專題10-2 二項(xiàng)式定理-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（解析版）

專題10-2二項(xiàng)式定理歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】通項(xiàng)公式1：基礎(chǔ) 1【題型二】通項(xiàng)公式2：因式相乘型求某項(xiàng) 2【題型三】二項(xiàng)式給通項(xiàng)求n值 4【題型四】給通項(xiàng)求參數(shù) 5【題型五】因式相乘型給通項(xiàng)求參數(shù) 6【題型六】賦值法 8【題型七】換元型 10【題型八】三項(xiàng)展開式 11真題再現(xiàn) 12模擬檢測(cè) 14【題型一】通項(xiàng)公式1：基礎(chǔ)【典例分析】將二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二項(xiàng)式定理判斷其展開式中有理式的項(xiàng)數(shù)，再利用插空法進(jìn)行排列即可.【詳解】根據(jù)題意，得，因?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，，即為有理式；當(dāng)時(shí)，，即為有理式；當(dāng)時(shí)，，即為有理式；當(dāng)時(shí)，，即為無(wú)理式；所以展開式一共有9個(gè)項(xiàng)，有3個(gè)有理式，6個(gè)無(wú)理式，先對(duì)6個(gè)無(wú)理式進(jìn)行排列，共有種方法；再將3個(gè)有理式利用“插空法”插入這6個(gè)無(wú)理式中，共有種方法；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，一共有種方法.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.可以求解某一項(xiàng)，也可求解某一項(xiàng)的系數(shù)）【變式演練】1.的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】的展開式中,通項(xiàng)公式：，令10?r=7，解得r=3.∴x7的系數(shù)為,故選：C.2.．的展開式中的系數(shù)為_____．【答案】-20分析：首先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，之后令相應(yīng)的冪指數(shù)與題中所給的項(xiàng)的冪指數(shù)相等，從而求得的值，再代入通項(xiàng)公式，求得對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)，得出結(jié)果.詳解：由二項(xiàng)式定理可知，展開式的通項(xiàng)為，要求解的展開式中含的項(xiàng)，則，所求系數(shù)為．3.二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第（）項(xiàng)A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C試題分析：由二項(xiàng)式定理可知,展開式的常數(shù)項(xiàng)是使的項(xiàng),解得為第19項(xiàng),答案選C.【題型二】通項(xiàng)公式2：因式相乘型求某項(xiàng)【典例分析】的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可分別求得和展開式中的系數(shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】；展開式中的系數(shù)為；展開式中的系數(shù)為；展開式中的系數(shù)為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律因式相乘型，可以采取乘法分配律，變?yōu)閮墒较嗉有驮俎D(zhuǎn)而求對(duì)應(yīng)通項(xiàng)系數(shù)【變式演練】1.的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．28 D．56【答案】B【分析】將多項(xiàng)式按第一項(xiàng)展開,再將各項(xiàng)通過(guò)二項(xiàng)式定理拼成的形式,計(jì)算出結(jié)果【詳解】由題知,展開式的通項(xiàng)公式為，將含項(xiàng)記為,則,故含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B2.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．14 B．－14 C．6 D．－6【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理及多項(xiàng)式乘法法則求解．【詳解】由二項(xiàng)式定理得，所以所求常數(shù)項(xiàng)為．故選：D．3.的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．120 D．200【答案】A【分析】由題意首先確定展開式的通項(xiàng)公式，再采用分類討論法即可確定的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式中的即可，得到；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式中的即可，得到；據(jù)此可得：的系數(shù)為.故選：A.【題型三】二項(xiàng)式給通項(xiàng)求n值【典例分析】若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為，則n等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，令的指數(shù)分別為，求出展開式含項(xiàng)的系數(shù)和含項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出．【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為令得故含的系數(shù)為令得故含項(xiàng)的系數(shù)為將，6，8，10代入檢驗(yàn)得故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律利用二項(xiàng)展開式通信公式，待定系數(shù)法可求得。注意n值為正整數(shù)，可能存在分類討論的情況。【變式演練】1.若的展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則______.【答案】【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得，從而得到

