題型26 5類概率統(tǒng)計選填解題技巧（古典概率、概率的基本性質、條件概率、全概率、貝葉斯公式）-高考數(shù)學必考模型歸納

題型265類概率統(tǒng)計選填解題技巧（古典概率、概率的基本性質、條件概率、全概率、貝葉斯公式）技法01技法01古典概率解題技巧技法02概率的基本性質解題技巧技法03條件概率解題技巧技法04全概率解題技巧技法05貝葉斯公式解題技巧技法01古典概率解題技巧古典概率古典概率是新高考卷的?？純热?，難度簡單，是概率中的基礎內容，在小題和大題中都有考查，需重點復習.知識遷移1．古典概型特點(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).例1-1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為．【法一】：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.【法二】：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率例1-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（

）A． B． C． D．【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．6．（2023·海南·校考模擬預測）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．技法02概率的基本性質解題技巧在概率的基本性質中，互斥事件、對立事件、概率加法公式在概率的基本性質中，互斥事件、對立事件、概率加法公式是新高考卷的?？純热?，難度中等偏易，是概率中的基礎內容，在小題和大題中都有考查，需重點復習..知識遷移1．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．例2-1．（2023·全國·高三專題練習）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．因為事件A，，兩兩互斥，所以，所以.例2-2．（2022·全國·高三專題練習）一個盒子內裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75因為從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因為從盒子中摸出1個球為黑球或紅球為互斥事件，所以摸出黑球或紅球的概率例2-3．（2022秋·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習）我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果．《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》、……《緝古算經》等10部專著，有著十分豐富多彩的內容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻．這10部專著中有7部產生于魏晉南北朝時期．某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為．A． B． C． D．設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件，所以，因此1．（2023·全國·高三專題練習）拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習）某家庭電話,打進的電話響第一聲時被接的概率為,響第二聲時被接的概率為,響第三聲時被接的概率為,響第四聲時被接的概率為,則電話在響前四聲內被接的概率為()A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．技法03條件概率解題技巧條件概率條件概率是新高考卷的?？純热荩y度中等偏難，是概率中的核心內容，在小題和大題中都有考查，需重點復習.知識遷移條件概率條件概率的定義條件概率的性質已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡例3-1．2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4同時愛好兩項的概率為，記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，則，所以例3-2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則1．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）在某次美術專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是和，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，旅游的人越來越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩．記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件為“兩位游客選擇的景點相同”，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學，現(xiàn)有甲，乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地，王仙嶺旅游風景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學，記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”，則（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）現(xiàn)隨機安排甲、乙等4位同學參加校運會跳高、跳遠、投鉛球比賽，要求每位同學參加一項比賽，每項比賽至少一位同學參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C為互斥事件C． D．5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，卡片的形狀、質地都相同，從中有放回地隨機抽取兩次，每次抽取一張，表示事件“第一次取出的數(shù)字是3”，表示事件“第二次取出的數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是6”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是7”，則（

）A． B．C． D．技法04全概率解題技巧全概率全概率是新高考卷的常考內容，難度中等偏難，是概率中的核心內容，在小題和大題中都有考查，需重點復習.知識遷移全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.例4．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎幪枮?，2，3的三個盒子，其中1號盒子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設事件為第一次取出的球為i號，事件為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．由題意可得，故B正確；對于A，表示在第一次取出的球為3號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，故A正確；對于C，表示在第一次取出的球為1號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以表示在第一次取出的球為2號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，應用全概率公式,有，故C錯誤；對于D，利用條件概率可得，解得，故D正確故選：C1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預測）已知顏色分別是紅、綠、黃的三個大小相同的口袋，紅色口袋內裝有兩個紅球，一個綠球和一個黃球；綠色口袋內裝有兩個紅球，一個黃球；黃色口袋內裝有三個紅球，兩個綠球（球的大小質地相同）．若第一次先從紅色口袋內隨機抽取1個球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內，第二次從該口袋內任取一個球，則第二次取到黃球的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預測）甲單位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，從兩個單位任抽一個單位，然后從所抽到的單位中任取1名志愿者，則取到男性志愿者的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預測）長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是，夏季來的概率是，如果冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點當中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國”景點的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”憑借憨態(tài)可掬的熊貓形象備受追捧，引來國內外粉絲爭相購買，竟出現(xiàn)了“一墩難求”的局面.已知某工廠生產一批冰墩墩，產品合格率為.現(xiàn)引進一種設備對產品質量進行檢測，但該設備存在缺陷，在產品為次品的前提下用該設備進行檢測，檢測結果有的可能為不合格，但在該產品為正品的前提下，檢測結果也有的可能為不合格.現(xiàn)從生產的冰墩墩中任取一件用該設備進行檢測，則檢測結果為合格的概率是（

）A． B．C． D．技法05貝葉斯公式解題技巧貝葉斯公式貝葉斯公式是新高考卷的常考內容，難度中等偏難，是概率中的重點內容，在小題和大題中都有考查，需重點復習.知識遷移貝葉斯公式一般地,設是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有例5．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【詳解】設事件表示