二步，從抽取到的司機中，派1名男司機去地，派一名女司機去地，共有種方法，第三步，剩下3名司機隨機去，，三地，共有種方法，故不同方案種數(shù)為，例1-4．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）2022年在貴州省黔東南州臺盤鄉(xiāng)舉辦的貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，經(jīng)由短視頻火爆全網(wǎng)，被稱為“村BA”，中國駐美大使及外交部發(fā)言人在海外媒體發(fā)文推薦．某高三班主任從網(wǎng)上找到6個與此相關(guān)的短視頻，，，，，，準(zhǔn)備從這6個短視頻中再選出3個向?qū)W生推薦，則，，至少選1個的方法種數(shù)為（

）A．8 B．18 C．19 D．24不同選法種數(shù)為.例1-5．（2023·甘肅·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校購買了10個相同的籃球分配給高三年級6個班，要求每個班至少一個籃球，則不同的分配方法有（

）A．126種 B．84種 C．72種 D．48種將10個籃球排成一排，形成9個空，插入5個擋板將籃球分成6組，所以不同的分配方案有種.例1-6．（2023·浙江·高三統(tǒng)考）將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)共有(

)A． B． C． D．將甲、乙、丙等六位同學(xué)進行全排可得種，甲、乙、丙的排列為種，因為甲、乙在丙的兩側(cè)，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數(shù)共有種．例1-7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有種不同的分堆方法.6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.例1-8．（2022·安徽·高三?？迹┯?種不同顏色的涂料，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（

）A．1512種 B．1346種 C．912種 D．756種1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F(xiàn)區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F(xiàn)分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．故不同的涂色方法共有756種．1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【分析】先計算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.故選：D.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.【詳解】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，最后將兩個家庭的整體全排列，有種站法，則所有不同站法的種數(shù)為．故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對女志愿者甲是否被選中進行分類討論，分別確定各賽場的人員安排，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數(shù)為，則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，余下個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數(shù)為；②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數(shù)為，編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，余下人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數(shù)為.由分類加法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：D.4．（2023·江蘇·高三?？迹┠承＝M織一次認(rèn)識大自然的活動，有10名同學(xué)參加，其中有6名男生?4名女生，現(xiàn)要從這10名同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（

）A．192種 B．120種 C．96種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用排除法、組合應(yīng)用問題列式計算作答.【詳解】從10名同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)有種方法，抽取的人全是男生的有種，全是女生的有種，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（種）.故選：C5．（2023·河北·高三?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價均為一元一本，小明只有元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】將問題等價轉(zhuǎn)化為將個完全相同的小球放入個盒子里，允許有空盒，進一步轉(zhuǎn)化為：將個完全相同的小球放入個盒子里，每個盒子里至少有個球，利用隔板法可得出結(jié)果.【詳解】問題等價轉(zhuǎn)化為將個完全相同的小球放入個盒子里，允許有空盒.進一步轉(zhuǎn)化為：將個完全相同的小球放入個盒子里，每個盒子里至少有個球.由隔板法可知，不同的選購方法有種.故選：B.【點睛】本題考查利用隔板法解決實際問題，將問題進行等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A?C?D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】A【分析】利用間接法和縮倍法求解.【詳解】不考慮限制條件共有種，最先匯報共有種，如果不能最先匯報，而?C?D按先后順序匯報（不一定相鄰）有.故選：A.7．（2023·福建·高三校考階段練習(xí)）為提高教學(xué)質(zhì)量，教育廳派6位教研員，平均分成3組，去某地3所重點高中調(diào)研，且甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排方案有（

）種．A．66 B．72 C．85 D．96【答案】B【分析】首先不考慮甲、乙兩位教研員利用平均分組分配問題的方法求出總安排數(shù)，再減去甲、乙兩位教研員去同一所高中的情況.【詳解】依題意若不考慮甲、乙兩位教研員則有種安排方法，若甲、乙兩位教研員去同一所高中則有種安排方法，綜上可得不同的調(diào)研安排方案有種.故選：B8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數(shù)為.【答案】240【分析】將甲、乙視為一個整體，根據(jù)圓排列的方法確定其排列數(shù)，再排甲、乙即可.【詳解】將甲、乙看成一個整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）.故答案為：.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【詳解】設(shè)四種顏料為，①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域E，有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D、F填涂顏色1，4，或4，3，若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D、F填涂顏色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，綜合①②③④，由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的填涂法．故選B．10．（2023春·湖北武漢·高三武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谀┤鐖D，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色兩種情況討論，結(jié)合分布乘法原理即可得解.【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法，綜上共有種不同的著色方法.故選：B.技法02項、系數(shù)、三項展開式、二項式乘積解題技巧二項式定理二項式定理是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會和項、系數(shù)、三項展開式、二項式乘積等結(jié)合在小題中考查，需重點復(fù)習(xí).知識遷移1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．注1．二項式的通項易誤認(rèn)為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即增減性當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數(shù)和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.例2-1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在的展開式中，第四項為（

）A．160 B． C． D．在的展開式中，第四項為.例2-2．（山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是（

）A． B． C． D．第項的二項式系數(shù)為，例2-3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80的展開式的通項為令得，所以的展開式中的系數(shù)為例2-4．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．30【詳解】可以看做個盒子，每個盒子中有，，三個元素，現(xiàn)從每個盒子中取出一個元素，最后相乘即可，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為.例2-5．（全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為1．（2023·全國·高三專題練習(xí)