的值.【詳解】解：的展開式中第項(xiàng)為

，再根據(jù)它為常數(shù)項(xiàng)，

可得，求得，故答案為：.2.若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得和的系數(shù)，由其比值為8求得值．【詳解】，所以，解得（負(fù)值舍去）．故選：A．3.若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則可能的取值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，可得與的關(guān)系，即可求解【詳解】展開式的第項(xiàng)令則（）所以為偶數(shù)。故選：A【題型四】給通項(xiàng)求參數(shù)【典例分析】已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，則當(dāng)，時(shí)，的最小值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過(guò)冪指數(shù)為160，求出關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值．【詳解】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，所以，令，解得所以，所以，∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，故選：B.【變式演練】1.若的展開式中的系數(shù)是，則．【答案】1【分析】先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)的系數(shù)是列方程求解即可.【詳解】展開式的的通項(xiàng)為，令，的展開式中的系數(shù)為，故答案為1.2.設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為144，則__．【答案】2【分析】利用公式，令即可求值．【詳解】解：．令，解得，則，，解得．故答案為：2．3.若關(guān)于的二項(xiàng)式的展開式中一次項(xiàng)的系數(shù)是，則__________．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過(guò)冪指數(shù)為1，即可得到實(shí)數(shù)的值?！驹斀狻空归_式的通項(xiàng)公式為，由，得，所以一次項(xiàng)的系數(shù)為，得，故答案為：．【題型五】因式相乘型給通項(xiàng)求參數(shù)【典例分析】已知，二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)為，且的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為192，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．66 B．36 C．30 D．6【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求某一項(xiàng).【詳解】設(shè)二項(xiàng)式展開式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，，所以，令，則，所以或舍去，所以，又因?yàn)?，所以，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，由展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的項(xiàng)構(gòu)成，則，當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，，；當(dāng)為含的項(xiàng)時(shí)，，，；所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B【變式演練】1.若的展開式中的系數(shù)為75，則（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式以及多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中的系數(shù)為，由題知，，解得．故選：A.2.關(guān)于二項(xiàng)式，若展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得含的項(xiàng)的系數(shù)，即得方程，求得答案.【詳解】由題意得的系數(shù)為，解得，故選：C.3.已知的展開式中的系數(shù)為40，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【分析】首先變形得，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù)即可.【詳解】由題意可得，在的展開式中，由，令無(wú)解，即的展開式?jīng)]有項(xiàng)；在的展開式中，由，令解得，即的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為，又的系數(shù)為40，所以，解得.故選：B【題型六】賦值法【典例分析】．已知．則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二項(xiàng)式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結(jié)合最高次系數(shù)的值即可得結(jié)果.【詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．【提分秘籍】基本規(guī)律常見(jiàn)的通法是通過(guò)賦值使得多項(xiàng)式中的變?yōu)楹?，在本題中要使即給等式中的賦值，求出展開式的常數(shù)項(xiàng)；【變式演練】1.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a3＋a5＝()．A．1 B．－1C．121 D．106【答案】C【分析】利用特殊值法構(gòu)造方程組求解．【詳解】解：令得①令得②①減②得故選：2.若的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121，則n=___________。【答案】5【分析】令和，作和即可得到奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，從而構(gòu)造出方程解得結(jié)果.【詳解】令得：令得：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：3.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)________.【答案】【分析】將左右兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，取代入導(dǎo)函數(shù)得到答案.【詳解】?jī)蛇叿謩e求導(dǎo)：取故答案為【題型七】換元型【典例分析】.已知，則A． B．0 C．14 D．【答案】B【解析】由題可知，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)，即可求出和，便可得出.【詳解】解：由題知，，且，則，，所以.故選：B.【變式演練】1.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)可確定.【詳解】令，則，又展開式通項(xiàng)為：，.故選：C.2.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由二項(xiàng)式定理，采用賦值法判斷選項(xiàng)ACD，轉(zhuǎn)化法求指定項(xiàng)的系數(shù)判斷選項(xiàng)B.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，D選項(xiàng)正確；，由二項(xiàng)式定理，，B選項(xiàng)正確.故選：BCD3.若多項(xiàng)式，則（）A．9 B．10 C．-9 D．-10【答案】D，，根據(jù)已知條件得的系數(shù)為0，的系數(shù)為1故選D.【題型八】三項(xiàng)展開式【典例分析】在的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．30 B．45 C．60 D．90【答案】B【解析】把看做一個(gè)整體，即可得到的通項(xiàng)公式為：Tr+1?，再求出的通項(xiàng)公式Tk+1?xr﹣2021k，再結(jié)合條件列式即可得解.【詳解】在的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1?.對(duì)于，通項(xiàng)公式為Tk+1?xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2項(xiàng)的系數(shù)為?45，故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律三項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：【變式演練】1.下列各式中，不是的展開式中的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意多項(xiàng)式展開式中，有一個(gè)因式選，有2個(gè)因式選，其余的2個(gè)因式選，有1個(gè)因式選，剩下的3個(gè)因式選，分別計(jì)算所得項(xiàng)，即可得到結(jié)果.【詳解】表示4個(gè)因式的乘積，在這4個(gè)因式中，有一個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式選，所得的項(xiàng)為，所以是的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的2個(gè)因式選，所得的項(xiàng)為，所以是的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有1個(gè)因式選，剩下的3個(gè)因式選，所得的項(xiàng)為，所以是的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的2個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的一個(gè)因式選，所得的項(xiàng)為，所以不是的展開式中的項(xiàng).故選:D.2.．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．【答案】A【分析】設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為,即得解.【詳解】解：設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為，令所以的系數(shù)為.故選：A3.展開式中的系數(shù)是___________.【答案】【分析】結(jié)合乘法運(yùn)算以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.【詳解】的展開式中，含有的項(xiàng)為：，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：1．（江蘇·高考真題）設(shè)，則的展開式中的系數(shù)不可能是（

）A．10 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】得到展開式的通項(xiàng)公式，求出時(shí)的系數(shù)，選出答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為10，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為40，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為80，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為80，故系數(shù)不可能是50.故選：C2．（全國(guó)·高考真題）若，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】分別令和，然后所得兩式相乘可得．【詳解】令得，令得，所以．故選：A．3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.4．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對(duì)分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問(wèn)題得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.5．（浙江·高考真題）若多項(xiàng)式，則（

）A．9 B．10 C．-9 D．-10【答案】D【解析】利用二項(xiàng)式定理的系數(shù)，先求的系數(shù)，再由，可求的系數(shù)，即可得答案．【詳解】多項(xiàng)式，等號(hào)右側(cè)只有最后一項(xiàng)的展開式中含有，并且的系數(shù)為，等號(hào)左側(cè)的系數(shù)是1，∴;又的系數(shù)在右側(cè)后兩項(xiàng)中，的系數(shù)為，左側(cè)的系數(shù)是0，∴，∴.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，搞清各項(xiàng)系數(shù)是解決本題關(guān)鍵，屬于中檔題．6．（·遼寧·高考真題）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是____________．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為其中，令，故常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：7．（湖北·高考真題）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中的系數(shù)是_____________．（以數(shù)字作答）【答案】35【分析】令得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，求得，整理展開式中的通項(xiàng)為，令得，從而求得的系數(shù).【詳解】令得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，所以；由令得，所以展開式中的系數(shù)是故答案為：358．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-281．，則（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)展開式，利用賦值法取即得.【詳解】因?yàn)椋?，可?故選：C.2．設(shè)為實(shí)數(shù)，甲：；乙：二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)為1．則甲是乙成立的（

）條件A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】求出展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可得出結(jié)論.【詳解】展開式中的第項(xiàng)為，.當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，甲是乙成立的充分但不必要條件.故選：A.3．已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是1024，則它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．252 B． C．210 D．【答案】B【分析】求解先求出n，在利用通項(xiàng)公式求解【詳解】由的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是1024，故，所以．由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，故選：B4．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．10 B．12 C．4 D．5【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的展開式中含項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，的展開式中含項(xiàng)為；所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.5．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．120 B．160 C．180 D．210【答案】A【分析】將看作5個(gè)因式相乘，根據(jù)的指數(shù)可認(rèn)為5個(gè)因式中有兩個(gè)選項(xiàng)，其余兩個(gè)選y,最后一個(gè)因式選1，進(jìn)行相乘，可得答案.【詳解】由題意的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為,故選：A6．若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．10 B．15 C．25